人教版 高中数学【选修 2-1】1.1《回归分析的基本思想及其初步应用》习题及答案

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数学·选修1－2(人教A版)

1．1 回归分析的基本思想及其初步应用

?达标训练

1．下列结论正确的是( )
①函数关系是一种确定性关系；②相关关系是一种非确定性关
系；③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方
法；④回归分析是对具有相 关关系的两个变量进行统计分析的一种常
用方法．
A．①② B．①②③
C．①②④ D．①②③④

解析：根据函数关系、相关关系、回归关系的概念可知选C.
答案：C

2．在回归分析中，代表了数据点和它在回归直线上相应位置的
差异的是( )
A．总偏差平方和 B．残差平方和
C．回归平方和 D．相关指数
R
2


答案：B

3．下表是某工厂6～9月份用电量(单位：万度)的一组数据：

月份
x
6

7

8

9
用电量
y
6

5

3

2

由散点图可知，用电量
y
与月份
x
间有较好的线性相关关系，其
线性回归直线方程是
^
y＝－1.4
x
＋
a
，则
a
等于( )
A．10.5 B．5.25
C．5.2 D．14.5

解析：


答案：D

4． (2013·广东四校联考)某产品的广告费用
x
与销售额
y
的统
计 数据如下表：

广告费用
x
(万元)

4

2

3

5
销售额
y
(万元)

49

26

39

54

根 据上表可得回归方程
^
y＝
^
b
x
＋
^
a 中的
^
b为9.4，据此模型预报广
告费用为6万元时销售额为( )
A．63.6万元 B．65.5万元
C．67.7万元 D．72.0万元

答案：B

5．设(
x
1，
y
1)，(
x
2，
y
2)，…，(
xn
，
yn
)是变量
x
和
y
的
n
个
样本点，直 线
l
是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线
(如右图)，以下结论正确的 是( )
A．直线
l
过点(
－
x，
－
y)
B．
x
和
y
的相关系数为直线
l
的斜率
C．
x
和
y
的相关系数在0到1之间
D．当
n
为偶数时，分布在
l
两侧的样

本点的个数一定相同

答案：A

6．两个变量y
与
x
的回归模型中，分别选择了4个不同模型，

它们的 相关指数
R
2
如下，其中拟合效果最好的模型是( )
A．模型1：相关指数
R
2
为0.98
B．模型2：相关指数
R
2
为0.80
C．模型3：相关指数
R
2
为0.50
D．模型4：相关指数
R
2
为0.25

答案：A

?素能提高

1．对两个变量
x
和
y
进行回归分析，得到一组样本数据：(
x
1
，
y
1
)，(< br>x
2
，
y
2
)，…，(
x
n
，y
n
)，则下列说法中不正确的是( )
^
＝
^
A ．由样本数据得到的回归方程yb
x
＋
^
a必过样本点的中心(
－< br>x，
－
y)
B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
C．用< br>R
2
来刻画回归效果，
R
2
的值越小，说明模型的拟合效果越
好
D．在研究身高和体重关系时，求得
R
2
＝0.64，可以叙述 为“身
高解释了64%的体重变化，而随机误差贡献了剩余的36%”，所以身
高对体重的效应 比随机误差的效应大

解析：
R
2
的值越大，说明残差平方和越小 ，也就是说模型的拟合
程度效果越好．
答案：C

2．(2014·深圳 市高三第一次调研)相关
x
，
y
的样本数据如下表：

x
1

2

3

4

5
y
2

2

3

5

6

经回归分析可得
y
＝2
x
线性相关，并由最 小乘法求得回归直线方
程为
^
y＝1.1
x
＋
^
a ，则
^
a＝( )
A．0.1 B．0.2
C．0.3 D．0.4

解析：
^
a＝
－
y－
^
b
－
x＝3.6－3.3＝0.3

答案：C


3．有下列关系：①人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系；
②曲线上的点与该 点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的
关系；④森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间 的关系；⑤学
生与他(她)的学号之间的关系，其中有相关关系的是____________．

答案：①③④

4．(2013·广州一模)某工厂的某种型号的机器的 使用年限
x
和
所支出的维修费用
y
(万元)有下表的统计资料：

x
2

3

4

5

6
y
2.2

3.8

5.5

6.5

7.0

根据上表可得回归方程
^
y＝ 1.23
x
＋
^
a，据此模型估计，该型号机
器使用年限为10年的 维修费用约________万元(结果保留两位小
数)．

答案：12.38

5．已知
x
，
y
之间的一组数据如下：

x
0

1

2

3
y
8

2

6

4

则线性回归 方程
^
y＝
^
a＋
^
b
x
所表示的直线必 经过点________．

?
3
?
答案：
?
2
，5
?

