安徽高考高中数学常用公式和结论

2013 年 安 徽 高 考 数 学 常 用 公 式 及 结 论

1.容斥原理：
card(AB)?cardA?cardB?card(AB)

card(ABC)?cardA?cardB?cardC?card(AB)

?card(AB)?card(BC)?card(CA)?card(ABC)
.
2.从集合
A?
?
a
1
,a
2
,a
3< br>,???,a
n
?
到集合
B?
?
b
1
,b
2
,b
3
,???,b
m
?
的映射有
m
n
个.
3.函数的的单调性：
?

(1)设
x
1
,x
2
?
a,b,x
1
?x
2那么
(xx
f(x
1
)?f(x
2
)
1?x
2
)
?
f(
1
)?f(x
2
)< br>?
?0
?
x
?0?f(x)在
?
a,b
?< br>上是增函数；
1
?x
2
(x
f(x
1
)? f(x
2
)
1
?x
2
)
?
f(x
1
)?f(x
2
)
?
?0?
x
?0?f(x)在< br>?
a,b
?
上是减函数.
1
?x
2
(2) 设函数
y?f(x)
在某个区间内可导，如果
f
?
(x)?0
，则
f(x)
为增函数；如果
f
?
(x)?0
，
则
f(x)
为减函数.
4.函数
y?f(x)
的图象的对称性:
①
y?f(x)
的图象关于直线
x?a
对称
?f(a?x)?f(a?x)?f(2a?x)?f(x )
；
②
y?f(x)
的图象关于直线
x?
a?b
2
对称
?f(a?x)?f(b?x)
?f(a?b?x)?f(x)
； < br>③
y?f(x)
的图象关于点
(a,0)
对称
?f
?
x
?
??f
?
2a?x
?
?f
?
a?x
?
?f
?
a?x
?
?0
，
y?f (x)
的图象关于点
(a,b)
对称
?
f
?
x?
?2b?f
?
2a?x
?
?f
?
a?x?
?f
?
a?x
?
?2b
.
5.两个函数的图象的对称性:
①函数
y?f(x)
与函数
y?f (?x)
的图象关于直线
x?0
(即
y
轴)对称；
②函数
y?f(x?a)
与函数
y?f(a?x)
的图象关于直线
x?a< br>对称；
③函数
y?f(x)
的图象关于直线
x?a
对称的解 析式为
y?f(2a?x)
；
④函数
y?f(x)
的图象关于点< br>(a,0)
对称的解析式为
y??f(2a?x)
；
⑤函数
y?f(x)
和函数
y?f
?1
(x)
的图象关于直线
y? x
对称.
6．奇偶函数的图象特征：
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关 于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原
点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象 关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．
7．多项式函数
P(x)?ax
n
? a
n?1
nn?1
x??a
0
的奇偶性：
多项式函数P(x)
是奇函数
?
P(x)
的偶次项(即奇数项)的系数全为零. < br>多项式函数
P(x)
是偶函数
?
P(x)
的奇次项(即偶数项 )的系数全为零.
8. 若将函数
y?f(x)
的图象右移
a
、上 移
b
个单位，得到函数
y?f(x?a)?b
的图象；
若将曲线< br>f(x,y)?0
的图象右移
a
、上移
b
个单位，得到曲线< br>f(x?a,y?b)?0
的图象.
9. 几个常见的函数方程：
(1 )正比例函数
f(x)?cx
,
f(x?y)?f(x)?f(y),f(1)?c< br>.
(2)指数函数
f(x)?a
x
,
f(x?y)?f(x )f(y),f(1)?a?0
.
(3)对数函数
f(x)?log
ax
,
f(xy)?f(x)?f(y),f(a)?1(a?0,a?1)
. < br>(4)幂函数
f(x)?x
?
,
f(xy)?f(x)f(y),f< br>'
(1)?
?
.
(5)余弦函数
f(x)?cosx
,正弦函数
g(x)?sinx
，
f(x?y)?f(x)f(y)?g(x)g( y)
，f(0)=1.
10.几个函数方程的周期(约定a>0)
（1）
f(x)?f(x?a)
，则
f(x)
的周期T=a； （2）
f(x?a)??f(x)
，或
f(x?a)?
1
f(x )
(f(x)?0)
，或
f(x?a)??
1
f(x)
(f (x)?0)
,
则
f(x)
的周期T=2a；
11.①等差数列
?
a
a
n
?a
m
n
?
的通项公式 :
a
n
?a
1
?
?
n?1
?
d< br>,或
a
n
?a
m
?(n?m)d
?d?
n? m
.
②前n项和公式:
s
n(a
1
?a
n)
n
??na
n(n?1)d
2
1
2
1
?
2
d?
2
n?(a
1
?
2
d)n.
12.设数列
?
a
n
?
是等差数列，
S< br>奇
是奇数项的和，
S
偶
是偶数项的和，
S
n
是前n项的和，则
①前n项的和
S
n
?S
奇
?S
偶
； ②当n为偶数时，
S
n
偶
?S
奇
?
2
d
，其中d为公差；
③当n为奇数时，则
S?S
n?1
偶
?a
中
，
S
奇
?
2
a
，
S
n?1
S
n?1
奇
中
偶
?
2
a
中
，
奇
S
?
，
偶
n?1

