舰村雨公式磁场公式大全

2020年9月21日发(作者：柴车)

磁场公式大全

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十四、磁 场

一、知识网络


二、画龙点

概念
睛
1、磁场

(1>磁场的来源

①磁体的周围存在磁场

②电流的周围存在磁场：丹麦物理学家奥斯特首
先发现电流周围也存在着磁场。
把一条导线平行地放在小磁针的上方，给导线中
通入电流。当导线中通入电流，导线下方的小磁针发 生转动。

(2>磁体与电流间的相互作用通过磁场来完成

(3>磁场

①磁场：磁体和电流周围，运动电荷周围存在的一种特殊物
质，叫磁场。

②磁场的基本性质：对处于其中的磁极或电流有力的作用。

③磁场的物质性：虽然磁 场看不见摸不着，对于我们初学者感
到很抽象，其实磁场和电场一样是客观存在的，是物质存在的一种< br>特殊形式。b5E2RGbCAP

2、磁场的方向 磁感线

(1 >磁场的方向：物理学规定，在磁场中的任一点，小磁针北极
受力的方向，亦即小磁针静止时北极所指的 方向，就是该点的磁场
方向。p1EanqFDPw

(2>磁感线：
①磁感线所谓磁感线，是在磁场中画出的一些
有方向的曲线，在这些曲线上，每一点的切线方向都在该点的磁场方向上。DXDiTa9E3d

②磁感线的可以用实验来模拟

(3>几种典型磁体周围的磁感线分布

①条形磁铁磁场的磁感线

B
A
C

②条形磁铁磁场的磁感线


③直线电流磁场的磁感线

直线电流磁场的磁感线是一些以导线上各点为圆心的同心圆 ，
这些同心圆都在跟导线垂直的平面上。


直
线电
流的方 向和磁感线方向之间的关系
可用安培定则(也叫右手螺旋定则>来判定：用右手握住导线，让伸
直的大拇指所指的方向跟电流的方向一致，弯曲的四指所指的方向
就是磁感线的环绕方向。RTCrpU DGiT

④环形电流磁场的磁感线

环形电流磁场的磁感线是一些围绕环形 导线的闭合曲线。在环
形导线的中心轴线上，磁感线和环形导线的平面垂直。5PCzVD7HxA

环形电流的方向跟中心轴线上的磁感线方向之间的关系也可以
用安培定则来判 定：让右手弯曲的四指和和环形电流的方向一致，
伸直的大拇指所指的方向就是环形导线中心轴线上磁感 线的方向。
jLBHrnAILg

⑤通电螺线管磁场的磁感线

通 电螺线管外部的磁感线和条形磁铁外部的磁感线相似，一端
相当于南极，一端相当于北极。
< br>通电螺线管内部的磁感线和螺线管的轴线平行，方向由南极指
向北极，并和外部的磁感线连接，形 成一些环绕电流的闭合曲线。
通电螺线管内部的磁场比两极处的磁场更强。xHAQX74J0X

通电螺线管的电流方向和它的磁感线方向之间的关系，也可用
安培定则来判定：用右手握住 螺线管，让弯曲四指所指的方向和电
流的方向一致，大拇指所指的方向就是螺线管内部磁感线的方向。< br>也就是说，大拇指指向通电螺线管的北极。LDAYtRyKfE

(4>磁感线的物理意义

①磁感线上任意一点的切线方向表示该位置的磁场方向，亦 即
小磁针在该位置时N极的受力方向，或小磁针在该位置静止时N极
的指向。Zzz6ZB2L tk

②磁感线的疏密程度表示磁场的强弱。磁感线密集处磁场强，
稀疏处磁场弱。

(5>磁感线的特点

①磁感线为闭合曲线，无起点和终点。在磁体的外部磁感线由< br>N极发出，回到S极。在磁体的内部磁感线则由S极指向N极。
dvzfvkwMI1

②在稳定的磁场中，某一点只有惟一确定的磁场方向，所以两
条磁感线不能相交。

③磁感线也不相切。若磁感线相切，则切点处的磁场将趋近于
无穷大，这是不可能的。

3、地磁场

(1>地磁场：地球本身在地面附近有空间产生的磁场，叫做地磁
场。

(2>地磁场的分布特点：地磁场的分布大致就像一个条形磁铁外
面的磁场。


4、磁感应强度

(1>定义：在磁场中垂直于磁场方向的通电导线，所受 的安培力F
跟电流I和导线长度L的乘积IL的比值叫磁感应强度。rqyn14ZNXI
< br>说明：如果各处的磁场强弱不同，仍然可用上述方法研究磁
场，只是要用一段特别短的通电导线来 研究磁场。如果导线很短很
短，B就是导线所在处的磁感应强度。EmxvxOtOco

(2>公式：B＝
错误!
(量度式>

(3>单位：在国际单位制中，磁感应强度的单位是特斯特，简称
特，国际符号是T。

1T＝1
错误!
常见的地磁场磁感应强度大约是0.3×10－4T～0.7×10 －4T，
永磁铁磁极附近的磁感应强度大约是10－3T～1T。在电机的变压器
铁芯中，磁感 应强度可达0.8T～1.4T。SixE2yXPq5

(4>方向：磁感应强度是矢量，把某点的磁场方向定义为该点的
磁感应强度的方向。

(5>物理意义：磁感应强度B是表示磁场强弱和方向的物理量。

(6>形象表示方 法：在磁场中也可以用磁感线的疏密程度大致表
示磁感应强度的大小，这样，从磁感线的分布就可以形象 地表示磁
场的强弱和方向。6ewMyirQFL

在同一磁场的磁感线分布图上，磁感线越密的地方，磁感应强
度越大。

(7>磁场的叠加：磁感应强度是矢量，它可以合成，合成同样遵
守平形四边形定则。

若空间存在几个磁场，空间的磁场应由这几个磁场叠加而成，
某点的磁感应强度为B。

B＝B1＋B2＋B3……<矢量和）

例题：如图所示，三根通电直导线垂直纸面放
置，位于b、c、d处，通电电流大小相同，方向如
图。a位于bd中点。则a点的磁感应强度 方向是
( >kavU42VRUs

A．垂直纸面指向纸里
外

C．沿纸面由a指向b
c

解读：根据安培定则：b 、d两根导线在a点形成的磁场，磁感
应强度大小相等，方向相反，合磁感应强度应为零，故a点磁场就
由通电导线c来决定，根据安培定则在a点处的磁场，磁感应强度
方向应为沿纸面由a指向b， 正确选项为C。y6v3ALoS89

D．沿纸面由a指向
B．垂直纸面指向纸
b
a
c
d
例题：①磁场中放一根与磁场方向垂直的通电导线，它的电流强度
是2.5 A，导线长1 cm，它受到的安培力为5×10-2 N，则这个位
置的磁感应强度是多大？M2ub6vSTnP

②接上题，如果把通电导线中的电流强度增大到5 A时，这一
点的磁感应强度应是多大？

③如果通电导线在磁场中某处不受磁场力，是否肯定这里没有
磁场.

