化归思想在高中数学中的运用

化归思想在高中数学中的运用
福建省光泽一中 胡长才

内容摘 要：解决数学问题的过程就是将问题不断转化的过程，将复杂的问题转化为简单
的问题，将较难的问题转 化为容易求解的问题，将未解决的问题转化为已解决的问题，化归
思想是数学的灵魂，它在培养学生的数 学素质和解题能力方面起到了很重要的作用。每年的
高考和竞赛中都有许多别具创意、新颖独特的数学问 题，旨在考查高层次思维能力和创新意
识方面具有独特的作用，学生总觉得难以入手。本文着重介绍如何 用化归思想来研究和解决
数学问题，培养学生思维的灵活性、敏捷性，提高学生的思维能力和解题速度。
关键词：化归思想 高中数学 运用
解决数学问题的思维过程，实质上是将数学问题中的 信息情景，经过加工、调节，使之
回归到初始状态或符合最基本的数学模型，从而使问题还原到已知的知 识领域，获得解决，
这种思想方法叫化归思想。
近年来高考数学试题和全国数学竞赛试题，更 加注重数学思想方法的运用，加大了数学
能力考查的力度，这就要求教师在平时数学教学中加强对基础知 识、基本技能的教学，注意
各种思想方法的渗透。而化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时采用某 种手段，将问
题通过变换使之转化归结为在已有知识范围内可以解决的一种方法，一般总是将复杂的问题
通过变换转化为简单的问题，将较难的问题通过交换转化为容易求解的问题，将未解决的问
题变 换转化为已解决的问题，可以说数学解题就是转化问题，每一个数学问题无不是在不断
地转化中获得解决 的，即使是数形结合思想、函数方程思想、分类讨论思想也都是转化与化
归思想的表现形式。常见的转化 有正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体
与局部的转化、空间与平面相互转化、复数与 实数相互转化、常量与变量的转化、数学语言
的转化，等等。因此，能否搞好化归思想渗透的教学，是学 生解题能力能否迅速提高的关键。
以下就化归思想的运用进行一番探究。
一、复杂问题简单化
许多结构复杂、思路繁杂的问题，可转化为一个或几个比较简单、易于解决的问题，各
个击破后 ，再综合得解。
例1(1995年全国高考题)已知
y
=
log
a
(2?ax)
在[0，1]上是
x
的减函数，则
a
的取值范
围是( )
(A)(0，1) (B)(1，2) (C)(0，2) (D) [2，
??
)
分析：题中函数
y
=
log
a
(2?ax)
在[0，1]上是
x
的减函数，这个条件难以直接运用。
[解] 可将函数
y
=
log
a
(2?ax)
转化为两个简单函数①
y
=
log
a
t
与②
t
=
2?ax
，
x
?
[0，1 ]来考虑，由于
a
＞0，故
t
=
2?ax
，
x?
[0，1]为减函数，由复合函数的单调性
知，
y
=
log< br>a
t
必为增函数，故
a
＞1；又
t
=
2?a x
，
x
?
[0，1]为减函数，且
2?ax
＞0，
故
x
=1时，2-
a
＞0，因此
a
＜2。综上所述，1＜< br>a
＜2，故选B。
二、未知问题已知化
许多陌生、未知的问题，可 通过分解、转化为已知的、熟悉的问题，利用已知的解法或
模式来解决问题。
例2(1997 年全国高考题)甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不

超过c千米 ／小时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：
可变部分与速度v (千米／小时)的平方成正比，比例系数为
b
，固定部分为
a
元，(1) 把全
程运输成本
y
(元)表示为速度v (千米／小时)的函数，并指出这个函数的定义域；(2) 为了使
全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？
s
，全程运输成本为
v
SSaa
y?a??bv
2
??S(?bv)
故所求函数及其定义域为
y?S(?bv),v?(0,c]

vvvv
a
(Ⅱ)依题意知S，a，b，v都为正数，故有
S(?bv)?2Sab

v
[解]（Ⅰ）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为
当且仅当
a
?b v,
．即
v?
v
a
时上式中等号成立
b
若
a
?c
，则当
v?
b
a
时，全程运输成本y最小，
b
若
a
?c
，则当
v?(0,c]
时，有
b
aaaaS
S(?bv)?S(?bc)?S[(?)?(bv?bc)]
=(c?v)(a?bcv)

vcvcvc
因为c－v≥0，且a>bc
2
，故有a－bcv≥a－bc
2
>0，
所以
S(
aa
?bv)?S(?bc)
，且仅当v=c时等号成立，
vc
也即当v=c时，全程运输成本y最小．
综上知，为使全程运输成本y最小，当
ababab
?c
时行驶速度应为
v??c
；当
bbb时行驶速度应为v=c
．

