分类讨论思想在高中数学中的应用情形归纳

②当
a?0
时，不等式可化为
?
x?
?
?< br>1
?
1
?
?
x?1
?
?0
，解得< br>x??1
或
x?
；
a
?
a
1
?
?
?
x?1
?
?0
，
a
?
③ 当
a?0
时，不等式可化为
?
x?
?
?

【点评】（1）
a?0
时，不等式可化为
?
x?
?
?
1
?
1
??
x?1?0
，此时两根为
x?< br>?
1
a
?
a
x
2
??1
大小不确定 ，
所以要分
1
?
111
?
??1、=?1和??1
三种情况讨论. （2）
a?0
时，不等式可化为
?
x?
?
?
x?1
?
?0
，两个
a
?
aaa
?根分别为
x
1
?
1
?0x
2
??1?0
，两个根的大小确定，所以不需要分类讨论，所以并不是看到字母就要讨
a
论，是某些数学元 素“不确定”才要讨论.（3）解二次型的不等式
ax
2
?bx?c?0
一般 首先要研究二次项
x
2
的系数，再研究对称轴和判别式
?
，再研究两 根的大小，再研究根的大小与区间的关系. 这是一般规律.
【反馈检测2】解关于
x
的不等式：
(x?2)(ax?2)?0
.



分类讨论情形13
不等式
ax
2
?bx?c?0
中判别式
?
正负不确定要分
??0、?=0和??0
讨论.

【例3】解关于
x
的不等式
ax?2x?1?0(a
为常数）．
2

?
?1?1?a
?
?
? 1?1?a
?
?x?
原不等式的解集为
?
x
?
．
aa
??
??
【点评】（1）当
a?0
时，一元二次方程< br>ax
2
?2x?1?0
的判别式
??4?4a
正负不能确定， 所以要分
??0、?=0和??0
三种情况讨论. （2）当
??0
时，方程 的两根
x
1
?
?1?1?a?1?1?a
,x
2
?
大
aa
小不确定，所以要分类讨论，所以本题有两级分类.第一级就判别式
?
分类讨论，第二级就两根大小分类讨
论. (3)对二次函数
y?ax?bx?c，一般先讨论
a
的正负，再讨论对称轴和判别式
?
，再讨论根的大小，< br>再讨论根和区间的位置关系.
【反馈检测3】解关于
x
的不等式:
a x
2
?2?2x?ax
，
a?R
．






2

分类讨论情形14
【例4】已知函数
f
?
x
?
?{
分段函数求值不确 定
x
在哪一段要分类讨论.
?log
2
?
3?x
?
,x?2,
2
x?2
?1,x?2
，若
f
?< br>2?a
?
?1
，则
f
?
a
?
?（ ）
A.
?2
B.
?1
C.
1
D.
2


【点评】(1) 在计算
f
?
2?a
?
时，由于不知道
2?a
在分段 函数的哪一段，所以不能直接代入函数，所以
要分类讨论.（2）在
a?0
时计算出< br>a??
分类求交，大综合求并”.
【反馈检测4】设函数



分类讨论情形15
一次函数
y?kx?b
的斜率正负不确定要分
k?0和k?0
讨论.
，则不等式的解集为__________．
1
，此时要注意和
a?0
求交集，否则会多解. 注意数学逻辑“小
2
lnx
，其中
e
是自然常数，
a?R
.
x
1
（1）当
a?1
时，求
f
?
x
?
的极值，并证明
f
?
x
?
?g
?
x
?
?
恒成立；
2
【例5】已知函数f
?
x
?
?x?alnx
，
x?
?
0,e
，
g
?
x
?
?< br>?
（2）是否存在实数
a
，使
f
?
x
?的最小值为3？若存在，求出
a
的值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）证明：∵
f
?
x
?
?x?lnx
，
f
?
?
x
?
?1?
1x?1
，
?
xx
∴当
0?x?1
时，
f
?
?x
?
?0
，此时
f
?
x
?
单调递减； 当
1?x?e
时，
f
?
?
x
?
?0，此时
f
?
x
?
单调递增.
∴
f
?
x
?
的极小值为
f
?
1
?
?1
， 即
f
?
x
?
在
?
0,e
上的最小值为1，
?

令
h
?
x
?
?g
?x
?
?
1lnx11?lnx
，
??
，
h
?
?
x
?
?
2
2x2x
当
0?x ?e
时，
h
?
?
x
?
?0
，
h
?
x
?
在
?
0,e
上单调递增， ?
11111
????1?f
?
x
?
min
. ∴
f
?
x
?
?g
?
x
?
?
恒成立.
e2222
1ax?1
（2）假设存在实数
a
，使f
?
x
?
?ax?lnx
（
x?
?
0 ,e
?
）有最小值3，
f
?
?
x
?
?a? ?
.
xx
4
①当
a?0
时，
f
?x
?
在
?
0,e
?
上单调递减，
f
?
x
?
min
?f
?
e
?
?ae?1?3
，
a?
（舍去），
e
∴
h
?
x
?
max
?h
?
e
?
?
∴
a?0
时，不存在
a
使
f
?
x
?
的最小值为3.

