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高中数学专题复习之用分类讨论思想解题

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-21 17:50
tags:高中数学思想

大专学的是高中数学还是初中的-如何做好初高中数学教学的衔接

2020年9月21日发(作者:孔叔平)


高中数学专题复习之用分类讨论思想解题


参数广泛地存在于中学数 学的各类问题中,也是近几年来高考重点考查的热点问题之
一。以命题的条件和结论的结构为标准,含参 数的问题可分为两种类型,。一种类型的问题
是根据参数在允许值范围内的不同取值(或取值范围),去 探求命题可能出现的结果,然后
归纳出命题的结论;另一种类型的问题是给定命题的结论去探求参数的取 值范围或参数应满
足的条件。本文拟就第一类问题的解题思想方法――分类与讨论作一些探讨,不妥之处 ,敬
请斧正。
解决第一类型的参数问题,通常要用“分类讨论”的方法,即根据问题的条件和 所涉及
到的概念;运用的定理、公式、性质以及运算的需要,图形的位置等进行科学合理的分类,
然后逐类分别加以讨论,探求出各自的结果,最后归纳出命题的结论,达到解决问题的目的。
它实际上 是一种化难为易,化繁为简的解题策略和方法。
一、科学合理的分类
把一个集合A分成若干 个非空真子集A
i
(i=1、2、3···n)(n≥2,n∈N),使集合A
中的每 一个元素属于且仅属于某一个子集。即
①A
1
∪A
2
∪A
3
∪···∪A
n
=A
②A
i
∩A
j
=φ(i,j∈N,且i≠j)。
则称对集A进行了一次科学的分类(或称一次逻辑划分)
科学的分类满足两个条件:条件①保 证分类不遗漏;条件②保证分类不重复。在此基础
上根据问题的条件和性质,应尽可能减少分类。
二、确定分类标准
在确定讨论的对象后,最困难是确定分类的标准,一般来讲,分类标准的确定通常有三
种:
(1)根据数学概念来确定分类标准
?
a(a?0)
?
例如:绝对值的定义是:
|a|?
?
0(a?0)
?
?a(a?0)
?
1


所以在解含有绝对值的不等式|log
1
x|+ |log
1
(3-x)|≥1时,就必须根据确定log
1
x , < br>333
log
1
(3-x)正负的x值1和2将定义域(0,3)分成三个区间 进行讨论,即0<x<1,
3
1≤x<2,2≤x<3三种情形分类讨论。
例1、 已知动点M到原点O的距离为m,到直线L:x=2的距离为n,且m+n=4
(1)求点M的轨迹方程。
(2)过原点O作倾斜角为α的直线与点M的轨迹曲线交于P,Q 两点,求弦长|PQ|的
最大值及对应的倾斜角α。
解:(1)设点M的坐标为(x,y), 依题意可得:
x
2
?y
2
+
x?2
= 4
根据绝对值的概念,轨迹方程取决于x>2还是x≤2,所以以2为标准进行分类讨论可
得轨迹方程为:y
2
=
?
?
4(x?1)(?1?x?2)
y

?
?12(x?3)(2?x?3)
解(2)如图1,由于P,Q的位置变化, Q
弦长|PQ|的表达式不同,故必须分 -1 O 2 3 x
点P,Q都在曲线y
2
=4(x+1)以及一点 P
在曲线y
2
=4(x+1)上而另一点在
?
2
?
?
4
(?
?
?)
?
sin
2
?
33
?
8
?
?
2
( 0?
?
?)
曲线y=-12(x-3)上可求得:
PQ?
?
3
?
1?cos
?
2
?
?
8
(?
?
?
?
)
?
3
?
1?cos
?
?
2
?
16
从而知当
?
?

?
?
时,
PQ
max
?.

333
(2)根据数学中的定理,公式和性质确定分类标准。
数学中的某些公式,定 理,性质在不同条件下有不同的结论,在运用它们时,就要分类
讨论,分类的依据是公式中的条件。 < br>例如,对数函数y=log
a
x的单调性是分0<a<1和a>1两种情况给出的,所以 在解底
数中含有字母的不等式;如log
x
1
>-1就应以底数x>1和0< x<1进行分类讨论,即:当x
3
2


>1时,
1111
?
, 当0<x<1时,
?
.
3x3x
?
na
1
(q? 1)
?
n
又如,等比数列前几项和公式是分别给出的:
S
n
?
?
a
1
(1?q)

(q?1)
?
?< br>1?q
所以在解这类问题时,如果q是可以变化的量,就要以q为标准进行分类讨论。
例2、设首项为1,公比为q(q>0)的等比数列的前n项和为S
n
,又设T
n
2,···,求T
n

解:当q=1时,S
n
=n, T
n

S
n
,n=1,
S
n?1
n
,
?limT
n
?1

n??
n?1
1? q
n
当q≠1时,S
n

1?q
n??
S
n?1
n
1?q
n?1
?
1?q
n??
1?qn

T
n
?
n?1
1?q
于是当0<q<1时 ,
limq?0,?limT
n
?1

当q>1时,
lim
11
?0,?limT?

n
n??
q
n
n??
q
?
1(0?q?1)
?
综上所述,
limT
n
?
?
1

(q?1)n??
?
?
q
(3)根据运算的需要确定分类标准。
例如:解不等式组
?
?
3?x?4

?
1?x?a
显然,应以3,4为标准将a分为1<a≤3,3<a≤4,a>4三种情况进行讨论。
?< br>log
a
2x?2log
a
x
例3、解关于x的不等式组?
22
?
(a?1)x?a?1
其中a>0且a≠1。
解:由于不等式中均含有参数a,其解的状况均取决于a>1还是a<1,所以1为标准进
行分类,
3


(Ⅰ)当0<a<1时,可求得解为:
a?1?x?2
;
(Ⅱ)当a>1时,可解得:
?
x?2
?
, 此时不等式组是否有解关键取决于
a?1

?
0?x?a?1
与2的大小关系,所以以
a?1?2
即a=3为标准进行第二次分类。
(1)当1<a≤3时解集为Φ
(2)当a>3时解集为
(2,a?1).

