安徽省高中数学竞赛初赛试题及答案详解

2007年安徽省高中数学竞赛初赛试题
一.选择题
1.如果集合
A.B
同时满足
AUB?
?
1.2.3.4
?
AIB??
1
?
,
A?
?
1
?
,B?
?
1
?
就称有
序集对
?
A,B
?
为“好集 对”。这里的有序集对
?
A,B
?
意指当
A?B
，
?
A,B
?
和
?
B,A
?
是不同的集对，那么“好 集对”一共有（ ）个。
２.设函数
f
?
x
?
?l g
?
10
?x
?1
?
,
方程f
?
?2
x
?
?

2
?
lg2
?
??
log
2
10
?
?1
f
?1
?2
x
?
的解
为()

?
lg2
??
2
?
log
2
10
?
?1
3.设< br>A?100101102L499500
是一个1203位的正整数,由从100到500的全体三位数按顺序排列而成那么A除以126的余数是()
4.在直角
VABC
中,
?C?90
o
,
CD
为斜边上的高,D为垂
足.
AD?a,BD?b,CD?a?b?1
.设数列
?
u
k
?
的通项为
u
k
?a
k
?a
k?1
b?a
k?2
b
2
?L?
?
?1
?
b
k
,k?1,2,3,L,
则()
k
5.……删去所有和55互质的项之后,把余下的 各项按从小到大的顺
序排成一个新的数列
?
a
n
?
,易见< br>a
1
?1,a
2
?3,a
3
?7,a
4?9,a
5
?13L
那么
a
2007
?_______ _____
A. 9597 B. 55
19
C.
2831
D.
2759

6.设
A
?1?cos3
0
+
1+cos7
0
+1+cos11
0
+
L
1+cos87
0

B?
1?cos3
0
+
1-cos7
0
+1-cos11
0
+
L
1-cos87
0
则
A:B?
??

7.边长均为整数且成等差数列,周长为60的钝角三角形一共有
______________种.
8.设
n?2007
,且
n
为使得
a
n
= 2-2?i2+2
取实数值的最小正整数,
则对应此
n
的
a
n
为
?
?
n

9.若正整数
n
恰好 有4个正约数,则称
n
为奇异数,例如6,8,10都是奇
异数.那么在27,42, 69,111,125,137,343,899,3599,7999这10个数
中奇异数有____ _________________个.
10.平行六面体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中,顶点
A
出发的三条棱
AA
1,
AB,AD
的
长度分别为2,3,4,且两两夹角都为60
o
那么这个平行六面体的四条对
角线
AC
1
,BD
1
,DB
1
,CA
1
的长度(按顺序)分别为______ _____________
11.函数
f
?
x
?
,g< br>?
x
?
的迭代的函数定义为
f
??
?
x?
?f
?
x
?
,f
?
12
?
?
x
?
?f
?
f
?
x
?
?
,L

f
?
n
?
?
x
?
?ff
?
n?1
?
?
x
?
,g
?
1?
?
x
?
?g
?
x
?
,g
?
2
?
?
x
?
?g
?
g
?
x
?
?
,Lg
?
n
?
?
x
??gg
?
n?1
?
?
x
?
????
其 中
n
=2,3,4…
?
f
?
9
?
?x
?
?g
?
6
?
?
y
?
?< br>?
9
??
6
?
设
f
?
x
?
?2x?3,g
?
x
?
?3x?2
,则方程组
?< br>?
f
?
y
?
?g
?
z
?
的 解为
?
?
9
??
6
?
fz?g
???x
?
?
?
_________________
12.设平行 四边形
ABCD
中，
AB?4,AD?2,BD?2
3,
则平行四边 形
ABCD
绕直线
AC
旋转所得的旋转体的体积为____________ ___
三．解答题
13.已知椭圆
?:3x
2
?4y
2
?12
和点
Q
?
q,0
?
,
直线
l过Q且与?交于A,B
两点
(可以重合).
1)若
?AOB
为钝 角或平角(
O
为原点),
q?4,
试确定
l
的斜率的取值范
围.
2)设
A
关于长轴的对称点为
A
1
,
F为椭圆的右焦点,q?4,
试判断
A
1
和F,B
三
点是 否共线,并说明理由.

3)问题2)中,若
q?4,那么A
1
,F,B
三点能否共线请说明理由.
14.数列
?
x
n
?
由下式确定:
x
n?1
?
x
n
,n?1,2,3 ,
L
,x
1
?1
,试求
2
2x
n
?1
lgx
2007
整数部分k?
?
lgx
2007
?
.
(注
?
a
?
表示不大于
a
的最大整 数,即
a
的整数
部分.)
15.设给定的锐角
VABC
的 三边长
a,b,c,正实数x,y,z
满足
ayzbzxcxy
???p,< br>其中
p
为给定的正实数,试求
xyz
s?
?
b?c? a
?
x
2
?
?
c?a?b
?
y
2
?
?
a?b?c
?
z
2
的最大值,并求出当
s
取此最大
值时,
x,y,z
的取值.
2007年安徽省高中数学竞赛初赛答案
一、 选择题
1.C.2.A.3.C.4.A.5.B6.D.
第1题解答过程
逐个元素考虑归属的选择.
元素1必须同时属于
A
和
B
.
元素2必须至少属于
A、B
中之一个，但不能同时属于
A
和
B
，有2
种选择：属于
A
但不属于
B
，属于
B但不属于
A
.
同理，元素3和4也有2种选择.
但元素2，3，4不能同时不属于
A
，也不能同时不属于
B
. 所以4个元素满足条件的选择共有
2?2?2?2?6
种.换句话说，“好集
对” 一共有6个.答：C.
第2题解答过程