综上，存在实数
a?e
2
，使得当
x?
?
0,e
时，
f
?
x
?
有最小值3.
【点评】 （1）
f
?
?
x
?
?a?
?
1ax?1< br>中，分母
y?ax?1
是不是一次函数要分类讨论，
a?0
时不是一< br>?
xx
次函数，
a?0
时是一次函数.（2）
a?0
时是一次函数，但是斜率
a
的正负不确定要分类讨论.(3)
a?0
时，函数的零点
x?
1
?0
与定义域
?
0,e
?< br>右端点
e
大小无法确定，所以要分类讨论.所以本题要三级分类讨论.
a
第一级分类：
y?ax?1
是不是一次函数，第二级分类：一次函数
y?ax?1< br>的斜率
a
的正负，第三级分类：
函数的零点
x?
1
? 0
与定义域
?
0,e
?
右端点
e
大小无法确定.
a
【反馈检测5】函数
f(x)?lnx?mx

（Ⅰ）若曲线y?f(x)
过点P（1，﹣1），求曲线
y?f(x)
在点P处的切线方程；
（Ⅱ）求函数
y?f(x)
在区间[1，e]上的最大值；（Ⅲ）若x∈[1，e]， 求证：
lnx?



x
．
2

分类讨论思想情形之11-15参考答案
【反馈检测1答案】当< br>a??2
时，
x?
1111
；当
a?2
时，
x?
或
x?
；当
a??2
时，
x?
或
4a ?22?aa?2
111
；当
?2?a?2
时，．
x??x?
2?aa?22?a

【反馈检测2答案】当
a?0时，原不等式的集为
{x|
当
0?a?1
时，原不等式的集为
{ x|x?
2
?x?2}
，当
a?0
时，原不等式的集为
{x |x?2}
，
a
2
或
x?2}
，当
a?1
时，原不等式的集为
{x?R|x?2}
.
a
2
【反馈检测2详细 解析】原不等式整理得
ax?2(a?1)x?4?0
.
当
a?0
时，原不等式为
x?2?0
，∴
x?2
；当
a?0
时，原不 等式为
(x?2)(ax?2)?0
，
22
?x?2}
，当
a?0
时，原不等式可化为
(x?2)(x?)?0
，
aa
22
当
0?a?1
时，原不等式为
?2
，原不等式的集为
{x| x?
或
x?2}
，
aa
22
若
a?1
， 则
?2
，原不等式的集为
{x|x?2
或
x?}
，当
a?1
时，原不等式的集为
{x?R|x?2}
.
aa
2
综上，当
a?0
时，原不等式的集为
{x|?x?2}
，当
a?0
时，原不等式的集为
{x|x?2}
，
a
2
当
0 ?a?1
时，原不等式的集为
{x|x?
或
x?2}
，当
a ?1
时，原不等式的集为
{x?R|x?2}
.
a
∴当
a ?0
时，原不等式可化为
{x|
【反馈检测3答案】
a??2
时，原 不等式的解为
?
x?1?x?
?
?
2?
?
，
?2?a?0
时，原不等式的解为
a
?
?2??2?
，时，原不等 式的解为，时，原不等式的解为
a?0a?0
x?x??1xx?或x??1
xx?? 1
??
????
.
a
?
a
???
【反馈 检测3详细解析】原不等式可化为：
ax?
?
a?2
?
x?2?0< br>
2
当
a?0
时，原不等式即为
?2x?2?0
，
?
x??1
.

当
a?0
时，原不等式变 形为
?
ax?2
??
x?1
?
?0

1）
a?0
时，
a
?
x?
?
?
2
?< br>2
x?1?0
?
，或
x??1
.
x?
? ?
?
a
?
a
2）
a?0
时，
?
x ?
若
?2?a?0
，则
?
?
2
?
?
?
x?1
?
?0

a
?
222
??1< br>，
?
?x??1
.若
a??2
，则
??1
，
?
x??1
.
aaa
22
若
a??2
， 则
??1
，
?
?1?x?

aa
综上所述：a??2
时，原不等式的解为
?
x?1?x?
?
?
2? ?2?
；时，原不等式的解为
?2?a?0
x?x??1
???
< br>a
??
a
?
?2?
a?0
时，原不等式的解为
?
xx??1
?
；
a?0
时，原不等式的解为
?
xx?或x??1
?
.
a
??
【反馈检测4答案】
【反馈检测4详细解析】由题意知，，① 当时，不等式为：

①当
m?0
时，
x?
?
1,e
?
， < br>f'
?
x
?
?0
，所以函数
f
?
x
?
在
?
1,e
?
上单调递增，则
f
?x
?
max
?f
?
e
?
?1?me
．
②当
11
?e
，即
0?m?
时，
x?
?
1,e
?
，
f'
?
x
?
?0
，
me
所以函数
f
?
x
?
在
?
1,e
?
上单调递增，则
f
?
x
?
max
?f
?
e
??1?me
．
③当
1?
11
?e
，即
?m?1
时，
m e
?
1
??
1
?
?
1
?
fx?f
,e
上单调递增，在上单调递减，则
??
???
??lnm?1．
??
max
m
m
???
m
?
??
函数
f
?
x
?
在
?
1,

< br>
x?
?
2,e
?
，
f'
?
x< br>?
?0
，∴
f
?
x
?
在
?
2,e
?
递减，∴
f
?
x
?
max
?f< br>?
2
?
?ln2﹣1＜0
，
∴
f
?
x
?
?0
即
lnx?

