函数与方程思想在高中数学中的应用情形归纳

BC
边上，且
EF?AB
．现沿
EF
将
?BEF
折起到
?PEF
的位置，使
PE?AE
．

（Ⅰ）证明：
EF?
平面
PAE
；
（Ⅱ）记
BE?x
， V
?
x
?
表示四棱锥
P?ACFE
的体积，求
V
?
x
?
的最大值.
【解析】（Ⅰ）证明：∵
EF?AB
，∴
?BEF??PEF?90?
，故
EF?PE
，而
AB ?PE?E
，
所以
EF?
平面
PAE
．
（Ⅱ）解：∵
PE?AE
，
PE?EF
，∴
PE?
平面
ABC
，即
PE
为四棱锥
P?ACFE
的高. < br>由高线
CD
及
EF?AB
得
EFCD
，∴
x EF
6
BEEF
x
，
?
，由题意知，∴
EF?< br>?
6
3
BDCD
36
∴
S
ACFE
?S
?ABC
?S
?BEF
?
116
2
6
2
?66?3??x?96?x
．
22612

所以当
x?6
时，
V
?
x
?
max?V
?
6
?
?126
．
【点评】本题求
V
?
x
?
(
V
?
x
?
表示四棱锥
P?ACFE
的体积)的最大值，利用了函数的思想，其中 的求
值也用到了方程的思想. 先建立函数
V(x)
，再利用导数来求函数的最大值. 可见，函数方程的思想是无处
不在的,它渗透在高中数学的每一章中,特别是解答最值、取值范围、值域 等问题时，我们要比较敏感地想
到函数的方法.

【反馈检测3】如图，已知三 棱柱
的中点，是的中点，点在直线
的侧棱与底面垂直，
上，且满足．
，，是

（1）当取何值时，直线
（2）若平面




解析几何中的函数方程思想
函数方程
解析几何中求斜率、截距 、半径、点的坐标、离心率、几何量等经常要用到方程的思想，求
情形四
变量的取值范围和最值等经常要用到函数的思想分析解答.
与平面
与平面所成的角最大？
，试确定点的位置． 所成的锐二面角为
y< br>2
x
2
【例5】已知
F
1
,F
2
分 别为椭圆
C
1
：
2
?
2
?1
的上、下焦点 ,
F
1
是抛物线
C
2
:x
2
?4y
的焦点,点
M
是
C
1
ab
与
C
2
在第二象限的交点, 且
|MF
1
|?.

（1）求椭圆
C
1
的方程；
（2）与圆
x
2?(y?1)
2
?1
相切的直线
l:y?k(x?t),kt?0
交椭
C
1
于
A,B
,若椭圆
C
1
上一点
P
满足
5
3
OA?OB?
?
OP
,求实数
?
的取值范围.
y

F
1

O

F
2

B

x

M


A

（2）设
A(x
1
,y
1
),B(x
2
, y
2
),P(x
0
,y
0
)
,则由
OA? OB?
?
OP
知,
x
0
2
y
0
2
x
1
?x
2
?
?
x
0
,y1
?y
2
?
?
y
0
,且
??1
, ①
34
又直线
l:y?k(x?t),kt?0
与圆
x
2
?(y?1)
2
?1
相切,所以有
|kt?1|
1?k
2
?1
,
由
k?0
,可得
k?
2t
(t??1,t?0)
②
1?t
2
?
y?k(x?t),
22222
(4?3k )x?6ktx?3kt?12?0
又联立
?
2
消去得
y
2
4x?3y?12,
?
6k
2
t3k
2
t
2
?12
且
??0
恒成立,且
x
1
?x
2
??
,
,x
1
x
2
?
22
4 ?3k4?3k
?6k
2
t8kt
8kt
P(,)
所以
y
1
?y
2
?k(x
1
?x
2
)?2kt?
,所以得
22
2
?
(4?3k)
?
(4?3k)
4?3k

【点评】（1）本题第1问求椭圆
C
1
的方程，利用了方程的思想，建立关于
a,b
的方程，从而求出 椭圆
C
1
的
方程.(2)第2问求实数
?
的取值范围，利用 了函数的思想，先建立函数模型
?
2
?
4
11
(
2
)
2
?
2
?1
tt
,t?0,t???
,
再利用基本不等式求函数的范围.
【反馈检测4】已知抛物线
C:y?2px(p? 0)
的焦点
F
到准线的距离为
线
l
交抛物线
C与
P,Q
两点(
P
在第一象限内).
(1)若
A与焦点
F
重合,且
|PQ|?2
.求直线
l
的方程;
(2)设
Q
关于
x
轴的对称点为
M
.直线
PM
交
x
轴于
B
. 且
BP?BQ
.求点
B
到直线
l
的距离的取值
范围.