10
?x
?10< br>y
?1
，
?x?lg(10
y
?1)
，令
y ?lg(10
?x
?1)
，则
y?0
，且
10
?x
?1?10
y
，
x??lg(10
y
?1)
.从 而
f
f(?t)?f
?1
?1
(x)??lg(10
x?1)
.令
2
x
?t
，则题设方程为
(t)
， 即
lg(10
t
?1)??lg(10
t
?1)
，故
lg[(10
t
?1)(10
t
?1)]?0
，
(10< br>t
?1)(10
t
?1)?1
，
10
2t
? 2
，
2t?lg2
，解得
2
x
?t?
1
l g2
.从而
2
1
x?log
2
(lg2)?log
2
(lg2)?1
.答：A.
2
第3解答过程
注意
12 6?2?7?9
,2,7和9两两互质.因为
A?0
（mod2）
,
?100?101?102???500?（100?500）?401?2?120300?6
（m od9）
,
所以
A?6
（mod18）
.（1）
又因为
10
3
??1
，
10
3n
?(?1)
n< br>（mod7）
,所以
i
A?
?
(500?i)?10?
?
(500?i)?（?1）

3i
i?0i?0
400400< br>?(500?499)?(498?497)?(496?495)???(102?101)?100< br>?300?6
（mod7）
.(2)，（1），（2）两式以及7和18互质，知
A?6
（mod126）.
答：C.
999999?10
6
?1
，另解：，
n?1,2,3,?
（10
6
?1）（10
6n
?1）
126?2?63
，
63999999
，
所以
A?100?10
1200
?101102?10
1194
?103104 ?10
1188
???497498?10
6
?499500

?999999B?60060300?999999C?60360
，
其中
B，C
为整数.从而
A?63D?60360?63E?6
，其中
D
，
E
为整数.所
以
A
除以63的余数为6.因为
A
是偶数，所以
A
除以126的余数也为
6.答：C.
第4解答过程

2
（a?b）?ab
，易见
CD
2
?AD?BD
，即又已知
a?b?1
，故
ab?1
，
a(a?1)?1< br>，
公比为
q??
a
2
?a?1?0
；
b2
?b?1?0
.显然
u
k
是首项为
a
k，
b(b?1)?1
，
b
a
a
k
(1?qk?1
)a
k?1
?(?b)
k?1
?
的等比数列的前
k?1
项和.故
u
k
?
，
k?1,2,3?
.
1?qa?b
即
u
k
?u
k?1
a
k?1
?(?b)
k?1
a
k?2
?(?b)
k?2
1
??
?[a
k?2
?a
k?1
?(?b)
k? 2
?(?b)
k?1
]

a?ba?b
a?b
?< br>1
[a
k?3
?(?b)
k?3
]?u
k?2
，
k?1,2,3?
.
a?b
故答案为A.（易知其余答案均不成立）
2
（a?b）?ab
，另解：易见
CD
2
?AD?BD，即又已知
a?b?1
，故
ab?1
，
2
(a?b）? (a?b)
2
?4ab?1
2
?4?1?5
，
a?b?5< br>.解得
a?
5?1
，
b?
2
5?1
. < br>2
显然
u
k
是首项为
a
k
，公比为
q??
的等比数列的前
k?1
项和，故
a
k
(1?qk?1
)a
k?1
?(?b)
k?1
11?5
k?1< br>1?5
k?1
u
k
??
k?1,2,3,?
.
?[()?()]
，
1?qa?b
22
5
b
a
于 是数列
?
u
k
?
就是斐波那契数列1，2，3，5，8，13，21 ，…，
它满足递推关系
u
k?2
?u
k?1
?u
k
,
k?1,2,3,?
.所以答案为A.
第5题解答过程
?< br>a
n
?
可看成是在正整数数列1，2，3，4，5，6，7，…中删去所有能< br>被2，5或11整除的项之后，把余下的各项按从小至大顺序排成的数
列.由三阶容斥原理，1， 2，3，4，…，
m
中不能被2，5或11整除
的项的个数为
?
m
??
m
??
m
??
m
??
m
??
m
??
m
?
x
m
?m?
??
?< br>??
?
??
?
??
?
??
?
??< br>?
?
，
?
?
2
??
5
??
11
??
55
??
22
??
10
??
1 10
?
其中
?
a
?
不表示不大于
a
的最大 整数，即
a
的整数部分.

估值：设
mmmmmmm111< br>???????m?(1?)(1?)(1?)

252511
1410411
?m
，故
m?2007??5519
.
?m???
251 1
11
4
2007?x
m
?m?
又
因
?< br>5519
??
5519
??
5519
??
5519< br>??
5519
??
5519
??
5519
?
x
5519
?5519?
?
?
?
?
?
?< br>?
?
?
?
?
?
???????
251155 2210
?????????????
110
?
?

=5519-2759-1103-501+100+250+551-50=2007，
并 且5519不是2，5，11的倍数，从而知
a
2007
?5519
.答：B .
又解：
?
a
n
?
可看成是在正整数数列1，2，3，4 ，5，6，7，…中
删去所有能被2，5或11整除的项之后，把余下的各项按从小至大顺
序排 成的数列.因为2，5，11是质数，它们的最小公倍数为110.易
见，-54，-53，…，0，1 ，2，3，…，55中不能被2，5，11整除的
?3，?7，?9；?13，?17，?19；?21 ，
数为
?1，

?23，?27，?29；?31，?37，?39；?41 ，?43，?47，?49；?51，?53
,共40个.（或由
欧拉公式，1，2，3，…， 110中不能被2，5，11整除的数的个数，
等于1，2，3，…，110中与110互质的数的个数 ，等于
111
?（110）?110?（1?）?（1?）?（1?）?40
.） < br>2511
显然1，2，3，…中每连续110个整数，不能被2，5，11整除的数
都有 40个.所以，1，2，3，…，
110?50?5500
中，不能被2，5，11
整 除的数有
40?50?2000
个.大于5500中的数不能被2，5，11整除的，
是5500+1，5500+3，5500+7，5500+9，5500+13，5500+17，5500+ 19，….

所以5519是第2007个不能被2，5，11整除的数，亦即所求的a
2007
?5519
.答：B.
第6题解答过程
1?co s3
?
1?cos7
?
1?cos87
?
显然
? ????
222
2
A
?cos1.5
?
?cos3.5?
?cos5.5
?
???cos43.5
?
；
?s in1.5
?
?sin3.5
?
?sin5.5
?
???s in43.5
?
.
注意到
2cos
?
sin1
?
?sin(
?
?1
?
)?sin(
?
?1
?
)
，
2sin
?
sin1
?
?cos(
?
?1
?
)?cos(
?
?1
?
)
,
所以
?(sin44.5
?
?sin42.5
?
)
?sin44.5
?
?sin0.5
?
?2cos22.5
?sin22
?
，
?(cos42.5
?
?cos44.5?
)
?cos0.5
?
?cos44.5
?
?2sin 22.5
?
sin22
?
.
故
A:B?(2sin1?
?
A
2
):(2sin1
?
?
B
2
)?(2cos22.5
?
sin22
?
):(2sin22.5< br>?
sin22
?
)?cot22.5
?