【方法讲评】
分类讨论情形16
指数函数
y?a
的底数
a
大小不确定要分
0?a?1
和
a?1
讨论.
x
xx
，e
?
时，
lnx?
成立.
? 0
，∴
x?
?
1
22
【例1】已知函数
f(x)? a
3x
2
?
1
?
?3
g(x)?
??，
?
a
?
5x?5
，其中
a?0
，且
a?1
.
（1）若
0?a?1
，求满足不等式
f(x)?1
的
x
的取值的集合；
（2）求关于
x
的不等式
f(x)?g(x)
的解的集合.
【解析】（1）由不等式
f(x)?1
得
a
3x
2
?3< br>?1,a
3x
2
?3
?a
0

因为
0?a?1
，所以
3x
2
?3?0
，解得
x??1,或x ?1
，
即所求解集为
(??,?1)?(1,??)

【点评】（1）由于指数函数
y?a(a?0,且a?1)
的单调性要分两种情况
(0?a?1和a?1)
讨论，所以
解不等式
a3x
2
?3
x
?a
?5x?5
时，必须把
a< br>分两种情况讨论，才能利用指数函数的单调性把指数不等式化程一元
二次不等式.（2）指数函数 和对数函数，当底数
a
与
1
的大小关系不确定时，常要分类讨论.
【反馈检测1】已知函数
f(x)?a(a?0,a?1)
在区间[-1,2]上的最大值是最 小值的8倍．
（Ⅰ）求
a
的值；
2
（Ⅱ）当
a?1时，解不等式
log
a
(2a?2x)?log
a
(x?1)< br>．
x







分类讨论情形17
对数函数
y?log
a
x
的底数
a
大小不确定要分
0?a?1
和
a?1
讨论.
【例2】已知
（Ⅰ）求函数
．
的定义域； （Ⅱ）证明函数
，∴
.
为奇函数；（Ⅲ）求使
解得
＞0成立的
x
的取值范围．
． 【解析】（Ⅰ）解：
∴函数的定义域为

（Ⅱ）证明：
∴
，且定义域为（－1，1）关于原点对称
．∴ 函数为奇函数．

【点评 】(1由于指数函数
y?log
a
x(a?0,且a?1)
的单调性要分两种 情况
(0?a?1和a?1)
讨论，所以
解不等式
log
a
1?x
?0
时，必须把
a
分两种情况讨论，才能利用对数函数的单调性把指数 不等式化程分式
1?x
不等式. （2）指数函数和对数函数，当底数
a
与< br>1
的大小关系不确定时，常要分类讨论.
【反馈检测2】已知函数
f(x)? log
a
(x?1)
，函数
g(x)?log
a
(4?2x )
（
a?0
，且
a?1
）
（1）求函数
y?f(x)?g(x)
的定义域；
（2）求使函数
y?g(x)?f(x)
的值为负数的
x
的取值范围.



分类讨论情形18 去绝对值符号时不确定绝对值里面的数的正负性要分类讨论.
【例3】已知函数
f
?
x
?
?a?3x?2?x
.
（Ⅰ）若
a?2
，解不等式
f(x)?3
；
（Ⅱ） 若存 在实数
x
，使得不等式
f(x)?1?a?2|2?x|
成立，求实数
a
的取值范围.

（2）不等式
f(x)?1?a?2| 2?x|
等价于
a?3x?32?x?1?a
，即
3x?a?3x?6?1? a
，
由绝对值三角不等式知
3x?a?3x?6?|(3x?a)?(3x?6)| ?|a?6|
.
若存在实数
a
，使得不等式
f(x)?1?a? 2|2?x|
成立，则
|a?6|?1?a
，解得
a??
5
，
2
所以实数
a
的取值范围是
[?,??)
.
5
2
2
和x??2
，它们把函数的定义域
R
3
2 2
分成三个部分，所以要去掉绝对值必须分成三个部分来讨论,即分
x??2,?2?x?,x ?
三种情况讨
33
【点评】（1）不等式
2?3x?2?x?3
中，绝对值有两个零点
x?
论.(2)第2问化简成
3x?a?3x?6?1?a< br>后要注意，本题是一个存在性问题，不是恒成立问题，所以不
是左边函数的最小值不小于右边函数 ，而是左边函数的最大值不小于右边函数，所以要利用绝对值三角不
等式求左边函数的最大值.
【反馈检测3】已知函数
f
?
x
?
?x?a?2x ?1
?
a?R
?
.
（1）当
a?1
时，求
f
?
x
?
?2
的解集；
（2）若
f
?
x
?
?2x?1
的解集包含集合
?
,1
?
，求实数
a
的取值范围.

分类讨论情形19 由于实际问题是分段函数所以相关函数要分类讨论.
?
1
?
?
2< br>?

