新课标2020高三数学高考二轮复习：专题十《化归思想》

【专题十】
化归思想
【考情分析】
化归与转换的思想，就是在研究 和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、
图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化， 进而达到解决问题的思想.等价转化总是将
抽象转化为具体，复杂转化为简单、未知转化为已知，通过变 换迅速而合理的寻找和选择问
题解决的途径和方法.
【知识交汇】
化归思想的核心 ，是以可变的观点对所要解决的问题进行变形，就是在解决数学问题时，
不是对问题进行直接进攻，而是 采取迂回的战术，通过变形把要解决的问题，化归为某个已
经解决的问题。从而求得原问题的解决。化归 思想不同于一般所讲的“转化”或“变换”。
它的基本形式有：①化未知为已知；②化难为易，化繁为简 ；③化高维为低维；④化抽象为
具体；⑤化非规范性问题为规范性问题；⑥化数为形，化形为数；；⑦化 曲为直；⑧化实际问
题为数学问题；⑨化综合为单一；⑩化一般为特殊等。
匈牙利著名数学家 罗莎·彼得在他的名著《无穷的玩艺》中，通过一个十分生动而有趣
的笑话，来说明数学家是如何用化归 的思想方法来解题的。有人提出了这样一个问题：“假
设在你面前有煤气灶，水龙头、水壶和火柴，你想 烧开水，应当怎样去做？”对此，某人回
答说：“在壶中灌上水，点燃煤气，再把壶放在煤气灶上。”提 问者肯定了这一回答，但是，
他又追问道：“如果其他的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够的水 ，那么你又应该
怎样去做？”这时被提问者一定会大声而有把握地回答说：“点燃煤气，再把水壶放上去 。”
但是更完善的回答应该是这样的：“只有物理学家才会按照刚才所说的办法去做，而数学家
会回答：‘只须把水壶中的水倒掉，问题就化归为前面所说的问题了’”。
化归思想是指问题之间 的相互转化。前苏联著名数学家C.A.雅诺夫斯卡娅，有一次向奥林
匹克竞赛参加者发表了《什么叫解 题》的演讲，她的答案显得惊人地简单，完全出乎人的意
料：“解题就是把题归结为已经解决过的问题” ，这句话实际上就是体现了化归思想。因此化
归的常用模式为
问题A

对 象 目 标
问题A的解答 问题B的解答
解答



转化
问题B

【思想方法】
一、将未知的问题转化归结为已知的知识
【例1】设
f(x)?2cosx?cosx?1(0?x?
?
),
若方程
f( x)?k(cosx?2)
中的cosx
有两个不同的符号,求实数k的取值范围。
【分析】令cosx=t,
t?(?1,1)
,则由
f(x)?k(cosx?2)< br>得
2t?(1?k)t?2k?1?0,(1)
方程
2
2
f (x)?k(cosx?2)
中的cosx有两个不同的符号，等价于关于t的方程(1)在
t ?(?1,1)
有异
?
g(0)?0
?
2
号两根,设
g(t)?2t?(1?k)t?2k?1
,则原问题又等价于
?
g(?1)?0< br>, 由此可得
?
g(1)?0
?
0?k?

1

2
【评注】将未知的问题向已知的知识转化，并使未知和已知的知识发生 联系，使之能用熟悉
的知识和方法解决新的问题。这种转化经常可达到事半功倍的效果。例如要求空间两 条异面
直线所成的角，只须通过作平行线转化成大家所熟悉的两相交直线所成的角。又如复杂的三
角函数的最值问题有时也可以通过换元转化为熟悉的二次函数最值问题，再如还可以用三角
法解决几何 量的最值问题等等。
二、数形之间的转化
【例3】讨论方程
|x?2x?3|?a
?
a?R
?
的实数解的个数.
2
分析:此题若从代数的角 度去解恐怕是无从下手,我们不妨利
用数形结合来考虑看会怎么样？此题可转化为求函数
y?| x
2
?2x?3|
图象与函数
y?a
图象的交点个数的问题. 解:作出函数
y?|x?2x?3|
的图象,如右图所示,函数
2
y?a
为水平直线,由图形可知:
当
a?0
时,解的个数是
0
; 当
a?0
或
a?4
时,解的个数是
2
;
当
0?a?4
时,解的个数是
4
; 当
a?4
时, 解的个数为3;
【评注】注意数形的相互转化，使数形达到和谐的统一，以增强直观性和形象性及深刻 了解
数学的内涵，便于发现和解决实质问题。某些代数问题、三角问题，往往潜在着几何背景，
而借助其背景图形的性质，可使那些抽象的概念，复杂的数量关系几何直观，以便于探求解
题思路或找到 问题的结论。