解答：①B＝
错误!
＝2T。

②磁感应强度B是由磁场和空间位置 (点>决定的，和导线的长
度L、电流I的大小无关，所以该点的磁感应强度是2 T。
0YujCfmUCw

③如果通电导线在磁场中某处不受磁场力，则可能有两种 可
能：该处没有磁场；该处有磁场，只不过通电导线与磁场方向平
行。eUts8ZQVRd< br>
5、匀强磁场

(1>定义：如果磁场的某一区域里，磁感应强度的大小和方 向处处
相同，这个区域的磁场叫匀强磁场。

(2>产生方法：距离很近的两个异名磁 极之间的
磁场，通电螺线管内部的磁场<除边缘部分外）都
可认为是匀强磁场。sQsAEJk W5T

(3>磁感线的特点：匀强磁场的磁感线是间距相等的平行直线。

6、安培力

(1>安培力：磁场对电流的作用力通常称为安培力。

⑵安培力的大小：F＝BILsinθ

θ=900时 F=BIL
< br>在非匀强磁场中，公式F＝BILsinθ适用于很短的一段通电导
线，这是因为导线很短时，它 所在处各点的磁感应强度的变化很
小，可近似认为磁场是匀强磁场。GMsIasNXkA
< br>θ为通电导线方向与磁场方向有一个夹角，我们可以把磁感应
强度B分解为两个分量：一个是跟通 电导线方向平行的分量B1＝
Bcosθ，另一个是跟通电导线方向垂直的分量B2＝Bsinθ。B1 与通
电导线方向平行，对电流没有作用力，电流受到的力是由B2决定
的，即F＝ILB2。将 B2＝Bsinθ代入上式，得到F＝ILBsinθ。这
就是通电导线方向与磁场方向成某一角度时安 培力的公式。公式F
＝BIL是上式θ＝90°时的特殊情况。TIrRGchYzg

(3>安培力的方向

安培力的方向既跟磁场方向垂直，又跟电流方向垂直，也就是< br>说，安培力的方向总是垂直于磁感线和通电导线所在的平面。
7EqZcWLZNX
< br>通电直导线所受安培力的方向和磁场方向、电
流方向之间的关系，可以用左手定则来判定：

伸开左手，使大拇指跟其余四个手指垂直，并
且都和手掌在一个平面内，把手放入磁场中， 让磁
感线垂直穿入手心，并使伸开的四指指向电流的方
向，那么，大拇指所指的方向就是通电导 线在磁场
中所受安培力的方向。lzq7IGf02E

应该注意的是：若电流方向和 磁场方向垂直，则磁场力的方
向、电流方向、磁场方向三者互相垂直；若电流方向和磁场方向不
垂直，则磁场力的方向仍垂直于电流方向，也同时垂直于磁场方
向。zvpgeqJ1hk

(4>安培力F、磁感应强度B、电流I三者的方向关系

通电导线在磁场中所受安培力F，总垂直于电流与磁感线所确
定的平面．

①已知电流I、磁感应强度B的方向，可用左手定则唯一确定
安培力F的方向．

②已知F和B的方向，当导线的位置确定时，可唯一确定电流
I的方向．

③已知F和I的方向时，磁感应强度B的方向不能唯一确定．

(5>用有效长度计算安培力的大小


如图所示，弯曲的导线ACD的有效 长度为l，等于两端点A、D
所连直线的长度，其所受的安培力为：F = BIlNrpoJac3v1

(6>安培力作用下物体运动方向的判断

① 电流元法：即把整段电流等效成多段直线电流元用左手定则
判断出每小段电流元所受安培力方向再判断合 力的方向，然后再确
定运动方向．1nowfTG4KI

②等效法：环形电流和通电 螺线管都可以等效成条形磁铁，条
形磁铁也可以等效成环形电流或通电螺线管．通电螺线管也可以等效成很多匝的环形电流．fjnFLDa5Zo

③利用结论法：

a、当两电流相互平行时，无转动趋势；同向电流相互吸引；
反向电流相互排斥；

b、两电流不平行时，有转动到相互平行、电流方向相同的趋
势．

利用这些结论分析、判断，可以事半功倍．

例题：如图所示，把一重力不计的通电直 导线水平放在蹄形磁铁磁
极的正上方，导线可以自由移动，当导线通过图示方向电流时，导
线的 运动情况是<从上往下看）<）tfnNhnE6e5

A．顺时针方向转动，同时下降

B．顺时针方向转动，同时上升

C．逆时针方向转动，同时下降

D．逆时针方向转动，同时上升

解读 ：根据蹄形磁铁磁感线分布和左手定则可判断A端受垂直纸面
向里的安培力，B端受垂直纸面向外的安培 力，故导线逆时针转
动；假设导线自图示位置转过90°，由左手定则可知，导线AB受
竖直向 下安培力作用；导线下降，故导线在逆时针转动的同时向下
运动，HbmVN777sL

所以本题答案应选C。

例题：如图所示，倾角为θ的光滑斜面上，有一长为L，质量 为m
的通电导线，导线中的电流强度为I，电流方向垂直
纸面向外．在图中加一匀强磁场，可使 导线平衡，试
求：最小的磁感应强度B是多少？方向如何？V7l4jRB8Hs

解 读：导体棒受重力、支持力和安培力作用而平衡，由力学知
识可知，当第三个力<安培力）F与F＇垂直 时，F有最小值，如
图，即安培力方向平行于斜面向上，F＝mgsinθ，又
因为当导体棒与 磁感应强度垂直时，安培力最大，故
本题所求最小磁感应强度B＝
错误!
，方向为垂直 斜面向下。
83lcPA59W9

