高考数学考前必看重要知识点汇总：思想方法篇

高考数学考前必看系列材料
思想方法篇
一、中学数学重要数学思想
（1）函数方程思想
函数方程思想就是用函数、方程的 观点和方法处理变量或未知数之间的关
系，从而解决问题的一种思维方式，是很重要的数学思想。 1.函数思想：把某变化过程中的一些相互制约的变量用函数关系表达出来，
并研究这些量间的相互 制约关系，最后解决问题，这就是函数思想；
2.应用函数思想解题，确立变量之间的函数关系是一关键步骤，大体可分为
下面两个步骤：
（1）根据题意建立变量之间的函数关系式，把问题转化为相应的函数问题；
（2）根据需要构造函数，利用函数的相关知识解决问题；
（3）方程思想：在某变化过程中 ，往往需要根据一些要求，确定某些变量
的值，这时常常列出这些变量的方程或（方程组），通过解方程 （或方程组）求
出它们，这就是方程思想；
3.函数与方程是两个有着密切联系的数学概念， 它们之间相互渗透，很多方
程的问题需要用函数的知识和方法解决，很多函数的问题也需要用方程的方法 的
支援，函数与方程之间的辩证关系，形成了函数方程思想。
（2）数形结合思想
数形结合是中学数学中四种重要思想方法之一，对于所研究的代数问题，有
时可研究其对应几何的性质使 问题得以解决（以形助数）；或者对于所研究的几
何问题，可借助于对应图形的数量关系使问题得以解决 （以数助形），这种解决
问题的方法称之为数形结合。
1.数形结合与数形转化的目的是为了 发挥形的生动性和直观性，发挥数的思
路的规范性与严密性，两者相辅相成，扬长避短。
2. 恩格斯是这样来定义数学的：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形
式的科学”。这就是说：数形结 合是数学的本质特征，宇宙间万事万物无不是数
和形的和谐的统一。因此，数学学习中突出数形结合思想 正是充分把握住了数学
的精髓和灵魂。
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3.数形结合的本质是：几何图形的性质反映了数量关系，数量关系决定了几
何图形的性质。
4.华罗庚先生曾指出：“数缺性时少直观，形少数时难入微；数形结合百般
好，隔裂分家万事 非。”数形结合作为一种数学思想方法的应用大致分为两种情
形：或借助于数的精确性来阐明形的某些属 性,或者借助于形的几何直观性来阐
明数之间的某种关系.
5.把数作为手段的数形结合主要 体现在解析几何中，历年高考的解答题都有
关于这个方面的考查（即用代数方法研究几何问题）。而以形 为手段的数形结合
在高考客观题中体现。
6.我们要抓住以下几点数形结合的解题要领：
(1) 对于研究距离、角或面积的问题，可直接从几何图形入手进行求解即可；
(2) 对 于研究函数、方程或不等式（最值）的问题，可通过函数的图象求解
（函数的零点，顶点是关键点），作 好知识的迁移与综合运用；
(3) 对于以下类型的问题需要注意：
(1)(x?a)
2
?(y?b)
2
;(2)
y?a
;(3)Ax?By;
(4)F(cos
?
,sin
?
);(5)a
2
?ab?b
2
;
可分
x?b
别通过构造距离函数、斜率函数、截距函数、单位圆 x2+y2=1上的点
(cos
?
,sin
?
)
及余弦定理 进行转化达到解题目的。
（3）分类讨论的数学思想
分类讨论是一种重要的数学思想方法， 当问题的对象不能进行统一研究时，
就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类 的结果，最
终综合各类结果得到整个问题的解答。
1.有关分类讨论的数学问题需要运用分类 讨论思想来解决，引起分类讨论的
原因大致可归纳为如下几种：
（1）涉及的数学概念是分类讨论的；
（2）运用的数学定理、公式、或运算性质、法则是分类给出的；
（3）求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性；
（4）数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值导致不同的结果的；
（5）较复杂或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策略来解决的。
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2.分类讨论是一种逻辑方法，在中学数学中有极广泛的应用。根 据不同标准
可以有不同的分类方法，但分类必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏 ，
包含各种情况，同时要有利于问题研究。
（4）化归与转化思想
所谓化归思想方 法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题
通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法 。一般总是将复杂的问题通过变化
转化为简单的问题，将难解问题通过变换转化为容易求解的问题，将未 解决的问
题转化为已解决的问题。
（5）立体几何中常用的转化手段有
1.通过辅 助平面转化为平面问题，把已知元素和未知元素聚集在一个平面
内，实现点线、线线、线面、面面位置关 系的转化；
2.平移和射影，通过平移或射影达到将立体几何问题转化为平面问题，化未
知为已知的目的；
3.等积与割补；
4.类比和联想；
5.曲与直的转化；
6.体积比，面积比，长度比的转化；
7.解析几何本身的创建过程就是“数”与“形”之间 互相转化的过程。解析
几何把数学的主要研究对象数量关系与几何图形联系起来，把代数与几何融合为< br>一体。
二、中学数学常用解题方法
1.配方法
配方法是指将一代数形式变 形成一个或几个代数式平方的形式，其基本形式
是：ax
2
+bx+c=
a( x?
b
)
2
?