??

6．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录
的产量
x
(吨)与相应的生产能耗
y
(吨标准煤)的几组对照数据.

x
3

4

5

6

y
2.5

3

4

4.5

(1)请画出上表数据的散点图．
(2)请根据上表提供的数据， 用最小二乘法求出
y
关于
x
的线性
^
x
＋
^
回归方程
y
＝ba.
(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为 90吨标准煤．试
根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比
技改 前降低多少吨标准煤？
(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)

解析：(1)所求散点图如下图所示：

(2)
?
x< br>i
y
i
＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，
i
＝
1
4
3＋4＋5＋6
－
x＝＝4.5，
4
2.5＋3＋4＋4.5
－
y＝＝3.5，
4
2222
?
x
2
i
＝3＋4＋5＋6＝86，
i
＝
1
4
x
－
y
?
x
i
y
i
－4
－
^
b＝
i
＝
1
4
－
2
?
x
2
i
－4x
i
＝< br>1
4
66.5－4×4.5×3.5
＝
86－4×4.5
2
66.5－63
＝＝0.7，
86－81^
a＝
－
y－
^
b
－
x＝3.5－0.7×4 .5＝0.35，
故所求线性回归方程为y＝0.7x＋0.35.

(3)根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的
数量为0.7×100＋0.3 5＝70.35，故耗能减少了90－70.35＝19.65
吨标准煤．

7．关于
x
与
y
有如下数据：

x
2

4

5

6

8
y
30

40

60

50

70

^
＝6.5
x
＋17.5；②
^
有如下两个线性模型：①yy＝7
x
＋17.试比较
哪个拟合效果好．

解析：
由①可得yi－
^
y
i
与y
i
－y的关系如下表：
y
i
－
^
y
i

－0.5 －3.5
10
－6.5
0.5
y
i
－y －20 －10
10

y
i
)
2
＝(－0.5)
2＋(－3.5)
2
＋10
2
＋(－6.5)
2
＋0.5
2
＝155.
?
(y
i
－
^
i
＝
1
5
0 20
y
i
)
2
＝(－20)
2
＋(－10)
2
＋10
2
＋0
2
＋20
2
＝1 000.
?
(y
i
－
－
i
＝
1
5
y
i
?
2
?
?y
i
－
^
i< br>＝
1
5
∴R
2
1＝1－
y
i
?2
?
?y
i
－
－
i
＝
1
5
155
＝1－＝0.845.
1 000
由②可得y
i
－
^
y
i
与y
i
－
－
y的关系如下表：
y
i
－
^
y
i

－1 －5
8
－9 －3
y
i
－y －20 －10
10
5
0 20
y
i
)
2
＝(－1)
2＋(－5)
2
＋8
2
＋(－9)
2
＋(－3)
2
＝180.
?
(y
i
－
^
i
＝1

y
i
)
2
＝(－20)
2
＋ (－10)
2
＋10
2
＋0
2
＋20
2
＝ 1 000.
?
(y
i
－
－
i
＝
1< br>5
y
i
?
2
?
?y
i
－
^
i
＝
1
5
∴R2＝1－
2
y
i
?
2
?
?y
i
－
－
i
＝
15
180
＝1－＝0.820.
1 000
∴R
2
1>R
2
2，∴①的拟合效果好于②的似合效果．


8．为了研究某种细菌随时间
x
变化繁殖的个数，收集数据如下：
天数
x
天

1

2

3

4

5

6
繁殖个数
y
个

6

12

25

49

95

190
(1)用天数作解释变量，繁殖个数作预报变量，作出这些数据的
散点图；

解析：所求散点图如下图所示：

(2)求
y
与
x
之间的回归方程；

解析：由散 点图看出样本点分布在一条指数函数
y
＝
c
1
e
c
2
x
的周
围，于是令
z
＝ln
y
，则得下列数据表：


1

2

3

4

5

1.72.43.23.84.5
z
9

8

2

9

5

由计算器算得
^
z＝0.69x＋1.112，则有
^
y＝e
0.69x
＋
1.112
.


