高中数学-专题-分类与整合思想

第三讲 分类与整合思想

知识整合
Z
hi shi zheng he

一、分类与整合思想的含义
分类与整合思想就是当问题所给 的对象不能进行统一研究时，需要把研究对象按某个标
准分类，然后对每一类分别研究得出结论，最后综 合各类结果得到整个问题的解答．实质上，
分类与整合是“化整为零，各个击破，再积零为整”的解题策 略．
二、分类与整合的常见类型
有关分类与整合的数学问题需要运用分类与整合思想来解决 ，引起分类与整合的原因大
致可归纳为如下几种：
1．由数学概念引起的分类与整合：有的概 念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指
数函数、对数函数等．
2．由性质、定理、公式的 限制引起的分类与整合：有的数学定理、公式、性质是分类
给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比 数列的前n项和公式、函数的单调性等．
3．由数学运算要求引起的分类与整合：如除法运算中除数不 为零，偶次方根被开方数
为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一 个正数、负
数，三角函数的定义域等．
4．由图形的不确定性引起的分类与整合：有的图形类 型、位置需要分类，如角的终边
所在的象限，点、线、面的位置关系等．
5．由参数的变化引 起的分类与整合：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，
由于参数的取值不同会导致所得结果 不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方
法．
6．由实际意义引起的讨论：此类问题常常出现在应用题中．

命题方向1 由概念、法则、公式引起的分类与整合
例1 已知函数f(x)＝a
x
＋b(a> 0，a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a＋b＝
3
－.
2
1
?
a＋b＝－1，
?
x
?
[解析] 当a>1时，函数f(x)＝a＋b在[－1,0]上为增函数，由题意，得
0
?
?< br>a＋b＝0，
－

无解．

1
?
a＋ b＝0，
?
x
?
当00
解得
?
a＋b＝－1，
?
－

1
?
?
a＝
2
，
?

?
?
b＝－2，
3
所以a＋b＝－.
2
『规律总结』
“四步”解决由概念、法则、公式引起的分类与整合问题
第一步：确定分类对象：一般把需要用到概念、法则、公式解决问题的对象作为分类目
标．
第二步：确定分类标准：运用概念、法则、公式对分类对象进行区分．
第三步：分类解决“分目标”：对分类出来的“分目标”分别进行处理．
第四步：汇总“分目标”：将“分目标”问题进行汇总，并作进一步处理．
跟踪训练
G
en zong xun lian


1 ．若函数f(x)＝a
x
(a>0，a≠1)在区间[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g(x)
1
＝(1－4m)x在区间[0，＋∞)上是增函数，则a＝.
4
1
－
[解析] 若a>1，则a
2
＝4，a
1< br>＝m，此时a＝2，m＝，此时g(x)＝－x在[0，＋∞)
2
上为减函数，不合题意 ．
若01
＝4，a
2
＝m，
－
113
故a＝，m＝，此时g(x)＝x在[0，＋∞)上为增函数，符合题意．
4164
1
综上可知，a＝.
4
2
?
?
sin?πx?，－12．已知函数f(x)＝
?
x
－
1
若f(1)＋f(a)＝2，则a的所有可能值为1或－
?
e，x≥0
?
2
.
2
[解析] f(1)＝e
0
＝1，，即f(1)＝1，
由f(1)＋f(a)＝2，得f(a)＝1.
当a≥0时，f(a)＝1＝e
a1
，所以a＝1，
－
当－12
)＝1，
π
所以πa
2
＝2kπ＋(k∈Z)．
2

112
所以a
2
＝2k＋(k∈Z)，k只能取0，此时a
2
＝.因 为－1222
或－
2
.
2
命题方向2 由图形位置或形状引起的分类与整合
x≥0，
?
?
y≥0，
例2 (1)在约束条件
?
y＋x≤s，
?
?
y＋2x≤4
变化范围是( D )
A．[6,15]
C．[6,8]
B．[7,15]
D．[7,8]

下，当3≤s≤5时，z＝3x＋2y的最大值的
??< br>?
x＋y＝s，
?
x＝4－s，
?
[解析] (1)由?
?
取点A(2,0)，B(4－s,2s－4)，C(0，s)，C′(0,4)．
?
y＋2x＝4
?
??
y＝2s－4，

①当3≤s<4时，可行域是四边形OABC，如图1所示．此时，7≤z<8.

②当4≤s≤5时，此时可行域是△OAC′，如图2所示，z
max
＝8.
综上，z＝3x＋2y最大值的变化范围是[7,8]．
(2)设圆锥曲线T的两个焦点分别 为F
1
，F
2
，若曲线T上存在点P满足|PF
1
|∶|F
1
F
2
|∶|PF
2
|
13
＝4∶3∶2 ，则曲线T的离心率为或.
22
[解析] 不妨设|PF
1
|＝4t，|F
1
F
2
|＝3t，|PF
2
|＝2t，
若该圆锥曲线为椭圆，则有|PF
1
|＋|PF
2
|＝6t＝2a，
c2c3t1
|F
1
F
2
|＝3t＝2c，e＝＝＝＝；
a2a6t2
若该圆锥曲线是双曲线，则有|PF
1
|－|PF
2< br>|＝2t＝2a，
c3t3
|F
1
F
2
|＝3t＝2c，e＝＝＝.
a2t2
13
所以圆锥曲线T的离心率为或.
22