函数方程思想思想情形之1-4参考答案
【反馈检测1答案】（1）;（2）;（3）. < br>，当
时，
解得∵
时，在上是增函数，∴
时，在上是减
2
1
.过点
A(x
0
,0)
(x
0
?
1< br>)
作直
2
8
【反馈检测1详细解析】（1）
即
函数， ∴
解得
即
;当，无最大值和最小值；当
，∴舍去，综上，的值分别为
1,0.
x.+kw

（3）原方程可化为
有两个不同的实 数解
，则
【反馈检测2答案】（1）
a?
，令
，且其中
，则
，记
，由题意知
得
k?0
.
9
5115
；（2）
f(x)
的单调增区间是
(1?,)
，
(,1?)
；
5
2222
1
15
5
（3）
a
的取 值范围是
(1,??)
.
f(x)
的单调减区间是
(??,?)< br>，
(?,1?)
，
(1?,??)
；
2
22
2
(ax
2
?2ax?1)e
x
【反馈检测2详细解析】(1)f
?
(x)?

(1?ax2
)
2
1
1
129
是函数
f(x)
的 一个极值点，所以
f
?
()?0
，即
a?a?1?0,a?
.
3
3
935
95915
9
而当
a?
时 ，
ax
2
?2ax?1?(x
2
?2x?)?(x?)(x?)，
5
59533
1
9
可验证：
x?
是函数< br>f(x)
的一个极值点.因此
a?
.
3
5
因为
x?
(?4x
2
?8x?1)e
x
(2) 当
a??4
时，
f
?
(x)?

22
(1 ?4x)
令
f
?
(x)?0
得
?4x
2
? 8x?1?0
，解得
x?1?
所以当
x
变化时，
f
?
(x)
、
f(x)
的变化是
1
5
，而
x??
.
2
2
x

f
?
(x)

1
(??,?)

2
?

15

(?,1?)
22
1?
5

2
(1?
51

,)
22
15

(,1?)
22
1?
5

2
(1?
5
,??)

2
?

0

?

?

0

?

f(x)


极小值

极大值

因此
f(x)
的单调增区间是
(1?
1
155115
)
，
,)
，
(,1?)
；
f(x)< br>的单调减区间是
(??,?)
，
(?,1?
2
22
2 222
(1?
5
,??)
；
2
关于
x的方程
f(x)?m
一定总有三个实数根，结论成立；
当
0?a?1< br>时，
f(x)
的单调增区间是
(??,??)
，无论
m
取何值，方程
f(x)?m
最多有一个实数根，结论
不成立.因此所求
a< br>的取值范围是
(1,??)
.
【反馈检测3答案】（1）（2）点在的延长线上，且
，则，【反馈检测3详细解析】（1） 以分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系
，，，，，，，

（2）已知给出了平面与平面所成的锐二面角为，

易知平面
设平面
的一个法向量为
的一个法向量为，
，
．
由
令，得
，得，解得
，于是

∵平面
解得
与平面
，故点在
所成的锐二面角为
的延长线上，且
，∴
．
.
【反馈检测4答案】（1）
4x?4y?1?0
或
4x? 4y?1?0
；（2）
d?[
61
,)
.
122
1
?
l:y?k(x?)
?
1
k
2
k
2< br>22
【反馈检测4详细解析】 (1)
A
与
F
重合,则
A(,0)
设
4
?
?kx?(?1)x??0

4
216
?< br>y
2
?x
?
又由焦半径公式有
|PQ|?x
1
?x
2
?p?x
1
?x
2
?
1
?2,可求
k
2
?1
∴
k??1
.
2所求直线
l
为:
4x?4y?1?0
或
4x?4y?1?0
(2)可求
B(?x
0
,0)
.故
?BQM
为等腰直角三角形,设
P(x
1
,y
1
),Q(x
2
,y
2
)


【方法讲评】

三角函数中的函数方程思想
三角函数本身就是一种函数，三角函数里与角、三 角函数、面积、
A、w、
?
、T
有关的计算，
函数方程
情形 五
多用方程的思想解答，三角函数的奇偶性、对称性、周期性等，多利用方程的思想分析解答，
三角函数里的取值范围、值域、最值的求解多利用函数的思想分析解答, 先建立函数的模型，
再利用函数求函数的取值范围和最值.
【例1】如图为函数
f< br>?
x
?
?Asin
?
?
x?
?
?< br>(A?0,
?
?0,
?
?
?
2
,x?R)< br>的部分图象．

