大盘指数公式排列与排列数公式

2020年9月21日发(作者：孟宪承)
排列与排列数公式

1．排列
(1)一般地，从
n
个不同元素中取出
m
(
m
≤
n
)个元素，按照一定的顺序排 成一列，叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元素的一个排列．
(2)两个排列相同，当且仅当两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同．
< br>排列的定义中包含两个基本内容：一是“取出元素”，二是“按一定顺序排列”．因此，排
列要完 成的“一件事”是“取出
m
个元素，再按顺序排列”，“一定的顺序”就是与位置有
关 ，不考虑顺序就不是排列．
2．排列数及排列数公式

排列数定义
表示法
从
n
个不同元素中取出
m
(
m
≤
n
)个元素的所有不同排列的
个数叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元素的排列数
A
n

m
n
个不同元素全部 取出的一个排列，叫做
n
个元素的一个
全排列 全排列，这时公式中
m
＝
n
，即有A
n
＝
n
×(
n
－1)×(
n
－
2)×…×3×2×1
阶乘
排列数
公式

乘积式
阶乘式
正整数从1到
n
的连乘积叫做
n
的阶乘，用
n
！表示
A
n
＝
n
(
n－1)(
n
－2)…(
n
－
m
＋1)
m
n
n
！
m
A
n
＝
（
n
－
m
）！
A
n
＝
n
！，0！＝1
n
性质
备注
n
，
m
∈N
*
，
m
≤
n



排列数是指“从
n
个不同的元素中取出
m
个 元素的所有排列的个数”，即排列共有多少种形
式，它是一个数．因此，A
n
只代表排 列数，而不表示具体的排列．

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)
a
，
b
，
c
与
b
，
a
，
c
是同一个排列．( )
(2)同一个排列中，同一个元素不能重复出现．( )
(3)在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化．( )
1

m
(4)从4个不同元素中任取三个元素，只要元素相同得到的就是相同的排列．( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×
下面问题中，是排列问题的是( )
A．由1，2，3，4四个数字组成无重复数字的四位数
B．从60人中选11人组成足球队
C．从100人中选2人抽样调查
D．从1，2，3，4，5中选2个数组成集合
答案：A
A
4
＝________，A
3
＝________．
答案：12 6
若A
10
＝10×9×…×5，则
m
＝________．
答案：6

探究点1 排列的概念
判断下列问题是否是排列问题，并说明理由．
(1)从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参加一项活 动，其中一名同学参加活动
A
，另一
名同学参加活动
B
；
(2)从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参加一项活动；
(3)从所有互质的三位数中选出两个数求其和；
(4)从所有互质的三位数中选出两个数求其商；
(5)高二(1)班有四个空位，安排从外校转来的三个学生坐到这四个空位中的三个上．
【解】 (1)是排列，因为选出的两名同学参加的是不同的活动，即相当于把选出的同学按顺
序安排到两个不同的活动中．
(2)不是排列，因为选出的两名同学参加的是同一个活动，没有顺序之分．
(3)不是排列，因为选出的两个三位数之和对顺序没有要求．
(4)是排列，因为选出的两 个三位数之商会因为分子、分母的顺序颠倒而发生变化，且这些
三位数是互质的，不会产生选出的数不同 而商的结果相同的可能性，故是排列．
(5)是排列，可看作从四个空位中选出三个座位，分别安排给三个学生．
m
23

