高考数学对集合的理解及集合思想应用

题目 高中数学复习专题讲座对集合的理解及集合思想应用的问题
高考要求
集合是高中数学的基本知识，为历年必考内容之一，主要考查对集合基
本概念的认识和理解，以及作为 工具，考查集合语言和集合思想的运用 本
节主要是帮助考生运用集合的观点，不断加深对集合概念、集合语言、集合
思想的理解与应用
重难点归纳
1 解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素
的三要素；对于用描述法给出的集合{x|x∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元
素x以及它所具有的 性质P；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观
地解决问题
2 注意空集
?
的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑
到空集的可能性，如
A
?
B
,则有
A
=
?
或
A
≠
?两种可能，此时应分类讨论
典型题例示范讲解
例1设A={(x,y)|y
2
－x－1=0},B={(x,y)|4x
2
+2x－2y+5=0},C={( x,y)|y=kx+b},
是否存在k、b∈N,使得(A∪B)∩C=
?
，证明此 结论
命题意图 本题主要考查考生对集合及其符号的分析转化能力，即能从
集合符号上分辨 出所考查的知识点，进而解决问题
知识依托 解决此题的闪光点是将条件(A∪B)∩C=
?
转化为A∩C=
?
且B∩C=
?
，这样难度就降低了
错解分析 此题难点在于考生对符号的不理解，对题目所给出的条件不
能认清其实质内涵，因而可能感觉无从下手
技巧与方法 由集合A与集合B中的方程联立构成方程组，用判别式对
根的情况进行限制，可得 到b、k的范围，又因b、k∈N,进而可得值
解 ∵(A∪B)∩C=
?
，∴A∩C=
?
且B∩C=
?

?
y
2
?x?1
∵
?
∴k
2
x
2
+(2bk－1)x+b
2
－1=0
?
y?kx?b
∵A∩C=
?

∴Δ
1
= (2bk－1)
2
－4k
2
(b
2
－1)<0
∴4k
2
－4bk+1<0,此不等式有解，
其充要条件是16b
2
－16>0,
即 b
2
>1 ①
?
4x
2
?2x?2y?5?0
∵
?

?
y?kx?b
∴4x
2
+(2－2k)x+(5+2b)=0 < br>∵B∩C=
?
,∴Δ
2
=(1－k)
2
－4(5－2 b)<0

∴k
2
－2k+8b－19<0, 从而8b<20,
即 b<2 5 ②
由①②及b∈N,得b=2代入由Δ
1
<0和Δ
2
<0组成的不等式组，得
2
?
?
4k?8k?1?0,

?
2
?< br>?
k?2k?3?0
∴k=1,故存在自然数k=1,b=2,使得(A∪B)∩C=< br>?

例2 向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果 赞成A的
人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其
余的不赞成；另外，对A、B都 不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数
的三分之一多1人 问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？
命题意图 在集合问题中，有一些常用的方法如数轴法取交并集，韦恩
图法等，需要考生切实掌握 本题主要强化学生的这种能力
知识依托 解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件，想到用韦恩图
直观地表示出来
错解分析 本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂，一时理不清头
绪，不好找线索
技巧与方法 画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系
解 赞成A的人数为50×
3
=3 0，赞成
5
B的人数为30+3=33，如上图，记50名学生
组成的集合为U，赞成 事件A的学生全体为
集合A；赞成事件B的学生全体为集合B
设对事件A、B都赞成的学生 人数为x,
A
X
30-X
U
B
33-X
X
+1
3
则对A、B都不赞成的学生人数为
x
+1,赞成A而不赞成B的人数为 30－x，
3
赞成B而不赞成A的人数为33－x
依题意(30－x)+(33－x)+x+(
x
+1)=50,解得x=21
3
所以对A、B都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人
例3已知集合A={( x,y)|x
2
+mx－y+2=0},B={(x,y)|x－y+1=0,且0≤x≤2} ,
如果A∩B≠
?
,求实数m的取值范围
?
x
2
?mx?y?2?0
解 由
?
得x
2
+(m－1)x+1=0
?
x?y?1?0(0?x?2)
①
∵A∩B≠
?

∴方程①在区间［0，2］上至少有一个实数解 首先，由Δ=(m－1)
2
－4≥0,得m≥3或m≤－1,当m≥3时，由x
1
+x
2
=

－(m－1)＜0及x
1
x
2
=1>0知，方程①只有负根，不符合要求
当m≤－1时，由x
1
+ x
2
=－(m－1)>0及x
1
x
2
=1>0知，方程①只 有正根，
且必有一根在区间(0，1］内，从而方程①至少有一个根在区间［0，2］内
故所求
m
的取值范围是
m
≤－1
学生巩固练习
1 集合M={x|x=
A M=N
2 已知集合A={x|－2≤x≤7},B ={x|m+1?
,若A∪
B=A，则( )
A －3≤m≤4 B －33 已知集 合A={x∈R|ax
2
－3x+2=0,a∈R},若A中元素至多有1个，则a
的 取值范围是_________
k
??
kx
?
?
,k∈Z},则( )
?
,k∈Z},N={x|x=
24
42
B MN

C MN D M∩N=
?

4 x、y∈R,A={(x,y)|x< br>2
+y
2
=1},B={(x,y)|
xy
?
=1 ,a>0,b>0},当A∩B只
ab
有一个元素时，a,b的关系式是_________
5 集合A={x|x
2
－ax+a
2
－19=0},B={x|l og
2
(x
2
－5x+8)=1}，C={x|x
2
+2x －
8=0},求当a取什么实数时，A∩B
?
和A∩C=
?
同时成立
6 已知{a
n
}是 等差数列，d为公差且不为0，a
1
和d均为实数，它的前
n项和记作S
n< br>,设集合A={(a
n
,
S
n
1
)|n∈N
*
},B={(x,y)| x
2
－y
2
=1,x,y∈R} < br>4
n
试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例
说明
(1)若以集合A中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上；
(2)A∩B至多有一个元素；
(3)当a
1
≠0时，一定有A∩B≠
?