（1）求函数解析式；（2）求函数
f
?
x
?
的单调递增区间；
（3）若方程
f
?
x
??m
在
?
?
?
?
?
,0
?
上 有两个不相等的实数根，则实数
m
的取值范围．
?
2
?
【解析】（1）由题中的图象知，
A?2
， 根据五点作图法，令
2?
T
???
2
?
???
，即
T?
?
，所以
?
??2
，
43124T?
12
?
?
?
?
2
?2k
?
,k?Z
，得到
?
?
?
3
?2k
?
,k? Z
，
?
5
?
?
?
,0
单调递增，由图像 得当
m??2,?3
?
上有两个不同的实根．
??
?
?< br>12
?
?
【点评】（1）本题第1问求函数的解析式，需要求各个待定系数，求 各个待定系数就利用了方程的思想.
(2)第2问求函数的单调区间，利用了正弦函数的单调性和复合 函数单调性的性质，第3问研究函数的零点，

利用了函数的图像之间的关系，充分体现了 函数的思想.





【反馈检测1】函数
f
?
x
?
?Asin
?
?
x?
?
?
（
A?0
，
?
?0
，
?
?
?
2
）的部分图象如图所示.

（1）求
f
?
x
?
的解析式； （2）求函数
f
?
x
?
在






向量中的函数方程思想
函数方程
情形六
向量里面与 向量的模、夹角、数量积、坐标等有关的计算，向量平行垂直的转化，多用方程
的思想. 向量里的取值范围、最值等问题的处理，多用函数的思想分析解答, 先建立函数的
模型，再利用函数求函数的取值范围和最值.
【例2】已知向量
a?< br>?
sin
?
,1
?
,b?
?
1,cos?
?
,?
?
,
?
?
?
,2
?
?
上的单调递增区间及其在
?
?
2
?
上的值域.
??
?
?
2
?
?
?
?
2
．
（I）若
a?b
，求
tan
?
的值；（II）求
a?b
的最大值．

【点评】（1）本题的第1问就利用了公式< br>a?b?x
1
x
2
+y
1
y
2
?0
得到关于
?
的方程，从而求出
tan
?
的
值，这里 就利用了方程的思想. (2)本题的第2问求最大值，就利用了函数的思想，先建立关于
?
的 三角函
数模型，再研究三角函数的最大值,从而求出
a?b
的最大值.
【反馈检测2】已知平行四边形
ABCD
中，
AD?1
，
?BAD?60?
，
M
为
CD
的中点，
1
AC?BM??
.
2

（1）求
AB
的长；（2）设
E
，
F
为线段
AD
、
AB
上的动点，且
EF






解三角形中的函数方程思想
函数方程
解三角形里，与三角形的边、角、周长、面积、三角函数、正弦定理、余弦定理等有关的计
情形 七
算，多用到方程的思想.三角形里的取值范围、最值等多用到函数的思想，先建立函数的模型，BD
，求
AE?DF
的最小值.

再利用函数求函数的取值范围和最值.
【例3】在锐角
?ABC
中，
A、B、C
角所对的边分别为
a、b、c
，且
(1)求
?C
； (2)若
acosB?bcosA23
?sinC
.
c3
a
?2
，求
?ABC
面积
S
的最大值.
sinA


【点评】（1）本题的第1问求
?C
，就是把正弦定理代入已知的方程化简 解得，第2问中求c边，也是
通过正弦定理求得，充分利用了方程的思想. (2)本题的第2问，求< br>?ABC
面积
S
的最大值，利用了函数的
思想，先转化成求
a b
的最大值，再利用余弦定理和基本不等式求出
ab
的最大值.
【反馈检测3】在
?ABC
中，角
A,B,C
所对的边分别为a,b,c
，且
?ACB?
（1）若
a,b,c
依次成等差数列 ，且公差为
2
，求
c
的值；
（2）若
c?




2
?
.
3
3,?ABC?
?
，试用
?
表示
?ABC
的周长，并求周长的最大值.