S< br>n
S?S
偶
SS
?
奇
?n
（其中
a
中
是等差数列的中间一项）
奇
?
偶
S
奇
?S
偶
13.若等差数列
?
a
n
?
和
?< br>b
n
?
的前
2n?1
项的和分别为
S
2n? 1
和
T
2n?1
，则
a
n
b
?
S
2n?1
.
n
T
2n?1
14.数列
?
a
N
*
，那么（
S
2
n
?
是等比数列，
S
n
是其前n项的和，
k?
2k
?S
k
） =
S
k
·
S
3k
?S
2k
.
15.分期付款(按揭贷款)：
ab(1?b)
n
每次还款
x?
(1?b)
n
?1
元(贷款
a
元,
n
次还 清,每期利率为
b
).
16.裂项法：①
1
n
?
n?1
?
?
1
n
?
1
n?1
； ②11
?
?
11
?
2n?1
??
2n?1
?
?
2
?
?
?
2n?1
?
2n?1?
?
；
③
1
a?b
?
1
a?b
?
a?b
?

；④
n11
?
n?1
?
!
?
n !
?
?
n?1
?
!
.
17．常见三角不等式:
（1）若
x?(0,
?
2
)，则
sinx?x?tanx
.
(2) 若
x?(0,
?2
)
，则
1?sinx?cosx?2
.
(3)
|sinx|?|cosx|?1
.
18.正弦、余弦的诱导公式：
si n(
n
?
?
nn
?
(?1)
2
sin?
,n为偶数
n
?
?
2
?
?
)??
?
?
)?
?
?
n?1
；
cos(< br>?
(?1)
2
cos
?
,n为偶数
n?1
.
?
(?1)
2
cos
?
,n为奇数
2
?< br>?
(?1)
2
sin
?
,n为奇数
即:“奇变偶不变 ,符号看象限”.如
cos
?
?
?
?
?
?
?
2
?
?
??sin
?
,
cos
?
?
?
?
?
??cos
?
.