例题：条形磁铁放在粗糙水平面上，正中的正上方 有一导线，通有
图示方向的电流后，磁铁对水平面的压力将会＿＿(增大、减小还是
不变？>。 水平面对磁铁的摩擦力大小为＿＿。mZkklkzaaP

解：本题有多种分析方法。⑴画出 通电导线中电流的磁场中通过两
极的那条磁感线<如图中粗虚线所示），可看出两极受的磁场力的合力竖直向上。磁铁对水平面的压力减小，但不受摩擦力。⑵画出条
形磁铁的磁感线中通过通电导线的 那一条<如图中细虚线所示），可
看出导线受到的安培力竖直向下，因此条形磁铁受的反作用力竖直向上。⑶把条形磁铁等效为通电螺线管，上方的电流是向里的，与
通电导线中的电流是同向电流，所 以互相吸引。AVktR43bpw


例题：如图在条形磁铁N极附近悬挂一个线圈 ，当线圈中通有逆时
针方向的电流时，线圈将向哪个方向偏转？

解：用“同向电流互 相吸引，反向电流互相排斥”最简单：条形磁
铁的等效螺线管的电流在正面是向下的，与线圈中的电流方 向相
反，互相排斥，而左边的线圈匝数多所以线圈向右偏转。<本题如果
用“同名磁极相斥，异 名磁极相吸”将出现判断错误，因为那只适
用于线圈位于磁铁外部的情况。）ORjBnOwcEd

7、电流表的组成及磁场分

(1>电流表的组成

永久磁铁、铁芯、线圈、螺旋弹簧、指针、
刻度盘等六部分组成。

(2>电 流表中磁场分布的特点:电流表中磁铁与铁
芯之间的磁场是均匀辐向分布的。不管线圈处于
什么 位置，线圈平面与磁感线之间的夹角都是零
度，各点的磁感应强度B的大小是相等的。
2MiJ Ty0dTT

8、线框在匀强磁场中的磁力矩

(1>线圈平面与磁场方向平行

例题：如图所示，单匝矩形线圈的边长分别
为ab＝cd＝L1，bc＝ad＝L2，它可以绕对称轴
OO′转动，线圈中的电流强度为I，线圈处 于磁
感应强度B的匀强磁场中，当线圈平面与磁场平
行时，求线圈所受的安培力的总力矩。gIiSpiue7A

解读：线圈平面与磁场平行时，线圈中只有
ab、cd两 边受力。所受力如图所示，两边安培
力的大小为

F＝BIL1

这一对力偶的力偶臂为L2，所受安培力的
总力矩

M＝BIL1L2＝BIS

a
b
O
d
c
O
c(d
O
拓展：如果是n匝线圈，则线圈所受安培力的力矩为多大？

F
如果是n匝线圈，则线圈所受安培力的力矩为M＝nBIS

当线圈平面与磁感线平行时，线圈受到的安培力的力矩为最
大。

(2>线圈平面与磁场方向成α角：M＝nBIScosα＝Mmcosα

(3>线圈平面与磁场方向垂直：M＝0。

F
a(b
(4>说明①上式只适用于匀强磁场；

②在匀强磁场中，当转轴OO′⊥B的时，M与转轴的位
置及线圈的形状无关。

例题：如图所示，一正三角形线圈，放
在匀强磁场中，磁场与线圈平面平行，设I＝
5 A，磁感应强度B＝1.0 T，三角形边长L＝
30cm.。求线圈所受磁力矩的大小及转动方向(电流方向为acba>。uEh0U1Yfmh

解法一：因为在匀强磁场中，在转轴< br>OO′和B相垂直的条件下，M与转轴的位置和
线圈的形状无关。所以

M＝BIS＝0.2 N·m。

根据左手定则ab边受的安培力方向垂直于ab边向 下，ac边受
的安培力方向垂直于ac边向上，所以线圈的转动方向为：从上往下
看为顺时针转 动。IAg9qLsgBX

解法二：bc边不受安培力；ab、ac受力等大反向，可认为安 培
力作用在它们的中点，磁力矩为

M＝2F×
错误!
sin30°

F＝BILcos30°

由以上二式求出

M＝0.2 N·m

从上往下看转动方向为顺时针方向。

O
a
b
O
c
9、电流表的工作原理

(1>电流表的工作原理

线框所受安培力的力矩应为

M1＝NBIS

弹簧产生的弹性力矩M2与指针的偏转角度θ成正比，即M2＝
kθ。

当M1＝M2时，线圈就停在某一偏角θ上。

由M1＝M2可得

NBIS＝kθ

θ＝
错误!
·I

从公式中可以看出：

①对于同一电流表N、B、S和k为不变量，所以θ∝I，可见
θ与I一一对应，从而用指针的偏角来测量电流I的值；
WwghWvVhPE

②因θ∝I，θ随I的变化是线性的，所以表盘的刻度是均匀
的。

(2>磁电式仪表的优缺点

利用充当永久磁铁使通电线圈偏转的仪器叫做磁电式仪表

磁场对电流的作用力和电流成正比，因而线圈中的电流越大，
安培力产生的力矩也越大，线圈和 指针偏转的角度也越大，因此，
根据指针偏转角度的大小，可以知道被测电流的强弱.当线圈中的电流方向改变时，安培力的方向随着改变，指针的偏转方向也随着改
变，所以，根据指针的偏转方向， 可以知道被测电流的方向。
asfpsfpi4k

磁电式仪表的优点是刻度均匀、准 确度高、灵敏度高，可以测
出很弱的电流；缺点是价格较贵，绕制线圈的导线很细，允许通过
的 电流很弱<几十微安到几毫安）.如果通过的电流超过允许值，很
容易把它烧坏。ooeyYZTjj1

10、洛伦兹力：

1、概念：运动电荷在磁场中受到的作用力，叫做洛伦兹力。

荷兰物理学家洛伦兹首 先提出了运动电荷产生磁场和磁场对运
动电荷有作用力的观点，为纪念他，人们称这种力为洛伦兹力。通
电导线在磁场中所受安培力是洛伦兹力的宏观表现。BkeGuInkxI

