浅谈数形结合思想在高中数学中的几点应用

浅谈数形结合思想在高中数学中的几点应用

广东省普宁市城东中学（515300） 邱海泉
在解决数学问 题时，将抽象的数学语言同直观的图形相结合，实现抽象的概念与具
体形象的联系和转化，这就是数形结 合的思想．在高中数学中，数形结合是一条重要的
数学原则，主要体现在平面解析几何和立体几何中，在 处理边角关系的问题中也有较多
的应用．在解决集合问题、方程及不等式问题中，如果能注意数形结合的 思想的应用，
能使许多数学问题简单化．下面举一些例子作详细说明：
一、数形结合思想在解决集合问题中的应用．
1、利用韦恩图法解决集合之间的关系问题．一 般用圆来表示集合，两圆相交则表
示两集合有公共元素，两圆相离则表示两个集合没有公共元素．利用韦 恩图法能直观地
解答有关集合之间的关系的问题．如：
例1、有48名学生，每人至 少参加一个活动小组，参加数理化小组的人数分别为
28，25，15，同时参加数理小组的8人，同时 参加数化小组的6人，同时参加理化小组
的7人，问同时参加数理化小组的有多少人？
分析：我们可用圆A、B、C分别表示
参加数理化小组的人数（如右图），则三圆
的公共部分正好表示同时参加数理化小组
C（化）
A（数）
B（理）
的人数．用n表示集合的元素，则有：

n(A)?n(B)?n(C)?n(A? B)?n(A?C)?n(B?C)?n(A?B?C)?48

即：
28?25?15?8?6?7?n(A?B?C)?48

∴
n(A?B?C)?1
，即同时参加数理化小组的有1人．
?
， 已知
A?B?
?
2
?
,A?B?
?
1,9
?
,A?B?
?
4,6,8
?
.

小于10的自然数
例2、设
I?
?
求
A,B.

I
A∩B
A
3,5,7
１
分析：如图，用长方形表示全集I，
用圆分别表示集合A和B，用n表示集合

B
2
4,6,8
1,9

的元素，则有：
n(A)?n(B)?n(A?B)?n(A ?B)?I

从韦恩图我们可以直观地看出：
A?
?
2,3,5,7
?
,B?
?
2,4,6,8
?
．
2、利用数轴解决集合的有关运算和集合的关系问题．
例3、设
A?x|x
2
?16?0,B?x|x
2
?4x?3?0,I?R.

求
A?B,A?B,A?B,A?B.

分析:分别先确定集合A，B的元素，
????
－4 －２
。
·

·

。
０ １ ２ ３ ４
A?
?
x|?4?x?4
?
,B?
?
x|x?3或x?1
?，然后把它们分别在数轴上表示出来，从数轴上
的重合和覆盖情况可直接写出答案：

A?B?
?
x|?4?x?1或3?x?4
?
(公共部分)

A?B?I
(整个数轴都被覆盖)

A?B?
?
x|x??4或1?x?3或x?4
?
(除去重合部分剩下的区域)

A?B?
?
(除去覆盖部分剩下的区域)
例4、已知集合
A?
?
x|?1?x ?3
?
,B?
?
x|a?x?3a
?
,(a?0)

⑴若
A?B
，求
a
的范围.⑵若
B? A
，求
a
的范围．
分析：先在数轴上表示出集合A的范围，
要使
A?B
，由包含于的关系可知集合B应该
a
－１
。
。
①
3
３a
?
a??1
覆盖 集合A，从而有:
?
,这时
a
的值不可能存在．要使
B?A
，这时集合应该覆盖
3a?3
?
?
a??1
集合B,应有
?
成立．
?
3a?3
可解得
?1?a?1
为所求
a
的范围．
－１
。
a
。
②
3a
３
二、利用数形结合思想解决方程和不等式问题．
1、 利用二次函数的图像求一元二次不等式的解集．
y
y=x
2
-x-6
例5、解不等式
x
2
?x?6?0
．
分析：我们可先联想对应的二次函数
－2
0
3
x
y?x< br>2
?x?6
的图像草图．从
x
2
?x?6?0
解得

２

x
1
??2,x
2
?3知该抛物线与
x
轴交点横坐标为
-2，3，当
x
取交点两侧的值时,即
x??2或x?3
时， y?0
．即
x
2
?x?6?0
．故可得不等式
x
2
?x?6?0
.的解集为：
?
x|x??2或x?3
?
.同理,根据图像，我们还可以直观地看出：
?
x|?2?x?3
?
等等．
例6、求不等式
?x
2
?2x?3?0
的解集．
分析:我们先联想对应的二次函数
x
2
?x?6?0
的解集为
y
y??x
2
?2x?3
的图像草图，抛物线开口向下，
与
x
轴没有交点，很明显，无论
x
取任何值时
都有
y?0
．即
?x
2
?2x?3?0
,∴
?x
2< br>?2x?3?0