三、抽象问题直观化
许多抽象、难以入手的 问题，可通过各种途径转化为直观、形象的问题，用很简捷的方
法便可以解决。
例3(1994年全国高考题) 如果复数z满足│z+i│+│z－i│=2，那么│z+i+1│的最小值
是
(A) 1 (B)
( )
2
(C) 2 (D)
5

分析：复数方程抽象、难懂，而用代数方法求z对应点的方程，运算又很繁杂。
[解]方程│ z+i│+│z－i│=2表示z对应点的轨迹是以点A(0，1)、B(0，-1)为端点的线
段AB ，│z+i+1│表示点P(-1，-1)与线段AB上点的距离，故它的最小值是点P(-1，-1)与
点B(0，-1)的距离，即为1，故选A。
例4(2009年山东高考题)一空间几何体的三视图 如图所示,则该几何体的体积为

( ).
A.
2
?
?23
B.
4
?
?23
C.
2
?
?
分析：三视图是平面图形，不够直观，须得知
该几何体的形状，方可求其体积。
[解] 由三视图知，该空间几何体为一圆柱和
一四棱锥组成的圆柱的底面半径为1,高为2,体积
为
2
?
；四棱 锥的底面边长为
2
，高为
3
，
2
2323
D.
4
?
?

33
2 2
所以体积为
?
1
3
??
2?3?
2
23
。
3
2
正(主)视图
2
侧(左)视图
所以该几何体的体积为
2
?
?
23
，故选C。
3
俯视图
四、一般问题特殊化
许多难以解决的一般化问题，退回 到特例后，由于个性中拥有共性，通过特殊情况往往
可以提示一般规律，从而得出一般结论。
例5(1991年全国高考题)如果奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f (x)
在区间[－7，－3]上是
(A) 增函数且最小值为－5 (B) 增函数且最大值为－5
(C) 减函数且最小值为－5 (D) 减函数且最大值为－5
分析：由于高考数学选择题中四个选项仅有一个是正确的，由于该题设条件具有 一定任
意性而结论是确定的，故可构造特殊函数来解。
[解]构造特殊函数f(x)=
( )
55
x
，则函数f(x)满足题设条件，而f(x)=
x
在区间[ －7，－3]
33
上仍为增函数且最大值为－5，而这个结论对满足题设条件的任意函数f(x )同样成立，故选B。

例6 (2009年浙江高考题)若函数
f(x)
=
x?
2
a
(a?R)
，则下列结论正确的是（ ）
x
A．
?a?R
，
f(x)
在
(0,??)
上是增 函数 B．
?a?R
，
f(x)
在
(0,??)
上是减函数
C．
?a?R
，
f(x)
是偶函数 D．
?a?R
，
f(x)
是奇函数
分析：由于高考数学选择题中四 个选项仅有一个是正确的，由于该题设条件具有一定任
意性而结论是确定的，故可通过对
a取特殊值，构造特殊函数
f(x)
来解。
[解]对于
a
=0 时，有
f(x)
=
x
是一个偶函数，故选C。
2

