高中数学课本必修5数列-java有高中数学难吗
高中数学选修1-2
§1.1 回归分析的基本思想及其初步应用
课堂导学
三点剖析
各个击破
一、求线性回归方程
例1
研究某灌溉渠道水的流速y与水深x之间的关系,测得一组数据如下:
水深x(m) 1.40
1.50 1.60 1.70 1.80 1.90 2.00 2.10
流速y(ms)
1.70 1.79 1.88 1.95 2.03 2.10 2.16 2.21
(1)求y对x的回归直线方程;
(2)预测水深为1.95 m时水的流速是多少?
类题演练 1
关于人体的脂肪含量(百分比)和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组数据:
年龄x
脂肪y
年龄x
脂肪y
(1)作散点图;
(2)求y与x之间的回归线方程;
(3)给出37岁人的脂肪含量的预测值.
变式提升
1
23
9.5
53
29.6
27
17.6
54
30.2
39
21.2
56
31.4
41
25.9
57
30.8
45
27.5
58
33.5
49
26.3
60
35.2
50
28.2
61
34.6
高中数学选修1-2
从某大学中随机选取8名女大学生,其身高和体重的数据如下表所示:
编号
身高cm
体重kg
1
165
48
2
165
57
3
157
50
4
170
54
5
175
64
6
165
61
7
155
43
8
170
59
求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程,并预报一名身高为172
cm的女大学
生的体重.
二、非线性回归问题
例2 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表:
身高xcm
体重ykg
身高xcm
体重ykg
60
6.13
120
20.92
70
7.90
130
26.86
80
9.99
140
31.11
90
12.15
150
38.85
100
15.02
160
47.25
110
17.5
170
55.05
(1)试建立y与x之间的回归方程;
(2)若体重超过相同身高男性
体重平均值的1.2倍为偏胖,低于0.8倍为偏瘦,那么这个地
区一名身高为175 cm体重为82
kg的在校男生体重是否正常?
类题演练 2
电容器充电后,电压达到100
V,然后开始放电.由经验知道,此后电压U随时间t变化的规
2
高中数学选修1-2
律用公u=Ae
b
t
(b<0
)表示.现测得时间t(s)时的电压U(V)如下所示:
t: 0 1 2 3 4 5 6
7 8 9 10
U:100 75 55 40 30 20 15 10 10 5 5
试求电压U对时间t的回归方程.
(提示:对公两边取自然对数,把问题化为线性回归分析问题).
三、回归分析
例3
某农场对单位面积化肥用量x(kg)和水稻相应产量y(kg)的关系作了统计,得到数据
如下:
x:15 20 25 30 35 40 45
y:330 345 365
405 445 450 455
如果x与y之间具有线性相关关系,求出回归直线方程,并预测当单位面积化肥用量为32
kg
时水稻的产量大约是多少(精确到0.01 kg).
类题演练 3
为了了解某地母亲身高X与女儿身
高Y的相关关系,现随机抽取了10对母女测得相应的身
高如下表所示:
3
高中数学选修1-2
母亲身高x cm
女儿身高y cm
母亲身高x cm
女儿身高y cm
(1)画出散点图;
(2)对X与Y进行回归分析;
(3)预测母亲身高为170 cm时女儿的身高为多少?
159
158
154
155
160
159
159
162
160
160
158
157
163
161
159
162
159
161
157
156
——★ 参 考 答 案 ★——
课堂导学
三点剖析
4
高中数学选修1-2
各个击破
一、求线性回归方程
例1 解:(1)散点图如下图所示.
?
.
?
与回归系数
b
列表计算
a
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
∑
于是
x?
x
i
1.40
1.50
1.60
1.70
1.80
1.90
2.00
2.10
14.00
y
i
1.70
1.79
1.88
1.95
2.03
2.10
2.16
2.21
15.82
x
i
2
1.96
2.25
2.56
2.89
3.24
3.61
4.00
4.41
24.92
y
i
2
2.890
3.2041
3.5344
3.8025
4.1209
4.4100
4.6656
4.8841
31.5116
x
i
y
i
2.380
2.685
3.008
3.315
3.654
3.990
4.320
4.641
27.993
11
?14=1.75
,
y??15.82=1.9775
, 88
∑x
i
2
=24.92,∑y
i
2
=31
.511 6,∑x
i
y
i
=27.993,
?
?
∴
b
27.993?8?1.75?1.9775
≈0.733,
24.92?8?1.75
2
?
x
=1.977
5-0.733×1.75=0.694 8,
?