数列中的函数方程思想
函数方程
情形八 数列本身就是一种特殊的函数，数列中与项、项数、通项
a
n
、公差
d< br>、公比
q
、前n项和
S
n
有关的计算，多用到方程的思想. 与
a
n
、
S
n
有关的的取值范围、最值等问题，多用到函数 的
思想，先建立函数的模型，再利用函数求取值范围和最值.
【例4】设单调递增函数
f(x)
的定义域为
?
0,??
?
，且对任意的正实数
x ,y
有：
f(xy)?f(x)?f(y)
且
f()??1
． ⑴一个各项均为正数的数列
?
a
n
?
满足:
f(sn
)?f(a
n
)?f(a
n
?1)?1
其中
S
n
为数列
?
a
n
?
的前
n
项和 ,
求数列
?
a
n
?
的通项公式；
⑵在⑴的条件下，是否存在正数M使下列不等式：
1
2
2
n
?a
1
a
2
a
n
?M2n?1(2a
1
?1)(2a
2
?1)(2a
n
?1)

对一切
n ?N
*
成立？若存在，求出
M
的取值范围；若不存在，请说明理由．
【解析】⑴
又
对任意的正数
x、y
均有
f(xy)?f(x)?f (y)
且
f()??1

1
2
1
a
n?0且f(S
n
)?f(a
n
)?f(a
n
?1)?1 ?f(a
n
)?f(a
n
?1)?f()

2
1< br>?
f(S
n
)?f[(a
n
2
?a
n
)?]
，
2
1
又
f(x)
是定义在
?0,??
?
上的单增函数，
?
S
n
?(a
n< br>2
?a
n
)
．
2
1
2
当
n?1
时，
a
1
?(a
1
2
?a
1
)
，
?a
1
?a
1
?0
．
a
1
?0
，
?a
1
?1
．
2
当
n? 2
时，
2a
n
?2S
n
?2S
n?1
?a
n
2
?a
n
?a
n?1
2
?a
n ?1
，
?(a
n
?a
n?1
)(a
n
? a
n?1
?1)?0
．
?a
n
?n
．
a
n
?0?a
n
?a
n?1
?1(n?2)
，?
?
a
n
?
为等差数列，
a
1
?1, d?1
，

?g(n?1)?g(n)
，
?
g(n)
单调递增，
?n?N
*
，
g(n)?g(1)?
2 3
23
．
?
0?M?
．
3
3
【点评 】（1）本题的第1问数列
?
a
n
?
的通项公式中，利用方程的思想 分析出数列
?
a
n
?
为等差数列，且
a
1
?1,d?1
.（2）本题第2问就是利用作商法判断数列的单调性，再求数列的最值，这实际上就是函 数的
思想.（3）是选择作差法判断函数的单调性，还是选择作商法判断数列的单调性，主要看数列的形 式，如
果数列是商的形式，一般利用作商法判断数列的单调性，如果数列是和的形式，一般选择作差法判 断数列
的单调性.
【反馈检测4】已知正项数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
，对任意
n?N
*，点
?
a
n
,S
n
?
都在函数
f?
x
?
?
1
2
1
x?x
的图像上．
22
（I）求数列
?
a
n
?
的首项
a1
和通项公式
a
n
；
（II）若数列
?
b< br>n
?
满足
log
2
b
n
?n?log
2
?
2a
n
?1
?
n?N
*
，求数列< br>?
b
n
?
的前
n
项和
T
n
；
（III）已知数列
?
c
n
?
满足
c
n
?
??
4n?61
?
11
?
?n?N
*
．若对任意
n?N
*
，存在
x
0
?
??,
?
，使
T
n
?6a
n
a
n?1< br>?
22
?
??
得
c
1
?c
2
???c
n
?f
?
x
?
?a
成立，求实数
a
的取值范围．

函数方程思想思想情形之5-8参考答案
【反馈检测1答案】（1）
f
?< br>x
?
?sin
?
2x?
?
?
?
?< br>6
?
（2）单调递增区间为
?
?
,
?
；?
?
7
?
?
?
5
?
?
1?
?
?1,
?
.
,2
?
， ，值域为
?
??
6
?
2
?
3
?

?
?
?
【反馈检测1详细解析】（1）由图象可知，
A?1
，
T2
???
???
，所以
T?
?
，
23 62
又
T?
2
?
?
?
?
?
?，所以
?
=2
，所以
f
?
x
?
?si n
?
2x?
?
?
，又
?
,1
?
在 图象上，
?
?
6
?

当
x?
?
?
?
7
?
13
?
?
?
?
??1
?
,
?
?
时，
2x??
?
,
?1,
?
. ，根据函数的性质可得，值域为
?
?
22
?
666
???
??
1
.
4
【反馈检测2答案】
AB?2
；（2）
?
【反馈检测 2详细解析】（1）
22
111
??
AC?BM?AB?BCBC?CM?A D?AB
?
AD?AB
?
?AD?AB?AD?AB

22 2
??
??????