【例4】为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下，进行技术改进：把二氧化 碳转化为某种化工产品，
经测算，该处理成本
y
（万元）与处理量
x
（吨）之间的函数关系可近似的表示为：
?
1
3
?
x?640,x ?
?
10,30
?
，且每处理一吨二氧化碳可得价值为20万元的某种化工产 品．
y?
?
25
?
x
2
?40x?1600,x ?
?
30,50
?
?
（Ⅰ）当
x?
?
30 ,50
?
时，判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元，该工厂才不会亏损？
（Ⅱ）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？

（1）当
x?< br>?
103,0
3
2x?8000
264
1
2
64
'
所以
P
?
x
?
?
，因为
x ?
?
10,30
?
，
x?
2
?
?
时，
P
?
x
?
?x?
，
25x
25x25 x
2
??
所以当
x?
?
10,20
?
时，
P
?
x
?
?0
，
P
?
x
?
为减函数；当
x?
?
20,30
?
时，
P
?
x
?
?0
，
P
?
x
?
为增函 数，所
''
20
2
640
??48
． 以当< br>x?20
时，
P
?
x
?
取得极小值
P
?
20
?
?
2520
（2）当
x?
?
3 0,50
?
时，
P
?
x
?
?x?
1600 1600
1600
?40?2x??40?40
，当且仅当
x?
，即
xx
x
x?40?
?
30,50
?
时，
P
?
x
?
取最小值
P
?
40
?
?4 0
，
因为
48?40
，所以当处理量为
40
吨时，每吨的平均处理成本最少．
【点评】（1）由于处理成本
y
（万元）与 处理量
x
（吨）之间的函数关系是一个分段函数，所以二氧
化碳的每吨平均处理成本也 应该是一个分段函数，因为每吨的平均处理成本为
P(x)?
y
.（2）由于平均处< br>x
理成本是一个分段函数，所以先要求出每一段的最小值，再求整个函数的最小值.上面一段用导 数求最小值
比较方便，下面一段用基本不等式求最小值.

【反馈检 测4】已知某公司生产品牌服装的年固定成本是10万元，每生产一千件，需另投入2．7万元，
设该公 司年内共生产该品牌服装
x
千件并全部销售完，每千件的销售收入为
R(x)
万元，且
?
x
2
10.8?,0?x?10
?
?
3 0
R(x)?
?

1081000
?
?
2
,x?10
?
3x
?
x
（1）写出年利润
W
（万元 ）关于年产量
x
（千件）的函数解析式
（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获利润最大？









分类讨论情形20 复合函数由于有参数导致单调性不能确定所以要分类讨论.
【例5】已知函数
f(x)?2a sin(2x?
?
)?b
的定义域为
[0,]
，值域为
[? 5,1]
，求
a
和
b
的值．
32
?
【点 评】（1）函数
f(x)?2asin(2x?
?
不是
sin(2x?)取最大值时，函数
f(x)
)?b
是一个复合函数，
33
?
最大，因为它的前面还有个“
2a
”，而“
2a
”的符号不确定，直接影响了函数的最值，所以要分类讨论.

< br>分
a?0、a=0和a<0
讨论.（2）对于含有字母参数的数学问题，大家要提高警惕 ，认真分析，不能麻痹大
意，一蹴而就，否则容易出现错误.
2
【反馈检测5】已 知
f(x)?2asinx?22asinx?a?b
的定义域是
[0,
?< br>2
]
，值域是
[?5,1]
，求
a
和
b的值.









分类讨论思想情形之16-20参考答案
【反馈检测1答案】（1）
a? 2
或
a?
1
；（2）
(?2,?1)?(3,??)
； < br>2
2
【反馈检测1详细解析】（Ⅰ）当
a?1
时，
f(x)< br>max
?a,f(x)
min
a
2
?a
，则
?1
?a
3
?8
，解得
a?2
；
a
?1
当
0?a?1
时，
f(x)
min
a
?1
11
?a,f(x)
max
?a
，则
2
?a
?3< br>?8
，解得
a?
；综上
a?2
或
a?
； < br>a
22
2?1
2
（Ⅱ）当
a?1
时，由前知
a?2
，不等式
log
a
(2a?2x)?log
a
(x? 1)
，即为
log
2
(4?2x)?log
2
(x
2
?1)
，
?
4?2x?0
?
x??2
?
x??2
?
?
??
?
2
?
2
4?2x? x?1x?2x?3?0
?
x??1或?3

??
得解集为．
(?2,?1)?(3,??)
；
【反馈检测2答案】（1）
?
?1,2
?
;（2）

(?1,1)
.

综上所述：当
a?1< br>时，
x
的取值范围是
(1,2)
；当
0?a?1
时，
x
的取值范围是
(?1,1)
．
【反馈检测3答案】（1）?
x|0?x?
?
?
4
??
5
?
?1 ,
?
. ；（2）
?
?
3
??
2
?
【反馈检测3详细解析】（1）当
a?1
时，
f
?
x
?< br>?x?1?2x?1,f
?
x
?
?2?x?1?2x?1?2
，上述不
等式化为
11
??
1
??
1
?
x?1
?
x?
?
?x?1
?
x?
?
?x? 1
，或，或，解得，或 ，或
222
????
2
?
?
x?1?2x?1?2
????
?
1?x?1?2x?2
?
1?x ?2x?1?2
?
x?0
?
x?2
?
x?1
4?
114
?
?
4
.
?0?x?
或
? x?1
或
1?x?
，所以原不等式的解集为
?
x|0?x?
?
.
?
3
?
223
x?
?
?
3
?
（2）
f
?
x
?
?2x?1
的解集包含
?
,1
?
,?
当
x?
?
,1
?< br>时，不等式
f
?
x
?
?2x?1
恒成立，即
?
1
?
?
2
?
?
1
?
?
2
?
?
1
?
?
2
?
x?a?2x?1?2 x?1
在
x?
?
,1
?
上恒成立，
?x?a?2x ?1?2x?1
，即
x?a?2,??2?x?a?2,?x?2?a?x?2
在x?
?
,1
?
上恒成立，
5
?
5
?< br>?
?
x?2
?
max
?a?
?
x?2
?
min
,??1?a?
，
?a
的取值范围是
?
?1,
?
.
2
?
2
?
?
x
3< br>8.1x??10,0?x?10
?
?
30
【反馈检测4答案】（1）
W?
?
；（2）当年产量为9万件时利润最大为
38.6
万元. < br>1000
?
98??2.7x,x?10
?
3x
?
?
1
?
?
2
?