判断一个具体问题是否为排列问题的方法

2


1.从1，2，3，4四个数字中，任选两个数做加、减、乘、除运算，分 别计算
它们的结果，在这些问题中，有几种运算可以看作排列问题( )
A．1
C．3
B．2
D．4
解析：选B.因为加法和乘法满足交换律，所 以选出两个数做加法和乘法时，结果与两数字
位置无关，故不是排列问题．而减法、除法与两数字的位置 有关，故是排列问题．
2．判断下列问题是否是排列问题：
(1)从1到10十个自然数中 任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得多少个不同的
点的坐标？
(2)从10名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？
(3)某商 场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出来，不同的出入方式
共有多少种？
解：(1)由于取出的两数组成点的坐标与哪一个数作横坐标，哪一个数作纵坐标的顺序有关，
所以这 是一个排列问题．
(2)因为从10名同学中抽取两人去学校开座谈会的方式不用考虑两人的顺序，所 以这不是排
列问题．
(3)因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列问题．
综上，(1)、(3)是排列问题，(2)不是排列问题．
探究点2 排列的列举问题
四个人
A
，
B
，
C
，
D
坐成一 排照相有多少种坐法？将它们列举出来．
【解】 先安排
A
有4种坐法，安排
B
有3种坐法，安排
C
有2种坐法，安排
D
有1种坐法，
由分步乘法计数原理，有4×3×2×1＝24种．
画出树形图：

3

由“树形图”可知，所有坐法为
ABCD
，
ABDC
，
AC BD
，
ACDB
，
ADBC
，
ADCB
，
BACD
，
BADC
，
BCAD
，
BCDA
，BDAC
，
BDCA
，
CABD
，
CADB
，
CBAD
，
CBDA
，
CDAB
，
CDBA
，
DACB
，
DABC
，
DBAC
，
DBCA< br>，
DCAB
，
DCBA
.

1．[变条件]若本例条件再增加一条“
A
不坐排头”，则结论如何？
解：画出树形图：

由“树形图”可知，所有坐法为
BACD
，< br>BADC
，
BCAD
，
BCDA
，
BDAC
，
BDCA
，
CABD
，
CADB
，
CBAD，
CBDA
，
CDAB
，
CDBA
，
DACB
，
DABC
，
DBAC
，
DBCA
，
DC AB
，
DCBA
，共18种坐法．
2．[变条件]若在本例条件中再增加一 条“
A
，
B
不相邻”，则结论如何？
解：画出树形图：

由“树形图”可知，所有坐法为
ACBD
，
ACDB
，
AD BC
，
ADCB
，
BCAD
，
BCDA
，
BDAC
，
BDCA
，
CADB
，
CBDA
，DACB
，
DBCA
共12种．


利用“树形图”法解决简单排列
问题的适用范围及策略
(1)适用范围：“树形图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式．
(2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，
再安排 第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，
然后再按树形图写 出排列．
某药品研究所研制了5种消炎药
a
1
，
a
2
，
a
3
，
a
4
，
a
5
，4种退热药
b
1
，
b
2
，
b
3
，
b
4
，现从中取两种消炎药和一种退热药同时进行疗效试验，但
a
1
，
a
2
两种药或同时用或同时
不用，
a
3
，
b
4
两种药不能同时使用，试写出所有不同试验方法．
解：如图，
4


由树形图可写出所有不同试验方法如下：
a
1a
2
b
1
，
a
1
a
2
b2
，
a
1
a
2
b
3
，
a1
a
2
b
4
，
a
3
a
4b
1
，
a
3
a
4
b
2
，a
3
a
4
b
3
，
a
3
a5
b
1
，
a
3
a
5
b
2，
a
3
a
5
b
3
，
a
4a
5
b
1
，
a
4
a
5
b2
，
a
4
a
5
b
3
，
a4
a
5
b
4
，共14种．
探究点3 排列数的计算或证明
2A
8
＋7A
8
(1)计算
85
；
A
8
－A
9
(2)求证：A< br>n
＋1
－A
n
＝
m
A
n
.
2A
8
＋7A
8
【解】 (1)
85

A
8
－A
9
2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×5
＝
8×7×6×5×4×3×2×1－9×8×7×6×5
8×7×6×5×（8＋7）
＝＝1 .
8×7×6×5×（24－9）
(2)法一：因为A
n
＋1
－A
n