19.万能公式:
sin2
?
?
2tan
?
1?tan
2
?
；
cos2
?
?
1?tan2
?
1?tan
2
?
；
tan2
?
?
2tan
?
1?tan
2
?
（正切倍角公式）.
20.半角公式:
tan
?
sin
?
1?cos
?
2
?
1?cos
?
?
sin
?
.
21.三角函数变换:
①相位变换:
y?sinx
的图象
?
向左
??
?
?
?0
?
?
或向右
???
?
?0
?
?
平移
?
?
?
个 单位
??
y?sin
?
x?
?
?
的图象；
②周期变换:
y?sinx
的图象
?
横坐标伸长
???
?
0
?
?
?
?
?
1
?
或缩短
??
?
?
?
?
1
?
到原来的
1
??
?
??
倍
?
y?sin
?
x
的图象；
③振幅变换:
y?sinx
的图象
?
纵坐标伸长
????
?
A?1
?
?
或缩短
?
?
0
?
?A
?
?1
?
到原来的
??
A
?倍
?
y?Asinx
的图象.
22.在△ABC中，有
①< br>A?B?C?
?
?C?
?
?(A?B)?
C
?
A?B
2
?
2
?
2
?2C?2
?
?2( A?B)
；
②
a?b?sinA?sinB
（注意是在
?ABC
中）.
23.线段的定比分点公式：设
P
1
(x
1
,y
1
)
，
P
2
(x
2
,y
2
)
，< br>P(x,y)
是线段
P
1
P
2
的分点,
?< br>是实数，
?
x?
x
1
?
?
x
2< br>且
PP
1
?
?
PP
2
，则
?
?
?
1?
?
?
OP?
OP
1
?
?
OP
2
?
OP?tOP
?
1
?(1?t)OP< br>2

?
?
y?
y
1
?
?
y
2
1?
?
1?
?
（其中
t?
1
1 ?
?
）.
24.若
OA?xOB?yOB
，则
A
、
B
、
C
共线的充要条件是
x?y?1
.
25.三角形的重心坐标公式: △ABC三个顶点的坐标分别为
A(x
1
, y
1
)
、
B(x
2
,y
2
)
、< br>C(x
3
,y
3
)
,
则其重心的坐标是
G (
x
1
?x
2
?x
3
y
1
?y< br>2
?y
3
,
3
3
)
.
26.①点的平移公式
?
?
?
x
'
?x?h?
?
x?x
'
?h
''
?
y?k
?O P?OP?PP
(图形
?
y
'
?
?
?
?
?
y?y
'
?k
F上的任意一点
P(x，y)在平移后的 图形
F
'
上的对应点为
P
'
(x
'
,y< br>'
)
，且
PP
'
的坐标为
(h,k)
)；
②函数
y?f
?
x
?
按向量
a?
?
h,k
?
平移后的解析式为
y?k?f
?
x?h
?
.
27.“按向量平移”的几个结论
（1）点
P(x,y)
按向量a=
(h,k)
平移后得到点
P
'
(x?h,y?k)
.
(2) 函数
y?f(x)
的图象
C
按向量a=
(h,k)
平移后得到图象
C
'
,则
C
'
的函数解析式
为
y?f(x?h)?k
.
(3) 图象
C
'
按 向量a=
(h,k)
平移后得到图象
C
,若
C
的解析式y?f(x)
,则
C
'
的函数解析式
为
y?f(x?h)?k
.
(4) 曲线
C
:
f (x,y)?0
按向量a=
(h,k)
平移后得到图象
C
'
,则
C
'
的方程为
f(x?h,y?k)?0
.
(5) 向量m=
(x,y)
按向量a=
(h,k)
平移后得到的向量仍然为m=(x,y)
.
28. 三角形四“心”向量形式的充要条件：
设
O< br>为
?ABC
所在平面上一点，角
A,B,C
所对边长分别为
a ,b,c
，则：
（1）
O
为
?ABC
的外心
?O A
2
?OB
2
?OC
2
.
（2）
O为
?ABC
的重心
?OA?OB?OC?0
.
（3）
O
为
?ABC
的垂心
?OA?OB?OB?OC?OC?OA
. < br>（4）
O
为
?ABC
的内心
?aOA?bOB?cOC?0< br>.
29.常用不等式：
(1)
a,b?R
?
a
2
?b
2
?2ab
?ab?
a
2
?b
22
(当且仅当a＝b时取“=”号)．
a
2
(2)
a,b?R
?
?
?b
2
?ab
?ab?
?
?
a?b
?
?
2
?
?
(当且仅当a＝b时取“=”号)．
(3)
a
3
?b
3
?c
3
?3abc< br>?
a?b?c?3
3
abc
(当且仅当
a?b?c
时 取“=”号)．
(4) 绝对值不等式：
||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|
(注意等号成立的条件).
(5)
1
11
?ab?
a?b
2
?
a
2
?b
2
2
(a?0,b?0)
.
a
?
b
（6）柯西不等式：
(a
2
?b
2
)(c
2
?d
2
)?(ac?bd)
2
,a,b, c,d?R.