『规律总结』

图形位置或形状的变化中常见的分类
圆锥曲线形状不 确定时，常按椭圆、双曲线来分类讨论，求圆锥曲线的方程时，常按焦
点的位置不同来分类讨论；相关计 算中，涉及图形问题时，也常按图形的位置不同、大小差
异等来分类讨论．
跟踪训练
G
en zong xun lian

x
2
y
2
(2017·郑州三模)设F
1
，F
2
为椭圆 ＋＝1的两个焦点，P为椭圆上一点．已知P，F
1
，
94
F
2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF
1
|>|PF
2
|，则
|PF
1
|7
的值为或2.
|PF
2
|2
[解析] 若∠PF
2
F
1
＝90°.则|PF
1
|
2
＝|PF
2
|
2
＋|F
1
F
2
|
2
，
又因为|PF
1
|＋|PF
2
|＝6，|F
1
F
2
|＝25，
解得|PF
1
|＝
144
，|PF
2
|＝，
33
|PF
1
|7
所以＝.
|PF
2
| 2
若∠F
1
PF
2
＝90°，则|F
1
F
2
|
2
＝|PF
1
|
2
＋|PF
2
|
2
，
所以|PF
1
|
2
＋(6－|PF1
|)
2
＝20.
|PF
1
|
所以|PF< br>1
|＝4，|PF
2
|＝2，所以＝2.
|PF
2
|
|PF
1
|7
综上知，＝或2.
|PF
2
|2
命题方向3 由变量或参数引起的分类与整合
(文) 例3 设函数f(x)＝x
3
－ax－b，x∈R，其中a，b∈R.求f(x)的单调区间．
[思路探究] 看到求f(x)＝x
3
－ax－b的单调区间，想到对参数a进行分类 整合，分为a≤0
和a>0两种情况．
[解析] 由f(x)＝x
3
－ax－b，可得f′(x)＝3x
2
－a.
下面分两种情况讨论：
①当a≤0时，f′(x)＝3x
2
－a≥0恒成立．
所以f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．
②当a＞0时，令f′(x)＝0，解得x＝
3a3a
或x＝－.
33
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化如表：
x
f′(x)
f(x)
?
－∞，－
3a
?

3
??
＋
单调递增
－
3a

3
0
?
－
3a
，
3a
?

3
??
3
－
单调递减
3a

3
0
极小值
?
3a
，＋∞
?

?
3
?
＋
单调递增 极大值

所以f(x )的单调递减区间为
?
－
?
3a3a
?
3a
?，单调递增区间为
?
－∞，－
，
，
33
?
3< br>??
?
3a
，＋∞
?
.
?
3
?
『规律总结』
几种常见的由参数变化引起的分类与整合
(1)含有参数的不等式的求解．
(2)含有参数的方程的求解．
(3)对于解析式系数是参数的函数，求最值与单调性问题．
(4)二元二次方程表示曲线类型的判定等．
(5)直线与圆锥曲线位置关系的分类．
(理)
ax
例3 已知函数g(x)＝(a∈R)，f(x)＝ln(x＋1)＋g(x)．
x＋1
(1)若函数g(x)过点(1,1)，求函数f(x)的图象在x＝0处的切线方程；
(2)判断函数f(x)的单调性．
[解析] (1)因为函数g(x)过点(1,1)，
a
所以1＝，
1＋1
2x
解得a＝2，所以f(x)＝ln(x＋1)＋.
x＋1
x＋3
12
所以f ′(x)＝＋.
2
＝
x＋1?x＋1??x＋1?
2
所以f ′(0)＝3.
所以所求的切线的斜率为3.
又f(0)＝0，所以切点为(0,0)．
故所求的切线方程为y＝3x.
ax
(2)因为f(x)＝ln(x＋1)＋(x>－1)，
x＋1
a?x＋1?－axx＋1＋a
1
所以f ′(x)＝＋＝.
x＋1?x＋1?
2
?x＋1?
2
①当a≥0时，因为x>－1，所以f ′(x)>0.
②当a<0时，由
?
?
f ′?x?<0，
?
?
?
x>－1，

得－1?
?
f ′?x?>0，
由
?
得x>－1－a.
?
x>－1，
?

综上可知，当a≥0时，函数f(x)在(－1， ＋∞)内单调递增；当a<0时，函数f(x)在(－1，
－1－a)内单调递减，在(－1－a，＋∞ )内单调递增．

『规律总结』
1．几种常见的由参数变化引起的分类讨论
(1)含有参数的不等式的求解．
(2)含有参数的方程的求解．
(3)对于解析式系数是参数的函数，求最值与单调性问题．
(4)二元一次方程表示曲线类型的判定等．
2．利用分类讨论思想的注意点
(1)分类讨论要标准统一，层次分明，分类要做到“不重不漏”．
(2)分类讨论时要根据 题设条件确定讨论的级别，再确定每级讨论的对象与标准，每级
讨论中所分类别应做到与前面所述不重不 漏．
(3)讨论结果归类合并，最后整合时要注意是取交集、并集，还是既不取交集也不取并
集只是分条列出．
跟踪训练
G
en zong xun lian
< br>x＋2y－4≤0，
?
?
当实数x，y满足
?
x－y－1≤0 ，
?
?
x≥1
3
].
2

时，ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是(－∞，
[解析] 由约束条件作可行域如图，
?
x＝1，
?
3
联立
?
解得C(1，)．
2
?
?
x＋2y－4＝0，
?
?
x－y－1＝0，
联立
?
解得B(2,1)．
?
x＋2y－4＝0，
?


在x－y－1＝0中取y＝0得A(1,0)．
由ax＋y≤4得y≤－ax＋4，
要使ax＋y≤4恒成立，
则平面区域在直线y＝－ax＋4的下方，
若a＝0，则不等式等价于y≤4，此时满足条件，
若－a>0，即a<0，平面区域满足条件，
若－a<0，即a>0时，要使平面区域在直线 y＝－ax＋4的下方，则只要B在直线上或
直线下方即可．

33
即2a＋1≤4，得022
3
所以实数a的取值范围是(－∞，]．
2