?
x
3
8.1x??10,0?x?10
?
?
30
【反馈检测4详细解析】（1） 由题意
W?xR(x)?2.7x?10?
?

1000
?
98??2.7x,x?10
?
3x
?
x
2
（2）①当0?x?10
时，
W
?
???8.1?0?x?9,或
x??9 (舍）

10

ì
2
2
?
b=-5
a
?g(t)?2at?22at?a?b?2a(t?)?b
,当＞0时，则
í
；解之得
a
=6，
b
=﹣5；
2
?
?
a+b=1
2
ì
?
b=1
当
a
=0，不满足题意；当
a
＜0时，则
í
；解之得
a=﹣6，
b
=1．
?
?
a+b=-5
综上所述：a
=6，
b
=﹣5或
a
=﹣6，
b
=1．
【方法讲评】
分类讨论情形21 把矩形纸片围成圆柱侧面时由于没有说明是哪一个边做底面圆周长所以要分类讨论.
【例1】用一张长
12cm
，宽
8cm
的矩形纸片围成圆柱形的侧面，则这个圆柱的体积是 ．
【解析】∵侧面展开图是长
12cm
，宽
8cm
的矩形， 若圆柱的底面周长为
12cm
，则底面半径
R?
若圆柱的底面周长为8cm
，则底面半径
R?
故填
6
?
cm
，h?8cm
，此时圆柱的体积
V?
?
R
2
h?
288
?
192
cm
3

cm
3

4
?
cm
，
h?12cm
，此时圆柱的体积
V?
?
R
2
h?
?
192
?
或
288
?
．
【点评】（1）本题由于没有说明是以哪一个边作为底面圆的周长，所以要分类讨论.（ 2）本题应该求出
分别以
12cm
，
8cm
为圆柱的底面圆周的底面 圆的周长，然后求出圆柱的体积即可．数学问题的研究，要严
谨，不能漏解.
【反馈检测1】 一个长方形纸片,长为
6
?
,宽为
4
?
,若将该纸片围成一 个圆柱体的侧面,求围成的圆柱的
表面积.

分类讨论情形22 空间几何元素的相对位置关系不确定时分类讨论.
【例2】已知
A,B
是直线
l
外的两点，过
A,B
且与
l
平行的 平面的个数有 个.

【点评】（1）本题涉及到
AB
和直 线
l
,所以要对它们的相对位置关系进行分类讨论，分
AB
和
l平行、
异面和相交三种情况讨论. （2）解答立体几何中有关的个数问题时，注意逻辑分类，考虑周全，不要遗漏.
【反馈检测2】若不 在同一直线上的三个点
A,B,C
到平面
?
距离相等，且
A,B,C
?
?
，则平面
ABC
与
?
.
A. 平行 B. 相交 C. 重合 D. 平行或相交
【反馈检测3】已知平面
?
∥平面
?
，
P
是
?
,
?
外一点，过点
P
的直线
m与
?
,
?
分别交于
A,C
，过
点
P< br>的直线
n
与
?
,
?
分别交于
B,D
,且
PA?6
，
AC?9
，
PD?8
，则
BD 的长为______．





分类讨论情形23 利用直线方程的点斜式斜截式求直线方程时要就斜率是否存在分类讨论.
22
【例3】直线
l
过点
(4,0)
且与圆
(x?1)?( y?2)?25
交于
A,B
两点，如果
|AB|?8
，那么直线l
的方
程为 ．

线
l
的 距离
d
=
|3k?2|
k
2
?1
=3，解得：k
=
5
，此时直线
l
的方程为：
5x?12y?20? 0
.
12
综上，所有满足题意的直线
l
方程为
x?4或
5x?12y?20?0
．故答案为
x?4
或
5x?12y? 20?0

【点评】（1）利用点斜式斜截式方程写直线方程时，要就斜率存在与不存在分类讨 论.并且一般先讨论
斜率不存在的情况，再讨论斜率存在的情况.（2）解析几何中，只要是用到直线的 斜率，就要分斜率存在
和不存在两种情况讨论（除非已知已经说明直线斜率存在）.
1
x
2
y
2
【反馈检测4】已知椭圆
C
：
2
?
2
?1
（
a?b?0
）过点
(2,0)
，且椭 圆
C
的离心率为．
2
ab
（1）求椭圆
C
的方程；
（2）若动点
P
在直线
x??1
上，过
P
作直线交椭圆
C
于
M,N
两点，且
P
为线段
MN
中点，再过
P
作< br>直线
l?MN
．求直线
l
是否恒过定点，若果是则求出该定点的坐标， 不是请说明理由.