＝
（
n
＋1）！
n
！
－ < br>（
n
＋1－
m
）！（
n
－
m
）！< br>mm
54
54
mmm
－1
n
！
n
＋ 1
＝·(－1)
（
n
－
m
）！
n
＋1－
m
n
！
m
＝·
（
n
－
m
）！
n
＋1－
m
n
！
m
－1
＝
m
·＝
m
A
n
，
（
n
＋1－
m
）！
所以A
n
＋1
－A
n
＝
m
A
n
.
法二：A
n
＋1
表示从
n
＋1个元 素中取出
m
个元素的排列个数，其中不含元素
a
1
的有A
n
个．
含有
a
1
的可这样进行排列：
先排
a1
，有
m
种排法，再从另外
n
个元素中取出
m
－1个元素排在剩下的
m
－1个位置上，有
A
n
种排法．
故A
n
＋1
＝
m
A
n
＋A
n
，
所以
m
A
n
＝A
n
＋1
－A
n< br>.
m
－1
mm
mm
－1
m
m
－1
mm
mmm
－1


排列数公式的形式及选择方法
排列数公式有两种形式，一种是连乘积的形式，另一种是阶乘的形式，若要计算含有数字的
排列数的值 ，常用连乘积的形式进行计算，而要对含有字母的排列数的式子进行变形或作有
5

关的论证时，一般用阶乘式．
1.A
12
＝9×10×11×12，则
m
＝( )
A．3
C．5
m
m
B．4
D．6
解析：选B.等式A< br>12
＝9×10×11×12的右边是4个连续自然数的乘积，且最大数为12，故
m< br>＝4.
2．下列各式中与排列数A
n
相等的是( )
m
n
！
A.
（
m
－
n
）！
C.
B．
n
(
n
－1)(
n
－2)…(< br>n
－
m
)
D．A
n
·A
n
－1

1
n
n
－1
A
n

n
－m
＋1
m
－1
n
！
m
解析：选D.因为An
＝，
（
n
－
m
）！
（
n
－1）！
1
m
－1
A
n
·A
n
－1
＝
n
·
[
n
－1－（
m
－1）]！
（
n
－1）！
n
！
＝
n
·＝，
（
n
－
m
）！（
n
－
m
）！
所以A
n
＝A
n
·A
n
－1
.


1．4×5×6×…×(
n
－1)×
n
等于( )
A．A
n

C．
n
！－4!
4
m
1
m
－1
B．A
n

D．A
n

n
－3
n
－4
解析：选D.4 ×5×6×…×(
n
－1)×
n
中共有
n
－4＋1＝
n
－3个因式，最大数为
n
，最小数
为4，
故4×5×6×…×(
n
－1)×
n
＝A
n
.
2．从1，2，3，4这四个数字中任取两个不同的数字，则可组成不同的两位数有( )
A．9个
C．15个
解析：选B.用树形图表示为：
B．12个
D．18个
n
－3

由此可知共有12个．
A
4
3.＝________．
5！
6

3
A
4
4×3×21
解析：＝＝.
5！5×4×3×2×15
1
答案：
5
4．从0，1，2，3这四 个数字中，每次取出3个不同的数字排成一个三位数，写出其中大于
200的所有三位数．
解 ：大于200的三位数的首位是2或3，于是大于200的三位数有：201，203，210，213，
230，231，301，302，310，312，320，321.







知识结构

深化拓展
1.判断一个问题是否是排列的思路
排列的根本特征是每一个排列不仅与选取的元素有关，而 且与
元素的排列顺序有关．这就是说，在判断一个问题是否是排列
时，可以考虑所取出的元素， 任意交换两个，若结果变化，则
是排列问题，否则不是排列问题．
2．排列数两个公式的选取技巧
(1)排列数的第一个公式A
n
＝
n
(
n
－1)(
n
－2)…(
n
－
m＋1)适用
m
已知的排列数的计算以及排列数的方程和不等式．在运用时要
注意它 的特点，从
n
起连续写出
m
个数的乘积即可．
m
3

