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分类讨论的数学思想

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2020-09-21 17:15
tags:高中数学思想

成都初高中数学衔接班-高中数学名校课堂

2020年9月21日发(作者:褚廷璋)


分类讨论的数学思想
2008-11-02

分类讨论的数学思想

衡东县实验中学 戴智伟

我们在解决某些数学问题时,由于对问题所给对象不能进行统一研究,需要对

所研究的数学对象进行分类,然后逐类讨论,得出每一类的结论,从而使整个问题

得到解答,这就是分类讨论的数学思想.

分类讨论是数学中的一种重要的数学思想,分类讨论贯穿于教材的各个部

分,它不仅形式多样,而且具有很强的综合性和逻辑性,也是近几年来高考中年

年必考的一种数学思想.

● ●如何进行分类讨论

先看下面一个例子:

x?1|?2a?1
. 【例1】 解关于
x
的不等式:
|log
2
a

【分析】涉及 到对数问题,首先要保证真数
x
满足
x?0
,在此基础上,考虑到不等

式左边是一个代数式的绝对值(是一个非负实数),因而要考虑是否去掉绝对值符

号.若要去掉绝对值符号,那么,应如何去掉绝对值符号呢?需要考虑右边代数式

2a?1
为正数、零、负数不同情况.再在不等式右边为正数的情况下,去掉绝对值

符号,得到两个不等式组(因
2a?1?0
时,得到一个与
a
无为关 的不等式).解这两

个不等式组时,需要考虑对数的底数与1的大小关系.

解:显然
x?0
,
a?0,a?1
.
1?
2a?1?0

0?a?
1
2
1
2
时,原不等 式的解显然为
x?0
;
22
时,原不等式变为
|log
1
x?1|?0?log
1
x?1

22
2?
2a?1?0

a?
2
log
1
x?1
2
?log
1
x??1

?1?log
1
x? 1

log
1
x?1
?0?x?
2
22
1
2

1
2
?x?2

x?2
;
1


分类讨论的数学思想
2008-11-02

?
log
2< br>x?1?0
a
3?

2a?1?0

a?

a?1
时,原不等式变为
?

2
2
?
l og
a
x?1?2a?1
1
?
log
2
x?1?0
a
22

?
logx
logx?2?2a(II)
.
?2a(I)
?
a
a
2
?
log
a< br>x?1?2a?1
1
①当
?a?1
时,不等式(I)的解为
0 ?x?a
2a
,不等式(Ⅱ)的解为
2
a
2?2a
?x?a
?2?2a
;
2a
②当
a?1
时,不等式(I)的解为
0?x?a
?
综合
1 ?

2?

3?
得:

0?a?
a?

1
2
1
2
1
2

x? a
2a
,不等式(Ⅱ)无解.
时,原不等式的解集为
{x|x?0}
;
1
2
时,原不等 式的解集为
{x|0?x?

1
2
?x?2

x? 2}
;
?a?1
时,原不等式的解集为
{x|
0?x?a
2a

a
2?2a
?x?a
?2?2a
}
;
a?1
时,原不等式的解集为
{x|0?x?a
?2a
x?a
2a
}
.

上面的例子说明了为什么要进行分类讨论,同时又给出了运用分类讨论思想

解题的一般步骤.

● ●运用分类讨论的数学思想解题的一般步骤:

第一步,根据解题需要(即分类的动机),确定要讨论的数学对象。

如例1中对参数
a
进行讨论.

第二步,在确定了要讨论的数学对象后, 对确定的对象进行科学的分类.

分类时,要注意两条原则:不重复、不遗漏.分类时,除了要保证不重复、不遗

漏,同时, 还要保证合理,即分类时类别不宜过多、过细,也不能太粗糙,否

则, 分类过细讨论起来繁琐, 分类太粗糙可能造成讨论无法进行下去.