?2?1
.答：D.
另解：
A
2
B
2
? cos1.5
0
?cos3.5
0
?cos5.5
0
??? ?cos43.5
0
，
?sin1.5
?
?sin3.5
?
?sin5.5
?
???sin43.5
?
，
sin22
?
??
(cos22.5?isin22.5)
. =< br>?
sin1

Asin22
?
cos22.5
?
Bsin22
?
sin22.5
?
AB
??
因为和 是实数，所以，,
sin1
?
sin1
?
22
22
A:B?
A
2
:
B
2
?
cos22.52cos 22.51?cos45
???
????
sin22.52sin22.5cos22 .5sin45
?2??
1?
2
2
?
2?2
?2? 1
22
2
.
答：D.
第7解答过程
解：设△
ABC
三边长
a,b,c
为整数，
a?b?c?60,a?b?c,a,b, c
成等差数
列，
?A
为钝角，则必有
2b?a?c
，
b
2
?c
2
?a
2
.
易解得
60?a ?b?c?b?(a?c)?b?2b?3b
，
b?20,a?c?40
；
b
2
?a
2
?c
2

?(a?c)(a?c)
，即
20
2
?40(a?c),10?a?c
.因此
50?(a? c)?(a?c)?2a,25?a
，即
a?26
.另外，
b?c?a,6 0?a?b?c?a?a?2a,a?30,a?29
.易检验
(a,b,c)
?(26,20,14),(27,20,13),(28,20,12),(29,20,11)
都是钝角三角形.答：4.
第8题解答过程
注意到
x?2?2
，
y?2?2
满足
x
2
?y
2
?(2?2)?(2?2)?4
，
x,y?0
，故可令
x?2cos
?
，
y?2s in
?
，0＜
?
＜
?
.从而
4cos
2< br>?
?2?2
，
2
-
2?4cos
2
?
?2
，-
a
n
?(cos
23
?
3
?< br>?2cos
2
?
?1?cos?cos2
?
，故
?< br>?
，
24
8
3
?
3
?
3n
?
?isin)
n
?cos
+
888

is in
3n
?
3n
?
.
a
n
取实数，当且仅 当
sin?0
，当且仅当
n?8k
，
k?
Z.满足
8
8
此条件且
n?2007
的最小正整数
n
为
20 08
，此时
a
n
?a
2008
?cos
3x200 8
?
?cos753
?
??1
.
8
答：-1.
第9题解答过程
易见奇异数有两类：第一类是质数的立方
p
3
（< br>p
是质数）；第二类是
两个不同质数的乘积
p
1
p
2
（
p
1
,p
2
为不同的质数）.由定义可得
27?3
3
是奇异数（第一类）；
42?2?3?7
不是奇异数；
69?3?23
是奇异数（第二类）；
111?3?37
是奇异数（第二类）；
125?5
3
是奇异数（第一类）；
137
是质数，不是奇异数；
343?7
3
是奇异数（第一类）；
899?900?1?30
2
?1
2
?（30?1）（30?1）?31?29
是奇异数（第二类）； < br>3599?3600?1?60
2
?1
2
?（60?1）
（第 二类）；
（60?1）?61?59
是奇异数
7999?8000?1?20
3
?1
3
?(20?1)(20
2
?20?1)?19?421< br>是奇异数（第二
类）.
答：8.
第10解答过程
解：将向量AA
1
，
AB
，
AD
分别记为
a
，< br>b
，
c
.则
a?a?2
，
b?b?3
，c?c?4
，且易见

AC
1
?a?b?c
，< br>A
1
C??a?b?c
，
BD
1
?a?b?c
，
DB
1
?a?b?c
.
所以
AC
1
?(a?b?c)?a?b?c?2(a?b?b?c?c?a)

2
2
22 2
?2
2
?3
2
?4
2
?2?3?3?4?4?2
=55，
故
AC
1
?55
.类似地，可算得，
B D
1
?19
，
DB
1
?15
，
CA
1
?27
=3
3
.
答：
55
，
19
，
15
，3
3
.
第11题解答过程
令
x?3?t
，易见
x?t?3
，f(x)?2x?3?2(t?3)?3?2t?3
，
f
(2)
(x)? 2(2t?3)
?3
?2
2
t?3,?,f
(n)
(x)? 2
n
t?3
；令
y?1?s
，易见
y?s?1
，< br>g(y)?3y?2?3(s?1)?2
?3s?1
，
g
(2)
(y)?3(3s?1)?2?3
2
s?1,?
，
g
(n)
(y)?3
n
s?1
，
n?1,2,3,?
.因此，题设方程组可 化为
（1）-（2），（2）-（3），（3）-（1）得
所以
3
63
6
2
3
6
3
x?y?
9
(y?z) ?(
9
)(z?x)?(
9
)(x?y)
?
x?y?0?y ?z?0
222
?x?y?z
.
代入（1）得
2
9(x?3)?3?3
6
(x?1)?1
，
512(x?3)?3?729 (x?1)?1
，
512x?1533?729x?728
，
?217x? 2261
,
?31x?323
,
x??
323
.
31
323323
所以原方程组的解为
x?y?z??
.答：
x?y ?z??
.
3131
第12题解答过程
.以
V
T?l< br>表示平面图形
T
绕直线
l
所得旋转体体积.
记直线
AC
为
l
，作
BM,DN?l
，交
l
于
E ,F
，分别交
CD
，
AB
于
M,N
.
过< br>O
作
PQ?l
，分别交
AB,CD
于
P,Q
.由于
O
是
BD
的中点，所以
P,Q
分

