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高中数学_快速解题的六种数学思维方法

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-21 17:34
tags:高中数学思想

高中数学课程哪一本最难-三视图在高中数学必修

2020年9月21日发(作者:秦牧)


高中数学_快速解题六种数学思维方法
对一个高中生,特别是高三年级准备参加高考的 童鞋来说,保证做题量是学好数学的必要条
件,在做题的同时要保证做题的质量。
总结题型归 纳方法是数学学习的更高境界,下面介绍的是高中数学6种数学思维方式和总结
题型归纳的方法,包括:
第一种快速解题数学思维方法:配方法
第二种快速解题数学思维方法:换元法
第三种快速解题数学思维方法:待定系数法
第四种快速解题数学思维方法:数学归纳法
第五种快速解题数学思维方法:参数法
第六种快速解题数学思维方法:反正法
只有用这种数学思维的思想武装自己,童鞋们才能更有效的学习数学。

更多数学思想方法,请参阅《高中数学_必须掌握的六种常用的数学思想方法》。


第一种快速解题数学思维方法:配方法
配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平 方”)的技巧,通过配方找到已知和未
知的联系,从而化繁为简.何时配方,需要我们适当预测,并且合 理运用“裂项”与“添项”、“配”
与“凑”的技巧,从而完成配方.有时也将其称为“凑配法”. < br>最常见的配方是进行恒等变形,使数学式子出现完全平方.它主要适用于:已知或者未知中
含有二 次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解,或者缺项的二次曲线的
平移变换等问题.
配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式:

将这个公式灵活运用,可得到各种基本配方形式,如:





例题:





第二种快速解题数学思维方法:换元法
解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去 代替它,从而使问题得到简化,这种
方法叫换元法.换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据 是等量代换,目的是变
换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化 、复杂问
题简单化,变得容易处理.
换元法又称辅助元素法、变量代换法.通过引进新的变量 ,可以把分散的条件联系起来,隐
含的条件显露出来,或者把条件与结论联系起来.或者变为熟悉的形式 ,把复杂的计算和推
证简化.
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超 越式为代数式,在研究方程、
不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用.
换元的方法 有:局部换元、三角换元、均值换元等.局部换元又称整体换元,是在已知或者
未知中,某个代数式几次 出现,而用一个字母来代替它从而简化问题,当然有时候要通过变
形才能发现.














第三种快速解题数学思维方法:待定系数法
要确定变量间的函数关系,设出某 些未知系数,然后根据所给条件来确定这些未知系数的方
法叫待定系数法,其理论依据是多项式恒等,也 就是利用了多项
或者两个多项式各同类项的系数对应相等.
待定系数法解题的关键是依据已 知,正确列出等式或方程.使用待定系数法,就是把具有某
种确定形式的数学问题,通过引入一些待定的 系数,转化为方程组来解决,要判阿断一个问
题是否用待定系数法求解,主要是看所求解的数学问题是否 具有某种确定的数学表达式,如
果具有,就可以用待定系数法求解.例如分解因式、拆分分式、数列求和 、求函数式、求复
数、解析几何中求曲线方程等,这些问题都具有确定的数学表达形式,所以都可以用待 定系
数法求解.
使用待定系数法,它解题的基本步骤是:
第一步,确定所求问题含有待定系数的解析式;
第二步,根据恒等的条件,列出一组含待定系数的方程;
第三步,解方程组或者消去待定系数,从而使问题得到解决.
如何列出一组含待定系数的方程,主要从以下几方面着手分析:
①利用对应系数相等列方程;
②由恒等的概念用数值代入法列方程;
③利用定义本身的属性列方程;
④利用几何条件列方程.
比如在求圆锥曲线的方程时,我们可以用待定系数法求方程:首先设 所求方程的形式,其中
含有待定的系数;再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组;最后 解所得的
方程或方程组求出未知的系数,并把求出的系数代入已经明确的方程形式,得到所求圆锥曲线的方程.







第四种快速解题数学思维方法:数学归纳法
运用数学归纳法证明问题时,关键 是n=k+1时命题成立的推证,此步证明要具有目标意识,注意与最终要达
到的解题目标进行分析比较 ,以此确定和调控解题的方向,使差异逐步减小,最终实现目标完成解题。
运用数学归纳法,可以证明 下列问题:与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何
问题、整除性问题等等 。
Ⅰ、再现性题组:
4. 数列{a}中,已知a
1
=1,当n≥2时a
n
=a
n?1
+2n-1,依次计算a
2
、a
3< br>、a
4
后,猜想a
n
的表达式是_____。
A. 3n-2 B. n C. 3
Ⅱ、示范性题组:
2n?1
n
D. 4n-3
8·n
8·1
例1. 已知数列
2
,得,?,,?。S
n< br>为其前n项和,求S
1
、S
2
、S
3
、S
4
,推测
1·3
2
(2n?1)
2
·(2n?1)
2
S
n
公式,并用数学归纳法证明。 (93年全国理)

n(a
1
?a
n
)
例3. 设数列{a
n
}的前n项和为S
n
,若对于所有的自然数n,都有S
n
=,证明{a
n
}是等差数列。
2
(94年全国文)

Ⅲ、巩固性题组:
1. 用数学归纳法证明:6
2n?1
+1 (n∈N)能被7整除。
2
2. 用数学归纳法证明: 1×4+2×7+3×10+?+n(3n+1)=n(n+1) (n∈N)。
3. 用数学归纳法证明: |sinnx|≤n|sinx| (n∈N)。 (85年广东高考)


第五种快速解题数学思维方法:参数法
参数法是指在解题过程中,通过适当引入一 些与题目研究的数学对象发生联系的新变量(参
数),以此作为媒介,再进行分析和综合,从而解决问题 .直线与二次曲线的参数方程都是
用参数法解题的例证.换元法也是引入参数的典型例子.
辨 证唯物论肯定了事物之间的联系是无穷的,联系的方式是丰富多采的,科学的任务就是要
揭示事物之间的 内在联系,从而发现事物的变化规律.参数的作用就是刻画事物的变化状态,
揭示变化因素之间的内在联 系.参数体现了近代数学中运动与变化的思想,其观点已经渗透
到中学数学的各个分支.运用参数法解题 已经比较普遍.
参数法解题的关键是恰到好处地引进参数,沟通已知和未知之间的内在联系,利用参数 提供
的信息,顺利地解答问题.













Ⅱ、示范性题组:
例1. 实数a、b、c满足a+b+c=1,求a+b+c的最小值。

222
第六种快速解题数学思维方法:反正法




实施的具体步骤是:
第一步,反设:作出与求证结论相反的假设;
第二步,归谬:将反设作为条件,并由此通过一系列的正确推理导出矛盾;
第三步,结论:说明反设不成立,从而肯定原命题成立。
在数学解题中经常使用反证法,牛顿曾经说过:“反证法是数学家最精当的武器之一”。








Ⅰ、再现性题组:
1. 已知函数f(x)在其定义域内是减函数,则方程f(x)=0 ______。
A.至多一个实根 B.至少一个实根 C.一个实根 D.无实根

Ⅱ、示范性题组:
S
例1. 如图,设SA、SB是圆锥SO的两条母线,O是底面圆心,C是

SB上一点。求证:AC与平面SOB不垂直。
C
222
例2. 若下列方程:x+4ax-4a+3=0, x+(a-1)x+a=0, x

A O
2
B
+2ax-2a=0至少有一个方程有实根。试求实数a的取值范围。

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