高中数学解题中“主元思想”的应用

高中数学
解题中“主元思想”的应用


在数学解 题中常用到“主元思想”，所谓“主元思想”，即是指在
含有两个或两个以上字母的问题的解决过程中， 选择其中一个字母作
为研究的主要对象，视为“主元”，而将其余各字母视作参数或常量，
来指 导解题的一种思想方法．这一思想方法运用的核心是确定“主
元”、选择“主元”，在多变量问题的解题 中一旦选对了“主元”，等
价于战斗中选择准了主攻方向．
下面利用两道例题的分析和解题研 究来简单介绍一下应该如何运
用“主元思想”和如何选择解题中的“主元”：
[例1]设不等 式mx
2
—2x－m+1﹤0对满足︱m︱≤2的一切m都成
立，求x的取值范围．
[分析1]可以将原不等式化为（x
2
－1）m﹤2x－1①，采用分离变
量 法，视
x
为主元，通过讨论x
2
－1的符号来求解．
[解答1]（ 1）当x
2
－1=O即x=±1时，①成立
?
2x－1﹥O，∴x=1； < br>（2）当x
2
－1﹥0即x﹤－1或x﹥1时，由①式得m﹤
2x?1
，
2
x?1
?
x
2
?1?0
2x?1
1 ?3
由题意知
2
﹥2，由此得不等式组
?
，解得1﹤x﹤；
?
2x?1
x?1
2
?2
?
2
?
x?1
（3）当x
2
—1﹤0即－1﹤x﹤1时，由①得m﹥
2x?1
，
2
x?1
?
x
2
?1?0
2x?1
7?1
由题意知
2
﹤－2，由此得不等式组
?
，解得﹤x﹤1；
?
2x?1
x?1
2
??2
?
2
?
x?1
综上可知：
7?13?1
﹤x﹤．
22

[分析2]视m为主元，将原不等式看成关于m的不等式，进而将
不等式的左边看成关于m的函 数，利用函数的性质解题．
[解答2]设f（m）=（x
2
－1）m+1－2x，
则︱m︱≤2时，恒有f（m）﹤0，
2
?
7?13?1
?
f(2)?2x?2x?1?0
∴
?
，解得．
?x?
2
22
?
?
f(?2)??2x?2x?3?0
[点评]上述两种解法都运用了 “主元思想”，但从解题过程来看，
视m为主元比视x为主元要简便得多．事实告诉我们，若能稍微改< br>变一下思维习惯，在含有多个变量的问题中，合理运用“主元思想”，
优先考虑如何选择主元是十 分必要的．
[例2]设a、b、c、d是实数，且满足（a+b+c）
2
≥2（a< br>2
+b
2
+c
2
）
+4d，求证：ab+bc+ac ≥3d．
[分析]原不等式为关于a、b、c的对称轮换式，若能证明ab≥d，
则同理可证 bc≥d，ac≥d，从而命题得证．三个变量在解题中具有等
同地位，谁可以作为主元？由于题设中的 不等式可变形为c
2
－2（a+b）
c+a
2
+b
2
－2ab+4d≤0，从变形的结构形式看，此时可以视c为主元，
构造函数f（x）=x
2
－2（a+b）x+a
2
+b
2
－2ab+4d，进而通过研究该函
数的性质来帮助寻找
ab
与
d
的不等关系．
[解答]如分析中所设，易知f（x）是开口向上的抛物线，
∵f（c）≤0，从而抛物线与x轴有交点，
∴△=4（a+b）
2
－4（ a
2
+b
2
－2ab+4d）≥0，即 ab≥d，
同理，若分别视a、b为主元，则可证得bc≥d，ac≥d，
∴ab+bc+ac≥3d，证毕．

[点评]对于含有 多个变量的等式或不等式，可以运用“主元思想”
来指导对式子的整理和变形，从多个变元中选择出一个 作为主元，可
以使我们的研究目标更加清晰，以便于在纷繁复杂的关系中理出头
绪．许多看似复 杂、困难的问题，运用这样的思想方法去求解，常常
可以收到“避虚就实、变繁成简，化难为易”的解题 效果．
最后给出两个问题留给读者作为练习：
（1）已知a、b、c∈R，a+b+c=0 ，abc=1，求证a、b、c中至少
有一个大于．
（2）已知k=a+x=b+y=c+z ，a，b，c，x，y，z均为正数，求证：
ay+bz+cx
?
k
2
．
参考解答：
（1）由a+b+c=0得b=-a-c代入abc=1中，得-ac（a +c）
=1
?
ac
2
+a
2
c+1=0，将该式视 C为未知数（主元）的方程，则△=a
4
-4a
≥0，∵a
?
0，∴ a≥
故原命题成立．
（2）由条件可知x=k－a，y=k－b，z=k－c，k
?
0，a、b、c ∈（ 0，
k），记f（a）=ay+bz+cx，则将x，y，z代入后得：f（a）=（k-b-c）a+bk+ck-bc（0
?
a
?
k），其中0
?
b， c
?
k，
当b+c≥k时，f（a）
?
f（o）=bk+ck－b c=k
2
－（k－b）（k－c）
?
k
2

当b+ c
?
k时，f（a）
?
f（k）=（k－b－c）k+bk+ck－bc=k
2
－bc
?
k
2

综上可知：f（a）
?
k
2
，即ay+bz+cx
?
k
2
．

3
3
3
3
4?
，若在该式视a为主元，则可得c≥
4?
，
2
2
3
2