别是
BN,DM
的中点.由对称性，易见所求旋转体体积为
V?V
平行四 边形ABCD?l
?2(V
?ADN?l
?V
平行四边形NPQD?l
)
.
由于
AB?4，BD?23，AD?2
，易见
?ADB?9 0
?
，?DBA?30
?
，
AO?AD
2
?DO
2
?4?3?7
，
AC?27
.显然
?DAC??DCA? ?CAB
，
DF?FN
.且
DF?
2S
?ADO
A D?DO232
???21
，
AOAO7
7
12164
.从 而由圆锥体积公式得
??
77
7
AF?AD
2
?DF2
?4?
1
?
12416
?
16
V
? ADN?l
?V
?ADF?l
??
?
?DF
2
?A F?????7
?
.
337
777
49
又
CF? AC?AF?27?
CF:CO?DF:QO
，
QO?
4
7
?
14?4
7
?
10
7
，
CO?AO?7
，
CO?DF2101
?7?21??21
.从而由圆锥体积公式得
CF 75
7
?
10
7
?
214071000?343657?7)?7
?
(?)?7
?
??
25492512251225
7
?
)?27
?
(
?
?
12
37
(7
?
.从而
V?2(
16657
7
?
?
491225
27
?
?)?27
?
??
.
49
答：所求体积为
3027
?
：
175
第13题解答过程
解：I）可设
l
：
x?my?4
，与
?
联立得
(3m
2
?4)y
2
?24 my?36?0
.这是
由判别式
??0
解得
m
2
?4
.记
A（x
1
,y
1
）
，
B（x2
,y
2
）
，
y
的一元二次方程，
则
y
1
?y
2
?
?24m36
yy?
，.
12
3m
2
?43m
2
?4
由题设条件，
OA?O B?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
， 即
(my
1
?4)(my
2
?4)?y
1
y
2
?0
，

得
(m
2
?1)y
1
y
2
?4m(y
1
?y
2
)?16?0
， 即
(m
2
?1)?
36?24m
?4m??16?0
， < br>22
3m?43m?4
2513
，
()
2
?
，
3m25
即
9(m
2
?1)?24m
2
?4(3 m
2
?4)?0
.得
?3m
2
?25?0
，
m
2
?
?
33
?m?
.
55
故
l
的斜率的取值范围为
(?
33
,)
.
55
因 为
F
(1,0),所以
FA
1
?
，
FB?
，从而
（x
1
?1,?y
1
）（x
2
?1,y< br>2
）
?2my
1
y
2
?3(y
1
? y
2
)?2m?
36?24m
?3??0
.
3m
2
?43m
2
?4
?
FA
1
与
FB
共线，即
A
1
与
F、B
三点共线.
III）假设
q?4
，过
Q(q,0)
的直线与
?
交于
A、B
，且
A
关于长轴
的对称点为
A
1
，如果
A
1
、
F、B
三点共线.我们另取点
P(4,0)
.设直线
A P
与
?
交于
B
1
，那么如II）的证明，
A
1
、
F、B
三点必共线.故
B
与
B
1
重
合，从而直线
AB
和
AB
1
重合，就是
AQ
与
AP
重合.所以
P
与
Q
重合，
q?4
，
与假设矛盾.这就是说，
q?4
时，三点
A
1
、
F、B
不能共线.
第14题解答过程
14.解：
1
2
x
n?1
1
x
n?1
2x?1
11
1
2?
n
?2x
n
?
，
2
?4x
n
?4?
2
，
x
n?1
x
n
x
n
x
n
2
?
1
2
?4(x?1)
，
n?1 ,2,3?
.
n
2
x
n
故
?
(
n?1
2006
1
2
x
n?1
?
1
xn
1
2
)?4
?
(x
n
?1)
，亦即
2
n?1
2006
n?1
2
2006
1
2
x
2007
2006
1
2
?
2
?4
?
x
n
?8024
，
x
1
n?1
由< br>x
1
?1
得
由于
2
x
2007
?4
?
x
n
?8025
.（*）
x
n?1
1
??1
，
n?1,2,3,?,
且显然
x
n
?0< br>，故
?
x
n
?
是递减数列，且
2
x
n
2x
n
?1

x
2
?
x
2
3
1
x???
，，
?
3
2
2
2
11
2x
2
?1
2x
1
?1
3
?1
9
x
1
1
3
故
?
x
n
n?1
2006
2
1
2
2006
2
1
2 006
3
2
19
?1?()?
?
x
n
?1 ??
?
()?1???2004?151
，
39119121
n?3n?3
由（*）式得
8025?
1
2
x
2007
?4?151?8025?8629
，
111122
，
?x
2007
?,lg?lgx
2007
?l g
86298
3
?lg8629?2lgx
2007
??lg802 5
，
?4?2lgx
2007
??3
，
?2?lgx
2007
??
，
2
?
k?
?
lgx
2 007
?
??2
.
第15题解答过程
证明：因为△
AB C
是锐角三角形，其三边
a,b,c
满足
a,b,c?0
，以及 < br>b?c?b,c?a?b,a?b?c,b
2
?c
2
?a
2< br>,c
2
?a
2
?b
2
,a
2
?b< br>2
?c
2
.
因此，由平均不等式可知
222
1< br>2
z
2
1
2
x
2
1
2
y< br>2
222
y
222
z
222
x
?(b?c? a)x(
2
?
2
)?(c?a?b)y(
2
?
2< br>)?(a?b?c)z(
2
?
2
)
222
zyxzy x
ayzbzxcxy
2
a
2
y
2
z
2< br>b
2
z
2
x
2
c
2
x
2< br>y
2
222
?(??)?2(bcx?cay?abz)
，
???
222
xyz
xyz
从而
[(b?c)
2
? a
2
]x
2
?[(c?a)
2
?b
2
]y
2
?[(a?b)
2
?c
2
]z
2
?(< br>ayzbzxcxy
2
??)?P
2
，
xyz
亦即
P
2
(a?b?c)S?P
，
S?
.
a?b?c
2

上式取等式当且仅当
x
2
?y
2
?z
2
，亦即
x?y?z?
P
.因此所求的
a?b?cP
2
P
，当
S
取最大值时，
x?y?z?
.
S
的最大值为
a?b?c
a?b?c
A
B
o
l
Q
x
A
B
o
F
A
1
l
Q
x
C
1
B
C
D
B
1
D
1
A
A
A
1

y
Q
D
F
O
N P
M
E
B
C
y
（第13题答图）（第10题答图）（第12题答图）
2008年安徽高中数学竞赛初赛试题
一、选择题
1.若函数
y?f
?
x
?
的图象绕原 点顺时针旋转
?
后，与函数
y?g
?
x
?
的图象< br>2
重合，则（）
（A）
g
?
x
?
?f?1
?
?x
?
（B）
g
?
x
??f
?1
?
x
?