分类讨论情形24 利用直线方程的截距式求直线方程时要就截距是否为零分类讨论. 【例4】过点
(1,1)
，且横、纵截距相等的直线方程为______________ ____.

【点评】（1）直线的斜截式、两点式、截距式和点斜式方程， 都是有局限性的，并不能表示所有直线，
所以大家在利用这些直线的方程解答时，一定要先考虑直线的方 程不能表示的直线是否满足题意，如果满
足就要加上，不满足就舍去. （2）本题很容易漏掉过原点的 直线，直线过原点时，它的两个截距都是
0
，
是相等的，是满足题意的.但是直线方程 的截距式就是不能表示此直线.
【反馈检测5】已知直线
l
经过点
A(?5 ,2)
，且直线
l
在
x
轴上的截距等于在
y
轴上的 截距的2倍，求
直线
l
的方程.



分类讨论情形25 圆和圆相切要分圆与圆内切和外切两种情况分类讨论.
222
22
（x-2)?（y-5)?r
相切，则
r
为（ ） 【例5】圆
C
1
：
(x?2)?(y?2)?1
与圆
C
2
：
A．4 B．6 C．4或6 D．不确定
【解析】分两种情况讨论，当两圆外切时可得
5?
当两圆内切时可得：
5?
?
2?
?
?2
??< br>2
?
?
5?2
?
2
?r?1?r?4
； < br>?
2?
?
?2
??
2
?
?
5?2< br>?
2
?r?1?r?6
；所以应选
C
．
【点评】（ 1）两圆相切包含内切和外切两种情况.两圆内切等价于圆心距
|O
1
O
2< br>|?|R?r|
，两圆外切等
价于圆心距
|O
1
O
2
|?R?r
.
【反馈检测6】已知圆
A．5cm


分类讨论思想情形之21-25参考答案
和圆相切，两圆的圆心距为8cm，圆
C．3cm
的半径为3cm，则圆的半径是（ ）
B．11cm D．5cm或11cm

当平面
ABC
穿 过平面
?
时（上面的
AB
||
?
,
A,B
到平面
?
的距离相等，下面的点
C
到平面
?
的距离和
，此时，平面
ABC
与
?
相交.故选择
D
.
A B
到平面
?
的距离相等）
【反馈检测3答案】
24
或
24
.
5
【反馈检测3详细解析】连接
AB,CD
，

①当点
P
在
CA
的延长线上，即
P
在平面
?
与平面
?
的同侧时，
∵
?
∥
?
，平面
PCD
∴
AB||CD
，可得
②
?
?AB
，平面
PCD
?
?CD

PAPB68?BD24
∵
PA?6
，
AC?9
，
PD?8
∴
?
解之得
BD
=
?
ACBD9BD5

当点
P在线段
CA
上，即
P
在平面
?
与平面
?
之间时，
PAPB6PB
,代入
PA?6,PC?3,PD?8
，得< br>?
解得
PB?16

?
PCPD38
24
∴
BD?PB?PD?24
综上所述，可得
BD
的长为或
24
.
5
类似①的方法，可 得
x
2
y
2
1
【反馈检测4答案】（1）（2）直线
l
恒过定点
(?，
??1
；
0)
.
43
4
【反馈检测4详细解析】（1）因为点
(2，0)
在椭圆
C
上， 所以
40
??1
， 所以
a
2
?4
，
22
ab

a
2
?b
2
1
x
2
y
2
c1
1
2
因为椭圆
C
的离 心率为，所以
?
，即
?
，解得
b?3
，所以椭圆
C
的方程为
??1
．
2
2
a4
43
a2
（2）设
P(?1，y
0
)
，
y
0
?(?，)
，
①当直线
MN
的斜率存在时，设直线
M N
的方程为
y?y
0
?k(x?1)
，
M(x
1< br>，y
1
)
，
N(x
2
，y
2
)，
33
22
?
3x
2
?4y
2
?1 2，
2
由
?
得
(3?4k
2
)x
2
?(8ky
0
?8k
2
)x?(4y
0
?8ky
0
?4k
2
?12)?0
，
?
y?y
0
?k(x?1)，
8ky
0
?8k
2
8ky
0
?8 k
2
x
1
?x
2
所以
x
1
+x< br>2
??
， 因为
P
为
MN
中点，所以
=?2
．
=?1
，即
?
3?4k
2
3?4k
2
2
所以
k
MN
?
即
y??
4y
4y
3

( y
0
?0)
,因为直线
l?MN
，所以
k
l
??
0
，所以直线
l
的方程为
y?y
0
??0
(x?1)
，
3
3
4y
0
4y
0< br>1
1
(x?)
，显然直线
l
恒过定点
(?，0)
．
34
4
②当直线
MN
的斜率不存在时，直线
MN
的方程为
x?? 1
，此时直线
l
为
x
轴，也过点
(?
综上所述直线
l
恒过定点
(?
1
，0)
．
4
1
，0)
．
4