2、洛伦兹力的方向

洛伦兹力方向的判断──左手定则

伸开左手 ，使大拇指和其余四指垂直，且处于同一平面内，把
手放入磁场中，让磁感线垂直穿入手心，四指指向正 电荷运动的方
向，那么，拇指所指的方向就是正电荷所受洛伦兹力的方向。
PgdO0sRlM o

运动的负电荷在磁场中所受的洛伦兹力，方向跟正电荷受的力
相反。在用左手定则 判断时，若四指指向是电荷运动的反方向，那
么拇指所指的方向就是负电荷所受洛伦兹力的方向。3cd Xwckm15

3、洛伦兹力的大小

(1>洛伦兹力的推导
< br>若有一段长度为L的通电导线，横截面积为S，单位体积中含
有的自由电荷数为n，每个自由电荷 的电荷量为q，定向移动的平均
速率为v，将这段导线垂直于磁场方向放入磁感应强度为B的匀强
磁场中。h8c52WOngM

这段导体所受的安培力为F安＝BIL

电流强度I的微观表达式是I＝nqSv

这段导体中含有的电荷数为nLS

每个自由电荷所受的洛伦兹力大小为F＝
错误!
＝
错误!
＝
错误!
＝qvBv4bdyGious

(2>洛伦兹力公式：F＝qvB

公式中各量的单位：F为N，q为C，v为ms，B为T。

(3>适用条件

电荷的运动方向与磁场方向垂直，即v⊥B。

若v与B方向成某一角度θ时，洛沦兹力的分式为：F＝
qvBsinθ。

说明：①θ角为电荷运动方向和磁场方向的夹角；

②θ＝90°时F＝qvB；θ＝0°时F＝0。

③因为B为矢量，Bsinθ为B 在垂直于v方向上的分量；
Bcosθ为B沿v方向上的分量。

④因为v为矢量：F ＝qvBsinθ可写成F＝qBvsinθ。
vsinθ理解为v在垂直于B方向上的分量。J0bm 4qMpJ9

例题：电子的速率v＝3×106 ms，垂直射入B＝0.10 T的匀强磁
场中，它受到的洛伦兹力是多大？XVauA9grYP

F＝qvB＝1.60×10－19×3×106×0.10N＝4.8×10－14 N。

例题：来自宇宙的质子流，以与地球表面垂直的方向射向赤道上空
的某一点，则这些质子在进入 地球周围的空间时，将< ）
bR9C6TJscw

A．竖直向下沿直线射向地面
向东偏转

C．相对于预定点稍向西偏转
向北偏转

分析：B项正确。地球表面地磁场方向由南向北，质子是氢原
子核 带正电，根据左手定则可判定，质子自赤道上空竖直下落过程
中受洛伦兹力方向向东。pN9LBDdt rd

例题：电视机显像管的偏转线圈示意图如右，即时电流方向如图所
示。该时刻由 里向外射出的电子流将向哪个方向偏转？DJ8T7nHuGT

解：画出偏转线圈内侧的电流 ，是左半线圈靠电子流的一侧为向
里，右半线圈靠电子流的一侧为向外。电子流的等效电流方向是向里的，根据“同向电流互相吸引，反向电流互相排斥”，可判定电
子流向左偏转。<本题用其它方法 判断也行，但不如这个方法简
洁）。QF81D7bvUA

D．相对于预定点稍
B．相对于预定地面

4、洛伦兹力的特点

(1>运动的电荷才在可能受到洛伦兹力，静止的电荷在磁场中不
受洛伦兹力。

(2>洛仑兹力的大小和方向都与带电粒子运动状态有关。

(3>洛仑兹力对运动电荷不做功，不会改变电荷运动的速率。

洛伦兹力的方向垂直 于v和B组成的平面，即洛伦兹力垂直于
速度方向，因此，洛伦兹力只改变速度的方向，不改变速度的大
小，所以洛伦兹力对电荷不做功。4B7a9QFw9h

5、宇宙射线：运动电荷在 磁场中受
到洛伦兹力的作用，运动方向会发生偏
转，这一点对于地球上的生命来说有十分
重要的意义.从太阳或其他星体上，时刻
都有大量的高能粒子流放出，称为宇宙射
线，这些高 能粒子流，如果都到达地球，
将对地球上的生物带来危害.庆幸的是，
地球周围存在地磁场，地 磁场改变宇宙射
线中带电粒子的运动方向，对宇宙射线起
了一定的阻挡作用。ix6iFA8x oX

宇宙射线是穿透力极强的辐射线，它们来自宇宙空间，从各个
方向射向地球，2 0世纪初，我们想要获得一个不受辐射影响的实验
环境，总是不能如愿，即使深入矿井内部，仍然摆脱不 开宇宙射线
穿透性辐射的干扰，1912年，奥地利物理学家海斯乘气球升空去探
寻这些辐射的 来源，他发现，在气球上升过程中，辐射不是减弱而
是增强了，后来又发现，两极地区的辐射更为强大， 说明它似乎受
地球磁场的影响，表明它含有带电粒子<如质子），宇宙射线中的带
电粒子在穿越 地磁场过程中，受到地磁场对它们的洛伦兹力的作
用，运动方向会发生偏转，对宇宙射线有一定的阻挡作 用，大大减
弱了到达地球表面的宇宙射线。wt6qbkCyDE

例题：如图所示， 一个带正电q的小带电体处于垂直纸面向里的匀
强磁场中，磁感应强度为B，若小带电体的质量为m，为 了使它对水
平绝缘面正好无压力，应该< ）Kp5zH46zRk

A．使B的数值增大

B．使磁场以速率 v＝
错误!
，向上移动

C．使磁场以速率v＝
错误!
，向右移动

D．使磁场以速率v＝
错误!
，向左移动

解读：为使小球对平面无 压力，则应使它受到的洛伦兹力刚好
平衡重力，磁场不动而只增大B，静止电荷在磁场里不受洛伦兹力， A不可能；磁场向上移动相当于电荷向下运动，受洛伦兹力向
右，也不可能平衡重力，故B、 C也不对；磁场以V向左移动，等同
于电荷以速率v向右运动，此时洛伦兹力向上。当qvB＝mg时， 带
电体对绝缘水平面无压力，则v＝
错误!
，选项 D正确。
Yl4HdOAA61