30.最大值最小值定理:如果
f
?
x
?< br>是闭区间
?
a,b
?
上的连续函数,那么
f
?
x
?
在闭区间
?
a,b
?
上有最大值
和最小值.
31.
f(x)
在
x
?y
?x)?f (x
0
处的导数（或变化率或微商）
f
?
(x
0
)
0
)?y
?
x?x
0
?
?
lim
f(x
0
?
x?0
?x
?
?
lim
. < br>x?0
?x
32.瞬时速度
?
?s
?
(t)?lim
?ss(t??t)?s(t)
?t?0
?t
?lim
.
?t?0
?t
33.瞬时加速度
a?v
?
(t)?lim
? vv(t??t)?v(t)
?t?0
?t
?lim
.
?t?0< br>?t
34.
f(x)
在
(a,b)
的导数
f
?
(x)?y
?
?
dy
dx
?
df
dx< br>?
?
lim
?y
x?0
?x
?
?
l im
f(x??x)?f(x)
.
x?0
?x
35.函数
y?f(x)
在点
x
0
处的导数的几何意义：函数
y?f(x)在点
x
0
处的导数是曲线
y?f(x)

在
P(x
0
,f(x
0
))
处的切线的斜率
f
?(x
0
)
，相应的切线方程是
y?y
0
?f
?
(x
0
)(x?x
0
)

36.导数与函数的单调性的关系：
（1）
f
?
(x)?0
与
f(x)
为增函数的关系：
f
?
(x)?0
能推出f(x)
为增函数，但反之不一定.如函数
f(x)?x
3
在
( ??,??)
单调递增，但
f
?
(x)?0
，故
f
?
(x)?0
是
f(x)
为增函数的充分不必要条件.
（2）f
?
(x)?0
与
f(x)
为增函数的关系：
f(x)
为增函数，一定可以推出
f
?
(x)?0
，但反之不一定，
因为
f
?
(x)?0
，即为
f
?
(x)?0
或
f
?
(x)?0
.当函数在某个区间内恒有
f
?
(x)?0
，则
f(x)
为常数，
函数不具有单调性.∴
f
?
(x)?0
是
f(x)
为增函数的必要不充分条件.
37.常 见函数的导数:①
C
?
?0
（
C
为常数）；②
?< br>x
n
?
?
?nx
n?1
?
n?Q
?
；③
?
sinx
?
?
?cosx
；