五、特殊问题一般化
一些比较复杂的特殊问题，可先推广到一般情 况，揭示出一般规律，再还原为特殊，从
而从更高角度解决特殊问题，这也遵循了认知规律。
例7、若
x
、
y
?
?
?
?
??
?
,
?
，
a
?
R，且满足方程
x
3
?sinx?2a?0
①和
?
44
?
4y
3
?s inycosy?a?0
②，求
cos
(
x?2y
)的值。
[解]虽然不能直接两个方程中求出
x
、
y
，但两个方程形式上有不少共同 特征，它们
的根之间有一定联系。方程②可化为：
(?2y)?sin(?2y)?2a?0
③，比较方程①和③可
3
知
x
与－2
y
都是方程< br>t?sint?2a?0
的根，而
f(t)?t?sint?2a
在
?
?
3
3
?
??
?
,
?
上为增22
??
函数，由于
f(x)?f(?2y)?0
，故
x??2 y
，即
x?2y
＝0，从而
cos
(
x?2y
)= 1。
六、直接问题间接化
许多问题从正面入手较难时，可从问题的反面入手，运用逆向思维方式进行分析，常
常能使问题简单化。
例8、正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为
a
，求三棱锥A
1
-B C
1
D的体积。
分析：直接求三棱锥A
1
-B C
1
D的体积，无论选取哪个底面，高都不易求出，故可考
虑用间接法。
[解]用正方体的体积减去四个体积相等的三棱锥A
1
-ABD、A
1
- C
1
D
1
D、A
1
-B B
1
C
1
、
C
1
-BCD的体积，可得三棱锥A
1
-B C
1
D的体积=
a
3
-4×(
11
2
1
3
×
a
×
a
)=
a
。
323
七、局部问题整体化
当问题局部求解有难度时，可调整视角，从整体入手，探 索解题途径，得出结论后，
再回到局部，使局部问题得以解决。
x
例9、设
a
、
b
分别为方程
log
2
x
+
x
+2=0与
2
+
x
+2=0的根，求
a
+
b的值。
分析：从两个方程分别求出
a
、
b
的值是不现实的。
x
[解]从整体考虑，由于两个方程可化为
log
2
x
=-
x
-2，
2
=-
x
-2，故
a
、
b
可看成直线
y
=-
x
-2与两个函数
y
=
log
2
x
，
y
=
2
x
的图像的交点A 、B的横坐标，由于
y
=
log
2
x
与
它们的图像 关于直线
y
=
x
对称，而直线
y
=-
x
- 2与直线
y
=
x
垂直相交，
y
=
2
x互为反函数，
交点为C(-1，-1)，故A、B两点关于直线
y
=
x< br>对称，线段AB的中点为C(-1，-1)，故
a
+
b
=2
× (-1)=-2。
八、整体问题局部化

整体求解较困难时，可考虑分散难度 ，先求出每一个局部所满足的性质，对局部求解，
再综合起来，得出整体的解。
1
1
32
11
分析：整体求
arctan
+
arctan
的值较困难，故可从局部考虑。
32
111
??[解]设
arctan
=
?
，
arctan
=
?
，则
?
?
(0，)，
?
?
(0，)，且
tan
?
=，
323
22
11
?
tan
?
?tan
?
1
32
=1，由于
?
+
??
(0，
?
)，故=
tan
?
=，故
tan(
?
?
?
)
=
11
1?tan
?
? tan
?
2
1??
32
11
??
?
+?
=，即
arctan
+
arctan
=。
32
44
例10(1991年全国高考题)
arctan
+
arctan
的值是 。
综上所述，化归思想的运用极为广 泛，在在高考及数学竞赛中，会遇到各种各样的难题，
只要能做到将复杂问题简单化、未知问题已知化、 抽象问题直观化、一般问题特殊化、特殊
问题一般化、直接问题间接化、局部问题整体化、整体问题局部 化，等等，灵活运用化归思
想，就能高瞻远瞩，化难为易，加快解题速度，提高数学成绩。化归思想是解 决一切问题的
基本思想方法，因此，在平时的数学教学中必须注意化归思想的渗透。
主要参考文献：
1、《中学数学思想方法》钱珮玲 北京师范大学出版社 (2005-08出版)
2、《怎样解题》第三次修订版 薛金星主编 北京教育出版社
3、《怎样解题》第四次修订版 薛金星主编 北京教育出版社
4、2004年-2010年福建省《普通高等学校招生统一考试大纲》
5、2004年-2010年福建省《普通高等学校招生统一考试试题、参考答案》
个人简历：
胡长才，1966年8月生，中学数学高级教师，毕业于福建师范大学数学系，现 在福建
省光泽第一中学任教，曾被评为“南平市优秀共产党员”和“享受南平市政府特殊津贴优秀
教师”。
胡长才工作单位：福建省光泽一中，联系地址：福建省光泽一中办公室，
邮编：3 54100
联系电话：，
电子邮箱：hcc6608@