【反馈检测6答案】
D

【反馈检测6详细解析】两圆相切时，可有内切与外 切，当外切时；圆心距
d
等于两圆的半径和，即
R?r?d
,
其中，
R,r
为圆的半径，当内切时；
d?R?r
.∵
d?8,r?3,当外切时；
R?8?3?5
,当内切时；
R?8?3?11
.∴
A,B,C
错误，
D
正确.故选
D
.
【方法讲评】
分类讨论情形26 三角形是钝角三角形没有确定哪一个角是钝角要分类讨论.
0
【 例1】在
?ABC
中，
?ABC?60,AB?2,BC?6
，在
B C
上任取一点
D
，则使
?ABD
为钝角三角

形的概率为（ ）
A．
1112
B． C． D．
6323
【解析】




【点评】（1）做数学题，思维必须严谨.由于已知中没有说明哪个角为钝角，所 以“
?ABD
为钝角三角
形”应该有三种情况，①
?ABD
为钝角， ②
?BAD
为钝角，③
?BDA
为钝角.由于已知中
?ABD=60
0
，
所以只剩下两种情况. （2）当已知中提到“钝角三角形”或“直角三角形”时 ，我们都要比较敏感地想到
哪一角是钝角？哪一个角是直角？
【反馈检测1】如图，
?AOB?60
，
OA?2
，
OB?5
，在线段
OB
上任取一点
C
，

试求：(1)
?AOC
为钝角三角形 的概率；(2)
?AOC
为锐角三角形的概率．




分类讨论情形27
在三角形中解方程
sinA?m(0?m?1)
时要把< br>A
分锐角和钝角两种情况讨论.
【例2】已知角
?
的终边经过点P(?4m,3m)(m?0)
，则
2sin
?
?cos
?= .
【解析】由正弦定理得
4433
00
?sin?B ?
,解得,所以
B?60或120.
又因为
b?a
，所
0
sin30sin?B2

以
?B??A
,则
?B? 60
0
或120
0
.故填
60
0
或120
0
.

【点评】三角方程
sinB=
3
3
3
在三角形中有两解，不是一解.
cosB=
是一解，
tanB=
是一解.< br>22
3
这与三角函数在区间
(0,
?
)
的单调性有关 ,因为正弦函数在
(0,
?
)
时先减后增，余弦函数在
(0,
?
)
时减函数，
正切函数在
(0,
?
),(,
?
)
是增函数.
22
?
【反馈检测2】在
?ABC
中，已知
a?23
，
b?6
，
A?30
?
，求B
及S
?ABC
.




分类讨论情形28
ì
n=1
?
a
1
使用项和公式
a
n
=
í
求通项
a
n
时，一定要对
n
分类讨论.
s-sn?2
?
?
nn-1
【例3】已知 数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
，满足
log
2
(1?S
n
)?n?1
，则
?
a
n
?
的通项公式为__________．

ì< br>n=1
?
a
1
【点评】（1）项和公式
a
n
=
í
是根据数列前
n
项和
S
n
求通项
a< br>n
的一个非常重要的公式，
?
?
s
n
-s
n -1
n?2
是高考经常考查的一个考点，大家务必要理解和掌握.该公式之所以是分段函数，主 要是当
n?1
时，
S
n-1
的
下标为
0
， 没有意义，所以要分类讨论.利用该公式要分
n?1
和
n?2
讨论，或者最后 把
n?1
代入检验，
结果是能并则并，不并则分.
【反馈检测3】数列?
a
n
?
的各项均为正数，
S
n
为其前n项和 ，对于任意的
n?N
，总有
a
n
,S
n
,a
n
成
*
2
等差数列,

（1）求数列
?< br>a
n
?
的通项公式；（2）设数列
?
b
n
?
前n项和为
T
n
，且
b
n
?
和任意的正整 数n，总有
T
n
?2
.

lnx
，求证对任意的 实数
x?(1,e]
2
a
n
ì
na
1
q= 1
?
?
求
S
n
时要对
q
分两种情况讨论.
分类讨论情形29
利用等比数列前
n
项和公式
S
n
=
í
a
1
(1-q
n
)
q
?
1
?
1-q
?
?
【例4】设等比数列
?
a
n
?
的全
n
项和为
S
n
.若
S
3< br>?S
6
?2S
9
，求数列的公比
q
.
< br>ì
na
1
q=1
?
?
【点评】（1）等比数列的前< br>n
项和公式为
S
n
=
í
a
1
(1- q
n
)
，所以在使用这个公式时，要先对公
q
?
1
?
1-q
?
?
a
1
(1-q
n
)
比
q
分类讨论，不能直接代公式
S
n
=
.很多学生很容易 忽略这一点.否则容易导致解题不严谨或
1-q
漏解. （2）利用等比数列前
n和公式时，一定要就
q?1
和
q?1
分类讨论（除非已知中有
q ?1
）.
【反馈检测4】已知等比数列
?
a
n
?
中，
a
1
=1,S
3
=3
,则等比数列的公比
q< br>= .

分类讨论情形30
数列
{|a
n
|}
求和时一般要就
n
分类讨论.
【例5】设
S
n
为等差数列
{a
n
}
的前
n
项和，且
a
1
??21
，
S
3
??48
.
①求
{a
n
}
的通项公式； ②求
{|a
n
|}
的前
n
项和
T
n
.

当
n?5
时，
T
n
?|a
1|?|a
2
|?????|a
n
|??a
1
?a
2
????a
5
?a
6
?????a
n
??S< br>5
?S
n
?S
5

?S
n
?2S< br>5
?
n5547
(?21?5n?26)?2?[(?21?1)]?n
2
?n?110

2222
?
5
2
47n
?n?(n?5)
?
?
22
综上所述，
T
n
?< br>?

