刘畅高中数学必修一教学-城固高中数学哪个版本
数学破题36计
第11计 耗子开门 就地打洞
?
●计名释义
?
《说唐》中有这样一个故事.唐太宗征北,困在木阳城,绝粮.军师献
计,沿着鼠洞挖去,
可能找到粮食.结果,真的在地下深处发现了粮仓.太宗嘉奖耗子的牙啃立功,并题
诗曰:鼠
郎个小本能高,日夜磨牙得宝刀,唯恐孤王难遇见,宫门凿出九条槽.?
庞大的数学
宝库也是众多的“数学耗子”啃穿的.你可知道,前1万个质数就是这些耗
子们一个个啃出来的,七位数
字对数表也是这样啃出来的.?
数学解题,当你无计可施,或者一口难吞时,那就决定“啃”吧.??
●典例示范
?
【例1】 已知f
(x)=
3
1?2x
,判定其单调区间.?
【分析】 用求导法研究单
调性当然可行,但未必简便,直接从单调定义出发,循序渐进,
也可将“单调区间”啃出来.?
【解答】 设x
1
,f (x
1
)-f
(x
2
)=
3
1?2x
-
3
1?2x
.?
【插语】 x
1
,x
2都在根号底下,想法把它们啃出来.有办法,将“分子有理化”.?
【续解】
3
1?2x
1
?
3
1?2x
2
[KF(S]3[]1-2x?1[KF)]-[KF(S]3[]1-2x?2[KF)]?
=<
br>(
3
1?2x
1
?
3
1?2x
2
)
(
3
(1?2x
1
)
2
?
3
(1?2x<
br>1
)(1?2x
2
)?
3
(1?2x
2
)<
br>2
)
3
(1?2x
1
)?
3
(1?2x1
)(1?2x
2
)?(1?2x
2
)
3
22
22
易知
3
(1?2x
1
)?
3
(1?2
x
1
)(1?2x
2
)?
3
(1?2x
2
)
=△>0.?
故有原式=
2(x
1
?x
2
)
<0.?
?
故f (x)=
3
1?2x
的增区间为(-∞,+∞).?
【点评】 耗子开门是一个“以小克大,以弱克强”的策略.?函数的单调法即不等式的比
较法.方法基础,可靠,只要有“啃”的精神,则可以透过形式上的繁杂看到思维上的清晰
和简捷.??
【例2】 (04·天津卷)从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛.设随机变量ξ
表示所选3人中女生的人数.?
(Ⅰ)求ξ的分布列;?
(Ⅱ)求ξ的数学期望;?
(Ⅲ)求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率.?
【思考】
本题设问简单,方向明确,无须反推倒算,只要像耗子开门,牙啃立功就是了.
C
3
1
4
【解答】 (Ⅰ)6人中任选3人,其中女生可以是0个,1个或2个,P(ξ=0)=
3
?
;
C
6
5
12
1C
2
CC?C
1
3
?P(ξ=1)=
4
32
?
;P
(ξ=2)=
4
3
2
?
,故ξ的分布列是:?
5
5
C
6
C
6
ξ
P
(Ⅱ)ξ的数学期望是:?
Eξ=0×
0 1 2
1
5
3
5
1
5
131
+1×+2×=1.?
555
4
.??
5
(Ⅲ)由(Ⅰ),所选3人中女生人数ξ≤1的概率是:P(ξ≤1)=P
(ξ=0)+P(=1)=
【例3】 (04·上海,20文)如图
,直线y=
11
x与抛物线y=x
2
- 4交于
28
A
、
B两点,线段AB的垂直平分线与
直线y=
-5交于点Q.?
(1)求点Q的坐标;?
(2)当P为抛物线上位于AB下方
(含点A
、
B)的动点时,
求△OPQ的面积的最大值.?
【思考】 同例1一样,本题设问明确, 例3题图
思路并不复杂,只须按所设条件逐一完成就是,只是要严防计算失误.?
1
2
?
y?x?4,
?
?
8
?x
2
?4x?32?0
.
? 【解答】 (1)由
?
?
y?
1
x
?<
br>2
?
设AB中点为M(x
0
,y
0
),则x
0
=
x
1
?x
2
1
?2
,y
0
=x
0
=1.?
2
2
故有M(2,1),又AB⊥MQ,
∴MQ的方程是:y-1=-2(x-2),令y=-5,得x=5,点Q的坐
标为(5,?-5?).
?
(2)由(1)知|OQ|=5
2
为定值.?
设P(x,
?<
br>1
2
x-2)为抛物线上
AB
上一点,由(1)知x
2
-4x-32≤0,得x∈[-4,8],又直线OQ
8
的方程为:
x+y=0,点P到直线OQ的距离:?
|x?
d=
1
2
x?2|
|(x?4)
2
?48|
8
?
,显然d≠0,(否
则△POQ不存在),即x≠4
3
-4,为
282
使△POQ面积最大只须d
最大,当x=8时,d
max
=6
2
.?
∴(S
△
POQ
)
max
=
11
·|OQ|·d
max
=·5
2
·6
2
=30.?
?
22
【例4】 O为锐角△ABC的外心,若S
△
BOC
?,S
△
COA
?,S
△
AOB
成等差数列,求t
anA·tanC
的值.?