④
?
cosx
?
?
??sinx
；⑤
?
lnx
?
?
?
1
x
，
?
log< br>?
?
?
1
x
?
?
?
a
x< br>x
log
a
e
；⑥
?
e
?
?ex
，
?
a
x
?a
x
lna
.
38.可导函数四则运算的求导法则:
①
?
u?v
?
?< br>?u
?
?v
?
；②
?
uv
?
??u
?
v?uv
?
，
?
Cu
?
??Cu
?
；③
?
?
u
?
?
?
v
?
?
?
u
?
v?uv
?
v
2< br>?
v?0
?
.
39.复合函数的求导法则： 设函数
u?< br>?
(x)
在点
x
处有导数
u
''
x
?
?
(x)
，函数
y?f(u)
在点
x
处的对应点U处有导数
y
'''''
u
?f(u)
，则复合函数
y?f(
?
(x))
在点
x
处有导数，且
y
x< br>?y
u
?u
x
，或写作
f
''
x
(
?
(x))?f(u)
?
'
(x)
.
40.复数 的相等：
a?bi?c?di?a?c,b?d
.（
a,b,c,d?R
）
41.复数
z?a?bi
的模（或绝对值）：
|z|
=
|a ?bi|
=
a
2
?b
2
.
42.复数的四则运算法则：
(1)
(a?bi)?(c?di)?(a?c)?( b?d)i
;(2)
(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i
;
(3)
(a?bi)(c?di)?(ac?bd)?(bc?ad)i
;
(4)
(a?bi)?(c?di)?
ac?bdbc?ad
c
2
? d
2
?
c
2
?d
2
i(c?di?0)
.
43.复数的乘法的运算律：对于任何
z
1
,z
2
,z3
?C
，有：交换律:
z
1
?z
2
?z
2
?z
1
.
结合律:
(z
1
?z
2< br>)?z
3
?z
1
?(z
2
?z
3
)
. 分配律:
z
1
?(z
2
?z
3)?z
1
?z
2
?z
1
?z
3
.
44.复平面上的两点间的距离公式 ：
d?|z
1
?z
2
|?(x
2
?x
2
1
)
2
?(y
2?y
1
)
（
z
1
?x
1
?y
1
i
，
z
2
?x
2
?y
2
i）.
45.向量的垂直：
非零复数
z
1
?a?bi
，
z
2
?c?di
对应的向量分别是
OZ
1
，< br>OZ
2
，则

OZ
1
?OZ
2
?
z
1
?z
2
的实部为零
?
z
2
2
z
为纯虚数
?
|zz
22
1
?z
2< br>|?|
1
|?|z
2
|

1
?
|z
2
1
?z
2
|?|z
1
|
2
?| z
2
|
2
?
|z
1
?z
2
|?| z
1
?z
2
|
?
ac?bd?0
?
z1
?
?
iz
2

(λ为非零实数).
46 .对虚数单位
i
,有
i
4n?1
?i,i
4n?2
??1, i
4n?3
??i, i
4n
?1
.
47 .共轭复数:当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.如
a?bi

与
a?bi
?
a,b?R
?
互为共轭复数.
48.
?
3
?1?
?
?
?1
?
?
?
2
?
?
?1
?
?0?
?
?1
或
?
??
1
2
?
3
2
i
.
49.
Ax?By?C?0
或
?0
所表示的平面区域：
设 直线
l:Ax?By?C?0
，则
Ax?By?C?0
或
?0
所表示的平面区域是：
若
B?0
，当
B
与
Ax?By? C
同号时，表示直线
l
的上方的区域；当
B
与
Ax?By? C
异号时，
表示直线
l
的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下. 若
B?0
，当
A
与
Ax?By?C
同号时，表示直线< br>l
的右方的区域；当
A
与
Ax?By?C
异号时，
表 示直线
l
的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.
50. 圆的方程的四种形式：
（1）圆的标准方程:
(x?a)
2
?(y?b)< br>2
?r
2
.
（2）圆的一般方程:
x
2
? y
2
?Dx?Ey?F?0
(
D
2
?E
2
?4F
＞0).
（3）圆的参数方程:
?
?
x?a?rcos?
b?rsin
?
.
?
y?
（4）圆的直径式方程:
(x?x
1
)(x?x
2
)?(y?y
1
)(y? y
2
)?0

(圆的直径的端点是
A(x
1
,y< br>1
)
、
B(x
2
,y
2
)
).
51.圆中有关重要结论:
(1)若P(
x
222
2
0< br>,
y
0
)是圆
x?y?r
上的点,则过点P(
x0
,
y
0
)的切线方程为
xx
0
?yy
0
?r
.
(2)若P(
x
0
,
y
0< br>)是圆
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
上的点,则过点P(
x
0
,
y
0
)的切线方程为
( x
0
?a)(x?a)?(y
2
0
?b)(y?b)?r
.
(3)若P(
x
222
0
,
y
0
)是圆< br>x?y?r
外一点,由P(
x
0
,
y
0
)向 圆引两条切线, 切点分别为A、B，则直线
AB的方程为
xx?yy
2
00
?r
.
(4)若P(
x
222
0
,
y< br>0
)是圆
(x?a)?(y?b)?r
外一点, 由P(
x
0
,
y
0
)向圆引两条切线, 切点分别为 A、B，则直线AB的方程为
(xa)?(y
2
0
?a)(x?
0
?b)(y?b)?r
.
52.圆的切线方程：
(1)已知圆
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
．
①若已知切点
(x
0
,y
0
)
在圆上，则切线只有 一条，其方程是