的解集为空集． 而
?x
2
?2x?3?0
的解集为全体实数．
0
x
y=-x
2
+2x-3
因此，我们要求一元二次不等式的解集时， 只要联想对应的二次函数的图像，确定
抛物线的开口方向和与
x
轴的交点情况，便可直 观地看出所求不等式地解集．
2、 利用二次函数的图像解决一元二次方程根的分布情况问题．
例7、
a
为何值时，方程
2a
2
x
2?2ax?1?a
2
?0
的两根在
?
?1,1
?
之内？
分析：显然
a
2
?0
,我们可从已知方程联想到
相应的二次函数
y?
2a
2
x
2
?2ax?1?a
2
的草图，从
图像上我们可以看出，要使抛物线与
x
轴的两个 < br>?
(a?1)
2
?0
?
f(?1)?0
?
?
1
?
1
交点在
?
?1,1
?
之间,必须满 足条件:
?
f(?a)?0
即
?
?a
2
?0

2
?
2
?
2
(a?1)?0
?
?f(1)?0
?
－1
y
x
1

?
2
1
a

x
2

0
1
x
从而可解得
a
的取值范围为
a?
22
．
或a??
22
例8、如果方程
x
2
?2ax?k?0
的两个实根在方 程
x
2
?2ax?a?4?0
的两实根之间，
试求
a
与
k
应满足的关系式．
分析：我们可联想对应的二次函数

３
0
y
y
1

y
2

x

y
1
?x
2
?2ax?k
,
y
2
?x
2
?2ax?a?4
的草图．
这两个函数图像都是开口向上，形状相同且有
公共对称轴的抛物线(如图)．要使方程
x
2
?2ax?k?0
的两实根在方程
x
2
?2ax?a ?4?0
的两实根之间，则对应的函数图像
y
1
与
x
轴的交 点应在函数图像
y
2
与
x
轴的交点之内，它等价于抛物线
y
1
的顶点纵坐标不大于零且大于抛物线
y
2
的顶点纵
坐标． 由配方方法可知
y
1
与
y
2
的顶点分别为：
222 2
P
1
?a,?a?k,P
2
?a,?a?a?4.故?a?a?4 ??a?k?0
．故可求出
a
与
k
应满足的
????
关系式为:
a?4?k?a
2
．
3、 利用函数图像解决方程的近似解或解的个数问题．
x
例9、解方程
3?2?x

分析:由方程两边的表达式我们可以
联想起函数
y?3
x
与y?2?x
,作出这两个
2
y
y=3
x

y=2-x
0
0.4
1 2
x
函数的图像,这两个函数图像交点的横坐标
为方程的近似解，可以看出方程的近似解为
x?0.4
．
例10、设方程< br>x
2
?1?k?1
，试讨论
k
取不同范围的值时其不同解的个 数的情况．
分析：我们可把这个问题转化为
确定函数
y
1
?x< br>2
?1
与
y
2
?k?1
图像交点
个数的情况，因函数
y
2
?k?1
表示平行于
－1
0
1
－1
y
1
x
x
轴的所有直线，从图像可以直观看出:①当
k??1
时，
y1
与
y
2
没有交点，这时原方程
无解;②当
k??1< br>时，
y
1
与
y
2
有两个交点,原方程有两个不同的 解;③当
?1?k?0
时，
y
1
与
y
2
有四个不同交点，原方程不同解的个数有四个；④当
k?0
时，
y
1
与
y
2
有三个交
点，原方程不同解的个数有三个；⑤当
k?0时
y
1
与
y
2
有两个交点，原方程不同解的个
数有三个．
4、 利用三角函数的图像解不等式．
例11、解不等式
2s in
2
x?(3?1)sinxcosx?(3?1)cos
2
x?1
．

４

分析:原不等式进行适当的变形后可得到：
2

sinx?(3?1)sinxcoxs?3co
2
sx?0

又∵
cos
2
x?0
,∴不等式两边同时除以
cos
2
x
可得：
tan
2
x?(3?1)tanx?3?0
． ∴
1?tanx?3

下面关键分析如何求
1?tanx?3
的解集 ．我们可以联想正切函数
y?tanx
的图像,在区
?
??
?
间
?
?,
?
内作出
y?tanx
的函数
?
22
?
y
P
2
P

1
图像，再作出两平行于
x
轴的直线
y?1
和
3

1
y?3

y=1

?
4
y?3
与
y?tanx
的图像相交于点
P
1
,P
2
．

P
1
,P
2
两点对应的横坐标分 别为
x
1
?

