高中数学竞赛中的不等式公式-顾军高中数学导数
高中数学选修1-2
一、基础过关
1．下列说法正确的是( )
①线性回归方程适用于一切样本和总体；
②线性回归方程一般都有时间性；
③样本的取值范围会影响线性回归方程的适用范围；
④根据线性回归方程得到的预测值是预测变量的精确值．
A．①③④
C．①②
[
答案
] B
2．某地财政收入x与支出y满足回归方程y＝x＋＋e(单
位：亿元)，其中＝0.8，＝2，|e|<0.5，
如果今年该地区财政收入10亿元，年支出预计不
会超过( )
A．10亿
B．②③
D．③④
B．9亿
1
高中数学选修1-2
C．10.5亿
[
答案
] C
[
解析
] 代入数据
＝10＋e，因为|e|<0.5，
所以| |<10.5，故不会超过10.5亿．
3．
在一组样本数据(x
1
，y
1
)，(x
2
，y
2<
br>)，…，(x
n
，y
n
)(n≥2，x
1
，x
2
，…，x
n
不全相等)的散点
1
图中，若所有样本点(x
i
，y
i
)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝x＋1上，则这组样本数据的样本
相
2
关系数为( )
A．－1
1
C.
2
[
答案
] D
4．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：
x
y
1.99
1.5
3
4.04
4
7.5
5.1
12
6.12
18.01
B．0
D．1
D．9.5亿
对于表中数据，现给出下列拟合曲线，其中拟合程度最好的是( )
A．y＝2x－2
C．y＝log
2
x
[
答案
] D
[
解析
]
可以代入检验，当x取相应的值时，所求y与已知y相差最小的便是拟合程度最高
的．
5．如
果散点图的所有点都在一条直线上，则残差均为________，残差平方和为________，
相
关指数为________．
[
答案
] 0 0 1
6．在研究两个变量
的相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线y＝e
bx
＋
a
1
B．y＝()
x
2
1
D．y＝(x
2
－1)
2
的周围，令z＝ln y，求得线性回归方程为
＝0.25x－2.58，则该模型的回归方程为________．
[
答案
]
＝e
0.25
x
－
2.58
－
2.58
[
解析
] ∵ ＝0.25x－2.58，z＝ln
y，∴ ＝e
0.25
x
.
2
高中数学选修1-2
某电脑公司有6名产品推销员，其工作年限
与年推销金额数据如下表：
推销员编号
工作年限x年
推销金额y万元
1
3
2
2
5
3
3
6
3
4
7
4
5
9
5
(1)求年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程；
(2)若第6名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额．
解
(1)设所求的线性回归方程为 ＝ x＋ ，
?
?x
i
－x??y
i
－y?
则
＝
i
＝
1
5
5
10
＝＝0.5， ＝y－
x＝0.4.
20
?
?x
i
－x?
2
i
＝
1
∴年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程为 ＝0.5x＋0.4.
(2)当x＝11时， ＝0.5x＋0.4＝0.5×11＋0.4＝5.9(万元)．
∴可以估计第6名推销员的年推销金额为5.9万元．
二、能力提升
8．有下列说法：
①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适；
②相关
指数R
2
来刻画回归的效果，R
2
值越大，说明模型的拟合效果越好； ③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效
果越好．
其中正确命题的个数是( )
3
高中数学选修1-2
A．0
C．2
[
答案
] D
[
解析
] ①选用的模型是否合适与残差点的分布有关；对于②③，R
2的值越大，说明残差
平方和越小，随机误差越小，则模型的拟合效果越好．
9．为了考察
两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立地做10次和15
次试验，并且利用线性回
归方法，求得回归直线分别为l
1
和l
2
.已知在两个人的试验中发现
对变量x的观测数据的平均值恰好相等，都为s，对变量y的观测数据的平均值也恰好相等，
都为t.
