高中数学选修2-3精品教案4：3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用教学设计

人教版高中数学选修2-3教学设计
3.2独立性检验的基本思想及其初步应用
教学目标
1、知识与技能
通过本节知识的学习，了解独立性检验的基本思想和初步 应用，能对两个分类变量是否有关
做出明确的判断。明确对两个分类变量的独立性检验的基本思想具体步 骤，会对具体问题作
出独立性检验。
2、过程与方法
在本节知识的学习中，应使学 生从具体问题中认识进行独立性检验的作用及必要性，树立学
好本节知识的信心，在此基础上学习三维柱 形图和二维柱形图，并认识它们的基本作用和存
在的不足，从而为学习下面作好铺垫，进而介绍K的平方 的计算公式和K的平方的观测值
R的求法，以及它们的实际意义。从中得出判断“X与Y有关系”的一般 步骤及利用独立性检
验来考察两个分类变量是否有关系，并能较准确地给出这种判断的可靠程度的具体做 法和可
信程度的大小。最后介绍了独立性检验思想的综合运用。
3、情感、态度与价值观 < br>通过本节知识的学习，首先让学生了解对两个分类博变量进行独立性检验的必要性和作用，
并引导 学生注意比较与观测值之间的联系与区别，从而引导学生去探索新知识，培养学生全
面的观点和辨证地分 析问题，不为假想所迷惑，寻求问题的内在联系，培养学生学习数学、
应用数学的良好的数学品质。加强 与现实生活相联系，从对实际问题的分析中学会利用图形
分析、解决问题及用具体的数量来衡量两个变量 之间的联系，学习用图形、数据来正确描述
两个变量的关系。明确数学在现实生活中的重要作用和实际价 值。教学中，应多给学生提供
自主学习、独立探究、合作交流的机会。养成严谨的学习态度及实事求是的 分析问题、解决
问题的科学世界观，并会用所学到的知识来解决实际问题。
教学重点、难点
教学重点：理解独立性检验的基本思想；独立性检验的步骤。
教学难点；1、理解独立性检验的基本思想；
2、了解随机变量K
2
的含义；
3、独立性检验的步骤。
教学策略
教学方法：诱思探究教学法

1

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学习方法：自主探究、观察发现、合作交流、归纳总结。
教学手段：多媒体辅助教学
教学过程：
对于性别变量，其取值为男和女两种．这种变量的不同“值”表示个体所属的不同 类别，
像这类变量称为分类变量．在现实生活中，分类变量是大量存在的，例如是否吸烟，宗教信
仰，国籍，等等．在日常生活中，我们常常关心两个分类变量之间是否有关系．例如，吸烟
与患肺癌是 否有关系？性别对于是否喜欢数学课程有影响？等等．
为调查吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随 机地调查了9965人，得到如下结果（单
位：人）
表3-7 吸烟与肺癌列联表
不患肺癌 患肺癌 总计
42
49
91
7817
2148
9965
不吸烟 7775
吸烟
总计
2099
9874
那么吸烟是否对患肺癌有影响吗？
像表3一7 这样列出的两个分类变量 的频数表，称为列联表．由吸烟情况和患肺癌情况的
列联表可以粗略估计出：在不吸烟者中，有0.54 ％患有肺癌；在吸烟者中，有2.28％患有
肺癌．因此，直观上可以得到结论：吸烟者和不吸烟者患肺 癌的可能性存在差异．
与表格相比，三维柱形图和二维条形图能更直观地反映出相关数据的总体状况．图3. 2 一1
是列联表的三维柱形图，从中能清晰地看出各个频数的相对大小．

图3.2一2 是叠在一起的二维条形图，其中浅色条高表示不患肺癌的人数，深色条高表
示患肺癌的人数．从图中可以 看出，吸烟者中患肺癌的比例高于不吸烟者中患肺癌的比例．

2

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为了更清晰地表达这个特征， 我们还可用如下的等高条形图表示两种情况下患肺癌的比
例．如图3.2一3 所示，在等高条形图中，浅色的条高表示不患肺癌的百分比；深色的条高
表示患肺癌的百分比．