如例 1中对
a
进行了如下分类(其中
a?0

a?1
):
2


分类讨论的数学思想
2008-11-02

?
?
1
?
0?a?
?2
?
1
?
,
a?
?2
?
?
?
1
1
?
a?
?
?a ?1
?
2
?
2
?
?
?
a?1
?< br>这个分类是最合理的.

第三步,逐类讨论.

在进行了科学的、合理的分类后,对每一类进行讨论.对有多个讨论对象的问

题,讨论时要分层次讨论,不能越级。
.
第四步,综合归纳各类结论.

必要时,可将各类结论归纳合并,从而获得简单明了的结论.

● ●为什么要运用分类讨论的数学思想解题

这是一个较为复杂的问题,但总的原则是根据解题的需要,一般有如下原因:

1. 解题涉及到的概念,如果是在不同条件下有不同结论,则必须进行分类讨

论求解

如圆锥曲线的统一定义:动点
P
到定点
F
的距离与到定直线
l
的距离之比为

非零常数
e
的点的轨迹,当
0?e?1
时,轨迹为椭圆; 当
e?1
时,轨迹为抛物线;


e?1
时,轨迹为双曲线.

2. 数学中的某些定理、公式、法则、性质是分类给出的,在运用它们时,
要分类讨论

如绝对值的定义,就是一个明显的例子.

【例2】 设
0?x?1

a?0,a?1
,比较
|log
a
(1?x)|
|log
a
(1?x)|
的大小.

【分析】按一般思路,去掉绝对值符号,为此需分类讨论:分为:
a?1

0?a?1
两类.

3


分类讨论的数学思想
2008-11-02

解:
?0?x?1,

0?1?x?1
,
1?1?x?2
,从而
0?1?x2
?1
.
1?

a?1
时,
|log
a
(1?x)|??log
a
(1?x),|log
a
(1?x) |?log
a
(1?x),


|log
a
(1 ?x)|?|log
a
(1?x)|??[log
a
(1?x)?loga
(1?x)]??log
a
(1?x
2
).

?a?1,0?1?x?1
,故
?log
a
(1?x)?0
. < br>2
2
?|log
a
(1?x)|?|log
a
(1? x)|.

2?

0?a?1
时,
|log
a< br>(1?x)|?log
a
(1?x),|log
a
(1?x)|??l og
a
(1?x),

|log
a
(1?x)|?|log
a
(1?x)|?log
a
(1?x).

2
?0?a?1
,
0?1?x
2
?1
,
,故
|log
a
(1?x)|?|log
a
(1?x)|.

综合
1?

2?
得:当
0?x?1,a?0,a?1
时,总有
|log
a
(1?x)|?|log
a
(1?x)|.< br>

3. 所涉及的问题含有参数时,一般须对参数的不同取值分类讨论;

?log
a
(1?x)?0
2
【例3】 求函数
y?ax
?kb
x
的定义域(
a?0,b?0,a?1,b?1
).

【分析】本例求定义域就是要解不等式
a
x
?kb
x?0
,由条件
a?0,b?0
易得:
a
x
()?kb
.如何解这个不等式?显然要考虑在不等式两边取对数,那么,有两
个问题必须要考虑: 一是能在不等式两边取对数吗?二是即便能在不等式两
边取对数,得到一个新的不等式,那么,不等号的 方向如何呢?为此,必须考

k

0
以及
a
b
1
的大小关系.
a
b
解:令
a
x
?kb
x
?0

a
x
?kb
x
,
?()
x
?k
.
1°若
k?0
,对任意x∈R,
()
x
?0?k
成立,∴定义域为
R
.
b
a
??
2°若
k?0
,①当
?1
时, 则
x?log
a
k
,定义域为

?
log
a
k,??
?

b
b
??
b
a
②当
0??1
时, 则x?log
a
k
,定义域为
(-?,log
a
k].
b
bb
a

4. 某些数学问题不能统一解答,需要分类解答(否则后续步骤将无法展开)