?AD
2
?
1
2
ABADcos60??
1
2
AB
2
?1?
1< br>4
x?
11
2
x
2
??
2
， 设
AB?x
，则有
1133
2
x
2
?
4
x?
2
?0
，解得
x?2
或
x??
2< br>，故
AB?2
.
（2）∵
EFBD
，∴
AEAF< br>AD
?
AB
，设
AE?
?
AD
，
AF?
?
AB
，
则
AE?DF?
?
AD ?
?
?
AB?AD
?
?
?
2
AD?AB?
?
AD
2
?
?
2
?
?
，
2
?
2
?
?
?
?
?
1
?
1
11
?
?
?
2
?
?
?
4，故
?
2
?
?
的最小值为
?
4
，∴< br>AE?DF
的最小值为
?
4
.
【反馈检测3答案】（1）
c?7
（2）
2?3
.
【反馈检测3详细解析】(1)
a,b,c
成等差数列，且公差为
2,?a ?c?4,b?c?2
，
?BCA?
2
3
?
,?cosC? ?
1
2
,?
a
2
?b
2
?c
2< br>2ab
??
1
2
,?
?
c?4
?
2
?
?
c?2
?
2
?c
2
2
?c?4
??
c?2
?
??
1
2
，恒等变形得
c
2
?9c?14?0
，解得
c?7
或
c?2，又
c?4,?c?7
.
(2)在
?ABC
中，
A CBC
sin?ABC
?
BC
sin?BAC
?
AB
sin?ACB
,?
AC
sin
?
??
3
?2< br>sin
?
?
?
?
2
?
，
?
3
?
?
?
?
sin
3
AC?2sin
?
,BC?2sin
?
?
?
?
?
3
?
?
?
?
.
??ABC
的周长
f
?
?
?
?AC?BC?AB?2sin
?
?2sin
?
?
?
?
?
3
?
?
?
?
?3
?2
?
?
1
sin
?
?
3
?
22
cos
?
?
?
?3?2sin
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
2
?
3
?
?
?3
，又
?
?
??
0,
3
?
?
,?
3
?
?
?
3
?
3
，
?
当
?
?
?
?
3
?
?
2
即
?
?
6
时，
f
?
?
?
取得最大值
2?3
.
【反馈检 测4答案】（1）
a
n?1
n
?n
（2）
T
n?6?
?
2n?3
?
?2
（3）
a?
1980

又

因此
T
n
?1?2 ?3?2?
12
?
?
2n?1
?
?2
n
① ，
②，
2T
n
?1?2
2
?3?2
3
??
?
2n?1
?
?2
n?1
23
由①-②得到< br>?T
n
?1?2?2?2?2?2??2?2
2
?
?
2n?1
?
?2
n?1

?2?2?
2
2
1?2
n?1
1?2
??
?
?
2n?1
?
?2
n?1
??6?
?
3?2n
?
?2
n?1. 所以
T
n
?6?
?
2n?3
?
?2
n?1
．
n?1
（III）由（II）知
T
n
?6?< br>?
2n?3
?
?2
，所以
c
n
?
4 n?6111
??
n
?

T
n
?6a
n< br>a
n?1
2n
?
n?1
?
?
1
?< br>11
?
11
n
M
??
．令为的前项和，易得． c
M??
??
n
??
n
n
n
n
2
?
nn?1
?
n?12

因为对任意的
n?N
，存在
x
0
?
?
?
所以


*
?
11
?
,
?
，使得
M
n?f
?
x
?
?a
成立．
?
22
?
11319
．
???a
，由此
a?
516880

【方法讲评】
不等式中的函数方程思想
函数方程
情形九
不等式 中，与求值有关的问题，多利用方程的思想解答。解不等式时，不等式的解集的端点
与方程的根紧密相关 的。解不等式也可以通过研究函数的图像完成。不等式的证明也可以通
过构造函数求函数的最值来完成.
【例1】已知函数
⑴求函数的解析式．
的解集为时，求的取值范围．
的解集为可知：是方程的两根．
，不等式的解集为．
⑵当关于的不等式
【解析】⑴由
从而
⑵由，知二次函数
∴
的图象开口向下，要使的解集为，只需，
即 ∴当时的解集为．
【点评】（1）本题 第1问求函数的解析式，就是求
a,b
的值，利用了韦达定理，利用了方程的思想. 不
等式中类似的求值问题很多，多是利用方程的思想分析解答. (2) 本题的第2问，是利用函数的图像分析
解答的. 利用了函数的思想.
【例2】已知
e
是自然对数的底数,
F
?
x
?
?2e
x?1?x?lnx,f
?
x
?
?a
?
x?1
??3
.
（1）求曲线
y?F
?
x
?
在点1,F
?
1
?
处的切线方程；
（2）当
a?4,x?1
时, 求证：
F
?
x
?
?f
?
x
?
.
??