关于带电小球在匀强磁场中的运动

例题：单摆摆长L，摆球质量为m，带有电荷＋q，在垂直于纸面向
里的磁感应强度为B的匀强磁场中 摆动，当其向左、向右通过最低
点时，线上拉力大小是否相等？ch4PJx4BlI

解读：摆球所带电荷等效于一个点电荷，它在磁场中摆动时受
到重力mg，线的拉力F与洛伦兹力，由 于只有重力做功，及机械
能守恒，所以摆球向左、向右通过最低点时的速度大小是相同的，
设为 V，向在通过最低点时洛仑兹力
竖直向下，根据牛顿第二定律，如图有
qd3YfhxCzo< br>


故有


当向右通过最低点时，洛伦兹力
qvB，同理可得

的竖直向上，而大小仍为

显然F1＞F2

11、带电粒子在匀强磁场中的运动

(1>带电粒子的运动方向与磁场方向平行

当带电粒子的运动方向与磁场方向平行时 ，粒子不受洛伦兹
力。所以，此时粒子做匀速直线运动。

(2>带电粒子的运动方向与磁场方向垂直

①运动轨迹

垂直射入 匀强磁场
中的带电粒子，在洛伦
兹力F＝qvB的作用下，
将会偏离的运动方向。粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动。E836L11DO5

②带电粒子的受力及运动分析


洛伦兹力只改变速度的方向，不改变速度的大小，提供电子做
匀速园周运动的向心力。

(3>带电粒子的运动方向与磁场方向成θ角

粒子在垂直于磁场方向作匀速圆周运 动，在磁场方向作匀速直
线运动。叠加后粒子作等距螺旋线运动。

12、轨道半径和周期

(1>轨道半径公式：由qvB＝m
错误!
可得

r＝
错误!
上式告诉我们，在匀强磁场中做匀速园周运动的带电粒子，它
的 轨道半径跟粒子的运动速率成正比。运动的速度越大，轨道的半
径也越大。S42ehLvE3M

(2>周期公式

将半径r代入周期公式T＝
错误!
中，得到

T＝
错误!
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期跟轨道半径和运动速
率无关。

(3>频率公式：


(4>角频率(角速度>公式：
例题：、、它 们以下列情况垂直进入同一匀强磁场，求
轨道半径之比。

①具有相同速度；

②具有相同动量；

③具有相同动能。

解答：依据qvB＝m
错误!
，得r＝
错误!
①v、B相同，所以r∝
错误!
，所以r1∶r2∶r3＝1∶2∶2

②因为mv、B相同，所以r∝
错误!
，r1∶r2∶r3＝2∶2∶1
< br>③
错误!
mv2相同，v∝
错误!
，B相同，所以r∝
错误!
，所以
r1∶r2∶r3＝1∶
错误!
∶1。501nNvZFis

例题：如图所示，一质量为m，电荷量为q的粒子从容器A下方
小孔S1飘入电势差为U的加速 电场。然后让
子垂直进入磁感应强度为B的磁场中做匀速园
运动，最后打到照相底片D上，如图 所示。求
jW1viftGw9

①粒子进入磁场时的速率；

②粒子在磁场中运动的轨道半径。

解答：①粒子在S1区做初速度为零的匀加速直线 运动。在S2
区做匀速直线运动，在S3区做匀速圆周运动。

由动能定理可知

粒
周
错误!
mv2＝qU

由此可解出

v＝
错误!
②粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为

r＝
错误!
＝
错误!
13、带电粒子在磁场中的偏转
< br>质量为m，电荷量为q的粒子，以初速度v0垂直进入磁感应强
度为B、宽度为L的匀强磁场区域 ，如图所示。xS0DOYWHLP

(1>带电粒子的运动轨迹及运动性质

作匀速圆周运动；轨迹为圆周的一部分。

(2>带电粒子运动的轨道半径

R＝
错误!
＝
错误!
a
R
L
v
b
y
θ
v
θ
R
B
(3>带电粒子离开磁场电的速率

v＝v0

(4>带电粒子离开磁场时的偏转角θ

sinθ＝
错误!
＝
错误!
(5>带电粒子在磁场中的运动时间t

t＝＝
错误!
(θ弧度为单位>

(6>带电粒子离开磁场时偏转的侧位移

y＝R－
错误!
＝R(1－cosθ>

14、质谱议

(1>质谱仪的结构

质谱仪由静电加速电极、速度选择器、偏转磁场、显示屏等组
成。

(2>质谱仪的工作原理

错误!
mv2＝qU

v＝
错误!
r＝
错误!
＝
错误!
r和进入磁场 的速度无关，进入同一磁场时，r∝
错误!
，而且
这些个量中，U、B、r可以直接测 量，那么，我们可以用装置来测
量比荷。如果再已知带电粒子的电荷量q，就可算出它的质量。
LOZMkIqI0w


质子数相同而质量数不同的原子互称为同位素。在上图中， 如
果容器A中含有电荷量相同而质量有微小差别的粒子，根据例题中
的结果可知，它们进入磁场 后将沿着不同的半径做圆周运动，打到
照相底片不同的地方，在底片上形成若干谱线状的细条，叫质谱< br>线。每一条对应于一定的质量，从谱线的位置可以知道圆周的半径
r，如果再已知带电粒子的电荷 量q，就可算出它的质量。这种仪器
叫做质谱议。例题2中的图就是质谱仪的原理示意图。ZKZUQs UJed