【例6】某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为6个部分(如图).现要栽种4
种不同颜色 的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花,不同
的栽种方法有_________(以数 字作答).
【分析】本题实质上是一个涂色问题,按区域序号顺序涂 色:
先涂A号区域,有4种涂色法;再涂B号区域,
E
有 3种涂色法;然后依次涂C、D 、E号区域,
A
都有2种涂色法;最后涂F号区域,有几种涂
D
F
C
B
色法?——1种或2种涂色法. 那么何时有1
4


分类讨论的数学思想
2008-11-02

种涂色法,何时有2种涂色法? ——当B号区域与E号区域涂相同颜色时,F
号区域只有1种涂色法;当B号区域与E号区域涂不同颜色 时,F号区域有2
种涂色法.那么需再考虑B号区域与E号区域是否可涂相同颜色的问题,进而
又需考虑D号区域是否与B号区域是否可涂相同颜色,所以有下面解法:
解:按区域序号顺序涂色:先 涂A号区域,有4种涂色法;B、C号区域分别有3、
2种涂色法;
1?
当D号区域 与B号区域涂同一种颜色时,则E、F号区域分别有2和1种
涂色法.此时,共有
4?3?2? 1?2?1?48
种涂色法.
2?
当D号区域与B号区域不涂同一种颜色时,又分E和B是否涂同一种颜
色: ①当E和B涂同一种颜色时,则F号区域有2种涂色法.此时,共有
4?3?2?1?1?2?48
种涂色法;
②当E和B不涂同一种颜色时,则F号区域有2种涂色法.此时,共有
4 ?3?2?1?1?1?24
种涂色法.
综合得不同的栽种方法有
48?48?24?120
种.

5.某些问题采用分类讨论,只是解题者采取的“化整为零,各个击破”的解题
策略
如例3,下面两种解法就没有运用分类讨论的思想方法解决:
解法二:
?
|log< br>a
(1?x)|
|log
a
(1?x)|
?
log< br>a
(1?x)
log
a
(1?x)
?|log
1?x
(1?x)|

?1?x?1,0?1?x?1,

|log1?x
(1?x)|??log
1?x
(1?x)?log
1?x
22
1
1?x
?log
1?x
1?x
1?x
2< br>?1?log
1?x
(1?x)
2

?1?x?1,0?1?x?1,log
1?x
(1?x)?0
,
?|log
1?x
(1?x)|?1
,即
|log
a
(1 ?x)|
|log
a
(1?x)|
?1
.
?|log
a
(1?x)|?|log
a
(1?x)|
.
22
(1?x)?log
a
(1?x)
解法三:
|log
a
(1?x)|?|log
a
(1?x)|?log
a
?[ log
a
(1?x)?log
a
(1?x)][log
a
( 1?x)?log
a
(1?x)]?0
?log
a
(1?x)?lo g
a
2

1?x
1?x
?0
.
1?x< br>1?x
?1
,故
log
a
(1?x)

lo g
a
2
而由条件得:
0?1?x
2
?1,0?
?l og
a
(1?x)?log
a
2
1?x
1?x
同号 .
1?x
1?x
?0
,故
|log
a
(1?x) |?|log
a
(1?x)|
.
●●总结
通过上面几个例子,我们看到,解决分类讨论问题的关键是找出分类讨论的

动机(即为什么分类),进而确定分类的对象,然后进行分类(分类时要按同一标

准进行,同时遵循分类的两原则:不重复、不遗漏),再逐类讨论,最后归纳综
5


分类讨论的数学思想
2008-11-02


合结论. 通过上面几个例子,同时我们也看到,解题时,对“分类讨论思想”的

运用,是非常自然的,并非刻意去追求什么“分类讨论”,只要掌握了有关的数

学概念、公式、法则,并在运用中领悟蕴含在其中的“分类思想”,就会养成运

用“分类讨论”的思想去解决有关数学问题的自觉意识. 当然,我们主张在

熟悉和掌握“分类讨论”思想的同时,还要正确运用常用的数学思想方法,

充分挖掘所涉及的数学问题中潜在因素(如简单性、特殊性、统一性),尽可

能简化或避免分类讨论.



6

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