?
?
2
?
3
0

?
3

?
2

x
?
4
,x
2
?
．
－1
又因为正切函数
y?tanx
的周期为
?
,
??
??
故可求得所求不等式的解集为:
?
x|k
?
??x?k
?
?,k?Z
?
.
43
??
例12、解不等式
c osx?sinx,x?
?
0,2
?
?

y
分析:从不等式的两边
1
y?sinx
2

y?cosx
1

表达式我们可以看成两个
函数
y
1
?cosx,y
2
?sinx
.
在
?
0,2
?
?
上作出它们的图像,
得到四个不同的交点,横坐标分别为:
0
?
2

?

3
?
2

2
?

x
?
3
?
5
?
7
?
4
,
4
,
4
,
4
,而当
x
在区间
?
?< br>??
3
?
5
?
??
7
?
?
,2
?
?
内时,
y
1
?cosx
的图像都在
y
2
?sinx
的图像上方．所以可得
?
0,
?
,
?
,
?
,
?
?
4
??
44??
4
?
?
3
?
5
?
7
?< br>??
到原不等式的解集为：
?
x|0?x?或?x?或?x?2
??
．
4444
??
三、利用函数图像比较函数值的大小．
一些数值大小的比较，我们可转化为对应函数的函数值，利用它们图像的直观性进
行比较．如：

５

例13、试判断
0.3
2
, log
2
0.3,2
0.3
三个数间的大小顺序．
分析：这三个数我们可以看成三个
函数
y
1
?x
2
,y< br>2
?log
2
x,y
3
?2
x
在
x ?0.3
时，
1
y
3
?2
x

y
y
1
?x
2

?
3

P
P
1

所对应的函数值．在同一坐标系内作出这
三个函数的图像(如图)，从图像可以直观
地看出当
x?0.3
时，所对应的三个点
－1
0
?
y
2
?log
2
x

1
0.3
x
?
P

2

P
1
,P
2
,P
3
的位置，从而可得出结论：
2
0.3
?0.3< br>2
?log
2
0.3
．
四、利用单位圆中的有线段解决三角不等式问题．
在教材中利用单位圆的有向线段表示角的正弦线，余 弦线，正切线，并利用三角函
数线可作出对应三角函数的图像．如果能利用单位圆中的有向线段表示三角 函数线，应
用它解决三角不等式问题,简便易行．
1
例14、解不等式
sinx??
．
2
y
分析：因为正弦线在单位圆中
是用方向平行于
y
轴的有向线段来
0
x
表示．我们先在
y
轴上取一点P，使
OP??< br>11
，恰好表示角
x
的正弦线
sinx??
,
22
P
1
?
1
2
P

P
2

过点P作
x
轴的平行线交单位圆于点
P1
,P
2
,
7
??
1
?
?
3
?
?
,?
?
在
?
?,
?
内，< br>OP
分别对应于角，(这时所对应的正弦值恰好为)．而
,OP
12
6 6
2
?
22
?
要求
sinx??
1
的解集 ，只需将弦
P
1
P
2
向上平移，使
OP
1
,OP
2
重合(也即点P向上平移至
2
与单位圆交点处)．这样
OP
1
,OP
2
所扫过的范围即为所求的角．原不等式的解集为：
?7
?
??
x|2k
?
??x?2k
?
?,k? Z
?
．
?
66
??
例15、解不等式
cosx?

1

2
６

分析：根据余弦线在单位圆中是
方向平行于
x
轴的有向线段．先在
x
轴
上取点P，使
OP?
1
，恰好表示角
x
的余
2
y
P
1
P

0
弦线
cosx?
1
，过点P作
y
轴的平行线
2

1
2

x
?
?
3
?
?
交单位圆于点
P
1
,P
2
，在
??,
?
内，
OP
1
,OP
2

22< br>??
P
2
分别对应于角
?
3
,?
?
3
， (这时所对应的余弦值恰好为
11
)．而要求
cosx?
的解 集，只需
22
将弦
P
使
OP
这样
OP
1< br>P
2
向右平移，
1
,OP
2
重合(也即点P向右平移 至与单位圆交点处)．
1
,OP
2
??
??
所扫过的范围即 为所求的角．原不等式的解集为：
?
x|2k
?
??x?2k
??,k?Z
?
．
33
??

７