（C）
g
?
x
?
??f
?1
?
?x
?
（D）
g
?
x
?
??f
?1
?
x
?

2.平面中，到两条相交直线的距离之和为1的点的轨迹为（）
（A）椭圆 （B）双曲线的一部分 （C）抛物线的一部分
（D）矩形
3.下列4个数中与
cos1
o
?cos2
o
?
L
?cos2008
o
最接近的是（）
（A）-2008 （B）-1 （C）1 （D）2008
4.四面体的6个二面角中至多可能有（）个钝角。
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
5.
1
写成十进制循环小数的形式
1
?0.000498 K625498K625K
20082008
，其循环
节的长度为()
(A)30 (B)40 (C)50 （D）60

6.设多项式
?
1?x
?
2008
?a
0
?a
1
x?L< br>数。
?a
2008
x
2008
，则
a
0< br>,a
1
,L,a
2008
中共有（）个是偶
（A）127 （B）1003 （C）1005 （D）1881
二、填空题
7.化简多项式
?
C
n
k
C
k
m
x
k?m
?
1?x
?
k?m
n
n?k
?

8.函数
f
?
x
?
?
3?5sinx
的值域为
5?4co sx?3sinx
a
1
?a
n?1
,
?
n?2?
，且具有最小正周期2008，
1?a
1
a
n?1
9 .若数列
?
a
n
?
满足
a
1
?0,an
?
则
a
1
?

10.设非负数
a< br>1
,a
2
,L,a
2008
的和等于1，则
a
1
a
2
?a
2
a
3
?L?a
2007< br>a
2008
?a
2008
a
1
的
最大值
为
11.设点A
?
1,1
?
，B、C在椭圆
x< br>2
?3y
2
?4
上，当直线BC的方程为时，
VABC
的面积最大。
12.平面点集
G?
?
?
i,j
?
|i?1,2,L,n;j?1,2,L,n
?
，易知
G
2
可被1 个三角形
覆盖（即各点在某个三角形的边上），
G
3
可被2个三角形覆盖，则 覆
盖
G
2008
需要个三角形。
三、解答题
13.将6 个形状大小相同的小球（其中红色、黄色、蓝色各2个）随
机放入3个盒子中，每个盒子中恰好放2个小 球，记
?
为盒中小于颜
色相同的盒子的个数，求
?
的分布。

?
14.设
a
1
?1,a
n
?
?
?
na
n?1
?
,
?
n?2
?
， 其中
?
x
?
表示不超过x的最大整数。证
明：无论
a
1
取何正整数时，不在数列
?
a
n
?
的素数只有有限多个 。
15.设圆
O
1
与圆
O
2
相交于A，B两点， 圆
O
3
分别与圆
O
1
，圆
O
2
外 切于C，
D，直线EF分别与圆
O
1
，圆
O
2
相切 于E，F，直线CE与直线DF相交
于G，证明：A，B，G三点共线。
08年安徽省高中数学竞赛初赛答案
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1．D 2．D 3．B 4．A 5．C 6．D
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
7．
C
n
m
8．
?
?
?
互素。
10．
14
11．
x?3y?2?0
12．
1338

三、解答题（本题满分60分，每小题20分）
13．
?
?0,1,3
。
（2分）
P(
?
?3)?P(
盒①中球同色，盒②中球同色
)?
11 1
??
。
5315
4
?
10,10
?

?
5
?
9．
tan
k
?
，正整数
k?1003
且与2008
2008
（6分）
（6分）
112

P(
?
?1)?3P(
盒①中球同色，盒②中球异 色
)?3??(1?)?
。
535

P(
?
?0)?1?P(
?
?3)?P(
?
?1)?
8
。
15
（6分）
14．
a
1
?1，a
2
?
?
2a
1
?
?1，a
3
?
?
3a
2
?
?1
。
（2分）
当< br>n?4
时，利用数学归纳法，得
a
n
?
?
na
n?1
?
?
?
n(n?3)
?
?n?2
。
（5分）
令
b
n
?a
n
?n
，则有
?2?b
n
?
?
n(n?1?b
n?1
)
?
?n?
?
?
分）
当
b
n?1
??1
时 ，
b
n
?
?
n(n?2)
?
?n??1
。 （5分）
故当
n
充分大时，
b
n
??2
，不在数 列
{a
n
}
中的正整数只有有限多个。
（3分）
15 ．以
EF
为
x
轴，
O
1
E
为
y< br>轴，建立平面直角坐标系。设
E(0,0)
，
F(c,0)
，
（1分）
⊙O
1
:x
2
?(y?r
1
)
2
?r
1
2
，
b
n?1
?1
?
?
。
2
??
（5
（1分）
（1分）
（1分）
①
②
⊙O
2
:(x ?c)
2
?(y?r
2
)
2
?r
2
2，
⊙O
3
:(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
3
2
，
?
a
2
?(b?r
1)
2
?(r
1
?r
3
)
2
其中
a,b
满足
?
222
?
(a?c)?(b?r
2
)?(r
2
?r
3
)
（2
分）
于是 ，
AB:2cx?c
2
?2(r
2
?r
1
)y?0
， （2分）

C:
r
3
(0,r< br>1
)
r
1
(a,b)
r
1
(a,r
3
?b)
??
，
r
1
?r
3
r
1
?r
3
r
1
?r
3
（2分）
（2分）
D:
r
3
(c,r
2
)< br>r
2
(a,b)
(r
2
a?r
3
c,r2
b)
??
，
r
2
?r
3
r2
?r
3
r
2
?r
3
CE:(r
3< br>?b)x?ay?0
， （2分）
（2分）
DF:(r
3
?b)(x?c)?(a?c)y?0
，
G:(a,r
3
?b)
。 （2分）
由①－②知，点
G
的坐标满足直线
AB
的方程。
（2分）