例题：质子和一价钠离子分别垂直进入同一匀强磁场中做匀速圆周
运动，如 果它们的圆运动半径恰好相等，这说明它们在刚进入磁场
时( B >dGY2mcoKtT

A．速率相等
等
B．动量大小相

D．质量相等

C．动能相等
问题讨论：带电粒子在磁场和电场中受力有什么区别呢？

①电场对静止或运动的带电 粒子都有电场力的作用，磁场只对
运动的带电粒子有磁场力<洛伦兹力）的作用<条件是v与B不平行）。rCYbSWRLIA

②电场力跟电场强度E的方向相同<正电荷）或相反<负电
荷），洛伦兹力跟磁感应强度B的方向垂直。

③电场力不受粒子运动速度的影响，洛伦兹力则与粒子运动速
度有关。

15、使带电粒子加速的方法

利用加速电场给带电粒子加速。

由动能定理W＝ΔEk

qU＝
错误!
mv2
v＝
错误!
为了提高粒子的能量，可以设想让粒子经过多次电场来加速



带 电粒子增加的动能ΔE＝
错误!
mv2－
错误!
mv02＝q(U1＋U2＋
U3＋……＋Un>FyXjoFlMWh

16、回旋加速器

(1>基本用途

回旋加速器是利用电场对电荷的加速作用和磁场对运动电荷的
偏转作用，在较小的范围内来获得高能粒子的装置。


(2>工作原理


放在A0处的粒子源发出一个带正电的粒子，它以某一速率v0
垂直进入匀强磁场， 在磁场中做匀速圆周运动，经过半个周期，当
它沿着半圆弧A0A1到达A1时，在A1A1′处造成一 个向上的电场，
使这个带电粒子在A1A1′处受到一次电场的加速，速率由v0增加
到v1， 然后粒子以速率v1在磁场中做匀速圆周运动。我们知道，
粒子的轨道半径跟它的速率成正比，因而粒子 将沿着半径增大了的
圆周运动，又经过半个周期，当它沿着半圆弧A1′A2′到达A2′
时， 在A2′A2处造成一个向下的电场，使粒子又一次受到电场的加
速，速率增加到v2，如此继续下去， 每当粒子运动到A1A′、
A3A3＇等处时都使它受到向上电场的加速，每当粒子运动到
A2 ′A2、A4′A4等处时都使它受到向下电场的加速，粒子将沿着图
示的螺线A0A1 A1′A2′A2……回旋下去，速率将一步一步地增
大。TuWrUpPObX

带 电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期T＝
错误!
，跟运
动速率和轨道半径无关， 对一定的带电粒子和一定的磁场来说，这
个周期是恒定的。因此，尽管粒子的速率和半径一次比一次增大 ，
运动周期T却始终不变，这样，如果在直线AA、A′A′处造成一个
交变电场，使它以相同 的周期T往复变化，那就可以保证粒子每经
过直线AA和A′A′时都正好赶上适合的电场方向而被加速 。
7qWAq9jPqE

①磁场的作用

带电粒子以某一速度垂直 磁场方向进入匀强磁场时，只在洛伦
兹力作用下做匀速圆周运动，其中周期和速率与半径无关，使带电< br>粒子每次进入D形盒中都能运动相等时间<半个周期）后，平行于电
场方向进入电场中加速。ll VIWTNQFk

②电场的作用

回旋加速器的两个D形盒之间的窄缝区域 存在周期性变化的并
垂直于两D形盒直径的匀强电场，加速就是在这个区域完成的。
yhUQs DgRT1

③交变电压

为了保证每次带电粒子经过狭缝时均被加速，使之 能量不断提
高，要在狭缝处加一个与T＝
错误!
相同的交变电压。MdUZYnKS8 I

(3>回旋加速器的核心

回旋加速器的核心部分是两个D形的金属扁盒 ，这两个D形盒
就像是沿着直径把一个圆形的金属扁盒切成的两半。两个D形盒之
间留一个窄缝 ，在中心附近放有粒子源。D形盒装在真空容器中，
整个装置放在巨大电磁铁的两极之间，磁场方向垂直 于D形盒的底
面。把两个D形盒分别接在高频电源的两极上，如果高频电源的周
期与带电粒子在 D形盒中的运动周期相同，带电粒子就可以不断地
被加速了。带电粒子在D形盒内沿螺线轨道逐渐趋于盒 的边缘，达
到预期的速率后，用特殊装置把它们引出。09T7t6eTno

D形金属扁盒的主要作用是起到静电屏蔽作用，使得盒内空间
的电场极弱，这样就可以使运动的粒子 只受洛伦兹力的作用做匀速
圆周运动。e5TfZQIUB5

在加速区域中也有磁场 ，但由于加速区间距离很小，磁场对带电粒
子的加速过程的影响很小，因此，可以忽略磁场的影响。s1SovAcVQM

设D形盒的半径为R，由qvB＝m
错误!
得， 粒子可能获得的最
大动能

Ekm＝
错误!
mvm2＝
错误!
可见：带电粒子获得的最大能量 与D形盒半径有关，由于受D
形盒半径R的限制，带电粒子在这种加速器中获得的能量也是有限
的。为了获得更大的能量，人类又发明各种类型的新型加速器。
GXRw1kFW5s

(4>回旋加速器的优点与缺点

使人类在获得具有较高能量的粒子方面前进了一步。

用这种经典的回旋加速器加速， 要想进一步提高质子的能量就
很困难了。按照狭义相对论<以后会介绍），这时粒子的质量将随着
速率的增加而显著地增大，粒子在磁场中回旋一周所需的时间要发
生变化。交变电场的频率不再跟粒子 运动的频率一致，这就破坏了
加速器的工作条件，进一步提高粒子的速率就不可能了。
UTRE x49Xj9

例题：个长度逐渐增大的金属圆筒和一
个靶，它们沿轴线排列成一串， 如图所
示(图中画出五、六个圆筒，作为示意图>。各筒和靶相间地连接到
频率为ν，最大电压 值为U的正弦交流电源的两端。整个装置放在
高真空容器中，圆筒的两底面中心开有小孔。现有一电荷量 为q，
质量为m的正离子沿轴线射入圆筒，并将在圆筒间及靶间的缝隙处
受到电场力的作用而加 速(设圆筒内部没有电场>，缝隙的宽度很
小，离子穿缝隙的时间可以不计，已知离子进入第一个圆筒左 端的
速度为v1，且此时第一、二两个圆筒间的电势差为U1－U2＝－U。
为使打在靶上的离 子获得最大能量，各个圆筒的长度应满足什么条
件？并求出在这种情况下打到靶子上的离子的能量，8P QN3NDYyP

解读：粒子在筒内做匀速直线运动，在缝隙处被加速，因此要
求粒 子穿过每个圆筒的时间均为
错误!
(即
错误!
>，N个圆筒至打在
靶 上被加速N次，每次电场力做的功均为qU。mLPVzx7ZNw

只有当离子在各圆筒内穿 过的时间都为t＝
错误!
＝
错误!
时，
离子才有可能每次通过筒间缝 隙都被加速，这样第一个圆筒的长度
L1＝v1t＝
错误!
，当离子通过第一、二个圆 筒间的缝隙时，两筒间
电压为U，离子进入第二个圆筒时的动能就增加了qU，所以：
AHP3 5hB02d