通过分析数据和图形，我们得到的直观印象是“吸烟和患肺癌有关”．那么我们是否能够以一定的把握认为“吸烟与患肺癌有关”呢？
为了回答上述问题，我们先假设
H
0
：吸烟与患肺癌没有关系．用A表示不吸烟， B表示不患肺癌，则“吸烟与患肺癌
没有关系”独立”，即假设 H
0
等价于P（AB）=P(A）+P(B) .
把表3一7中的数字用字母代替，得到如下用字母表示的列联表：
表3-8 吸烟与肺癌列联表
不患肺癌 患肺癌 总计
b
d
b+d
a+b
c+d
a+b+c+d
不吸烟 a
吸烟
总计
c
a+c
在表3一8中，a恰好为事件AB发生的频数；a+b和 a+c恰好分别为事件A和B发
生的频数．由于频率近似于概率，所以在H
0
成立的条 件下应该有

3

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aa?ba?c
,
??
nnn
其中
n?a?b?c?d
为样本容量， (a+b+c+d)≈(a+b)(a+c) , 即ad≈bc.
因此，|ad- bc|越小，说明吸烟与患肺癌之间关系越弱；|ad -bc|越大，说明吸烟与患肺癌之间
关系越强．
为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，基于上面的分析，我们构造一个随机变量
n
?
ad?bc
?
2
(1)
K?
?
a?b
??
c?d
??
a?c??
b?d
?
其中
n?a?b?c?d
为样本容量．
若 H
0
成立，即“吸烟与患肺癌没有关系”，则 K “应该很小．根据表3一7中 的数据，
2
9965
?
7775?49?42?2099
?
利用公式（1）计算得到 K “的观测值为
K??56.632
,
7817?2148?9874?91
2
2
这个值到底能告诉我们什么呢？
统计学家经过研究后发现，在 H
0
成立的情况下，
P(K
2
?6.635)?0.01
. (2)
(2）式说明，在H
0
成立的情况下，
K
2
的观测值超过 6. 635 的概率非常小，近似为0 . 01，
是一个小概率事件．现在
K
的观测值
k
≈56.632 ，远远大于6. 635，所以有理由断定H
0
不
成立，即认为“吸烟与患肺癌有关系 ”．但这种判断会犯错误，犯错误的概率不会超过0.01，
即我们有99％的把握认为“吸烟与患肺癌 有关系” .
在上述过程中，实际上是借助于随机变量
K
的观测值
k建立了一个判断H
0
是否成立的规则：
如果
k
≥6. 635 ，就判断H
0
不成立，即认为吸烟与患肺癌有关系；否则，就判断H
0
成立，
即认为吸烟与患肺癌没有关系．
在该规则下，把结论“H
0
成立”错判成“ H
0
不成立”的概率不会超过
P(K?6.635)?0.01
,
即有99％的把握认为从不成立．
上面解决问题的想法类似于反证法．要确认是否能以给定的 可信程度认为“两个分类变
量有关系”，首先假设该结论不成立，即 H
0
:“两个分类变量没有关系”
成立．在该假设下我们所构造的随机变量
K
应该很小．如果由观测数据计算得到的
K
的
观测值k很大，则在一定可信程 度上说明H
0
不成立，即在一定可信程度上认为“两个分类变
22
2
2
2

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量有关系”；如果k的值很小，则说明由样本观测数据没有发现反对H
0
的充分证据．
怎样判断
K
2
的观测值 k 是大还是小呢？这仅需确定一个正数
k
0
，当
k?k
0
时就认为
K
2
的观测值k 大．此时相应于
k
0
的判断规则为：
如果
k?k
0
，就认为“两个分类变量之间有关系”；否则就认为“两个分类变量之间没有
关系”.
我 们称这样的
k
0
为一个判断规则的临界值．按照上述规则，把“两个分类变量之间没有
2
关系”错误地判断为“两个分类变量之间有关系”的概率为
P(K?k
0< br>)
.
2
在实际应用中，我们把
k?k
0
解释为有
(1?P(K?k
0
))?100%
的把握认为“两个分类
2
变量之间有关系”；把
k?k
0
解释为不能以
(1?P(K?k
0
))?100%
的把握认为“两个分类变
量之间有关系”，或者样本观测数据没有提供 “两个分类变量之间有关系”的充分证据．上面
这种利用随机变量
K
2
来确定 是否能以一定把握认为“两个分类变量有关系”的方法，称为两
个分类变量的独立性检验．
利用上面结论，你能从列表的三维柱形图中看出两个变量是否相关吗？
一般地，假设有两个分 类变量X和Y，它们的可能取值分别为｛
x
1
,x
2
｝和｛
y
1
,y
2
｝, 其
样本频数列联表（称为2×2列联表）为：
表3一 9 2×2列联表

y
1

y
2

总计
x
1

x
2

a

b

d

a?b

c?d

c

总计
a?c

b?d

a?b?c?d

若要推断的论述为H
l
:X与Y有关系，
可以按如下步骤判断结论H
l
成立的可能性：
1．通过三维柱形图和二维 条形图，可以粗略地判断两个分类变量是否有关系，但是这
种判断无法精确地给出所得结论的可靠程度．
①在三维柱形图中，主对角线上两个柱形高度的乘积ad与副对角线上的两个柱形高度