那么下列说法正确的是( )
A．直线l
1
和l
2
有交点(s，t)
B．直线l
1
和l
2
相交，但是交点未必是点(s，t)
C．直线l
1
和l
2
由于斜率相等，所以必定平行
D．直线l
1
和l
2
必定重合
[
答案
]
A
[
解析
] 由于回归直线一定过(x，y)，
∴直线l
1
和l
2
都过(s，t)点．
10．
某化工厂为预测某产品的回收率y，需要研究它和原料有效成分含量之间的相关关系，
现取了8
8
2
对观测值，计算得：∑x
i
＝52，∑y
i
＝228，
∑x
i
＝478，∑x
i
y
i
＝1 849，则
i
＝
1i
＝
1i
＝
1i
＝
1
888
B．1
D．3
y与x的
线性回归方程是________．
[
答案
] ＝11.47＋2.62x
11．某种产品的广告费支出x(单位：百万元)与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：
x
y
(1)画出散点图；
(2)求y关于x的线性回归方程.
解 (1)散点图如图所示：
2
30
4
40
5
60
6
50
8
70
4
高中数学选修1-2
(2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算.
i
x
i
(百万元)
y
i
(百万元)
x
i
y
i
1
2
30
60
2
4
40
160
3
5
60
300
4
6
50
300
5
8
70
560
x＝5；y＝50；
∑
5
i＝1
5
x
2
i
＝145；
i＝1
∑x
i
yi
＝1 380
5
∑
x
i
y
i
－5x y
1
380－5×5×50
i＝1
于是可得 ＝
5
＝＝6.5，
222
145－5×5
∑
x
i
－5x
i＝1
＝y－ x＝50－6.5×5＝17.5.
于是所求的线性回归方程是 ＝6.5x＋17.5.
12.某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：
年份
需求量(万吨)
2002
236
2004
246
2006
257
2008
276
2010
286
(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的线性回归方程 ＝ x＋ ；
(2)利用(1)中所求出的线性回归方程预测该地2012年的粮食需求量．
解 (1)由
所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来求线性回归方程，
先将数据预处理如下：
5
高中数学选修1-2
年份－2006
需求量－257万吨
－4
－21
－2
－11
0
0
2
19
4
29
由预处理后的数据，容易算得x＝0，y＝3.2，
?－4?×?－21?＋?－2?×?－11?＋2×19＋4×29
＝
4
2
＋2
2
＋2
2
＋4
2
260
＝＝6.
5，
40
＝y－ x＝3.2.由上述计算结果，知所求线性回归方程为 －257＝
(x－2 006)＋ ＝6.5(x
－2 006)＋3.2.
即 ＝6.5(x－2
006)＋260.2.
(2)利用所求得的线性回归方程，可预测2012年的粮食需求量为6.5×(2 012－2
006)＋260.2
＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)≈300(万吨)．
三、探究与拓展
13.从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x
i
(单位：千元)与月储蓄y
i
(单
位：千元)的数据资料，算得
?
x
i
＝80，
?
y
i
＝20，
?
x
i
y
i
＝184，
?
x
i
2
＝
720.
i
＝
1
i
＝
1
i
＝
1
i
＝
1
10101010
(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性
回归方程y＝bx＋a；
(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；
(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．
1
n
80
解
(1)由题意知n＝10，x＝
?
x
i
＝
＝8，
n10<
br>i
＝
1
1
n
20
y＝
?
y
i
＝
＝2，
n10
i
＝
1
22
又lxx
＝
?
x
2
i
－n
x
＝720－10×8＝80，
i
＝
1
n
l
xy
＝
?
x
i
y
i
－n x
y＝184－10×8×2＝24，
i
＝
1
n
l
xy24
由此得b＝＝＝0.3，
l
xx
80
a＝y－b
x＝2－0.3×8＝－0.4，
6
高中数学选修1-2
故所求线性回归方程为y＝0.3x－0.4.
(2)由于变量y的值随x值的增加而增加(b＝0.3>0)，故x与y之间是正相关．
(3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．
7