E2＝
错误!
mv22＝
错误!
mv12＋qU

v2＝
错误!
第二个圆筒的长度L2＝v2t＝
错误!
×
错误!
NDOcB141gT

如此可知离子进入第三个圆筒时的动能
E3＝E2＝
错误!
mv32＝
错误!
mv22＋qU＝
错误!
mv12＋
2qU1zOk7Ly2vA

速度v3＝
错误! 第三个圆筒长度L3＝
错误!
×
错误!
fuNsDv23Kh

离子进入第n个圆筒时的动能

EN＝
错误!
mvN2＝
错误!
mv12＋(N－1>qU

速度vN＝
错误!
第N个圆筒的长度LN＝
错误!
×
错误 !
tqMB9ew4YX

此时打到靶上离子的动能

Ek＝EN＋qU＝
错误!
mv12＋NqU

例题：知回旋加速器中D形盒内匀强磁场的磁感应强度B＝1.5T，D
形盒的半径为R＝60 cm，两盒间电压U＝2×104 V，今将α粒子从
间隙中心某处向D形盒内近似等于零的初速度，垂 直于半径的方向
射入，求粒子在加速器内运行的时间的最大可能值。HmMJFY05dE
< br>解读：带电粒子在做圆周运动时，其周期与速度和半径无关，
每一周期被加速两次，每次加速获得 能量为qU，根据D形盒的半径
得到粒子获得的最大能量，即可求出加速次数，可知经历了几个周
期，从而求总出总时间。ViLRaIt6sk

粒子在D形盒中运动的最大半径为R

则R＝
错误!
vm＝
错误!
则其最大动能为Ekm＝
错误!
mvm2＝
错误!
粒子被加速的次数为n＝
错误!
＝
错误!
则粒子在加速器内运行的总时间为

t＝n·
错误!
＝
错误 !
×
错误!
＝4.3×10－5s9eK0GsX7H1



规律
1．洛伦兹力与安培力的关系

(1>洛伦兹力是单个运动 电荷在磁场中受到的力，而安培力是导
体中所有定向移动的自由电荷受到的洛伦兹力的宏观表
现 ．naK8ccr8VI

(2>洛伦兹力永不做功，但安培力却可以做功．

2．在研究带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，关键把握
“一找圆心，二找半径
律．B 6JgIVV9ao

(1>圆心的确定：因洛伦兹力F指向圆心，根据F⊥v，画出粒子轨迹中的任意两点(一般是射入和射出磁场的两点>的F的方向，沿
两个洛伦兹力F画其延长线，两 延长线的交点即为圆心，或利用圆
心位置必定在圆中一根弦的中垂线上，找出圆心位置．P2IpeFp ap5

(2>半径的确定和计算

，三找周期或时间t″的规
利用 平面几何关系或半径公式，求出该圆的可能半径(或
圆心角>，并注意以下两个重要的几何特点：

①粒子速度的偏向角φ甲等于圆心角α，并等于AB弦与切线
的夹角θ(弦切角>的2倍， 如图所示，即．


②相对的弦切角θ
θ+θ′＝180°．
(3>粒子在磁场中运动时间t的确定：利用圆心角口与弦切角日
的关系，或者利用四边形内角和等 于360°计算出圆心角α的大
小，由公式
t．3YIxKpScDM

(4>注意圆周运动中的有关对称规律

如从某一直线边界射入的粒子，从同一边界射 出时，速度与边界
的夹角相等；在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子，必沿径向射
出．gUH Fg9mdSs

3．带电粒子在有界磁场中运动的极值问题

可求出粒子在 磁场中运动的时间
相等，与相邻的弦切角θ′互补，即
(1>刚好穿出磁场边界的条件是带电粒 子在磁场中运动的轨迹与
边界相切．

(2>当速度v一定时，弧长(或弦长>越长， 圆周角越大，则带电
粒子在有界磁场中运动的时间越长．

4．带电粒子在复合场中无约束情况下的运动性质

(1>当带电粒子所受合外力为零 时，将做匀速直线运动或处于静
止状态．合外力恒定且与初速同向时做匀变速直线运动，常见的情
况有：uQHOMTQe79

①洛伦兹力为零(即v∥B>，重力与电场力平衡，做匀速直 线运
动；或重力与电场力的合力恒定，做匀变速运动．IMGWiDkflP

②洛伦兹力F与重力和电场力的合力平衡，做匀速直线运动．

(2>带电粒子所受合 外力做向心力，带电粒子做匀速圆周运动
时．由于通常情况下，重力和电场力为恒力，故不能充当向心力 ，
所以一般情况下是重力恰好与电场力相平衡，洛伦兹力是以上力的
合力．WHF4OmOgA w

例题1：如图所示，光滑导轨与水平面成α角，导轨宽L。匀强磁
场磁感应强度为 B。金属杆长也为L ，质量为m，水平放在导轨
上。当回路总电流为I1时，金属杆正好能静止。求： ⑴B至少多
大？这时B的方向如何？⑵若保持B的大小不变而将B的方向改为
竖直向上，应把回 路总电流I2调到多大才能使金属杆保持静止？
aDFdk6hhPd

解：画出金属 杆的截面图。由三角形定则可知，只有当安培力方向
沿导轨平面向上时安培力才最小，B也最小。根据左 手定则，这时B
应垂直于导轨平面向上，大小满足：BI1L=mgsinα，
B=mgsinαI1L。ozElQQLi4T

当B的方向改为竖直向上时，这时 安培力的方向变为水平向
右，沿导轨方向合力为零，得BI2Lcosα=mgsinα，I2=I1c osα。
<在解这类题时必须画出截面图，只有在截面图上才能正确表示各力
的准确方向，从而 弄清各矢量方向间的关系）。CvDtmAfjiA


例题2：如图所示，质量为m 的铜棒搭在U形导线框右端，棒长和
框宽均为L，磁感应强度为B的匀强磁场方向竖直向下。电键闭合< br>后，在磁场力作用下铜棒被平抛出去，下落h后落在水平面上，水
平位移为s。求闭合电键后通过 铜棒的电荷量Q。QrDCRkJkxh

