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第 8 讲 函数与方程的思想
【开心自测】
1.(2011辽宁)已知函数
f(x)=
e
1
2
x
-2x+a
有零点,则的取值范围是
(-∞,2ln2-2] .
2.(2102北京)函数
f(x)?x?()
的零点个数为 ( B )
(A)0 (B)1(C)2 (D)3
3. (2012四川)
函数
y?a
x
?a(a?0,a?1)
的图象可能是( C )
1
2
x
【教学重难点】
函数与方程思想是最重要的一种数
学思想,高考中所占比重较大,综合知识多、题型多、应用技巧
多.函数思想简单,即将所研究的问题借
助建立函数关系式亦或构造中间函数,结合初等函数的图象与性质,加以分析、
转化、解决有关求值、解
(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题;方程思想即将问题中的数量关系运用
数学语言转
化为方程模型加以解决.
【秒杀方略】
函数与方程是两个不同的概念,但它们之间有着密切
的联系,方程f(x)=0的解就是函数y=f(x)的图像与x轴的
交点的横坐标,函数y=f(x)
也可以看作二元方程f(x)-y=0通过方程进行研究。
就中学数学而言,函数思想在解题中的应用
主要表现在两个方面:一是借助有关初等函数的性质,解有关求值、解(证)
不等式、解方程以及讨论参
数的取值范围等问题:二是在问题的研究中,通过建立函数关系式或构造中间函数,把所研
究的问题转化
为讨论函数的有关性质,达到化难为易,化繁为简的目的.许多有关方程的问题可以用函数的方法解决,反
之,许多函数问题也可以用方程的方法来解决。函数与方程的思想是中学数学的基本思想,也是历年高考的重点
。
1.函数的思想,是用运动和变化的观点,分析和研究数学中的数量关系,建立函数关系或构造函数
,运用函数的
图像和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决。函数思想是对函数概念的本质认
识,用于指导解题就是善于
利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。
2.方程的思想
,就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,或者构造方程,通过解方程或方程组,
或
者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决。方程的数学是对方程概念的本质认识,用于指导解题就是
善
于利用方程或方程组的观点观察处理问题。方程思想是动中求静,研究运动中的等量关系.
3.(1) 函数和方程是密切相关的,对于函数y=f(x),当y=0时,就转化为方程f(x)=
0,也可以把函数式y=f(x)
看做二元方程y-f(x)=0。函数问题(例如求函数的值域等)可
以转化为方程问题来求解,方程问题也可以转化为函数
问题来求解,如解方程f(x)=0,就是求函数
y=f(x)的零点。
(2) 函数与不等式也可以相互转化,对于函数y=f(x),当y>0时,
就转化为不等式f(x)>0,借助于函数图像与性
质解决有关问题,而研究函数的性质,也离不开解不
等式。
(3)
数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数,用函数的观点处理数列问题十分重要。
1
(4) 解析几何中的许多问题,例如直线和二次曲线的位置关系问题,
需要通过解二元方程组才能解决,涉及到二次
方程与二次函数的有关理论。
(5)
立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算,经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。
【金题精讲】
【例1】(高考山东)等比数列{
a
n
}的前n项和
为
S
n
,已知对任意的
n?N
,点
(n,S
n)
,均在函数
?
y?b?r(b?0且b?1,b,r均为常数)
的图像
上.
(Ⅰ)求r的值;
(Ⅱ)当b=2时,记
b
n?2(lo
2
ga
n
?
x
n?N
?
,不等式
1)n?(N
?
证明:对任意的
)
b?1
b<
br>1
?1b
2
?1
·······
n
?n?1
b
1
b
2
成立
【解析】(Ⅰ) 由题意知:
S
n
?b
n
?r
,
当
n?2
时
,
a
n
?S
n
?S
n?1
?b
n
?r?(b
n?1
?r)?b
n
?b
n?1
?(b?1)b
n?1
,
由于
b?0
且
b?1,
所以当
n?2
时,
{
a
n
}是以
b
为公比的等比数列,
又
a
a
2
1
?S
1
?b?r
,
a
2
?b(b?1)
,
a
?b,
即
b(b?1)
?b,
解得
r??1
.
1
b?r
(Ⅱ)∵
S
1
n
?2
n
?1
,∴当
n?2
时,
a
n<
br>?S
n
?S
n?1
?(2
n
?1)?(2
n
?
?1)?2
n?1
,
又当
n?1
时,
an?1
1
?S
1
?2
1
?1?1
,适合上式,
∴
a
1
n
?2
n?
,
b
n
?2(
log
2
2?1)?2n
,
∴
b
1
?1
b
?
b
2
?1
?L?
b
n
?1
?
3?5?7?L?(2n?1)
1
b
2
b
n
2n
?1?2?3?L?n
,
下面用数学归纳法来证明不等式:
3?5?
