高中数学选修2-3 独立性检验的基本思想及其初步应用(附解析)

独立性检验的基本思想及其初步应用
课时分层作业(十八)
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．分类变量X和Y的列联表如下：

x
1

x
2

总计
y
1

a
c
a＋c
y
2

b
d
b＋d
总计
a＋b
c＋d
a＋b＋c＋d
则下列说法正确的是( )
A．ab－bc越小，说明X与Y关系越弱
B．ad－bc越大，说明X与Y关系越强
C．(ad－bc)
2
越大，说明X与Y关系越强
D．(ad－bc)
2
越接近于0，说明X与Y关系越强
C [|ad－bc|越小，说明X与Y关系越弱，|ad－bc|越大，说明X与Y关系越
强．]
2．下列关于等高条形图的叙述正确的是( )
A．从等高条形图中可以精确地判断两个分类变量是否有关系
B．从等高条形图中可以看出两个变量频数的相对大小
C．从等高条形图中可以粗略地看出两个分类变量是否有关系
D．以上说法都不对
C [在等高条形图中仅能粗略判断两个分类变量的关系，故A错．在等高
条形图中仅能够找出 频率，无法找出频数，故B错．]
3．通过对K
2
的统计量的研究得到了若干个临界 值，当K
2
≤2.706时，我们
认为( )
A．在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为X与Y有关系
B．在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为X与Y有关系
17

C．没有充分理由认为X与Y有关系
D．不能确定
C [∵K
2
≤2.706，∴没有充分理由认为X与Y有关系．]
4．下面是调查某地 区男女学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢
理科的百分比，从图3-2-4中可以看出( )

图3-2-4
A．性别与喜欢理科无关
B．女生中喜欢理科的比为80%
C．男生比女生喜欢理科的可能性大些
D．男生不喜欢理科的比为60%
C [由题图知女生中喜欢理科的比为20%，男生不喜欢 理科的比为40%，
故A，B，D错误，C正确．男生比女生喜欢理科的可能性大些．]
5． 假设有两个变量X与Y，它们的取值分别为x
1
，x
2
和y
1
，y
2
，其列联表
为：

x
1

x
2

总计
y
1

a
c
a＋c
y
2

b
d
b＋d
总计
a＋b
c＋d
a＋b＋c＋d
以下各组数据中，对于同一样本能说明X与Y有关系的可能性最大的一组为( )
A．a＝50，b＝40，c＝30，d＝20
B．a＝50，b＝30，c＝40，d＝20
C．a＝20，b＝30，c＝40，d＝50
D．a＝20，b＝30，c＝50，d＝40
2
n?ad－bc?
D [ 当(ad－bc)
2
的值越大，随机变量K
2
＝的值越
?a＋b?? c＋d??a＋c??b＋d?
大，可知X与Y有关系的可能性就越大．显然选项D中，(ad－bc)
2
的值最大．]
27

二、填空题
6．在对某小学的学生进行吃零食的调查中，得到如下表数据：

男学生
女学生
总计
吃零食
27
12
39
不吃零食
34
29
63
总计
61
41
102
根据上述数据分析，我们得出的K
2
的观测值k约为________.
102×?27×29－34×12?
2
2.334 [由公式可计算得k＝≈2.334.]
39×63×61×41
7．在独立性检验中，统计 量K
2
有两个临界值：3.841和6.635.当K
2
＞3.841
时，有95%的把握说明两个事件有关，当K
2
＞6.635时，有99%的把握说明两个< br>事件有关，当K
2
≤3.841时，认为两个事件无关．在一项打鼾与患心脏病的调查< br>中，共调查了2 000人，经计算K
2
＝20.87.根据这一数据分析，我们有理由 认为
打鼾与患心脏病之间是________的(有关、无关)．
有关 [K
2
＝20.87＞6.635，我们有99%的把握认为两者有关．]
8．下列关于K
2
的说法中，正确的有________．
①K
2
的值越大，两个分类变量的相关性越大；
n?ad－bc?
②K的计算公式是K＝；
?a＋b??c＋d??a＋c??b＋ d?
22
③若求出K
2
＝4>3.841，则有95%的把握认为两个分类变 量有关系，即有5%
的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误；
④独立性检验就 是选取一个假设H
0
条件下的小概率事件，若在一次试验中
该事件发生了，这是与实际 推断相抵触的“不合理”现象，则作出拒绝H
0
的推
断．
③④ [对于①， K
2
的值越大，只能说明我们有更大的把握认为二者有关系，
却不能判断相关性大小， 故①错误；对于②，(ad－bc)应为(ad－bc)
2
，故②错；
根据独立性检验 的概念和临界值表知③，④正确．]
三、解答题
9．为了研究子女吸烟与父母吸烟的关系，调查了一千多名青少年及其家长，
数据如下：
37

子女吸烟
子女不吸烟
总计
父母吸烟
237
678
915
父母不吸烟
83
522
605
总计
320
1 200
1 520
利用等高条形图判断父母吸烟对子女吸烟是否有影响？
[解] 等高条形图如图所示：