三、特殊与一般的相互转化
在平面直角坐标系
xOy
中，已知
△ABC
的顶点
A(?4，0)
和
C(4，0)< br>，顶点
B
在椭圆
x
2
y
2
sinA?sin C
??1
上，则
?
_____．
259
sinB
解析：这里顶点
B
是椭圆上的动点，所以
sinA
、
sinB
、
sinC
不易确定。但根据“一般成
立特殊一定成立”可将这个一般性的问题转化 化归为
B
点在特殊位置（椭圆短轴端点）来处
理较易。
当然：注意到
A
、
C
是两焦点，利用正弦定理，进行数形转化也能取得很好的效果.
答案：顶点
B
取椭圆短轴端点，即
B(0,3)
，则
si nA?sinC?cos
B3B4
?
，
sin?
，
2525
?sinB?2sin
BB3424sinA?sinC5
，
?cos?2? ???

225525sinB4
点评：象这种“特殊与一般的相互转化”在高考的选 择题和填空题中经常应用。


【评注】对于那些结论不明或解题思路不易发现的问题 ，可先用特殊情形探求解题思路或命
题结论，再在一般情况下给出证明，这不失为一种解题的明智之举。


四、正与反的相互转化

2
若下列方程：< br>x?4ax?4a?3?0
，
x?(a?1)x?a?0
，
22
x
2
?2ax?2a
=0中至少有
一个方程有实根. 试求实数
a
的取值范围.
分析：三个方程至少有一个方程有实根的反面情况有一种：三个方程均没有实数. 先求出
反面情况时
a
的范围，取所得范围的补集就是正面情况的答案.
解：设三个方程均无实根，则有
?
?
1
?16a
2
?4(?4a?3)?0,
?
22

?
?
2
?(a?1)?4a?0,
?
2
??4a?4(?2a)?0.
3< br>?
1
?
3
??a?,
?
22
?
13
?
解得
?
a??1或a?,???即??a??1.

32
?
?
?2?a?0.
?
?
所以当
a??1或a??
3
时，三个方程至少有一个方程有实根.
2

【评注】对于那 些从“正面进攻”很难奏效或运算较难的问题，可先攻其反面，从而使正面
问题得以解决。

五、实际问题向数学问题的转化归结
【例6】某厂家拟在2020年举行促销活动，经调查测 算，该产品的年销售量（即该厂的年产
(m?0)
万元满足
x?3?
量）x
万件与年促销费用
m
k
（
k
为常数），如果不搞促销 活动，
m?1
则该产品的年销售量是1万件. 已知2020年生产该产品的固定投入为8万元 ，每生产1万件
该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1. 5倍（产
品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）．
（1）将2020年 该产品的利润
y
万元表示为年促销费用
m
万元的函数；
（2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
解：（1）由题意可 知，当
m?0
时，
x?1
，∴
1?3?k
即
k?2
，
2
8?16x
，每件产品的销售价格为
1.5?
元.
m?1
x
8?16x
∴2020年的利润
y?x[1.5?]?(8 ?16x?m)

x
216

?4?8x?m?4?8(3?)?m??[?(m?1)]?29(m?0)

m?1m?1
16
?(m?1)?216?8
. （2）∵
m?0< br>时，
m?1
16
∴
y??8?29?21
，当且仅当
?m?1
，即
m?3
时，
y
max
?21
. m?1
∴
x?3?
答：该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最 大，最大为21万元.

