极限思想在高中数学解题中的应用

极限思想在高中解题中的运用
多伦县第三中学 刘洪庆

极限的思想是近代数学的一种重要思想，我们在大学所学的数学分析
就是以极限概念为 基础、极限理论为主要工具来研究函数的一门学科。而
在高中一些数学问题的解答上如运用极限的思想， 会使我们的解答简单而
高效。
所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种 数学思
想。下面将用例题举出极限思想的妙处。尝试将极限思想和方法渗透、融合
在解题教学中 ，实现方法与内容的整合实践，以期引起广大师生的广泛关注和高
度重视。
数学思想方法是数 学的灵魂，没有数学思维就没有真正的数学学习。要让学
生学好数学，用好数学，就要让学生走进数学的 “灵魂深处”。
给大家介绍说明本文要用到的数学符号:
①“?”表示“趋近于”。:

②“?a?”表示“正向趋近于

:a”。
③“?a?”表示“负向趋近于:a”。
“?1?”表示“正向趋近于:1且 比1大”。
举例:
“?1?”表示:“负向趋近于1且比1小”。

e
x
?e
?x
例1、函数
y?
x
的图象大 致为（ ）
e?e
?x


解析：
y?
e?e
e
x
?e
?x
x?x
1
x
e

?
1
e
x
?
x
e
e
x
?

当
x?0?
时，
e
x
?1?
，

?y?
111
xx
?1?(e?)?0?(e?)?2
， ，、?
e
x
e
x
e
x
2
???
。 故排除B、C、D。 选A
0?
cos6x
例2、函数
y?
x
的图象大致为（ ）
2?2
?x

解析：当
x?0?
时，
2
x
?1?
，
?
y?
1
???
。
0?< br>11
x
?1?(2?)?0?
，
cos6x?1
，，
?
xx
22
11
x
?1?(2?)?0?
，
co s6x?1
， ，
?
2
x
2
x
当
x?0?
时，
2
x
?1?
，
?
y?1
???
。 排除A、B
0?
又应为
cos6x
是值域
?
?1,1
?
上的周期函数，所以选D
?
???
例3、函数
f(x)?2x?tanx
在
?
?,
?< br>上的图象大致为（ ）
?
22
?

解析: 当
x?
?
2
?
时,
tanx???
,
?tanx???
,
2x?tanx???
,
?f(x)???
,排 除B、D选项
当
x?(?)?
时,
tanx???,
?tanx???
,
2x?tanx???
,
2
?f (x)???
排除A选项
?
故选C
例4、函数
y?(e
x
?e
?x
)sinx
的图象（部分）大致是（ ）

解析：当
x?0?
时，
e
x
?1?
，
11
x
?1?(e?)?0?
，
sinx ?0?
， ，
?
xx
ee

?y?(0?)?(0?)?0?
。 排除B、D
当
x?0?
时，
e
x
?1?
，
11
x< br>?1?(e?)?0?
，
sinx?0?
， ，
?
e
x
e
x

?y?(0?)?(0?)?0?
。 排除A
故选C

通过以上例题可以看出，让学生掌握和运用极限思想，不仅降低了某些问题
的解题难度，而且在寻找解题 思路、探索发现新结论有着重大作用。