4ac?b
(a?0)
.高考中常见 的基本配方形式有：
2
2a4a
（1） a
2
+b
2
= (a + b)
2
- 2a b = (a -b)
2
+ 2 ab;
（2） （2） a
2
+ b
2
+ ab =
(a?
1
b)
2
?(
3
b)
2
;
22
（3） （3）a
2
+ b
2
+c
2
= (a＋b + c)
2
- 2 ab – 2 a c – 2 bc;
（4） (4) a
2
+ b
2
+ c
2
- a b – bc – a c =
1
[ ( a - b)
2
+ (b - c)
2
+ (a - c)
2
];
2
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（5）
x
2
?
11
2
?(x?)?2
;
2xx
配方法主要适用于与二次项有关的函数、方程、等式、不等式的讨论，求解
与证明及二 次曲线的讨论。
2.待定系数法
㈠ 待定系数法是把具有某种确定性时的数学问题，通过引 入一些待定的系
数，转化为方程组来解决。待定系数法的主要理论依据是：
（1）多项式f(x)=g(x)的充要条件是：对于任意一个值a，都有f（a）＝g(a);
（2）多项式f(x) ≡g(x)的充要条件是：两个多项式各同类项的系数对应相
等；
㈡ 运用待定系数法的步骤是：
（1）确定所给问题含待定系数的解析式（或曲线方程等）；
（2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程；
（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决；
㈢ 待定系数法主要适用于：求函数的解析式，求曲线的方程，因式分解等。
3.换元法
换元法 是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量（或代数式），对
新的变量求出结果之后，返回去求原 变量的结果。换元法通过引入新的元素将分
散的条件联系起来，或者把隐含的条件显示出来，或者把条件 与结论联系起来，
或者变为熟悉的问题。其理论根据是等量代换。高中数学中换元法主要有以下两
类：
（1）整体换元：以“元”换“式”；
（2）三角换元 ，以“式”换“元”；
（3）此外，还有对称换元、均值换元、万能换元等；换元法应用比较广泛。< br>如解方程，解不等式，证明不等式，求函数的值域，求数列的通项与和等，另外
在解析几何中也有 广泛的应用。运用换元法解题时要注意新元的约束条件和整体
置换的策略。
4.向量法
向量法是运用向量知识解决问题的一种方法，解题常用下列知识：
（1）向量的几何表示，两个向量共线的充要条件；
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（2）平面向量基本定理及其理论；
（3）利用向量的数量积处理有关长度、角度和垂直的问题；
（4）两点间距离公式、线段的定比分点公式、平移公式；
5.分析法、综合法
（ 1）分析法是从所求证的结果出发，逐步推出能使它成立的条件，直至已
知的事实为止；分析法是一种“ 执果索因”的直接证法。
（2）综合法是从已经证明的结论、公式出发，逐步推出所要求证的结论。< br>综合法是一种“由因导果”，叙述流畅的直接证法。
（3）分析法、 综合法是证明数学问题的 两大最基本的方法。分析法“执果
索因”的分析方法，思路清晰，容易找到解题路子，但书写格式要求较 高，不容
易叙述清楚，所以分析法、综合法常常交替使用。分析法、 综合法应用很广，
几乎所有题都可以用这两个方法来解。
6.反证法
反证法是数学 证明的一种重要方法，因为命题p与它的否定非p的真假相反，
所以要证一个命题为真，只要证它的否定 为假即可。这种从证明矛盾命题（即命
题的否定）为假进而证明命题为真的证明方法叫做反证法。
㈠ 反证法证明的一般步骤是：
（1）反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；
（2）归谬：从命题的条件和所作的结论出发,经过正确的推理论证,得出矛盾
的结果；
（3）结论：有矛盾判定假设不正确，从而肯定的结论正确；
㈡ 反证法的适用范围：（1）已知条件很少或由已知条件能推得的结论很少
时的命题；
（2）结 论的反面是比原结论更具体、更简单的命题，特别是结论是否定形
式（“不是”、“不可能”、“不可得 ”）等的命题；（3）涉及各种无限结论的
命题；（4）以“最多（少）、若干个”为结论的命题；（5 ）存在性命题；（6）唯
一性命题；（7）某些定理的逆定理；
（8）一般关系不明确或难于直接证明的不等式等。
㈢ 反证法的逻辑依据是“矛盾律”和“排中律”。
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7.另外:还有数学归纳法、同一法、整体代换法等.

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