x
D(x
0
?x)
0
x?y< br>0
y?
2
?
E(y
0
?y)
2
?F ?0
.
当
(x,y
D(x
0
?x)E(y
0?y)
00
)
圆外时,
x
0
x?y
0
y?
2
?
2
?F?0
表示过两个切点的切点弦方
程． < br>②过圆外一点的切线方程可设为
y?y
0
?k(x?x
0
)< br>，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，
注意不要漏掉平行于y轴的切线．
③斜率为k的切线方程可设为
y?kx?b
，再利用相切条件求b，必有两条切线．
(2)已知圆
x
2
?y
2
?r
2
，过圆上 的
P
2
0
(x
0
,y
0
)
点的切 线方程为
x
0
x?y
0
y?r
.
椭圆
x
2
y
2
53.
?
x?acos
?
a
2
?
b
2
?1(a?b?0)
的参数方程是
?
.
?
y?bsin
?
x
2
y
2
ab
?b?0)
的准线方程为
x??
a
2
54.(1)椭圆
2< br>?
2
?1(a
c
,焦半径公式
PF?a?ex
p；
x
2
(2)椭圆
y
2
a
2
b2
?
a
2
?1(a?b?0)
的准线方程为
y??c
,焦半径公式
PF?a?ey
p
.
55. 椭圆的切线方程 ：
(1)椭圆
x
2
y
2
xxyy
a
2< br>?
b
2
?1(a?b?0)
上一点
P(x
0
,y
0
)
处的切线方程是
0
a
2
?
0b
2
?1
.
2）过椭圆
x
2
y
2< br>（
0)
外一点
P(x
x
0
xy
0
y
a
2
?
b
2
?1(a?b?
0
,y
0
)
所引两条切线的切点弦方程是
a
2
?
b
2< br>?1
.