7?L?(2n?1)
2
n
?1?2?3?L?n
?n?1
证明:(1)当
n?1
时,左边=
3
2
?
9
4<
br>?2?
右边,不等式成立.
(2)假设当
n?k(k?N
?
)
时,不等式成立,即
3?5?7?L?(2k?1)
2
k
?1?2
?3?L?k
?k?1
,
则当
n?k?1
时,
不等式左
边=
b
1
?1
b?1b
k?1
?
b
·b
2
?1
······
k
?
1
?
3<
br>?
5
?
7
?L?
2k?1
?
2k?3
1
b
2
b
k
b
k?1
2462k2k
?2
?k?1?
2k?3
2k?2
?
(2k?3)
2
4(k?1)
?
4(k?1)
2
?4(k?1)?1
4(k?1)
?(k?1)?1?
1
4(k?1)
?(k?1)?1
所以当
n?k?1
时,不等式也成立,
综上(1)(2)可知:当
n?N
?
时,不等式
3?5?7?L?(2n?1)
2
n
?
1?2?3?L?n
?n?1
恒成立,
所以对任意的
n?N
?,不等式
b
1
?1
b
?
b
2
?1?L?
b
n
?1
?n?1
成立.
1
b
2
b
n
2
b
n
2
y
2
x<
br>【例2】如图,椭圆
2
?
2
?1
(a>b>0)的左、右焦点
分别为F
1
、F
2
,M、
N
是椭圆右准线上的两个动
ab
y
??????????
F
1
M?F
2
N?0
.
M
点,且
(1)设
C
是以
MN
为直径的圆,试判
断原点
O
与圆
C
的位置关系;
(2)设椭圆的离心率为<
br>1
,
MN
的最小值为
215
,求椭圆方程.
22
y
2
x
【解】(1)设椭圆
2
?
2
?1
的焦距为2c(c>0),
ab
2
a
则其右准线方程为x=,且F
1
(-c, 0),
F
2
(c, 0). 、
c
F
1
O
F
2
x
N
(例2)
?
?
?
?
?
??????????
因为
FM?FN?0
,所以<
br>?
a
?c
??
a
?c
?
?yy?0
,即
?
a
?
?yy?c
.
cc
c
?????????
于是
OM?ON?
?<
br>a
?
?yy?c?0
,故∠
MON
为锐角.
c??
22
22
设
M
a
,y
1
,Na
,y
2
,
cc
?????
???????????
???
2222
则
F
1
M
=
a
?c,y<
br>1
,F
2
N?
a
?c,y
2
,OM?
a
,y
1
,ON?
a
,y
2
.
cccc
?
?
?
?
?
2
2
12<
br>12
12
2
2
2
12
2
所以原点
O
在圆
C
外.
(2)因为椭圆的离心率为
1
,所以a=2c,
2
2
于是M
?
4c,y
1
?
,N
?
4c,y
2
?
,且
y
1
y
2
?c?
a
c<
br>2
22
?
?
??15c.
2
2MN
2
=(y
1
-y
2
)
2
=y1
2
+y
2
2
-2y
1
y
2
?y
1
?y
2
?2y
1
y
2
≥4y
1
y
2
?60c
2
.
当且仅当 y
1
=-y
2
=
15c
或y
2
=-y
1
=<
br>15c
时取“=”号,
所以(MN)
min
=
215c=215,于是c=1, 从而a=2,b=3,
2
y
2
x
故所求的椭圆方程是
??1
.
43
【例3】已知函数f(x)=x
2
–(m+1)x+m(m∈
R
)
(1)若tanA,tanB是方程f(x)+4=0的两个实根,A、B是锐角三角形ABC的两
个内角.求证:m≥5;
(2)对任意实数α,恒有f(2+cosα)≤0,证明m≥3;
(3)在(2)的条件下,若函数f(sinα)的最大值是8,求m.
解析:(1)证明:f(x)+4=0即x
2
–(m+1)x+m+4=0.依题意:
?
??(m?1)
2
?4(m?4)?0
?
?
ta
nA?tanB?m?1?0
又A、B锐角为三角形内两内角
?
tanA?tanB?m?4?0
?
∴
?
<A+B<π
2
tanA?tanBm?1
??0
1?tanAtanB?m?
3
∴tan(A+B)<0,即
tan(A?B)?
3
?
m
2
?2m?15?0
?
m?1?0
?
?
∴
?
m?4?0
∴m≥5
??
m?1
?0
?
?
m?3
(2)证明:∵f(x)=(
x–1)(x–m)
又–1≤cosα≤1,∴1≤2+cosα≤3,恒有f(2+cosα)≤0
即1≤x≤3时,恒有f(x)≤0即(x–1)(x–m)≤0
∴m≥x但x
max
=3,∴m≥x
max
=3
m?1<
br>2
(m?1)
2
)?m?
