高中数学重难点解决方案-江苏高中数学计算
1．1 回归分析的基本思想及其初步应用
?达标训练
1．下列结论正确的是( )
①函数关系是一种确定性关系；②相关
关系是一种非确定性关系；③回归分析是对具有函
数关系的两个变量进行统计分析的一种方法；④回归分
析是对具有相关关系的两个变量进
行统计分析的一种常用方法．
A．①②
B．①②③ C．①②④ D．①②③④
解析：根据函数关系、相关关系、回归关系的概念可知选C.
答案：C
2．在回归分析中，代表了数据点和它在回归直线上相应位置的差异的是( )
2
A．总偏差平方和 B．残差平方和 C．回归平方和
D．相关指数
R
答案：B
3．下表是某工厂6～9月份用电量(单位：万度)的一组数据：
月份
x
6
7
8
9
用电量
y
6
5
3
2
^
由散点图可知，用电量
y
与月份
x
间有较好的线性相关关系，其线性回归直线
方程是y
＝－1.4
x
＋
a
，则
a
等于( )
A．10.5 B．5.25 C．5.2 D．14.5
解析：
答案：D
4．某产品的广告费用
x
与销售额
y
的统计数据如下表：
广告费用
x
(万元)
4
2
3
5
销售额
y
(万元)
49
26
39
54
^
^^^
根据上表可得回归方程y＝b
x
＋a中的b为9.4，据此模型预报广告费用为
6万元时销售
额为( )
A．63.6万元 B．65.5万元
C．67.7万元 D．72.0万元
答案：B
5．设
(
x
1，
y
1)，(
x
2，
y
2)，…，
(
xn
，
yn
)是变量
x
和
y
的
n
个样本点，直线
l
是由这些样
本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如右图)，以下结论正确的是( )
－－
A．直线
l
过点(x，y)
B．
x
和
y
的相关系数为直线
l
的斜率
C．
x
和
y
的相关系数在0到1之间
D．当
n
为偶数时，分布在
l
两侧的样
本点的个数一定相同
答案：A
2
6．两个变量y
与
x
的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数
R如下，其
中拟合效果最好的模型是( )
2
A．模型1：相关指数
R
为0.98
2
B．模型2：相关指数
R
为0.80
2
C．模型3：相关指数
R
为0.50
2
D．模型4：相关指数
R
为0.25
答案：A
?素能提高
1．对两个变量
x
和
y
进行回归分析，得到一
组样本数据：(
x
1
，
y
1
)，(
x
2<
br>，
y
2
)，…，(
x
n
，
y
n)，
则下列说法中不正确的是( )
^^^－－
A．由样本数据得到的回归方
程y＝b
x
＋a必过样本点的中心(x，y)
B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
22
C．用
R
来刻画
回归效果，
R
的值越小，说明模型的拟合效果越好
2
D．在研究身高和体重
关系时，求得
R
＝0.64，可以叙述为“身高解释了64%的体重变
化，而随机误差
贡献了剩余的36%”，所以身高对体重的效应比随机误差的效应大
2
解析：R
的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型的拟合程度效果越好．
答案：C
2．相关
x
，
y
的样本数据如下表：
x
y
^^^
经回归分析可得
y
＝2
x
线
性相关，并由最小乘法求得回归直线方程为y＝1.1
x
＋a，则a＝
( )
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
^－^－
解析：a＝y－bx＝3.6－3.3＝0.3
答案：C
3．有下列关系：①人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系；②曲线上的点与该
点的坐标
之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一种树木，其断面直径与高
度之间的关系；⑤学生与他(她)的学号之间的关系，其中有相关关系的是____________．
答案：①③④
4．某工厂的某种型号的机器的使用年限
x
和所支出的维修费
用
y
(万元)有下表的统计资料：
1
2
2
2
3
3
4
5
5
6
x
y
^^
根据上表可得回归方程y＝1.23
x
＋a，据此模型估计，该型号机器使用年限为1
0年的
2
2.2
3
3.8
4
5.5
5
6.5
6
7.0
维修费用约________万元(结果保留两位小数)．
答案：12.38
5．已知
x
，
y
之间的一组数据如下：
x
y
^^^
则线性回归方程y＝a＋b
x
所表示的直线必
经过点________．
3
?
