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浅谈高中数学中的替换思想-最新教育文档

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-21 16:56
tags:高中数学思想

高中数学切线方程填空题-高中数学不等式的解法步骤

2020年9月21日发(作者:贺绿汀)


浅谈高中数学中的替换思想

替换思想是数学中的重要思想,在中学数 学中的替换思想
更为重要,学生在学习时这样那样的问题,就此笔者谈谈自己粗
浅的认识,不当 之处,敬请批评指正。
一、 公式推导中的替换思想
三角函数中,在推导出cos(α+β)=
cosαcosβ- sinαsinβ后,由于α、β、∈R,因此,用-β替换
式中β便得cos(α-β)= cosα cosβ+sinαsinβ,而不需要再
进行繁琐的推导。同理,在推导出sin(α+β)、tan (α+β)的公
式后也进行同样的替换便得sin(α-β)、tan(α-β)的公式。
再如由cos(α+β)= cosαcosβ-sinαsinβ, α与β有
可能相等,因此用α替换式中β后便得二倍角公式:
cos2α=cos2αsin2α.同理可推出其它二倍角公式。
二、 求函数解析式及解方程中的替换思想
在求函数解析式时,通过替换未知数,可以使解析式轻而易
举求出,例如:
设函数f(x)满足f(x)-2 f(x)= x, 求f(x)的解析式
分析:欲求f(x),只需设法消去f(x)即可,显然x≠0,所以可
以用x替换式中x, 从而得到f(x)与f(x)的另一关系式,
解:∵ f(x)-2 f(x)= x……(1)
显然x≠0, ∴用x 替换x得


f(x)-2 f(x)= x……(2)
由(1)(2)消去f(x)得f(x)=- f(x)- f(x)
在解方程时,通过适当的替换可使很难求解的问题变成常见
的方程问题,从而使问题得到解决,如:
若方程4x+(m-3)?2 x + m=0有两个不相等的实根, 求m的
取值范围。
解:设2x=t,则原方程为t2 + (m-3)t+ m=0
∵2 x= t>0,
∴原方程有两个不相等的正根
∴有 (m-3)2-4m>0
-(m-3) >00<-m<1
m>0
三、 对称中的替换思想
对称中的替换思想尤为重要,是替换思想最精彩的体现。
对于曲线C: f(x,y)=0,(函数y= f(x)也可看作方程
f(x ,y)=0)
1. 用-x换x(y不变)后所得曲线C1: f(-x ,y)=0与曲线C:
f(x ,y)关于y轴对称。
2. 用-y换y(x不变)后所得曲线C2: f(x,-y)=0与曲线
C: f(x ,y)=0, 关于x轴对称。
3. 用-x换x,同时用-y换y后所得曲线C3:f(-x,-y)=0
与曲线 C: f(x,y)=0, 关于原点对称。


4. 用2a-x换x,(y不变)后所得曲线C4:f(2a-x , y)=0
与曲线C: f(x ,y)=0, 关于直线x=a对称。
5. 用2b-y换y, (x不变)后所得曲线C5:f(x ,2b-y)=0与
曲线C: f(x ,y)=0, 关于直线y=b对称。
6. 用x换y,同时用y换x(即x、y互换)后所得曲线C6:
f(y ,x)=0与曲线C: f(x ,y)=0, 关于直线y=x对称。
7. 用-x换y,同时用- y换x后所得曲线C7:f(-y,-x)=0与
曲线C: f(x ,y)=0, 关于直线y=-x对称。
8. 用2a-x换x ,同时用2b-y换y后所得曲线C8:
f(2a-x ,2b-y)=0与曲线C: f(x ,y)=0, 关于点(a ,b)对称。
四、 利用替换可使对称问题简便
如:已知函数y=x2+x与y=g(x)的图象关于(-2 ,3)对称,求
g(x)的解析式?
分析: 函数y=x2+x与y=g(x)的图象关于点(-2 ,3)对称,所
以y=g(x)的图象上任意一点m(x ,y)关于点(-2 ,3)的对称点
m′(x′,y′)在函数y=x2 + x的图象上,即y′=x′2 + x′,关
键是找出x、y与x′、y′的关系。
解:设函数g(x)图象上任意一点m(x ,y)关于点(-2 ,3)的对
称点为m′(x′,y′)则
(实际上,此题目是用-4-x替换式中x ,同时用6-y替换式中
y便得)
五、 曲线的平移与伸缩中的替换思想


在曲线的平移与伸缩中,变换思想也体现了强大的功能,特
别是作图,可以使复杂的的问题简单化。
事实上,对于曲线f(x ,y)=0,用x + a换x ,同时用y + b
换y后所得曲线C′: f(x + a ,y + b)=0,是将曲线C: f(x ,y)=0
向右(a<0或者向左(a>0)平移a个单位,再向上(b<0或者向下
(b>0)平移b个 单位而得。
总之, 替换思想在高中数学中占有重要的地位,教师在教学
时应该引起高度的重视。
注:“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF
格式阅读原文。”

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