【解答】 如图,有:S
△
BOC
+S
△
AOB
=2S
△
COA
.
不妨设△ABC外接圆半径为1,令∠BOC=α=2A,
∠AOC=β=2B,∠AOB=r=2C,
则有:
11
sinα+sinγ=sinβ,
22
即sin2A+sin2C=2sin2B.?
2sin(A+C)cos
(A-C)= 4sinBcosB.?
例4题解图
∵sin(A+C)=sinB≠0,?cosB= -cos(A+C).?
∴cos (A-C)+2cos (A+C)=0,?cosAcosC +sinAsinC
+2(cosA+cosC – sinAsinC )=0.?
3cosAcosC=sinAsinC,故tanAtanC=3.?
【点评】 本例
中的“门”不少,其中“同圆半径相等”是“门”,由此将面积关系转换成
有关角的关系;以下通过圆心
角与圆周角的转换,和差化积与倍角公式,诱导公式、和角公
式、同角三角函数关系等依次转换,这便是
一连串的“门”,逐一啃来,从而最终达到解题
目的.??
●对应训练
?
1.在棱长为4的正方体ABCD
—
A
1
B
1
C
1
D
1
中,
O是正方形A
1
B
1
C
1
D
1
的中心,点P在
棱CC
1
上,且CC
1
= 4CP.?
(Ⅰ)求直线AP与平面BCC
1
B
1
所
成的角的大小(结果用反三角函数值表示);
(Ⅱ)设O点在平面D
1
AP上的
射影是H,求证:D
1
H⊥AP;?
(Ⅲ)求点P到平面ABD
1
的距离.?
第1题图
2.证明不等式:
1?
1
2
?
1
3???
1
n
?2n
(n∈N
+
).?
1<
br>?
2
3
?
3?
?
?
??
?
22
?
??
?sinx?
3.设x∈
?
?
,
?
?
,f (x)=
?
sinx?cosx?
??
,求f
(x)的最大值与
?
4224
43
??
??
??
最
小值.?
4.若x
,
y,z∈R
+
,且x+y+z=1,求函数u
=
?
?
1
?
?
1
?
?
1
?
?1
?
?
?1
?
?
?1
?
的最
小值.??
??
?
x
?
?
y
?
?
z
?
●参考答案
?
1.建立如图的空间直角坐标系,有:?
A
(4,0,0),P(0,4,1),B(4,4,0),B
1
(4,4,4),D
1
(0,0,4).?(Ⅰ)连BP,∵AB⊥平面BCC
1
B
1
.?
∴AB⊥BP,∠APB是直线AP与平面BB
1
C
1
C的夹角,∵
|BP|
=
4
2
?1?17.
?
∴tan∠APB=
|AB|
|BP|
?
4
17
.?
17
4
17
.?
17
∴AP与平面BB
1
C
1
C所成角为arctan
(Ⅱ)连D
1
B
1
,则O∈DB
1
.?
∵
D
1
B
1
=(4
,4,0),
AP
=(-4,4,1),?
∴
D
1
B1
·
AP
=-16+16+0=0.?
即
AP
⊥D
1
B
1
,也就是
A
1
D
⊥
D
1
O
.? 第1题解图
已知OH⊥面AD
1
P,∴AP⊥D
1
O(三垂线定理)?
(Ⅲ)在DD
1
上取|
DQ
|=1,有Q(0,0,1),作QR⊥AD<
br>1
于R,∵RQ∥AB,∴PQ∥面ABD
1
,
∵AB⊥面AA
1
D
1
D,∴AB⊥QR,则QR⊥面ABD
1
,QR之长是Q到
平面ABD
1
的距离,
11
|
AC
1
|·|QR
|=]|
AD
|·|
D
1
Q
|.?
22
3
2
.? 即:4
2
·|
QR
|=
4×3,∴|
QR
|=
2
3
2
.? 已证PQ
∥<
br>ABD
1
,∴点P到平面ABP
1
的距离为
2
∵S<
br>△
AD
1
Q
=
点评:虽是“综合法”证题,但也并非“巷子
里赶猪,直来直去”,特别(Ⅱ),(Ⅲ)两问,
本解都用到了若干转换手法.?
2.只须证
1111
?????n,
?
2
22232n<
br>右式=
1111111
??
?
????
?
1?1
2?2n?n
2
1?22?3n?1?n
1
?(2?1)?(
3?2)???(n?n?1)
2
1
=
n??n
.? <
br>2
=
∴
1111111
?????n,
成立,从而1+
?????2n.
?
2
22232n23n
1
?
3?
?
sin
?
2x?
?
+.??
2
?
6
?
8
3.先将f
(x)化为同一个角的单一三角函数,得f (x)= -
当x∈
?
?
??
??
??
??
??
??
?
?
,?
?
时,2x-
?
?
?
,
?
?
,故f (x)为
?
?
,
?
?
,上的减函数,当x=时,
3
3
?
6
?
32
?
3
??
4
?
4
[f(x)]
min
=
?
3?43
,?当x=时,?[f (x)]
max
=-.?
4
88
4.注意到
2xy
2xy
111?xy?z
2yz
1
,同理:,,
?1????1?
?1?
xxxxzz
yz
∴u≥
8xyz
=8.??
xyz
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