高中数学 第七讲 化归—解方程组的基本思想

第七讲 化归—解方程组的基本思想
初中阶段已学过的方程组有：二元一次方程组、三元一次方程组、二元二次方程组．
尽管具体到每类方程组的解法不全相同，但纵有千变万化，而万变不离其宗：
化归是解方 程组的基本思想，降次与消元是化归的主要途径，因式分解、换元是降次的常
用方法，代人法、加减法是 消元的两种主要手段．
解一些特殊方程组(如未知数系数较大，未知数个数较多等)，需要在整体分析 方程组特
点基础上，灵活运用一些技巧与方法，常用的技巧与方法有迭加、迭乘、换元、配方、取倒等．
注：转化与化归是解方程(组)的基本思想，常见形式有：
分式方程整式化
无理方程有理化
高次方程低次化
多元方程一元化
通过恰当的转化，化归目的明确，复杂的方程(组)就会变为我们熟悉的、简单的方程(组)．
【例题求解】
?
x?y?xy?8
?
【例1】已知正实数
x
、
y
、
z
满足
?
y?z?yz?15
，则
x?y?z?xyz
= ．
?
z?x?zx?35
?

思路点拨 由
ab?a?b?1?(a?1)(b?1)
想到从分解因式入手，还需整体考虑．





【例2】方程组
?
?
xz?yz?23
的正整数解的组数是（ ）
xy?yz?63
?
A．4 B．3 C 2 D．1
思路点拨 直接消元降次解三元二次方程组较困难，从分析常数项的特征入手．



【例3】 解下列方程组：
(1)
?
?
x y?x?y??13
?
x(x?1)(3x?5y)?144
（2）
?
22
x?y?29x2?4x?5y?24
??

?
?
3
x?1?
3
y?1?2
(3)
?

?
x?y?26
?
思路点拨 对于(1)，先求出整体
x?y、
xy
的值，对于(2)，视
x
2
?x
、
3x ?5y
为整体，可得
到
(x
2
?x)?(3x?5y)
、< br>(x
2
?x)(3x?5y)
的值；对于(3)设
3
x?1? a
，
3
y?1?b
，用换元法解．

【例4】 已知
a
、b
、
c
三数满足方程组
?
a?b?8
?
，试求 方程
bx
2
?cx?a?0
的根．
2
ab?c?82c?48
?

思路点拨 先构造以
a
、
b
为两根的一元二次方程，从判别式入手， 突破
c
的值．






注 ：方程与方程组在一定的条件下可相互转化，借助配方法、利用非负数性质是促使转化的
常用工具，一个 含多元的方程，往往蕴含着方程组．
【例5】已知方程组
?
b?
11
，
?
x
1
x
2
?
x?x
1
?
x?x
2
?
y2?4x
有两个实数解为
?
和
?
且
x
1
x
2
?0
，
x
1
?x
2
，设y?y
y?y
y?2x?a
2
1
?
?
?
(1)求
a
的取值范围；(2)试用关于
a
的代数式表示出
b< br>；
(3)是否存在
b?3
的
a
的值?若存在，就求出所有 这样的
a
的值；若不存在，请说明理由．

思路点拨 代人消元，得到关于
x
的一元二次方程，综合运用根的判别式、韦达定理等 知识
求解，解题中注意隐含条件的制约，方能准确求出
a
的取值范围．



注：方程组解的性质、个数的探讨问题，往往转化为一元二次方程根的个数、性 质的讨论，
但这种转化不一定是等价的，注意隐含条件的制约，如本例中
y
2
?4x?0
，则
x?0
，这就
是一个隐含条件．

学历训练
1．一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解是
?
合要求的方程组 (只要填写一个即可)．

?
?
x
2
?y
2
?m
2．若方程组
?< br>有两组相同的实数解，则
m
的取值是 ．
?
?
x?y?2
?
x??2
，试写出符
y??4
?

?
?
x?3y?2xy?2z
2
?0
3．实数
x
、
y
、
z
满足
?
，则
x
2y?z
的值为 ．
?
x?6?3y< br>?
4．已知
x
、
y
、
z
2是正整数，并且满 足
?
3x?4y?0
，那么
x?y?z
的值等
x?y?z? x?y?z?3?15
?
?
于 ．
5．已知
m
2
?2mn?384
，
3mn?2n
2
?560
，则
2m
2
?13mn?6n
2
?144
的值为( )
A．2001 B．2002 C． 2003 D．2004

6．已知
x?y?1
，
x
3
?3x
2
?3 x?3y?3y
2
?y
3
?37
，则
(x?1)
4
?(y?1)
4
=（ ）
A．337 B．17 C．97 D．1
7．解下列方程组：
?
?
x?y? xy?11
?
x
2
?y
2
?3x?3y
（1）?
2
（2）
?
2

2
2
x y?xy?30
?
x?xy?y?27
?
?

?
?
x?2?y?1?5
(3)
?

?
x?y?12
?
?
?
x?x
1
?
x?x
2
113
?
y
2
?2x
8．已知方程组< br>?
有两个实数解
?
和
?
，且
??
，求
m
的值．
x
1
x
2
2
?
?
y ?y
2
?
y?y
1
?
y?x?m

9．方程组
?
?
x?y?11
22
?
x?y?x? y?32
的解是 ．

1
?
?
y?
10．已知实数
x
0
，
y
0
是方程组
?
x
的解，则
x
0
+y
0
= ．
?
?
y?x?1
11．已知
a
2
?a
3
?a
4
?a
5
a1
?a
3
?a
4
?a
5
a
1
?a
2
?a
4
?a
5
a
1
?a
2
?a
3
?a
5
a
1
?a
2
?a< br>3
?a
4
?????k
，且
a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
a
1
?a
2
?a
3
?a
4
?a
5
?0
，则
k
是的值为 ．

12．已知方程组的两组解是（
x
1
,y
1
）与（
x
2
,y
2
），则
x
1
y
2
?x
2
y
1
的值是 ．
13．已知
mn?p
2
?4?0
，
m?n?4
，则
m?n
的值是( )
A．4 B．2 C．一2 D．0

?
?
(x?1)
3
?2003(x?1)??1
14．设
x
，
y
为实数，且满足
?
，则
x?y
=（ ）
3
?
(y?1)?2003(y?1)?1
?
A．1 B．一1 C． 2 D．一2
15．解下列方程组：
?
1
94
?
?
x??x?y?3?3
x?y???10
?
?y
(1)
?
（2）
?
< br>xy
1
?
?
(x
2
?9)(y
2
? 4)?24xy
2x?y??6
?
?
y
?
(3)
x?(x
2
?3x?2)
2
?3(x
2
?3x?2)?2< br>
?
x?x
1
?
x?x
2
?
x2 ?y?a?2?0???(1)
的两个解为
?
和
?
，且
x< br>1
，
x
2
是两个不
?
y?y
2
?< br>y?y
1
?
x?y?1?0??(2)
16．已知方程组
?< br>相等的实数，若
x
1
2
?x
2
2
?3x1
x
2
?8a
2
?6a?11
．
(1)求
a
的值；
(2)不解方程组判断方程组的两个解能否都是正数?为什么?

?
x< br>y
??1?x
?
?
ab
2
17．已知
a、
b
是方程
t?t?1?0
的两个实根，解方程组
?

x
y
?
??1?y
?
?
ba

18．已知
x
、
y
为实数，且满足
xy?x?y?17，
x
2
y?xy
2
?66
，求
x
4< br>?x
3
y?x
2
y
2
?xy
3
?y
4
的值．

参考答案