答案：
?
?
2
，5
?
6．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量
x
(吨)与相应的生
产
能耗
y
(吨标准煤)的几组对照数据.
0
8
1
2
2
6
3
4
x
y
(1)请画出上表数据的散点图． ^^
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出
y
关于
x
的线性回归方程
y
＝b
x
＋a.
(3)已知该厂技改前100吨甲
产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回
归方程，预测生产100吨甲产品的生产能
耗比技改前降低多少吨标准煤？
(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)
解析：(1)所求散点图如下图所示：
3
2.5
4
3
5
4
6
4.5
(2)
?
x
i
y
i<
br>＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，
i
＝
1
4
－
3＋4＋5＋6
x＝＝4.5，
4
－
2.5＋3＋4＋4.5
y＝＝3.5，
4
2222
?
x
2
i
＝3＋4＋5＋6＝86，
i
＝
1
4
－－
?
x
i
y
i
－4xy
^
b＝
i
＝
1
4
4
＝
－
2
?
x
2
i
－4x
i
＝
1
66.5－4×4.5×3.5
86－4×4.5
2
＝
66.5－63
＝0.7，
86－81
^－^－
a＝y－bx＝3.5－0.7×4.5＝0.35，
故所求线性回归方程为y＝0.7x＋0.35.
(3)根据回归方程的预测，现
在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7×100＋0.35
＝70.35，故耗能减少了90
－70.35＝19.65吨标准煤．
7．关于
x
与
y
有如下数据：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
^^
有如下两个线性模型：①y＝6.5
x
＋17
.5；②y＝7
x
＋17.试比较哪个拟合效果好．
解析：
^
由①可得yi－y
i
与y
i
－y的关系如下表：
^
y
i
－y
i
y
i
－y
5
－0.5
－20
－3.5
－10
10
10
－6.5
0
0.5
20
?
(y<
br>i
－y
i
)
2
＝(－0.5)
2
＋(－3.
5)
2
＋10
2
＋(－6.5)
2
＋0.5
2＝155.
i
＝
1
^
?
(y
i
－
y
i
)
2
＝(－20)
2
＋(－10)
2
＋10
2
＋0
2
＋20
2
＝1 000.
i
＝
1
5
5
－
?
?y
i
－y
i
?
2
i
＝
1
^
∴R
2<
br>1＝1－
?
?y
i
－y
i
?
2
i
＝
1
5
－
155
＝1－＝0.845.
1 00
0
^－
由②可得y
i
－y
i
与y
i
－y的
关系如下表：
^
－1 －5
y
i
－y
i
y
i
－y
5
8
10
－9
0
－3
20 －20 －10
?
(y
i
－y
i
)
2
＝(－1)
2
＋(－5)
2
＋8
2<
br>＋(－9)
2
＋(－3)
2
＝180.
i
＝
1
^
?
(y
i
－y
i)
2
＝(－20)
2
＋(－10)
2
＋10
2
＋0
2
＋20
2
＝1 000.
i
＝
1
5
5
－
?
?y
i
－y
i
?
2
i
＝
1
^
∴R
2<
br>2＝1－
?
?y
i
－y
i
?
2
i
＝
1
5
－
180
＝1－＝0.820.
1
000
∴R
2
1>R
2
2，∴①的拟合效果好于②的似合效果．
8．为了研究某种细菌随时间
x
变化繁殖的个数，收集数据如下：
天数
x
天
1
2
3
4
5
繁殖个数
y
个
6
12
25
49
95
6
190
(1)用天数作解释变量，繁殖个数作预报变量，作出这些数据的散点图；
解析：所求散点图如下图所示：
(2)求
y
与
x
之间的回归方程；
解析：由散
点图看出样本点分布在一条指数函数
y
＝
c
1
e
c
2
x
的周围，于是令
z
＝ln
y
，
则得下列数据表：
x
z
1
1.79
2
2.48
3
3.22
4
3.89
5
4.55
6
5.25
^
由计算器算得z＝0.69x＋1.112，则有
^
0.69
x
＋
1.112
y＝e.