综上所述:当0<a<1时,原不等式解集为 (2,

当a>3时,解集为 (2,
a?1)
;当1<a≤3时,解集为Φ;
a?1)
.
三、分类讨论的方法和步骤
(1)确定是否需要分类讨论以及需要讨论时的对象和它的取值范围;
(2)确定分类标准科学合理分类;
(3)逐类进行讨论得出各类结果;
(4)归纳各类结论。
例4、若函数f(x)=a+bcosx+csinx的图象经过点( 0,1)和(
时,|f(x)|≤2恒成立,试求a的取值范围。
??
,1)两点, 且x∈[0,]
22
?
)=a+c=1,求得b=c=1-a
2
?
f(x)=a+(1-a)(sinx+cosx)=a+
2
(1-a)sin(x+ )
4
解:由f(0)=a+b=1,f(

?
4
?x?< br>?
4
?
3
?
2
?
,??sim(x?)?1

424
①当a≤1时,1≤f(x)≤a+
2
(1-a)∵|f( x)|≤2∴只要a+
2
(1-a)≤2
解得a≥
?2
∴-
2
≤a≤1;②当a>1时,a+
2
(1-a)≤f(x)≤1,∴只要a+
2
(1-a)≥-2,解得a≤4+3
2
, ∴1<a≤4+3
2
,综合①,②知实数a的取值范围为[-
4


2
,4+3
2
]。
例5、已知函数f(x)=si m
2
x-asim
2
试求以a表示f(x)的最大值b。
x

(x?R,a?R)

2
a
2
(a ?4)
2
解:原函数化为f(x)=
?(cosx?)?

416
令t=cosx,则-1≤t≤1
a
2
(a?4)
2
记g(t)=-(
t?
)?
。t∈[-1,1]
416
因为二次函数g(t)的最大值的取得与二次函数y=g(t)的图象的顶点的横坐标相对于定
义域[- 1,1]的位置密切相关,所以以
a
相对于区间[-1,1]的位置分三种情况讨论:
4
(a?4)
2
aa
(1)当-1≤≤1,即-4≤a≤4时,b=g(t )
max
=, 此时t=
16
44
a
<-1, 即a<-4时,b=-a , 此时 t=
?1

4
a
(3)当>1, 即a>4时,b=0, 此时, t=1
4
(2)当
0(a?4)
?
?
?
(a?4)
2
(? 4?a?4)
综上所述:b=
?
16
?
?a(a??4)
?
?
例6、等差数列{a
n
}的公差d<0,S
n
为前n项 之和,若S
p
=S
q
,(p,q∈N,p≠q)试用
d,p,q表示 S
n
的最大值。
略解:由S
p
=S
q

p≠q可求得
a
1
??
∵d<0,∴a
1
>0,当且仅当
?
由a
n
≥0 得n≤
p?q?1
d

2
?
a
n
?0
时S
n
最大。
?
a
n?1
?0
p?q?1p?q?1
,由a
n+1
≤0得,n≥
22
p?q?1p?q?1p?q?1
∴≤n≤,∵n∈N,∴要以 是否为正整数即p+q是奇数还
222
5


是偶数为标准分两类讨论。
(p?q)
2
p?q
d
(1)当p+q为偶数时n=,S
n
最大且为(S
n
)
max
=
?
8
2(2)当p+q为奇数时,n=
p?q?1p?q?1
或n=, S
n
最大,且 为(S
n

max
22
1?(p? q)
2
d

8
分类讨论的思想是一种重要的解题策略,对于培养学 生思维的严密性,严谨性和灵活性
以及提高学生分析问题和解决问题的能力无疑具有较大的帮助。然而并 不是问题中一出现含
参数问题就一定得分类讨论,如果能结合利用数形结合的思想,函数的思想等解题思 想方法
可避免或简化分类讨论,从而达到迅速、准确的解题效果。
例7、解关于x的不等式:
3?2x?x
2
≥a-x y
略解:运用数形结合的思想解题如图:
在同一坐标系内作出y=
3?2x?x
2

y=a-x的图象,
以L
1
,

L
2
, L
3
在y轴上的截距作为分类标准, -1 0 3 x
知: 当a≤-1时; -1≤x≤3 L
1
L
2
L
3

1?a??a
2
?2a?7
当-1<a≤3时; ≤x≤3
2
1?a??a
2
?2a?71?a??a
2
?2a?7
?x?
当3<a
?
1+2
2
时;
22
当a>1+2
2
时,不等式无解。
例8、实数k为何值时,方程kx
2
+2|x|+k=0有实数解?
略解:运用函数的思想解题:
由方程可得k=
?
2x
1?x
2

6


因此方程有解时k的了值范围就是函数f(x)=
?
故-1≤k≤0即 为所求。
2x
1?x
2
的值域,显然-1≤f(x)≤0

7

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