547n
?
n
2
??110（n>5)
?
?22
【点评】（1）要对数列
{|a
n
|}
求和，由于 含有绝对值，所以先要确定数列的哪些项是正数，哪些项是负
数，哪些项是零？ （2）分类讨论一般以正负交界的项为标准来分类讨论. 不能直接求出
T
n
?
5
2
47
n?n?110
，因为数列不一定有5项以上，也可能只有1项、 2项等，所以要分类讨论.
22
【反馈检测5】已知等比数列{
a
n
}中，
a
1
?64
,公比
q?1
,
a
2
,a
3
,a
4
又分别是某等差数列的第
7
项，第< br>3
项，第
1
项.

(1)求
a
n；(2)设
b
n
?log
2
a
n
,求数列{|b
n
|}
的前
n
项和
T
n
.



分类讨论思想情形之26-30参考答案
【反馈检测1答案】（1）0.4. （2）0.6
【反馈检测1详细解析】（1）解：如图，由平面几何知识：

当
AD?O B
时，
OD?1
；当
OA?AE
时，
OE?4
，< br>BE?1
．

【反馈检测2答案】
B?60
?
，< br>S
DABC
=63
；
B=120，S
DABC
=33
.

【反馈检测2详细解析】由正弦定理
0
b313
ab< br>得
sinB?sinA?

?
??
sinAsinB
a
23
22
?
?
∵
0
?
?B?180?
且
a?b
，∴
A?B
，∴
B?60
或
120
，
??
当
B?60
时，
C?90
,S
?ABC
?
11
?
当
B?120
?
时，
C?30
，
S
?ABC
?absinC?33
.
absinC?63
，
22
【反馈检测3答案】（1）
a
n
?n
；（2）详见解析.
【反馈检测3详细解析】（1）a
n
,s
n
,a
n
成等差数列
22*
?a
n
?a
n
?2S
n
,当n?1时，a
1?a
1
2
?2a
1
,?a
1
?1?a
n?1
?a
n?1
?2S
n?1
?
n?2且n?N
?

2222
a
n
?a
n?1
?a
n?a
n?1
?2a
n
?a
n
?a
n?1
?a
n
?a
n?1
?(a
n
?a
n?1
)(a
n
?a
n?1
?1)?0

?a
n
?a
n?1
?1

2

?
?
a
n
?
是等差数列
a
1
?1,d? 1?a
n
?n

（2）
b
n
?
lnxln x11
?,x?1,e?0?lnx?1?当n?2时，b??

??
n222
a
n
nnn
?
n?1
?
111
??2??2

n?1nn
?
11111
??T
n
?1?1????
n?1n223

【反馈检测4答案】
1
或
?2
.
1-q
3
=31+q+q
2
=3q
2
+q-2=0
【反馈检测4详细解析】 当
q?1
时，显然满足题意.当
q?1
时，
1-q

q=-2或q=1(舍）
综合得
q?1
或
q??2
. ?
n
2
13
??n(n?7),
?
1
n?1< br>?
22
【反馈检测5答案】（1）
a
n
?64?()
；（2）
T
n
=
?

2
2
?
n< br>?
13
n?42(n?7).
?
?22

7nn2
13
n?7
时，
T
n
?b
1
??? ??b
7
?b
8
?????b
n
?2S
7
?S
n
?2?(6?0)?(6?7?n)??n?42

2222
?
n
2
13
??n(n?7),
?
?
22
故
T
n
=
?

2
?
n
?
13
n?42(n?7).
?
?22
【方法讲评】
分类讨论情形31 放缩法证明数列不等式时必要时需要分类讨论.
【例1】设数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
.已 知
a
1
?1
,
2S
n
12
?a
n ?1
?n
2
?n?
,
n?N
*
.
n33

(1) 求
a
2
的值；(2) 求数列
?
a
n
?
的通项公式；(3) 证明:对一切正整数
n
,有
11
??
a
1
a
2
?
17
?
.
a
n
4
2S
n
12
?a< br>n?1
?n
2
?n?
，
n?N
?
.
n33
12

?
当
n?1
时，
2a1
?2S
1
?a
2
??1??a
2
?2
又
a
1
?1
，
?a
2
?4

33
2S
12
（2）解：
n
?a
n?1
?n
2
?n?
，
n?N
?
.
n33
【解析】(1) 解：
n
?
n?1
??
n?2
?
12
?

2S
n
?na
n?1
?n
3
?n
2
?n?na
n?1
?
①
333

2*
当
n?1
时，上式显然成立.
?a
n
?n,n?N

2*
（3）证明：由（2）知，
a
n
?n,n?N

①当
n?1
时，
17
?1?
，
?
原不等式成立.
a
1
4
1117
??1??
,
?
原不等式 亦成立.
a
1
a
2
44
②当
n?2
时,
③当
n?3
时,
n
2
?
?
n?1
?
?
?
n?1
?
,?
111
???
a< br>n
1
2
2
2
11
?

2
n
?
n?1
?
?
?
n?1
?
?
11
?

n?2?nn?1?n?1
??????
?
11
??
a
1
a
2
??
111
?1???
n
2
1?32?4