注：对于几何证法，如果无法列举所有情形，得分减半。
2010年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷
一、填空题（每小题8分，共64分）
1.函数
f(x)?2x?4x?x
2
的值域是.
2.函数
y?
的图象与
y?e
x
的图象关于直线
x?y?1
对称.
3.正八面体的任意两个相邻面所成二面角的余弦值等于.
x
2
y
2
??1
与双曲线
xy?1
相切，则
t?
. 4.设椭圆< br>t?1t?1
5.设
z
是复数，则
|z?1|?|z?i|?|z?1 |
的最小值等于.
6.设
a
，
b
，
c
是 实数，若方程
x
3
?ax
2
?bx?c?0
的三个根构成公 差为1
的等差数列，则
a
，
b
，
c
应满足的充分必 要条件是.
uuuruuuruuuruuur
7.设
O
是
?AB C
的内心，
AB?5
，
AC?6
，
BC?7
，OP?xOA?yOB?zOC
，
0?x,y,z?1
，动点
P
的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于.
8.从正方体的八个顶点中随机选取三点，构成直角三角形的概率是.

二、解答题（共86分）
9.（20分）设数列
?
a
n
?
满足
a
1
?0
，
a
n
?< br>2
，
n?2
.求
a
n
的通项公式.
1?a
n?1
10.（22分）求最小正整数
n
使得
n
2
?n?24
可被2010整除.
11.（22分）已知
?ABC
的三边长度 各不相等，
D
，
E
，
F
分别是
?A
，?C
的平分线与边
BC
，
CA
，
AB
的垂直平 分线的交点.求证：
?ABC
?B
，
的面积小于
?DEF
的 面积.
12.（22分）桌上放有
n
根火柴，甲乙二人轮流从中取走火柴.甲先取，
第一次可取走至多
n?1
根火柴，此后每人每次至少取走
1
根火柴. 但是
不超过对方刚才取走火柴数目的2倍.取得最后一根火柴者获胜.问：
当
n?10 0
时，甲是否有获胜策略？请详细说明理由.
10年安徽省高中数学竞赛初赛答案
?
1.答案：
?
?
4?25,8
?
.
提 示：因
0?x?4
，设
x?2?2cos
?
（
0?
?
?
?
），
则
y?4cos
?
?2sin
?
?4?25cos(
?
?
?
)?4
（其中
co s
?
?
sin
?
?
1
，
?
为锐角 ），
5
2
，
5
所以当
?
?0
时，
y
max
?8
，当
?
?
?
?
?
时，
y
min
?4?25
，故
?
y?
?
?
4?25,8
?
.
2.答案：
1?ln(1?x)
提示：因两函数图象关于直线
x?y?1
对称，所以
x?y?1
，
y?1?x
，

∴
1?x?e
1?y
，解得
y?1?ln(1?x)
.
3.答案：
?

提示：正八面体由两 个棱长都相等的正四棱
锥组成，所以任意两个相邻面所成二面角是正四
棱锥侧面与底面所成二面 角
?
的两倍.∵
tan
?
?2
，∴
cos
2
?
?
1
3
11
，则
?
2
1?t an
?
3
1
cos2
?
?2cos
2
?< br>?1??
.
3
4.答案：
5

x
2
y
2
??1
知，
t?1
， 提示：由 椭圆方程
t?1t?1
?
?
x?t?1cos
?
设其参数方 程为
?
（
?
为参数）代入双曲线方程
xy?1
，
?
?
y?t?1sin
?
得
sin2
?
?
2
t?1
2
.
2
t?1
2
因两曲线相切，∴
5.答案：
1?3

?1
，故
t?5
.
提示：在复平面上，设
A(?1,0)
，
B(1,0)
，
C(0,1)
，则当
Z
为
?ABC
的费马
点时，
|z?1|?|z?i|?|z?1|
取得最小值， 最小值为
1?
32323
???1?3
.
333
a
2
a
3
a
6.答案：
b??1
且
c??
.
273
3
提示：设三个根为
?
?1
，
?
，
?
?1
，则
x
3
?ax
2
?bx?c ?(x?
?
?1)(x?
?
)(x?
?
?1)
，

右边展开与左边比较得
?a?3
?
，
b?(
?
?1)
?
?
?
(
?
?1)?(
?
?1)(
?
?1)?3
?
2
?1
，
?c?(?
?1)
?
(
?
?1)
，消去
?
得< br>?
a
2
b??1
?
?
3
，这就是所求的充要 条件.
?
3
?
c?
a
?
a
?
2 73
?
7.答案：
126

提示：如图，根据向量加法的几何意义， 知点
P
在图中的三个平
形四边形及其内部运动，所以动点
P
的轨迹所 覆盖的平面区域的面积
等于等于
?ABC
面积的2倍，即
126
.
8.答案：
提示：从正方体的八个顶点中随机选取三点，共有
C
8
3
个三角形，
其中直角三角形有
12?C
4
3
个，所求“构 成直角三角形”的概率是
3
12?C
4
6
.
?
3
C
8
7
6
7
9.解：特征根法.又
a
n< br>?2?
4?2a
n?1
1?a
n?1
，
a
n
?1?
，…………（10分）
1?a
n?1
1?a
n?1
a
n
?2a
n?1
?2
(?2)
n
?2< br>2
a
n?2
?2
n
?(?2)??(?2)?
L?(?2)
，
得
于是
a
n
?
.…
(? 2)
n
?1
a
n
?1a
n?1
?1a
n? 2
?1
（20分）
?
n
2
?n?24?0mod2
?
n
2
?n?0mod3
?
2
n?n?24?0mod3
?
2
?
10.解：
2010|n
2
?n?24?< br>?
?
n?n?1mod5
……
?
2
?
n2
?n?43mod67
?
n?n?24?0mod5
?
?n
2
?n?24?0mod67
?
（10分）
又
n< br>2
?n?0mod3?n?0
或
2mod3
，
n
2< br>?n?1mod5?n?2mod5
，

n
2
?n?4 3mod67?n?10
或
56mod67
，故所求最小正整数
n?77.…………（22分）
11.证明：由题设可证
A
，
B
C，
D
，
E
，
F
六点共圆.…………（10
分）
不妨设圆半径为1，则有
S
?ABC
?(sin2A?sin2B?sin2 C)
，
1
S
?DEF
?(sinA?sinB?sinC)
.
2
1
2
由于
sin2A?sin2B?sin2C