?
当
x?1
时,
h
?
x
?
?h
?
1
?
. 即
H'
?
x
?
?4?a
,
a?4
时,
?H'
?x
?
?4?a?0
.
?
当
a?4
时, H
?
x
?
在
?
1,??
?
内单调递增 .
?
当
a?4
,
x?1
时,
H
?
x
?
?H
?
1
?
, 即
F
?
x
?
?f
?
x
?
.

【点评】（1 ）本题第2问证明
F
?
x
?
?f
?
x
?< br>，不能理解为左边函数的最小值不大于右边函数的最大值，
因为不等式两边的自变量都是
x
，所以它表示当两个函数取相同的自变量时，总是有
F
?
x
??f
?
x
?
.(2)这
种问题，只好构造函数
H(x) ?F(x)?f(x)
，再证明
H(x)
min
?0
. (3)本题 第2问不等式的证明就利用了
函数的思想分析解答，把不等式的证明转化成函数的最值来解答.

【反馈检测1】已知函数
g(x)?x?ln(x?a)
，其中
a
为常数.
2
（1）讨论函数
g(x)
的单调性；
（2 ）若
g(x)
存在两个极值点
x
1
,x
2
，求证： 无论实数
a
取什么值都有






计数原理中的函数方程思想
函数方程
计数原理中，与求值有关的问题，多利用方程的 思想解答。求代数式的值，常利用赋值法解
情形十
答，也是方程思想的体现。与取值范围、最值有关的问题多利用函数的思想分析解答.
g(x
1
)?g(x
2
)x?x
?g(
12
)
.
22

?
1
?
【例3】已知二项式
?
?2x
?
．
?
2
?
（1）若展开式中第5项、第6项与第 7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项
的系数；
（2）若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．
465
【解析】（1）
C
n
?C
n
?2C
n
，解得
n?7
或
n?14
，
n
当
n?7
时，展开式中 二项式系数最大的项是
T
4
和
T
5
，

?
1
??
1
?
解得
n?12
，设
T
k?1
项系数最大，由于
?
?2x
?
?
??
?< br>2
??
2
?
1212
?
1?4x
?
12

kk?1
?
C
12
?4
k
?C12
?4
k?1
10
16896x
，，第11项系数最大，且第 11项为．
9.4?k?10,k?10
?
kkk?1k?1
?
C
12
?4?C
12
?4
【点评】（1）本题第1问根据已知条件建立 方程，求出
n
的值，利用了方程的思想. 本题第2问中也利
用了方程的思想. （2 ）二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数
n
是偶数时，则中间一项的二项式系数
C
取得最大值.如果二项式的幂指数
n
是奇数时，则中间两项的二项式系数
C< br>n
n
2
n
n?1
2
n
,
C
n?1
2
n
同时取得最大值.
（3）系数的最大项：求
(a?bx) （a?0,b?0)
展开式中最大的项，一般采用待定系数法.设展开式中各项
系数分别为A
1
,A
2
,???,A
n?1
，设第
r?1
项系数最大，应有
?
?
A
r?1
?A
r
， 从而解出
r
来.它利用的就是函数
?
A
r?1
?A
r?2
n
?
A
r?1
?A
r
1
12k?
1
?
k
的思想.
?
?2x
?
它的 展开式的系数为
()C
12
?4
，它是一个先增后减的函数，所以利用
?
12
?
2
?
?
A
r?1
?A
r?2
可以求出系数最大的项.

mn
【例4】设
m,n?N ,f(x)?(1?x)?(1?x)
．
54
（1）当
m?n?5
时，若
f(x)?a
5
(1?x)?a
4
(1?x)??a
1
(1?x)?a
0
，求
a
0
?a
2
?a
4
的值；
（2）
f(x)
展开式中
x
的系数是< br>9
，当
m,n
变化时，求
x
2
系数的最小值．

m(m?1)n(n?1)m
2
?n
2
?(m?n)m< br>2
?n
2
?9
???

x
系数为
C ?C?
2222
2
2
m
2
n
m
2
?n
2
?9m
2
?(9?m)
2
?92m
2
?18m?72
??
又
222
因为
m,n?N
，
所以当
m?4
或
m?5
时最小，最小值为
16

【点评】（1）本题第1问使用了赋值法，体现的就是方程的思想. 二项式定理中的求系数或系数和，多
对二项式定理利用赋值法. (2)本题的第2问利用了函数的思想 来分析求解最值,先求出
x
系数，再把它表
示成
m
的二次函数，再利 用二次函数的图像和性质解答.
2
（x?)
的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是14：1． 【反馈检测 2】已知在
23
6
（1）求展开式中
x
的系数；（2）求展开式中系 数绝对值最大的项；．（3）求
n?9c
n
?81c
n
?...?9
n?1n
c
n
3
2
x
n
的值.