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的乘积bc相差越大，H
1
成立的可能性就越大．
②在二维条形图中，可以 估计满足条件X=
x
1
的个体中具有Y=
y
1
的个体所占的 比例
也可以估计满足条件X=
x
2
的个体中具有Y=
y
2< br>，的个体所占的比例
相差越大，H
l
成立的可能性就越大．
2．可以 利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系，并且能较精确地给出这种判
断的可靠程度．具体做法是 ：
①根据实际问题需要的可信程度确定临界值
k
0
；
②利用公式（ 1 ) ，由观测数据计算得到随机变量
K
2
的观测值
k
;
2< br>③如果
k?k
0
，就以
(1?P(K?k
0
))?1 00%
的把握认为“X与Y有关系”；否则就说样本
a
，
a?b
c< br>.“两个比例的值
c?d
观测数据没有提供“X与Y有关系”的充分证据．
在实际应用中，要在获取样本数据之前通过下表确定临界值：
表3一10
P(K
2
?k
0
)


0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025 0.010 0.005 0.001
k
0

0.455 0.708 1.323 2.072 1.323 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
（四）、举例：
例1．在某医院，因为患心脏病而住院的 665 名男性病人中，有 214 人秃顶，而另外 772
名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有 175 人秃顶．
(1)利用图形判断秃顶与患心脏病是否有关系．
(2)能够以 99 ％的把握认为秃顶与患心脏病有关系吗？为什么？
解：根据题目所给数据得到如下列联表：
(1)相应的三维柱形图如图3.2一4所示．比较来说，底面副对角线上两个柱体高度的乘积要
大一些 ，可以在某种程度上认为“秃顶与患心脏病有关”.

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1437?(214?597 ?175?451)
2
(2)根据列联表3一11中的数据，得到
k?
≈16 .373>6 .
389?1048?665?772
因此有 99 ％的把握认为“秃顶与患心脏病有关” .
例2．为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系 ,在某城市的某校高中生中随机抽
取300名学生，得到如下列联表：
表3一12 性别与喜欢数学课程列联表

男
女
喜欢数学课程 不喜欢数学课程 总计
37
35
85
143
228
122
178
300 总计 72
2
由表中数据计算得
K
的观测值
k?4.514
．能 够以95％的把握认为高中生的性别与是否喜
欢数学课程之间有关系吗？请详细阐明得出结论的依据．
解：可以有约95％以上的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系”．作出这种判断的
依据是 独立性检验的基本思想，具体过程如下：
分别用a , b , c , d 表示样本中喜欢数学课 的男生人数、不喜欢数学课的男生人数、喜欢
数学课的女生人数、不喜欢数学课的女生人数．如果性别与 是否喜欢数学课有关系，则男生
中喜欢数学课的比例
c
a
与女生中喜欢数学课 的人数比例应该相差很多，即
c?d
a?b
|
acad?bc
?|?||

a? bc?d(a?b)(c?d)
将上式等号右边的式子乘以常数因子
(a?b?c?d)(a? b)(c?d)
(a?c)(b?d)
,

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n(ad?bc)
2
然后平方得
K?
,
(a?b)(c? d)(a?c)(b?d)
2
其中
n?a?b?c?d
．因此
K2
越大，“性别与喜欢数学课之间有关系”成立的可能性越大．
另一方面，在假设“性别与喜欢数学课之间没有关系”的前提下，事件A ={
K
2
≥3. 841｝
的概率为P (
K
2
≥3. 841) ≈0.05,
因此事件 A 是一个小概率事件．而由样本数据计算得
K
2
的观测值k=4.514，即小概率事件
A发生．因此应该断定“性别与喜欢数学课之间有关系”成立，并且这种判断结果出错的可能
性 约为5 %．所以，约有95 ％的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系”.
补充例题1：打鼾不 仅影响别人休息，而且可能与患某种疾病有关，下表是一次调查所
得的数据，试问：每一晚都打鼾与患心 脏病有关吗？

每一晚都打鼾
不打鼾
合计
解：略。



患心脏病
30
24
54
未患心脏病
224
1355
1579
合计
254
1379
1633

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