∴
?ABC
的面积小于
?DEF
的面积.…………（22分） 12.解：把所有使得甲没有有获胜策略的初始火柴数目
n
从小到大排
序为：n
1
，
n
2
，
n
3
，…，不难发现其 前4项分别为2，3，5，8.下面
我们用数学归纳法证明：
（1）
?
n< br>i
?
满足
n
i?1
?n
i
?n
i? 1
；
（2）当
n?n
i
时，乙总可取到最后一根火柴，并且乙此时 所取的
火柴数目
?n
i?1
；
（3）当
n
i?n?n
i?1
时，甲总可取到最后一根火柴，并且甲此时所
取的火柴数目
?n
i
.
……………………………………（10分）
设
k?n ?n
i
（
i?4
），注意到
n
i?2
?
当
1?k?
无法获胜.
n
i
?n
i?1
.
2
n
i
时，甲第一次时可取
k
根火柴，剩余
n
i
?2k
根火柴，乙
2

当
n
i
?k? n
i?1
时，
n
i?2
?k?n
i?1
，根据归纳 假设，甲可以取到第
k
根
2
火柴，并且甲此时所取的火柴数目
?n< br>i?2
，剩余
n
i
?2n
i?2
根火柴，乙无
法获胜.
当
k?n
i?1
时，设甲第一次时取走
m
根火 柴，若
m?k
，则乙可取走
所有剩小的火柴；若
m?k
，则根据归纳 假设，乙总可以取到第
k
根火
柴，并且乙此时所取的火柴数目
?n
i ?2
，剩余
n
i
?2n
i?2
根火柴，甲无法
获胜 .
综上可知，
n
i?1
?n
i
?n
i?1
.
因为100不在数列
?
n
i
?
，所以当
n?100
时，甲有获胜策略.…………
（22分）
2011年全国高中数学联赛安徽省预赛
一、填空题（每小题8分，共64分）
1．以
X
表示集合
X
的元素个数.若有限集合
A,B,C
满足
A?B?20
，
B?C? 30
，
C?A?40
，则
A?B?C
的最大可能值为
2． 设
a
是正实数.若
f(x)?x
2
?6ax?10a
2?x
2
?2ax?5a
2
，x?R
的最小
值为10，则
a?

3．已知实系数多项式
f(x)?x
4
?ax
3
?bx
2
?cx?d
满足
f(1)?2
，
f( 2)?4
，
f(3)?6
，则
f(0)?f(4)
的所有可能值集合 为
4．设展开式
(5x?1)
n
?a
0
?a
1< br>x???a
n
x
n
，n?2011
.若
a
2 011
?max(a
0
,a
1
,?,a
n
)
，则
n?

第5题
第6题
5．在如图所示的长 方体
ABCD?EFGH
中，
设
P
是矩形
EFGH
的中心，线段
AP
交平
面
BDE
于点
Q
.若
AB?3
，
AD?2
，
AE?1
，则
PQ?
.
6．平面上一个半径
r
的动圆沿边长
a
的正三
角形的外 侧滚动，其扫过区域的面积
为.
7．设直角坐标平面上的点
(x,y)
与复 数
x?yi
一一对应.若点
A,B
分别对
应复数
z,z?1
（
z?R
），则直线
AB
与
x
轴的交点对 应复数（用
z
表
示）.
8．设
n
是大于4的偶数.随机选 取正
n
边形的4个顶点构造四边形，
得到矩形的概率为.
二、解答题（第9—10题每题22分，第11—12题每题21分，共86
分）
9． 已知数列
{a
n
}
满足
a
1
?a< br>2
?1
，
a
n
?1?
a
1
???a
n?2
（
n?3
），求
a
n
4
的通项公式 .
10．已知正整数
a
1
,a
2
,?,a
n都是合数，并且两两互素，求证：
1111
?????
.
a
1
a
2
a
n
2
11．设
f(x)?ax
3< br>?bx?c
（
a,b,c
是实数），当
0?x?1
时，
0?f(x)?1
.
求
b
的最大可能值.
12．设点
A (?1,0)，B(1,0)，C(2,0)
，
D
在双曲线
x
2?y
2
?1
的左支上，
D?A
，
直线
CD交双曲线
x
2
?y
2
?1
的右支于点
E
.求证：直线
AD
与
BE
的
交点
P
在直线
x?
上.
1
2

2011年全国高中数学联赛安徽省预赛答案
1.10.2.2.3.{32}.4.2413.5.
8.
3
.
(n?1)(n?3)
17
z?z
.6.
6ar?4πr
2
.7.
.
4
1?zz
9．
a
n
?1?
a
1
?
L
?a
n?2
a
?a
n?1
?
n?2

44
a
n?1
1
?
a
?
1
?
?
a
n?1
?
n?2
?
?
L
?
n?1

22
?
2
?
2?a
n
?
?2
n?1
a
n
?2
n?2
a
n?1
?1???n?a
n
?
n
2
n? 1
.
2
10．设
a
k
的最小素因子
p
k
，因为
a
k
不是素数，所以
a
k
?p
k< br>.于是
?
f(0)?c
?
?
11．由
?
f (1)?a?b?c
?
ab
1
f()???c
3
?
333
?
可知
f(x)?
3
2
3
(x?x
3
)
满足题设，
b
的最大可能值为
3
2
3
.
12．设
D(x
1
,y
1
)，E(x
2,y
2
)，P(x,y)
，直线
CD
的方程
y?k(x ?2)
，则
x
2
?k
2
(x?2)
2
?1
，所以 < br>?4k
2
1?4k
2
5
x
1
?x
2
?，xx????1?(x
1
?x
2
)
，
① 12
1?k
2
1?k
2
4
y
1
y(x?1)?y?
2
(x?1)
，
x
1
?1x
2
?1
所以
y
2
y
?
1
x?1x
1
?1
x?
2
?
y
2
y
1
?
x
2
?1x
1
?1
把①代入上式，得
x?
1
.
2
x
2
?2x
1
?2
?
x
2
?1x
1
?12x
1
x
2
?3x
1
?x
2
。
?< br>x
2
?2x
1
?2
3x?x?4
21
?x
2
?1x
1
?1
2013年全国高中数学联赛安徽赛区初赛试 卷