由图形观察可以看出父母吸烟者中子女吸烟的比例要比父母不吸烟者中子
女吸烟的比 例高，因此可以在某种程度上认为“子女吸烟与父母吸烟有关系”．
10．有人发现一个有趣的现象， 中国人的邮箱里含有数字比较多，而外国人
邮箱名称里含有数字比较少，为了研究国籍和邮箱名称里含有 数字的关系，他收
集了124个邮箱名称，其中中国人的64个，外国人的60个，中国人的邮箱中有< br>43个含数字，外国人的邮箱中有27个含数字．
(1)根据以上数据建立2×2列联表； < br>(2)他发现在这组数据中，外国人邮箱里含数字的也不少，他不能断定国籍
和邮箱名称里含有数 字是否有关，你能帮他判断一下吗？
[解] (1)2×2的列联表：

有数字
无数字
总计
中国人
43
21
64
外国人
27
33
60
总计
70
54
124
(2)假设“国籍和邮箱名称里与是否含有数字无关”．
124×?43×33－27×21?
2
由表中数据得k＝≈6.201.
70×54×64×60
因为k>5.024，所以有理由认为假设“国籍和邮箱名称里与是否含有数字 无
关”是不合理的，即在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“国籍和邮箱名
称里与是 否含有数字有关”．
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[能力提升练]
一、选择题
1．观察下列各图，其中两个分类变量x，y之间关系最强的是( )

A B

C D
D [在四幅图中，D图中两个深色条的高相差最明显，说明两个分类变量之
间关系最强．]
2． 某研究所为了检验某血清预防感冒的作用，把500名使用了该血清的志
愿者与另外500名未使用该血 清的志愿者一年中的感冒记录作比较，提出假设H：
“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2 列联表计算得K
2
≈3.918，经
查临界值表知P(K
2
≥3.8 41)≈0.05.则下列叙述中正确的是( )
A．有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”
B．若有人未使用该血清，那么他一年中有95%的可能性得感冒
C．这种血清预防感冒的有效率为95%
D．这种血清预防感冒的有效率为5%
A [K
2
≈3.918>3.841，因此有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒
的作用”，故选A.]
二、填空题
3．某班主任对全班50名学生作了一次调查，所得数据如表：

喜欢玩电脑游戏
不喜欢玩电脑游戏
总计
认为作业多
18
8
26
认为作业不多
9
15
24
总计
27
23
50
由表中数据计算得到K
2
的观测值k≈5.059，于 是________(填“能”或“不
57

能”)在犯错误的概率不超过0. 01的前提下认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多有
关．
不能 [查表知若要在犯错误的概率不 超过0.01的前提下认为喜欢玩电脑游
戏与认为作业多有关，则临界值k
0
＝6.6 35，本题中，k≈5.059＜6.635，所以不
能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为喜 欢玩电脑游戏与认为作业多有
关．]
4．为研究某新药的疗效，给100名患者服用此药，跟踪调查后得下表中的
数据：

男性患者
女性患者
总计
无效
15
6
21
有效
35
44
79
总计
50
50
100
设H：服用此药的效果与患者的性别无关，则K
2
的 观测值k≈________(小
数点后保留一位有效数字)，从而得出结论：服用此药的效果与患者的 性别有关，
这种判断出错的可能性为________．
4.9 5% [由公式计算得K< br>2
的观测值k≈4.9.∵k>3.841，∴我们有95%的把
握认为服用此药的效果 与患者的性别有关，从而有5%的可能性出错．]
三、解答题
5．随着生活水平的提高，人 们患肝病的越来越多，为了解中年人患肝病与
经常饮酒是否有关，现对30名中年人进行了问卷调查得到 如下列联表：

患肝病
不患肝病
合计
常饮酒



不常饮酒
2
18

合计


30
4
已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肝病患者的概率为
15
.
(1)请将上面的列联表补充完整，并判断是否有99.5%的把握认为患肝病与常
饮酒有关？说明你 的理由；
(2)现从常饮酒且患肝病的中年人(恰有2名女性)中，抽取2人参加电视节目，
则正好抽到一男一女的概率是多少？
67

参考数据：
P(K
2
≥k)
k
0.15
2.072
0.10
2.706
0.05
3.841
0.025
5.024
0.010
6.635
0.005
7.879
0.001
10.828
x＋2
4
[解] (1)设患肝病中常饮酒的人有x人，
30
＝
15
，x＝6.

患肝病
不患肝病
合计
由已知数据可求得
30×?6×18－2×4?
2
K＝≈8.523＞7.879，
10×20×8×22
2
常饮酒
6
4
10
不常饮酒
2
18
20
合计
8
22
30
因此有99.5%的把握认为患肝病与常饮酒有关．
(2)设常饮酒且患肝病 的男性为A，B，C，D，女性为E，F，则任取两人有
AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD， BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，
共15种．其中一男一女有AE，AF，BE，B F，CE，CF，DE，DF，共8种．故
8
抽出一男一女的概率是P＝
15
.


77