解：闭合电键后的极短时间内，铜棒受安培力向右的 冲量FΔt=mv0
而被平抛出去，其中F=BIL，而瞬时电流和时间的乘积等于电荷量
Q= I
?
Δt，由平抛规律可算铜棒离开导线框时的初速度
最终可得。4nCKn3dlM X

，

例题3：磁流体发电机原理图如右。等离子体高速从左向右喷射，< br>两极板间有如图方向的匀强磁场。该发电机哪个极板为正极？两板
间最大电压为多少？ijCST NGm0E

解：由左手定则，正、负离子受的洛伦兹力分别向上、向下。所以
上极板 为正。正、负极板间会产生电场。当刚进入的正负离子受的
洛伦兹力与电场力等值反向时，达到最大电压 ：U=Bdv。当外电路断
开时，这也就是电动势E。当外电路接通时，极板上的电荷量减
小， 板间场强减小，洛伦兹力将大于电场力，进入的正负离子又将
发生偏转。这时电动势仍是E=Bdv，但 路端电压将小于Bdv。
vfB1pxanfk

在定性分析时特别需要注意的是：

⑴正负离子速度方向相同时，在同一磁场中受洛伦兹力方向相
反。

⑵外电路 接通时，电路中有电流，洛伦兹力大于电场力，两板
间电压将小于Bdv，但电动势不变<和所有电源一 样，电动势是电源
本身的性质。）JbA9VhEou1

⑶注意在带电粒子 偏转聚集在极板上以后新产生的电场的分
析。在外电路断开时最终将达到平衡态。

例 题4：半导体靠自由电子<带负电）和空穴<相当于带正电）导
电，分为p型和n型两种。p型半导体中 空穴为多数载流子；n型半
导体中自由电子为多数载流子。用以下实验可以判定一块半导体材
料 是p型还是n型：将材料放在匀强磁场中，通以图示方向的电流
I，用电压表比较上下两个表面的电势高 低，若上极板电势高，就是
p型半导体；若下极板电势高，就是n型半导体。试分析原因。
X7 Ahr18pJI

解：分别判定空穴和自由电子所受的洛伦兹力的方向，由于四指指
电流方向，都向右，所以洛伦兹力方向都向上，它们都将向上偏
转。p型半导体中空穴多，上极板的电势 高；n型半导体中自由电子
多，上极板电势低。b3zqXLCqXo

注意：当电流 方向相同时，正、负离子在同一个磁场中的所受的
洛伦兹力方向相同，所以偏转方向相同。


例题5：如图直线MN上方有磁感应强度为B的匀强磁场。正、负电
子同时从同一点 O以与MN成30°角的同样速度v射入磁场<电子质
量为m，电荷为e），它们从磁场中射出时相距多 远？射出的时间差
是多少？pZyytu5rc5

解：正负电子的半径和周期是相同 的。只是偏转方向相反。先确定
圆心，画出半径，由对称性知：射入、射出点和圆心恰好组成正三
角形。所以两个射出点相距2r，由图还看出经历时间相差2T3。答
案为射出点相距，时间差为。关 键是找圆心、找半径
和用对称。DVyGZezsrM


例题6：一个质量 为m电荷量为q的带电粒子从x轴上的P(a，0>点
以速度v，沿与x正方向成60°的方向射入第一 象限内的匀强磁场
中，并恰好垂直于y轴射出第一象限。求匀强磁场的磁感应强度B
和射出点的 坐标。RQxPvY3tFs

解：由射入、射出点的半径可找到圆心O，并得出半径为
；射出点坐标为<0，）。


例题7： 某带电粒子从图中速度选择器左端由中点O以速度v0向
右射去，从右端 中心a下方的b点以速度v1射出；若增大磁感应强
度B，该粒子将打到a点上方的c点，且有ac=a b，则该粒子带___
电；第二次射出时的速度为_____。5MxX1IxuU9

解：B增大后向上偏，说明洛伦兹力向上，所以为带正电。由于洛
伦兹力总不做功，所以两次都是只有 电场力做功，第一次为正功，
第二次为负功，但功的绝对值相同。
jIw5xs0v9P


例题8：如图所示，一个带电粒子两次以同样的垂直于场线的初速
度v0分别穿 越匀强电场区和匀强磁场区，场区的宽度均为L偏转角
度均为α，求E∶BxEve2buwnw

解：分别利用带电粒子的偏角公式。在电场中偏转：

，在磁场中偏转：，由以上 两式可得。可
以证明：当偏转角相同时，侧移必然不同<电场中侧移较大）；当侧
移相同时，偏 转角必然不同<磁场中偏转角较大）。KAvmyVYxCd


例题9：一个带电微 粒在图示的正交匀强电场和匀强磁场中在竖直
面内做匀速圆周运动。则该带电微粒必然带_____，旋 转方向为
_____。若已知圆半径为r，电场强度为E磁感应强度为B，则线速
度为____ _。Ywuu4FszRT

解：因为必须有电场力与重力平衡，所以必为负电；由左手定则得
逆时针转动；再由


例题10：质量为m带电量为q的小球套在竖直放置的绝缘杆上，球
与杆间的动摩擦 因数为μ。匀强电场和匀强磁场的方向如图所示，
电场强度为E，磁感应强度为B。小球由静止释放后沿 杆下滑。设杆
足够长，电场和磁场也足够大，求运动过程中小球的最大加速度和
最大速度。cs tDApWA6A


解：不妨假设设小球带正电<带负电时电场力和洛伦兹力都将反 向，
结论相同）。刚释放时小球受重力、电场力、弹力、摩擦力作用，
向下加速；开始运动后又 受到洛伦兹力作用，弹力、摩擦力开始减
小；当洛伦兹力等于电场力时加速度最大为g。随着v的增大， 洛
伦兹力大于电场力，弹力方向变为向右，且不断增大，摩擦力随着
增大，加速度减小，当摩擦 力和重力大小相等时，小球速度达到最
大。qotL69pBkh

若将磁场的方向反 向，而其他因素都不变，则开始运动后洛伦
兹力向右，弹力、摩擦力不断增大，加速度减小。所以开始的 加速
度最大为
EksTCSTCzX

(3>当带电粒子受的合力大小、方向均不断变化时，粒子做非匀
变速曲线运动

；摩擦力等于重力时速度最大，为。

申明：
所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用
途。