重点高中数学数形结合思想

重点高中数学数形结合思想

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2

难点37 数形结合思想
数形结合思想在高考中占 有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划
与几何图形的直观描述相结 合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合.应用数形
结合思想，就是充分考 查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将
数量关系和空间形式 巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决.运用这一数学思想，要熟练掌握一些概念
和运算的几何意 义及常见曲线的代数特征.
●难点磁场
1.曲线y=1+
4?x
2
(–2≤x≤2)与直线y=r(x–2)+4有两个交点时，实数r的取值范围
.
2.设f(x)=x
2
–2ax+2,当x∈［–1,+∞)时，f(x)＞a恒成立 ，求a的取值范围.
●案例探究
［例1］设A={x｜–2≤x≤a}，B={y｜y=2 x+3，且x∈
A
}，C={z｜z=x
2
，且x∈
A
}，若C
?
B，求实数a
的取值范围.
命题意图：本题借助数形结合，考查有关集合关系运算的题目.属★★★★级题目.
知识依托 ：解决本题的关键是依靠一元二次函数在区间上的值域求法确定集合C.进而将C
?
B用不等式
这一数学语言加以转化.
错解分析：考生在确定z=x
2
，x∈［–2,a ］的值域是易出错，不能分类而论.巧妙观察图象将是上策.不能
漏掉a＜–2这一种特殊情形. 技巧与方法：解决集合问题首先看清元素究竟是什么，然后再把集合语言“翻译”为一般的数学语言，
进而分析条件与结论特点，再将其转化为图形语言，利用数形结合的思想来解决.
解：∵y=2x+3在［–2, a］上是增函数
∴–1≤y≤2a+3，即B={y｜–1≤y≤2a+3}
作出z=x
2
的图象，该函数定义域右端点x=a有三种不同的位置情况如下：

①当–2≤a≤0时，a
2
≤z≤4即C={z｜z
2
≤z≤4}
1
与–2≤a＜0矛盾.
2
②当0≤a≤2时，0≤z≤4即C={z｜0 ≤z≤4}，要使C
?
B，由
要使C
?
B,必须且只须2a+3≥4 得a≥
图可知：
必须且只需
?
解得
?
2a?3?4

0?a?2
?
1
≤a≤2
2
③当a＞2时，0≤z≤a< br>2
，即C={z｜0≤z≤a
2
}，要使C
?
B必须且只需
?
a
2
?2a?3
解得2＜a≤3
?
?
a?2

3

④当a＜–2时，A=
?
此时B=C=
?
，则C
?
B成立.
综上所述，a的取值范围是(–∞,–2)∪［
1
,3］.
2
［例2］已知acos
α
+bsin
α
=c, acos
β
+bsin
β
=c(ab≠0,
α
–
β
≠kπ, k∈
Z
)求证：
cos
2
?
?
?2
c
2
?
2
.
2
a?b
命题意图： 本题主要考查数学代数式几何意义的转换能力.属★★★★★级题目.
知识依托：解决此题的关键在于 由条件式的结构联想到直线方程.进而由A、B两点坐标特点知其在单位
圆上.
错解分析：考生不易联想到条件式的几何意义，是为瓶颈之一.如何巧妙利用其几何意义是为瓶颈之二.
技巧与方法：善于发现条件的几何意义，还要根据图形的性质分析清楚结论的几
何意义，这样才能巧用数形结合方法完成解题.
证明:在平面直角坐标系中，点A（cos< br>α
,sin
α
）与点B（cos
β
,
sin
β
）是直线l:ax+by=c与单位圆x
2
+y
2
=1的两个交 点如图.
从而：｜AB｜
2
=(cos
α
–cos
β)
2
+(sin
α
–sin
β
)
2

=2–2cos(
α
–
β
)
又∵单位圆的圆心到直线l的距离
d?
|c|
a?b
22

由平面几何知识知｜OA｜
2
–(
1
｜AB｜)
2
=d
2
即
2
2?2cos(
?
?
?
)c
2
2
1??d?
2

4
a?b
∴
cos
2
?
?
?
2
c
2
?
2.
2
a?b
●锦囊妙计
应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化：
（1）集合的运算及韦恩图
（2）函数及其图象
（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象
（4）方程（多指二元方程）及方程的曲线
以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借 助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方
法.
以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合.
●歼灭难点训练
一、选择题
1.（★★★★）方程sin(x–
?
1
)=x的实数解的个数是( )
4
4
A.2 B.3 C.4 D.以上均不对
2.（★★★★★）已知f(x)=(x–a)( x–b)–2（其中a＜b
)
，且
α
、
β
是方程f(x)= 0的两根（
α
＜
β
)
，则
实数a、b、
α
、
β
的大小关系为( )
A.
α
＜a＜b＜
β
B.
α
＜a＜
β
＜b