一．填空题（每题8分，共64分）
1.函数
f(x)?
|
x
+1|+|
x
-1|+
4-x
2
的值域是
2.方程sin（2013兀x）=
x
2013
的实数根为
3.化 简sin
12
?
sin
48
?
sin
54
?
=（用数字作答）
4.设数列{
a
n
}满足
a
1
?a
2
?1
，
a
n
?3a
n?1
?a
n?2
(n?3)
,则
a
2013
?
5.设ΔABC的外接圆圆心P
z?1
?
?
2
?
AP? (AB?AC)
5
满足，则
cos?BAC
=
6.设复数z=x+ yi满足
z?1
的实部和虚部之比为
3
，其中i是虚数单
位，x,y
?R
，则
y
的最大值为
x
7.设
?
1? x?x
2
150
?
=
?
c
k
x
， 其中
c
0
,...,c
300
是常数，则
?
c3k
=
k
k?0k?0
300300
8.随机选取正11边形 的3个不同顶点，它们构成锐角三角形的概率
为
二．解答题（第9-10每题21分，第11-12题每题22分，共86分）
9.设正三棱锥的底面边长为1，侧面长为2，求其体积和内切球的半
径.
10.求所有函数
f:R?R
，使得对任意的x,y都有
11.设a,b, c是不全为0
ab?bc?c
2
的实数，求F=
2
a?2b
2
?3c
2
的取值范围，a,b,c
分别满足什么条件时，F取最大值和最小 值？
2
（1?a
n?1
）
a?1,a
2
?2,a
n
?(n?3)
12.设数列{
a
n
}满足
1
a
n?2
（1）求数列{
a
n
}的通项公式； （2）求证：对任意的正整数k,
a
2k?1
和
a
2k
都是整数.
2

2013安徽高中数学竞赛初赛试题答案
2014年全国高中数学联赛安徽省初赛试卷
一、填空题（每题8分，共64分）
x
2
?2x?3
(x?R)
的值域是_______________. 1 .函数
y?
2
x?4x?5
2.函数
y?tan(2013x)?t an(2014x)?tan(2015x)
在
[0,
?
]
中的零点 个数是__________．
3.设定点
A(2,1)
，动点
B
在
x
轴上，动点
C
在直线
y?x
上，则
?ABC< br>的周长的最小值是
________．
4.设
P
2k?1
是
P
1
的对称点，
P
2k?2
是
P
2k?1
关于
P
2
的对称
1
,P
2
是平面上两点，
P
2k
关于
P
*
点,
k?N
．若
|PP
12
|?1
，则
|P
2013
P
2014< br>|?
__________．
5.已知四面体
ABCD
的侧面展开图 如下图所示，则其体积是__________．
6.设复数
z
满足
|z?
1
|?2
，则
|z|
的取值范围是_______________ ．
z
7.设动点
P(t,0),Q(1,t)
，其中参数
t?[0 ,1]
，则线段
PQ
扫过的平面区域的面积是
_____________．
8.从正12边形的顶点中取出4个顶点，它们两两不相邻的概率是___________．
二、解答题（第9—10题每题21分，第11—12题22分，共86分）
9.已知正实数
x,y,z
满足
x?y?z?1
．求证：
z?yx?zy?x
???0
．
x?2yy?2zz?2x
2
a
n
?310.设数列
{a
n
}
满足
a
1
?1,an?1
?,n?1
．求证：
2a
n
（1）当
n?2< br>时，
a
n
严格单调递减．（2）当
n?1
时，
|a< br>n?1
?3|?23
r
2
n
1?r
2
n，这里
r?2?3
．
11.已知平面凸四边形
ABCD
的面积为1．求证：
|AB|?|AC|?|AD|?|BC|?|BD|?|CD|?4?22
．
12 .求证：（1）方程
x
3
?x?1?0
恰有一个实根
?
，并 且
?
是无理数；
（2）
?
不是任何整数系数二次方程
ax
2
?bx?c?0(a,b,c?Z,a?0)
的根．

2014年全国高中数学联赛安徽省初赛试卷答案
2015全国高中数学联赛安徽省初赛试卷
（考试时间：2015年7月4日上午9:00—11:30）
一、填空题（每题8分，共64分）
1. 函数
f(x)?x?1?x?3?e
?x
，x?R
的最小值是 ．
2. 设
x
1
?1，x
n
?
x
n?1?1
，n?2
．数列
{x
n
}
的通项公式是
x
n
?
．
2x
n?1
?4
3. 设平面向 量
?
,
?
满足
1?|
?
|,|
?
|,|
?
?
?
|?3
，则
?
?
?
的取值范围是
．
4. 设
f(x)
是定义域为
R
的 具有周期
2
?
的奇函数，并且
f(3)?f(4)?0
，则
f(x)
在
[0,10]
中至少有 个零点．
5. 设
a< br>为实数，且关于
x
的方程
(a?cosx)(a?sinx)?1
有实 根，则
a
的取值范围
是 .
6. 给定定点
P(0,1)，动点
Q
满足线段
PQ
的垂直平分线与抛物线
y?x
2
相切，则
Q
的轨迹方程是 ．
7. 设
z?x?yi
为复数，其中
x,y
是实数，
i
是虚数单位，其满足
z
的 虚部和
z?i
1?z
的实部均非负，则满足条件的复平面上的点集
(x,y)
所构成区域的面积是
．
8. 设
n
是正整数．把男女乒乓 球选手各
3n
人配成男双、女双、混双各
n
对，每
位选手均不兼项， 则配对方式总数是 ．
二、解答题（第9题20分，第10━12题22分，共86分）
9.
设正实数
a,b
满足
a?b?1
．求证：
a
2
?
11
?b
2
??3
．

ab
10.
在如图所示的多面体
ABCDEF
中，已知
AD,BE,CF
都与平面
ABC
垂直．设
AD?a，BE?b，CF?c
，