x
6
5.2
5

(3)计算残差、相关指数
R
2
，并描述解释变量与预报变量之间的
关系．

解析：(3)由题意得：
^
y
6.06 12.09 24.09 48.04 95.77 190.9
6 12 25 49 95 190
y
y
i
)
2
＝3.164 3，
?
e2i＝
?
(y
i
－
^
i
＝
1
6
i
＝
1
6
6
－
2
y
i
)
2
＝
?
y
2
?
(y
i
－
－
i
－n y＝25 553.3，
i
＝
1
i
＝
1
6
3.164 3
R
2
＝1－≈0.999 9.
25 553.3

即解释变量天数对预报变量繁殖细菌的个数解释了99.99 %。

?品味高考

1．(2013·湖北卷)四名同学根据各自的样本数据研究变量
x
，y
之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：
①
y
与
x
负相关且
^
y＝2.347
x
－6.423； ②
y
与
x
负相关且
^
y＝－3.476
x＋5.648；
③
y
与
x
正相关且
^
y＝5 .347
x
＋8.493；
④
y
与
x
正相关且< br>^
y＝－4.326
x
－4.578.
其中一定不正确的结论的序号是( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①④

解析：由回归直线方程
^
y＝
^
bx＋
^
a，知当
^
b＞0时，y与x正相关；
当
^
b＜0时， y与x负相关．∴①④一定错误．故选D.
答案：D

2．(2013·福建卷)已知
x
与
y
之间的几组数据如下表：

x
1

2

3

4

5

6
y
0

2

1

3

3

4
假设根据上表数据所得 线性回归直线方程为
^
y＝
^
b
x
＋
^
a ，若某同学
根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为
y
′＝
b
′
x
＋
a
′，则以下结论正确的是( )
^
＞
b
′，a
^
＞
a
′ B.b
^
＞
b
′，a
^
＜
a
′ A.b
^
＜
b
′，a
^
＞
a
′ D.b
^
＜
b
′，a
^
＜
a
′ C.b

713
58－6××
26
5217
－
13
－^
解析：x＝＝，y＝，代入公式求得b＝＝，
626
?
7?
2
7
91－6×
?
2
?
??
135 71
^－^－－
a＝y－bx－y＝－×＝－，
6723
而b′＝2，a′ ＝－2，∴
^
b＜b′，
^
a＞a′，故选C.
答案：C

3．(2013·重庆卷)从某居民区随机抽取10个家庭，获得
i
个家< br>庭的月收入
x
i
(单位：千元)与月储蓄
y
i
(单位 ：千元)的数据资料，算
10101010
2
得
?
x
i＝80，
?
y
i
＝20，
?
x
i
y< br>i
＝184，
?
x
i
＝720.
i
＝1< br>i
＝1
i
＝1
i
＝1
(1)求家庭的月储蓄
y
对月收入
x
的线性回归方程
^
y＝
^
b
x
＋
^
a；

1
n
801
n
2 0
解析：由题意知：n＝10，x＝
n
?
x
i
＝＝8，y＝
n
?
y
i
＝＝
1010
i
＝
1i
＝
1
2.
又l
xx
＝
?
x
i< br>2
－nx
2
＝720－10×8
2
＝80，
i＝
1
n

l
xy
＝
?
x
i
y
i
－n ＝184－10×8×2＝24，
i
＝
1< br>n
l
xy
24
由此得
^
b＝
l
＝＝ 0.3，
^
a＝y－
^
bx＝2－0.3×8＝－0.4.
80
xx
故所求回归方程为：y＝0.3x－0.4.

(2)判断变量
x
与
y
之间是正相关还是负相关；
^
＝0.3＞0)，故x解析：由于变量y的值随x的值增加而增加(b
与y之间是正相关 ．


(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．

解析：将
x
＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为：
y
＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．

x
－
y
?
x
i
y
i
－n
－
i
＝
1
n
附：线性回归方程y＝bx＋a中，b＝
－
2
?
x
2
i< br>－nx
i
＝
1
n
，a＝
－
y－b
－
x，其
中
－
x，
－
y为样本平均值，线性回归方程也可写为
^
y＝
^
bx＋
^
a.