4

C.a＜
α
＜b＜
β
D.a＜
α
＜
β
＜b
二、填空题
3.（★★★★★）( 4cos
θ
+3–2t)
2
+(3sin
θ
–1+2t)< br>2
，(
θ
、t为参数)的最大值是 .
4.（★★ ★★★）已知集合A={x｜5–x≥
2(x?1)
},B={x｜x
2
–a x≤x–a}，当AB时，则a的取值范
围是 .
三、解答题
5.（★★★★）设关于x的方程sinx+
3
cosx+a=0在（0,
π
）内有相异解
α
、
β
.
（1）求a的取值范围；
（2）求tan(
α
+
β
)的值.
6.（★★★★）设A ={(x,y)｜y=
2a
2
?x
2
,a＞0}，B={(x,y) ｜(x–1)
2
+(y–3)
2
=a
2
,a＞0},且A∩ B≠
?
，求
a的最大值与最小值.
x
2
y
2?
7.（★★★★）已知A（1，1）为椭圆=1内一点，F
1
为椭圆左焦点，P 为椭圆上一动点.求｜PF
1
｜
95
+｜PA｜的最大值和最小值.
8.（★★★★★）把一个长、宽、高分别为25 cm、20 cm、5 cm的长方体木盒从一个正方形窗口穿过，
那么正方形窗口的边长至少应为多少？

参 考 答 案
●难点磁场
1.解析：方程y=1+
4?x
2< br>的曲线为半圆，y=r(x–2)+4为过（2，4）的直线.

答案：（
53
,
］
124
2.解法一：由f(x)＞a， 在［–1,+∞)上恒成立
?
x
2
–2ax+2–a＞0在［–1,+∞)上 恒成立.考查函数g(x)=x
2
–2ax+2–a的图象在［–1,+∞］时位于x轴上方. 如图两种情况：
不等式的成立条件是：(1)Δ=4a
2
–4(2–a)＜0
?
a∈(–2,1)


5

?
??0
?
?
a∈(–3, –2
]
，综上所述a∈(–3,1). (2)
?
a??1
?
g(?1)?0
?
解法二：由f(x)＞a
?
x
2
+2＞ a(2x+1)
令y
1
=x
2
+2,y
2
=a( 2x+1),在同一坐标系中作出两个函数的图象.
如图满足条件的直线l位于l
1
与l
2
之间，而直线l
1
、l
2
对应的a值（即直线的斜率 ）分别为1，–3，
故直线l对应的a∈(–3,1).
●歼灭难点训练
一、1 .解析：在同一坐标系内作出y
1
=sin(x–
1
?
)与y
2
=x的图象如图.
4
4

答案：B
2.解析：a, b是方程g(x)=(x–a)(x–b)=0的两根，在同一坐标系中作出函数f(x)、g(x)的图象如图 所示：


答案：A
二、3.解析：联想到距离公式，两点坐标为A(4 cos
θ
,3sin
θ
),B(2t–3,1–2t)
点A的几何图形是椭圆，点B表示直线.
考虑用点到直线的距离公式求解.
答案：
72

2
4.解析：解得A={x｜x≥9或x≤3}，B= {x｜(x–a)(x–1)≤0}，画数轴可得.
答案：a＞3
三、5.解：①作出y= sin(x+
aaa
?
)(x∈(0,
π
))及y=–的图象，知当 ｜–｜＜1且–≠
222
3
3
时，曲线与直线有两个交点，故a∈(–2, –
3
)∪(–
3
,2).
2
②把sin
α
+
3
cos
α
=–a,sin
β
+
3
c os
β
=–a相减得tan
故tan(
α
+
β
)= 3.
6.解：∵集合A中的元素构成的图形是以原点O为圆心，
2
a为半径的半圆； 集合B中的元素是以点O′
?
?
?
2
?
3
，
3

6

(1,
3
)为圆心，a为半径的圆.如图所示

∵A∩B≠
?
，∴半圆O和圆O′有公共点.
显然当半圆O和圆O′外切时，a最小
2
a+a=｜OO′｜=2,∴a
min
=2
2
–2
当半圆O与圆O′内切时，半圆O的半径最大，即
2
a最大.
此时
2
a–a=｜OO′｜=2,∴a
max
=2
2
+2.
x
2
y
2
??1
可知a=3,b=
5
,c=2，左焦 点F
1
(–2,0),右焦点F
2
(2,0).由椭圆定义，｜PF
1
｜=2a–｜7.解：由
95
PF
2
｜=6–｜PF
2< br>｜,
∴｜PF
1
｜+｜PA｜=6–｜PF
2
｜+｜PA｜ =6+｜PA｜–｜PF
2
｜
如图：

由｜｜PA｜–｜PF< br>2
｜｜≤｜AF
2
｜=
(2?1)?(0?1)?2
知
–
2
≤｜PA｜–｜PF
2
｜≤
2
.
当P在AF
2
延长线上的P
2
处时，取右“=”号；
当P在AF
2
的反向延长线的P
1
处时，取左“=”号.
即｜PA｜–｜PF
2
｜的最大、最小值分别为
2
，–
2
.
于是｜PF
1
｜+｜PA｜的最大值是6+
2
,最小值是6–
2
.
8.解：本题实际上是求正方形窗口边长最小值.
由于长方体各个面中宽和 高所在的面的边长最小，所以应由这个面对称地穿过窗口才能使正方形窗口边
长尽量地小.
22

7

如图
设AE=x,BE=y,
则有AE=AH=CF=CG=x，BE=BF=DG=DH=y
?
x?102222
?
x?x?20
??
?
∴
?
2

?
52
22
?
?
y?
?
y?y?5
2
?
∴
AB?x?y?102?
52252
?
.
22

8