(2)排列数的第二个公式A
n
＝
m
n
！
用于与排列数有关的
（
n
－
m
）！
证明、解方程、解不等式等，在具体运用时，应注意先提取公
因式再计算，同时还要注意隐含条件“n
、
m
∈N，
m
≤
n
”的运
用．
[易错提醒] 公式中的
n
，
m
应该满足
n
，m
∈N，
m
≤
n
，当
m
>
n
时不成立.
*
*

[A 基础达标]
1．已知下列问题：①从甲 、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组；②
从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一 项活动；③从
a
，
b
，
c
，
d
中选出3个 字母；④从
7

1，2，3，4，5这五个数字中取出2个数字组成一个两位数．其中是排列问题的有( )
A．1个
C．3个
解析：选B.由排列的定义知①④是排列问题．
A
7
－A
6
2．计算
4
＝( )
A
5
A．12
C．30
65
65
B．2个
D．4个
B．24
D．36 A
7
－A
6
7×6×5×4×3×2－6×5×4×3×2
解析 ：选D.
4
＝＝7×6－6＝36.
A
5
5×4×3×2
3．若
α
∈N，且
α
<27，则(27－
α
)(28－α
)…(34－
α
)等于( )
A．A
27－
α

C．A
34－
α

7
8
*
B．A
34－
α

D．A
34－
α

8
27－
α
解析：选D .从27－
α
到34－
α
共有34－
α
－(27－
α
)＋1＝8个数．所以(27－
α
)(28－
α
)…(34－α
)＝A
8
34－
α
.
4．甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排头的所有排列种数为( )
A．6
C．8
解析：选B.列树形图如下：
丙甲—乙乙—甲乙甲—丙丙—甲，共4种．
5．不等式A
n
－1
－
n
＜7的解集为( )
A．{
n
|－1＜
n
＜5}
C．{3，4}
解析：选C.由不等式A
n
－1
－
n
＜7，
得(
n
－1)(
n
－2)－
n
＜7，
整理得
n
－4
n
－5＜0，
解得－1＜
n
＜5.
又因为
n
－1≥2且
n
∈N，
即
n
≥3且
n
∈N，
所以
n
＝3或
n
＝4，
故不等式A
n
－1
－
n
＜7的解集为{3，4}．
2A
12
＋A
12
6.
55
＝________．
A
13
－A
12
2×12×11×10×9＋12×11×10×9 ×8
解析：原式＝
13×12×11×10×9－12×11×10×9×8
8

45
2
*
*
2
2
2
B．4
D．10
B．{1，2，3，4}
D．{4}
2＋8
＝＝2.
13－8
答案：2
7．从
a
，
b
，
c< br>，
d
，
e
五个元素中每次取出三个元素，可组成____个以
b
为首的不同的排列，
它们分别是___________________________ _________________________________
____________ __________________________________________________ __________.
解析：画出树形图如下：

可知共12个，它们分别是< br>bac
，
bad
，
bae
，
bca
，
bcd
，
bce
，
bda
，
bdc
，
b de
，
bea
，
bec
，
bed
.
答案：12
bac
，
bad
，
bae
，bca
，
bcd
，
bce
，
bda
，
bdc
，
bde
，
bea
，
bec
，
be d

8．若集合
P
＝{
x
|
x
＝A
4
，
m
∈N}，则集合
P
中共有________个元素．
解析：因为
x
＝A
4
，
所以有
m
∈N且
m
≤4，
所以
P
中的元 素为A
4
＝4，A
4
＝12，A
4
＝A
4
＝24，
即集合
P
中有3个元素．
答案：3
9．判断下列问题是否是排列问题：
(1)某班共有50名同学，现要投票选举正、副班长各一人，共有多少种可能的选举结果？
(2)从2，3，5，7，9中任取两个数分别作为对数的底数和真数，有多少个不同对数值？
(3)从集合
M
＝{1，2，…，9}中，任取相异的两个元素作为
a
，< br>b
，可以得到多少个焦点在
x
1234
*
m
*
m
x
2
y
2
轴上的椭圆方程
2
＋
2＝1?
ab
解：(1)是．选出的2人担任正、副班长，与顺序有关，所以该问题是排列问题．
(2)是．显然对数值与底数和真数的取值的不同有关系，与顺序有关．
(3)不是．焦点在
x
轴上的椭圆，方程中的
a
、
b
必有
a
＞
b
，即取出的两个数谁是
a
，谁是
b
是确定的．
10．甲、乙、丙三人相互传球，由甲开始发球，经过5次传球，球仍回到甲手中，不同的传
球方法共有 多少种？
解：由甲开始发球，可发给乙，也可发给丙．
9