?y-ba
?
x
=0.694 8+0.733x.
?
?a
?
?b
∴y对x的回归直线方程为
y
?
=0.
733的意思是:(2)在本题中回归系数
b
在此灌溉渠道中,水深每增加0.1
m水的流速平均
?
=0.694
8,可以解释为水的流速中不受水深影响的部分,把x=1.95代入增加0.733 ms,
a
?
=0.694 8+0.733×1.95≈2.12
ms,得到
y
计算结果表明:当水深为1.95 m可以预报渠水的流速
5
高中数学选修1-2
约为2.12 ms.
类题演练 1
解:(1)略
?
=bx+a,则由计算器算得a=-0.448,b=0.577,
(2)设方程为
y
?
=0.577x-0.448.
所以
y
?
=0.577×37-0.448=20.90.
(3)当x=37时,
y
变式提升
解:作散点图,由于问题是根据身高预报体重,因
此要求身高与体重的回归直线方程,取身
高为自变量x,体重为因变量y,作散点图如图所示.
1
n
1
n
x?
?
x
i
,y?
?
y
i
n
i?1
n
i?1
?
?b
?
(x
i?1
n
n
i
?x)(y
i
?y)
i
?
x
=-85.712.
?
?
yb
≈0.849,
a
?
(x
i?1
?x)2
?
=0.849x-85.712.
∴回归直线方程为
y
所以对于身高172cm女大学生,由回归方程可以预报体重为
?
=0.849×172-85.712=60.316(kg).
y
∴预测身高为172cm的女大学生的体重约为60.316kg.
二、非线性回归问题
例2 解:根据上表中数据画出散点图如下图:
6
高中数学选修1-2
(1)由图看出,样本点分布在某条指数函
数曲线y=c
1
ec
2
x的周围,于是令z=lny.
x
z
x
z
60
1.81
120
3.04
70
2.07
130
3.29
80
2.30
140
3.44
90
2.50
150
3.66
100
2.71
160
3.86
110
2.86
170
4.01
作出散点图如下图所示
由表中数据可得z与x之间的回归直线方程:
?
=e
0.693+0.020
x
.
?
=0.6
93+0.020x,则有
y
z
?
=e
0.693+0.020×1
75
≈66.22,
(2)当x=175时,预测平均体重
y
由于66.2
2×1.2≈79.47<82,
所以这个男生偏胖.
类题演练 2
解:根据提示公式,两边取对数得lnu=lnA+bt,
令y=lnu,a=lnA,则y=a+bt.
由前两组数据得a=ln100,b=ln
3
.
4
∴y=ln100+ln
3
·t.
4
根据上述公式样本点可转换为:
t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
y 4.6 4.3 4.0 3.9 3.4 2.9 2.7 2.3 2.3 1.6
1.6
其散点图为
7
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?
t
?
a
?
?
b
?
表示, 由散
点图可知y与t线性相关,可用
y
?
=-0.3,
a
?
=4
.6, 利用科学计算器,可得
b
?
=-0.3t+4.6,
∴
y
?
=-0.3t+4.6,
即ln
u
?
=100e
-0.3
t
.
∴
u
三、回归分析
例3 解:用列表的方法计算a与回归系数b.
序号
1
2
3
4
5
6
7
∑
x
15
20
25
30
35
40
45
210
y
330
345
365
405
445
450
455
2795
x
2
225
400
625
900
1225
1600
2025
7000
xy
4950
6900
9125
12150
15575
18000
20475
87175
x?
1
?210=30
,
7
1
y=?2795
≈399.3,
7
?
?
87175-7?30?399.3
≈4.746,
b
7000?7?30
2
?
=399.3-4.746×30=256.9
2,
a
y对x的回归直线方程为:
8
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?
x
=256.92+4.746x,
当x=32时,
y
?
?b
?
?a
?
=256.92
+4.746×32≈408.79
y
?
=256.92+4.747x,当单位面积化肥用量为32
kg时,水稻的产量大约答:回归直线方程为
y
为408.79 kg.
类题演练
3
解:(1)做出散点图如下图
(2)作回归分析:
?
=b
x+a,可求得从画出的散点图中我们可以看出,X与Y具有线性关系,设回归方程为
y
?=0.78x+35.2. b=0.78,a=35.2,因此回归直线方程为
y
(3)
预测x=170时,y=0.78×170+35.2≈168 cm.
9