(3)解:∵f(sinα)=sin
α–(m+1)sinα+m=
(sin
?
?
24
2<
br>且
m?1
≥2,∴当sinα=–1时,f(sinα)有最大值8.
2
即1+(m+1)+m=8,∴m=3
【例4】某厂家拟在2009年举行促销活
动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)
x
万件与年促销费用
m(m?
0)
万元满足
x?3?
k
(
k
为常数),如果不搞促销活动
,则该产品的年销售量是1万件. 已知2009年生产该
m?1
产品的固定投入为8万元,每
生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成
本的1.5倍
(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用).
(1)将2009年该产品的利润
y
万元表示为年促销费用
m
万元的函数;
(2)该厂家2009年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?
解:(1)由题意可
知,当
m?0
时,
x?1
,∴
1?3?k
即
k?2
,
2
8?16x
,每件产品的销售价格为
1.5?
元.
m?1
x
8?16x
]?(8?16x?m)
∴2009年的利
润
y?x[1.5?
x
216
)?m??[?(m?1)]?29(m?0)
?4?8x?m?4?8(3?
m?1m?1
16
?(m?1)?216?8
. (2)∵
m?0
时,
m?1
16
?m?1
,即
m?3
时,
y
max
?21. ∴
y??8?29?21
,当且仅当
m?1
∴
x?3?答:该厂家2009年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大,最大为21万元.
【专题精练】
1.某建筑的金属支架如图所示,根据要求
AB
至少长2.8
m,
C
为
AB
的中点,
B
到
D
的距离比<
br>CD
的长小0.5m,
?BCD?60
0
,已知建筑支架的材料每米的
价格一定,问怎样设计
AB,CD
的长,可使建造这个支架的成本最低?
解:设
BC?am(a?1,4),CD?bm.
连结
BD
.
?
则在
?CDB
中,
(b?)
2
?b<
br>2
?a
2
?2abcos60.
A
C
B
1
2
11
a
2
?
4
.
4
?2a.
设
t?a?1,t?
2.8
?1?0.4,
?b??b?2a?
a?1a?1
2
a
2
?
D
4
地面
(t?1)
2
?
则
b?2a?
t
1
4
?2(t?1)?3t?
3<
br>?4?7,
4t
等号成立时
t?0.5?0.4,a?1.5,b?4.
答:当
AB?3m,CD?4m
时,建造这个支架的成本最低.
2.已知函数f(x)=
11
?
(a>0,x>0).
ax
(1)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数;
(2)若f(x)≤2x在(0,+∞)上恒成立,求a的取值范围;
(3)若f(x)在[m,n]上的值域是[m,n](m≠n),求a的取值范围.
(1)
证明:任取x
1
>x
2
>0,f(x
1
)–f(x
2
)=
(?
∵x
1
>x
2
>0,∴x
1<
br>x
2
>0,x
1
–x
2
>0,
∴f(x<
br>1
)–f(x
2
)>0,即f(x
1
)>f(x
2<
br>),故f(x)在(0,+∞)上是增函数.
(2)解:∵
1
a
11
111
x?x
)?(?)???
12
x
1
ax<
br>2
x
2
x
1
x
1
x
2
11
?
≤2x在(0,+∞)上恒成立,且a>0,
ax
在(0,+∞)上恒成
立,令
g(x)?
∴a≥
1
2x?
1
x
1
1
2x?
1
x
?
1
22x?
1
x
?
1
2
2
(当且仅当2x=即x=时取等号),
x
24
要使a≥
2x?
1
x
在(0,+∞)上恒成立,则a≥
22
.故a的取值范围是[,+∞).
44
(3)解:由(1)f(x)在定义域上是增函数.
∴m=f(m),n=f(
n),即m
2
–
故方程x
2
–
11
m+1=0,n
2
–n+1=0
aa
111
x+1=0有两个不相等的正根m,n
,注意到m
·
n=1,故只需要Δ=()
2
–4>0,由于a>0,则0<a
<.
2
aa
3.
讨论关于x的方程lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的实根个数
?
x?1?
0
?
3?x?0
?
13
?
解:原方程转化为
a?x
?0
,即方程x-5x+a+3=0在区间(1,3)内是否有根,由
??0
得:a?
,设f(x)=
4
?
?
?
(x?1)(3?x)
?a?x
2
x-5x+a+3,对称轴是
x?
2
5
13?
f(1)?a?1?0
,若
?
得有一根在区间(1,3)内,即当a?(1,3)?
时,原方程有一根; 若
2
4
f(3)?a?3?0<
br>?
??
?
f(1)?a?1?0
13
?
a?(3,)
时,原方程有两根; 得
f(3)?a?3?0
?
4
?
?
?0
?
a?(1,
13
4
]
时, 原方程无解.
5
【互动答疑】
6
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