若甲发球给乙，其传球方法的树形图如图，

共5种．
同样甲第一次发球给丙，也有5种情况．
由分类加法计数原理，共有5＋5＝10种不同传球方法．
[B 能力提升]
11 ．若
S
＝A
1
＋A
2
＋A
3
＋A
4
＋…＋A
100
，则
S
的个位数字是( )
A．8
C．3
n
1234100
B．5
D．0
1
解析：选C.因为当
n
≥5时，A
n
的个位数字是0，故
S
的个位数取决于前四个排列数．又A
1
＋
A
2
＋A
3＋A
4
＝33，故选C.
12．A
n
＋1
与A
n
的大小关系是( )
A．A
n
＋1
＞A
n

C．A
n
＋1
＝A
n

23
2323
23
234
B．A
n
＋1
＜A
n

D．大小关系不定
2
23
解析：选D.由题意知
n
≥3， A
n
＋1
－A
n
＝(
n
＋1)
n
－
n
(
n
－1)(
n
－2)＝－
n
(n
－4
n
＋1)，当
n
＝3
时，A
n
＋1
－A
n
＝6＞0，得A
n
＋1
＞A
n
，当
n
≥4时，A
n
＋1
－A
n
＜0，得A
n
＋1
＜A
n
，即A
n
＋1
与A
n的大小
关系不定．故选D.
13．解下列方程或不等式．
(1)3A
x
＝2A
x
＋1
＋6A
x
；
(2)A
9
＞6A
9
.
解：(1)由排列数公式，得：
?
?
3
x
（
x
－1）（
x
－2） ＝2（
x
＋1）
x
＋6
x
（
x
－1），①
?

*
?
x
≥3，
x
∈N.②
?
xx
－2
322
2323232323
由①，得3
x
－17
x
＋10＝0，
2
解得
x
＝5或
x
＝，
3
结合②可知
x
＝5是所求方程的根．
(2)原不等式可化为：
9！6×9！
?
?
＞，①
（9－
x
）！（9－x
＋2）！

?
?
?
2＜
x
≤9，< br>x
∈N
*
.②
①式等价于(11－
x
)(10－x
)＞6，
即
x
－21
x
＋104＞0，即(
x
－8)(
x
－13)＞0，
10

2
2
所以
x
＜8或
x
＞13.
结合②得2＜
x
＜8，
x
∈N，
所以所求不等式的解集为{3，4，5，6，7}．
14．(选做题)一条铁路有
n
个车站，为适应客运需要，新增了
m
个车站，且知
m
＞1，客运车票增加了62种，问原有多少个车站？现在有多少个车站？
解：由题意可知，原有车票的种数是 A
n
种，现有车票的种数是A
n
＋
m
种，所以A
n
＋
m
－A
n
＝62，
2222
*
即(< br>n
＋
m
)(
n
＋
m
－1)－
n(
n
－1)＝62，
所以
m
(2
n
＋
m
－1)＝62＝2×31， < br>因为
m
＜2
n
＋
m
－1，且
n
≥2 ，
m
，
n
∈N
*
，
所以
?
??
m
＝2，
?
?
2
n
＋
m
－ 1＝31，

解得
m
＝2，
n
＝15，
故原有15个车站，现有17个车站．

11