函数方程坐标系与参数方程中的函数方程思想

情形十一 坐标系与参数方程中，与求值有关的问题，多利用方程的思想。与取值范围、最值有关的问
题，多利用函 数的思想分析解答，先建立函数的模型，再求函数的取值范围、最值.

?
x?3c os
?
,
【例5】（2017新课标I文数第22题）在直角坐标系
xOy< br>中，曲线
C
的参数方程为
?
（θ为
?
y?sin?
,
?
x?a?4t,
（t为参数）
参数），直线
l< br>的参数方程为
?
．
y?1?t,
?
（1）若
a?? 1
，求
C
与
l
的交点坐标；（2）若
C
上的点到< br>l
的距离的最大值为
17
，求
a
．

当< br>?a?4?0
即
a??4
时，
d
的最大值为
a?9< br>a?9
?17
，所以
a?8
； ．由题设得
17
17
?a?1?a?1
?17
，所以
a??16
． ．由题设得
1717
当
?a?4?0
即
a??4
时，
d
的最大 值为
综上，
a?8
或
a??16
．
?
x
2
2
?
?y?1
【点评】（1）本题第1问求
C
与
l
的交点坐标，是通过解方程组
?
9
得到的，运用了方程的
?
x?4y?3?0
?
思想. (2)本题的第2问通过
d
的最大值求
a
的值，利用了函数的思想，先建立
d
的函数
d?
|5sin?
(?
?
?)a?
17
，再求该函数的最大值，从而求出
a
的值，也利用了方程的思想. (3)对第2问要
4|

分类讨论， 因为
d?
|5sin(
?
?
?
)?a?4|
在什么 情况下取最大值，取决于
?a?4
的符号，当
?a?4?0
时，
17
sin(
?
?
?
)?1
时，
d
取最大值. 当
?a?4?0
时，
sin(
?
?
?
)??1时，
d
取最大值.
【反馈检测3】在直角坐标系
xOy
中，直 线
l
的参数方程为
{
x?1?cos
?
（
t
为参数），在极坐标系（与
y?2?tsin
?
直角坐标系
xOy
取相同的长度单位，且以原点
O
为极点，以
x
轴非负半轴为极轴）中，圆C
的方程为
?
?6sin
?
.
（1）求圆
C
的直角坐标方程； （2）若点
P
?
1,2< br>?
，设圆
C
与直线
l
交于点
A、B
，求小值.




函数方程思想思想情形之9-11参考答案
【反馈检测1答案】（1）当
?2?a?
11
?
的最
PAP B
2
时，
g(x)
在区间
(?a,??)
上单调递增；当< br>a?2
时，
g(x)
在
?a?a
2
?2?a?a2
?2?a?a
2
?2?a?a
2
?2
(,)
上单调递减，在
(?a,)
,
(,??)
上单调递增.
2222
【反馈检测1详细解析】（1）函数的定义域为
(?a,??)
.
12x
2
?2ax?1
g
?
(x)?2x??,
记
h(x)?2x
2
?2ax?1
，判别式
??4a
2
?8
.
x?ax?a
①当
??4a
2
?8?0
即
?2?a?
调递增.
2
时，
h(x)?0
恒成立，g
?
(x)?0
，所以
g(x)
在区间
(?a,??)
上单

（ⅱ）若
a?
2
图象的对称轴
x??
2
，则
h(x)?2x?2ax?1
a
=h(0)=1>0
.，所以
?0
，
h(?a）
2
?a?x
1
?x
2
，当
x
1
?x?x
2
时，
h(x) ?0
，所以
g
?
(x)?0
，所以
g(x)
在(x
1
,x
2
)
上单调递减.当
?a?x?x
1