【评注】将实际问题转化为数学问题，使之能用数学理论解决具体的 实际问题。解答数学应
用问题。要善于调整应用题中的条件关系和题型结构，使问题化难为易，化繁为简 。若有些
较复杂的应用题采用直接设元列方程转化较困难，则可合理地设置间接未知数来设法进行转化，以寻求解决问题的新途径。

【专题演练】
1．若不等式
x?p x?4x?p?3
对一切
0?p?4
均成立，试求实数
x
的取值范围 。

2. 方程
y
=
x
–3
x
=< br>a
有相异三个解，求
a
的取值范围.


3
2

3. 曲线
y
=1+
4?x
2
(–2≤
x
≤2)与直线
y
=
r
(
x
–2)+4有两个交点时，实数
r的取值范
围
.

4. 为处理含有某种杂质的污水 ，要制造一个底宽为2米的无盖长方体沉淀箱
（如图），污水从
A
孔流入，经沉淀后从
B
孔流出，设箱体的长度为
a
米，高度为
b
米，已知流出的 水中该杂质的质量分数与
a
、
b
的乘积
ab
成反比，现有制 箱材料
60平方米，问当
a
、
b
各为多少米时，经沉淀后流出的水中 该杂质的质量分数最小
（
A
、
B
孔的面积忽略不计）？


化归与转换的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、
图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想.等价转化总是将
抽象转化 为具体，复杂转化为简单、未知转化为已知，通过变换迅速而合理的寻找和选择问
题解决的途径和方法.

【参考答案】
1. 解:
Q
x?px?4x?p?3

?
(x?1)p?x?4x?3?0

令
g(p)?
(x? 1)p?x?4x?3
，则要使它对
0?p?4
均有
g(p)?0
， 只要有
2
22
?
g(0)?0

?x?3
或
x??1
。
?
g(4)?0
?

2. 解：.提示：
f
′(< br>x
)=3
x
–3=3(
x
–1)(
x
+1) 易确定
f
(–1)=2是极大值，
f
(1)=–2是极
小值.当–2 <
a
<2时有三个相异交点.

3. 解：解析：方程
y
=1+
4?x
2
的曲线为半圆，
y
=
r
(
x
–2)+4为过（2，4）的直线.
2

答案：（
53
,
］
124
k
(
k
＞0为比例
ab
4. 解法一：设经 沉淀后流出的水中该杂质的质量分数为
y
，则由条件
y
=
系数)其中
a
、
b
满足2
a
+4
b
+2
ab
=60 ①
要求
y
的最小值，只须求
ab
的最大值.
由①(
a
+2)(
b
+1)=32(
a
＞0,
b
＞0)且
ab
=30–(
a
+2
b
)
应用重要不等式a
+2
b
=(
a
+2)+(2
b
+2)–4≥
2(a?2)(2b?2)?4?12

∴
ab
≤18，当且仅当
a
=2
b
时等号成立 < br>将
a
=2
b
代入①得
a
=6,
b
= 3.
故当且仅当
a
=6,
b
=3时，经沉淀后流出的水中该杂质的 质量分数最小.
解法二：由2
a
+4
b
+2
ab
=60,得
b?
记
u?ab?
30?a
,
2?a
(30?a)a
(0＜
a
＜30)则要求
y
的最小值只须求
u
的最大值.
2?a
64?(a?2)
2
由
u
?
?
，令
u
′=0得
a
=6
(a?2)
2
且当0＜
a
＜6时，
u
′＞0，当6＜
u
＜30时
u
′＜0,
(30?a)a
在
a
=6时取最大值，此时
b
=3. 2?a
k
从而当且仅当
a
=6，
b
=3时,
y
=取最小值.
ab
∴
u?