2
(3)计算残差、相关指数
R
，并描述解释变量与预报变量之间的关系．
解析：(3)由题意得：
^
6.06 12.09 24.09
48.04 95.77 190.9
y
y 6 12 25 49 95 190
?
e2i＝
?
(y
i
－y
i
)
2
＝3.164 3，
i
＝
1
6
i
＝
1
6
6
^
－
2
6
2
－
?
(y
i
－y
i
)＝
?
y
i
－n
y
2
＝25 553.3，
i
＝
1
i
＝
1
3.164
3
≈0.999 9.
25
553.3
即解释变量天数对预报变量繁殖细菌的个数解释了99.99 %。
?品味高考
1．四名同学根据各自的样本数据研究变量
x
，
y
之间的相关关系，
并求得回归直线方程，
分别得到以下四个结论：
^^
①
y
与
x
负相关且y＝2.347
x
－6.423；②
y
与
x<
br>负相关且y＝－3.476
x
＋5.648；
^^
③
y与
x
正相关且y＝5.347
x
＋8.493；④
y
与
x
正相关且y＝－4.326
x
－4.578.
其中一定不正确的结论的序号是( )
A．①② B．②③ C．③④
D．①④
^^^^^
解析：由回归直线方程y＝bx＋a，知当b＞0时，y与x
正相关；当b＜0时，y与x负
相关．∴①④一定错误．故选D.
答案：D
2．已知
x
与
y
之间的几组数据如下表：
R
2
＝1－
x
1
2
3
4
5
6
3
3
4
^^^
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y＝b
x
＋a，若某同学根据上表中的前两组
数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为
y
′＝
b
′
x＋
a
′，则以下结论正确的是( )
^^^^
A.b＞
b
′，a＞
a
′
B.b＞
b
′，a＜
a
′
^^^^
C.b＜
b
′，a＞
a
′
D.b＜
b
′，a＜
a
′
713
58－6××
26
5
－
217
－
13
^
解析：x＝＝，
y＝，代入公式求得b＝＝，
6267
?
2
7
91－6×
?
?
2
?
1
^－^－－
1357
a＝y－bx－y
＝－×＝－，
6723
^^
而b′＝2，a′＝－2，∴b＜b′，a＞a′，故选C.
答案：C
3．从某居民区随机抽取10个家庭，获得
i
个家庭的月收入x
i
(单位：千元)与月储蓄
y
i
(单
1010101
0
2
位：千元)的数据资料，算得
?
x
i
＝80，
?
y
i
＝20，
?
x
i
y
i
＝1
84，
?
x
i
＝720.
i
＝1
i
＝1
i
＝1
i
＝1
^^^
(1)求家庭的月储蓄
y对月收入
x
的线性回归方程y＝b
x
＋a；
1n
801
n
20
解析：由题意知：n＝10，x＝
?
x
i
＝＝8，y＝
?
y
i
＝＝2.
n
i<
br>＝
1
n
i
＝
1
1010
22
又l<
br>xx
＝
?
x
2
i
－nx＝720－10×8＝80，
i
＝
1
n
y
0
2
1
l
xy
＝
?
x
i
y
i
－n
i
＝
1
n
＝184－10×8×2＝24， ^
l
xy
24
^^
由此得b＝＝＝0.3，a＝y－bx＝2－
0.3×8＝－0.4.
l
xx
80
故所求回归方程为：y＝0.3x－0.4.
(2)判断变量
x
与
y
之间是正相关还是负相关；
^
解析：由于变量y的值随x的值增加而增加(b＝0.3＞0)，故x与y之间是正相关．
(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．
<
br>解析：将
x
＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为：
y
＝0.3
×7－0.4＝1.7(千元)．
－－
?
x
i
y
i
－nxy
i
＝
1
n
附：线性回归方程y＝bx＋a中，
b＝
2
?
x
2
i
－nx
i
＝
1<
br>n
－－－－
，a＝y－bx，其中x，y为样本平均值，
－
^^^
线性回归方程也可写为y＝bx＋a.