或
x?x
2
时，
h(x)?0
，所以
g
?
(x)?0
，所以
g(x)
在
(?a,x
1< br>),(x
2
,??）
上单调递增.
综上，当
?2?a?2< br>时，
g(x)
在区间
(?a,??)
上单调递增；当
a?2< br>时，
g(x)
在
?a?a
2
?2?a?a
2
?2?a?a
2
?2?a?a
2
?2
(,)
上单调递减，在
(?a,)
,
(,??)
上单调递增.
2222
（2）由 （1）知当
a?2
时，
g(x)
没有极值点，当
a?2
时，
g(x)
有两个极值点
x
1
,x
2
，且
1
x
1
?x
2
??a,x
1
?x
2
?.

g(x
1
)?g(x
2
)?x
1
2
?ln(x
1
+a)+x
2
2
?ln(x
2< br>+a)=a
2
?1?ln2
,
2
g(x
1
)?g(x
2
)
a
2
?1?ln2
x
1
? x
2
aa
2
a

??又g()?g(?)??ln,
222242

109
-1
【反馈检测2答案】（1）
-672
；（2）
5376x
；（3）．
9
?
3
2
4422
【反馈检测2详细 解析】（1）由
C
n
(?2):C
n
(?2)?14:1
， 解得
n?9
．
因为通项：
T
r?1
?C(?2)x
r
9
r
275r
?
22
，令
275r
3
??6,?r?3
，于是系数为
C
9
(?2)
3
??672
．
22
rrr?1r?1
?
?
C
9
2?C
9
2< br>（2）设第
r?1
项系数绝对值最大，则
?
, 解得
17?3r?20
，于是
r
只能为6 .
rrr?1r?1< br>?
?
C
9
2?C
9
2
所以系数绝对值最大的 项为
C(?2)x
6
9
6
2730
?
22
?5376x
．
?
3
2
1
001122
1
10
9
?1
99
9
（3）原式=
9C
9
?9C
9
?9C
9
???9C
9
?1?
(1?9) ?1
=．
9
99
??
??
【反馈检测3答案】（1）x
2
?
?
y?3
?
?9
；（2）
2< br>27
.
7
22
【反馈检测3详细解析】（1）圆
C
的方程为
?
?6sin
?
，可化为直角坐标方程为
x?y?6y，即
x
2
?
?
y?3
?
?9
； （2）直线
l
的参数方程为
{
2
x?1?tcos
?< br>2
（
t
为参数），代入
x
2
?
?
y ?3
?
?9
，可得
y?2?tsin
?
t
2
?2
?
cos
?
?sin
?
?
t?7?0
，∴
t
1
?t
2
??2
?
cos
??sin
?
?
,t
1
t
2
??7
，
∴
t?t
111127
2
??
12
?4
?
cos
?
?sin
?
?
?28?32?4sin2
?
?
，
PAPBt
1
t
2
777
11< br>27
?
的最小值为.
PAPB
7
∴
【方法讲评】
复数中的函数方程思想
函数方程
情形十二
复数中，与复数实部、虚部、复 数的模等求值有关的计算，多利用方程的思想解答.与取值范
围、最值有关的问题，多利用函数的思想分 析解答，先建立函数的模型，再研究函数的取值
范围和最值.
【例1】设z是虚数，
w?z?
1
是实数，且
?1?w?2
.
z

（1）求
|z|
的值及z的实部的取值范围.
（ 2）设
?
?
1?z
2
，求
w?
?
的最小值 .
1?z
【解析】（1）设
z?a?bi(a,b?R,
且
b?0 )
，则
w?a?bi?
∵
w
是实数，∴
b?
1ab
?a?
2
?(b?)i

a?bia?b
2
a2
?b
2
b
22
z
，又是虚数，∴，∴
a?b ?1
，即
|z|?1
，∴
w?2a
，
b?0
?0
22
a?b
1
1
∵
?1?w?2
，∴
?1 ?2a?2
，即
??a?1
，故z的实部取值范围
(?,1)
；
2
2

【点评】（1）本题第1问求
|z|
的值，利用了方程的思想. （2）本题第2问求
w?
?
的最小值，利用
了函数的思想，先建立函数的模型
w?u
2< br>?2a?
2
1?a
，再利用基本不等式求函数的最小值.可见，函数思
1?a
想是无处不在的，特别是与最值、取值范围和值域有关的问题，更要想到函数的思想来分析解答.
【反馈检测1】设复数z满足4z＋2
z
＝3
3
＋i，ω＝sinθ －icosθ(θ∈R)．求z的值和|z－ω|的
取值范围．





统计中的函数方程思想
函数方程
统计中的最值问题，多用函数 的思想分析解答，先建立函数的模型，再研究函数的取值范围
情形十三
和最值.