7 已知集合 A={z||z－2|≤2,z∈C},集合B={w|w=
1
zi+b,b∈R},当A∩< br>2
B=B时，求b的值
8 设f(x)=x
2
+px+q,A={x|x=f(x)},B={x|f［f(x)］=x}
(1)求证 A
?
B;
(2)如果A={－1，3}，求B
参考答案
1 解析 对M将k分成两类 k=2n或k=2n+1(n∈Z),
M={x|x=nπ+
?
4
,n∈Z}∪{x|x=nπ+
3
?,n∈Z},
4
对N将k分成四类，k=4n或k=4n+1,k=4n+2,k=4n+3(n∈Z),

N={x|x=nπ+
{x|x=nπ+
?
2
,n∈ Z}∪{x|x=nπ+
3
?
,n∈Z}∪{x|x=nπ+π,n∈Z}∪
4
5
?
,n∈Z}
4
答案 C
2 解析 ∵A∪B=A，∴B
?
A,又B≠
?
,
?
m?1??2
?
∴
?
2m?1?7
即2＜m≤4
?
m?1?2m?1
?
答案 D
3 a=0或a≥
9

8
xy
?
=1相切，
ab
4 解析 由A∩B只有1个交点 知，圆x
2
+y
2
=1与直线
则1=
ab
a?b< br>22
,即ab=
a
2
?b
2

答案 ab=
a
2
?b
2

5 解 log
2
( x
2
－5x+8)=1,由此得x
2
－5x+8=2，∴B={2,3} 由 x
2
+2x－8=0，
∴C={2,－4},又A∩C=
?
，∴2和 －4都不是关于x的方程x
2
－ax+a
2
－19=0
的解，而A∩ B
?
,即A∩B≠
?
,
∴3是关于x的方程x
2
－ax+a
2
－19=0的解，∴可得a=5或a=－2
当a=5时，得A={ 2，3}，∴A∩C={2}，这与A∩C=
?
不符合，所以
a=5(舍去)；当a= －2时，可以求得A={3，－5}，符合A∩C=
?
，A∩B
?
，
∴a=－2
n(a
1
?a
n
)S
1
,则
n
?
(a
1
+a
n
),这
2n2
SS
1
表明点(a
n
,
n
）的坐标 适合方程y
?
(x+a
1
),于是点(a
n
,
n
)均在直线
n2n
11
y=x+a
1
上 22
11
?
y?x?a
1
?
?
22
( 2)正确 设(x,y)∈A∩B,则(x,y)中的坐标x,y应是方程组
?
?
1< br>x
2
?y
2
?1
?
?
4
6 解 (1)正确 在等差数列{a
n
}中，S
n
=
的解，由方程组消去y得 2a1
x+a
1
2
=－4(
*
)，当a
1
=0时，方程(
*
)无解，此时

?4?a
1
A∩B=
?
；当a
1
≠0时，方程()只有一个解x=,此时，方程组也只
2 a
1
*
2
2
?
?4?a
1
?
y?
2a
1
?
有一解
?
,故上述方程组至多有一解
2
?
y?
a
1
?4
?
4a
1
?< br>∴A∩B至多有一个元素
(3）不正确 取a
1
=1,d=1,对一切的x ∈N
*
,有a
n
=a
1
+(n－1)d=n>0,
S
n
>0,
n
这时集合A中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另 外，由于a
1
=1
≠0 如果A∩B≠
?
,那么据(2）的结论，A ∩B中至多有一个元素(x
0
,y
0
）,
?4?a
1
a?x
0
3
2
而x
0
=
??
＜0,y< br>0
=
1
?
＜0,这样的(x
0
,y
0
）
?
A,产生矛盾，
2a
1
5
24
故a
1
=1,d=1时A∩B=
?
，所以a
1
≠0时，一定有A∩B≠< br>?
是不正确的
2
12w?2b
zi+b得z=,
2i< br>2w?2b
∵z∈A,∴|z－2|≤2,代入得|－2|≤2,化简得|w－(b+i)|≤1
i
7 解 由w=
∴集合A、B在复平面内对应的点的集合是两个圆面，集合A表示以 点
(2，0）为圆心，半径为2的圆面，集合B表示以点(b,1)为圆心，半径为1
的圆面
又A∩B=B，即B
?
A，∴两圆内含
因此
(b?2)
2
?(1?0)
2
≤2－1,即(b－2)
2
≤0，∴b=2
8 (1)证明 设x
0
是集合A中的任一元素，即有x
0
∈A
∵A={x|x=f(x)},∴x
0
=f(x
0
)
即 有f［f(x
0
)］=f(x
0
)=x
0
,∴x
0
∈B,故A
?
B
(2)证明 ∵A={－1,3}={x|x
2
+px+q=x},
∴方程x
2
+(p－1)x+q=0有两根－1和3，应用韦达定理，得
?
?1?3??(p?1),
?
p??1

?
??
(?1)?3?qq??3
??
∴f(x)=x
2
－x－3
于是集合B的元素是方程f［f(x)］=x,
也即(x
2
－x－3)2
－(x
2
－x－3)－3=x

(
*
) 的根

将方程(
*
)变形，得(x
2
－x－3)< br>2
－x
2
=0
解得x=1,3,
3
,－
3

故B={－
3
，－1，
3
，3}
课前后备注