高中数学教材提高版-高中数学竞赛二试自学
集合中的数学思想
数学思想是从数学内容中提炼出来的数学知识的精髓，是将知识转化
为能力的桥
梁，有着普遍应用的意义，是历年高考的重点．其包括:数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想、函数与方程思想等．下面通过例题透视集合中的数学思想．
一、数形结合思想 <
br>数形结合思想就是把抽象的数和直观的形双向联系与沟通，使抽象思想与形象思
维有机地结合起来
化抽象为形象，以期达到化难为易的目的．
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
?<
br>为全集，
1,4,7
?
，【例1】已知
I?
?
集合<
br>A,B
为
I
的子集，且
A?(C
I
B)
=<
br>?
(C
I
A)?B?
?
2,3
?
，
(C
I
A)?(C
I
B)?
?
6,8,9,10
?
，那么集合
A
等于( )
A
?
1,4,5,6,7,8,9,10
?
B
?
1,4,7,
?
C
?
1,4,5,7,
?
D
?
1,2,3,4,5,7,
?
解:由于集合
A,B
将全集
I
划分为四个子集:
(CI
A)?(C
I
B)
、
A?(C
I
B)
、
(C
I
A)?B
、
A?B
．所以借助于文氏图，可迅速
做出判断，如图，易知
I
=(
(C
I
A)?(C
I
B)
)
?
(
A?(C
I
B)
)
?
(
(C
I
A)?B
)I
?
(
A?B<
br>)．将已知元素填入相应的
集合，易知
5?A?B
．即
5?A
，且
5?B
．故应
二、等价转化思想
等价转化思想就是在解答问题时，需
要对所给定的条件进行转化，只有通过转化，
给定的条件才能以有效利用．
2
例2已
知集合
A?
?
xx?5x?6?0
?
,B?
?
xm
x?1?0
?
，且
A?B?A
，则实数
m
组成
的集
合是_______．
2
解:
A?
?
xx?5x?6?0
?
?
?
2,3
?
B
是
A
的子集
又
?B
是
A
的真子集
?B??
或B?
?
2
?
或
B?
?
3
?
当
B??
时，
m?0
当
B??
2
?
时，
2m?1?0
解得
当
B?
?
3
?
时，
3m?1?0
解得
m??
1
2
m??
1
3
?
0,?
1
,?
1
?
?m
的值组成的集合是
23
三、分类讨论思想
分类讨论的思想就是整体问题化为部分问题来解决，它是逻辑划分思想在解
数学题
中的具体运用．
例3设集合
A?
?
xx
2
?3x?2?0
22
?
，
?
B?x2x?2px?p?3p?4?0
?
．集合若
B
是
A
的子集，求实数
p
的取
值范围．
2
?
A?xx?3x?2?0
?
?
?
1,2
?
解:
是
A
的子集
?
B
可能为
?
、
?
1
?
、
?
2
?
或
?
1,2
?
22
方程
2x?2px?p?3p?4?0
中，
???4(p?2)(p?4)
⑴若
p?2
或
p?4，则
??0
，
?B??
为
A
的子集
2
1
?
为
A
的子集 ⑵若
p?2
，原方程
为
2x?4x?2?0
，
?B?
?
2
⑶若
p?4<
br>，原方程为
2x?8x?8?0
，
?B?
?
2
?为
A
的子集
⑷若
2?p?4
，则
??0
，原方程有两个相异实根
1,2
?
，解得
p?3
由
B
是
A
的子集得
B?
?
综上得，当
p?(??,2]?
?
3?
?[4,??)
时，
B
是
A
的子集
四、函数与方程思想
函数与方程思想就是将函数问题转化为方程问题，借助于二次方程的判别式列式求
解．
22
例4设
A?
?
(x,y)y?x?1?0
?
，
B?
?
(x,y)4x?2x?2y?5?0
?
，
C?
?
(x,y)y?kx?b
?
，
是否存在
k,b?N
，使得<
br>(A?B)?C??
，证明此结论．
解:
?A?C??
且
B?C??
??
1
?(2bk?1)
2
?4k
2
(b
2
?1)?0
?4k
2
?4bk?1?0,
此不等式有解，其充要
条件是
16b
2
?16?0
，即
b
2
?1
①
2
??
2
?4(1?k)?16(5?2b)?0
?k
2
?2k?8b?19?0
从而
8b?20
即
b?2.5
②
由①②及
b?N
，得
b?
2
代入由
?
1
?0
和
?
2
?0
组
成的不等式组，
2
?
?
4k?8k?1?0
?
2
?
得
?
k?2k?3?0
?k?1
故存在自然数
k?1,
b?2
，使得
(A?B)?C??