（3）椭圆
x
2
y
2
a
2
?
b
2
?1(a?b?0)
与直线
Ax?B y?C?0
相切的条件是
A
2
a
2
?B
2
b
2
?c
2
.
56.(1)双曲线
x
2
y
2
a
2
a
2
?
b
2
?1(a? 0,b?0)
的准线方程为
x??
c
,焦半径公式
PF??a?ex
p
；
x
2
y
2
a
2
(2)双曲 线
b
2
?
a
2
?1(a?0,b?0)
的准线方程 为
y??
c
，焦半径公式
PF??a?ey
p
.
x
2
y
2
57.(1)双曲线
a
?
b
?0 ,b?0)
的渐近线方程为
y??
b
22
?1(a
a
x
；
(2)双曲线
x
2
y
2
a
b2
?
a
2
?1(a?0,b?0)
的渐近线方程为
y? ?
b
x
.
58. 双曲线的切线方程：
x
22
(1)双曲线
a
2
?
y
b
2
?1(a?0,b?0 )
上一点
P(x
0
,y
0
)
处的切线方程是
x
0
xy
0
y
a
2
?
b
2?1
.
（2过双曲线
x
2
y
2
a
2
?
b
2
?1(a?0,b?0)
外一点
P(x
0
,y
0
)
所引两条切线的切点弦方程是
x
0
x
a
2
?
y
0
y
b
2
?1
.
（3）双曲线
x
2
y
2
2
?
b< br>2
?1(a?0,b?0)
与直线
Ax?By?C?0
相切的条件是< br>A
2
a
2
?B
2
b
2
?c
2
a
.
59.(1)P是椭圆
x
2
y
2
a
2
?
b
2
?1(a?b?0)
上一点,F
1
、F
2
是它的两个焦点,∠F
1
P F
2
=θ，则
△P F
1
F
2
的面积=
b
2
tan
?
2
.
x
2
是双曲线
y
2
(2)P
a
2
?b
2
?1(a?0,b?0)
上一点,F
1
、F
2是它的两个焦点,∠F
1
P F
2
=θ，则
△P F
2
1
F
2
的面积=
bcot
?
2
.
2
60. 抛物线
y
2
?2px
上的动点
P
?
x
y< br>2
0
,y
0
?
可设为P
(
0
2p< br>,y
0
)
或
P(2pt,2pt)
.
61.(1) P(
xy
2
?2px
上的一点,
F
是它的焦点,则
PF?x
p
0
,
0
)是抛物线
y
0
?2
；
(2)抛物线
y
2
?2px
的焦点弦长
l?
2p
sin
2
?
,其中
?
是焦点弦与x轴的夹 角；
(3) 抛物线
y
2
?2px
的通径长为
2p
.
62. 抛物线的切线方程：
(1) 抛物线
y
2
?2px
上一点
P(x
0
,y
0
)
处的切线方程是
y
0
y ?p(x?x
0
)
.
（2）过抛物线
y
2
?2p x
外一点
P(x
0
,y
0
)
所引两条切线的切点弦 方程是
y
0
y?p(x?x
0
)
.
（3）抛物线
y
2
?2px(p?0)
与直线
Ax?By?C?0
相切的 条件是
pB
2
?2AC
.
63.圆锥曲线
F(x,y)? 0
关于点
P(x
0
,y
0
)
成中心对称的曲线是< br>F(2x
0
-x,2y
0
?y)?0
.
64.圆锥曲线的两类对称问题
（1）曲线
F(x,y)?0
关于点
P(x
0
,y
0
)
成中心对称的曲线是
F(2x
0
-x,2y
0
?y)?0
.
（2）曲线
F(x,y)? 0
关于直线
Ax?By?C?0
成轴对称的曲线是：
F(x?
2A (Ax?By?C)2B(Ax?By?C
A
2
?B
2
,y?
)
A
2
?B
2
)?0
.
65.“四线”一方程：
对于一般的二次曲线
Ax
2
?Bx y?Cy
2
?Dx?Ey?F?0
，用
x
2
0
x< br>代
x
2
，用
y
0
y
代
y
，
用
x
0
y?xy
0
x
2
代
xy< br>，用
0
?x
2
代
x
，用
y
0
?y
2
代
y
即得方程
Ax?B?
x
0
y?xy
0
?Cy
x?xy
0
?y
0
x
2
0
y?D?
0
2
?E?
2
?F?0
，曲线 的切线，切点弦，中点弦，
弦中点方程均是此方程得到.
66.对空间任一点O和不共线的 三点A、B、C，满足
OP?xOA?yOB?zOC
，
则四点P、A、B、C共面
?
x?y?z?1
．
67.空间两个向 量的夹角公式:
cosa,b?
a
1
b
1
?a
2< br>b
2
?a
3
b
3
a
22222
1< br>?a
2
?a
3
?b
1
?b
2
?b< br>2
，其中
3
a?
?
aa
cos
?
? cos?a
?
,b
?
1
,a
2
,
3
?
，
b?
?
b
1
,b
2
,b
3
?
. 异面直线所成角
?
的求法：
?
< br>68.直线
AB
与平面
?
所成角
?
满足:
s in
?
?cosAB,m?
AB?m
,其中
m
为面
?
的法向量.
AB?m
69.二面角
?
?l?
?
的平面角
?
满足:
cos
?
?cosm,n
,其中
m
、
n
为平面
?
、
?
的法向量.
7 0.空间两点间的距离公式:若
A
?
x
1
,y
1
, z
1
?
B
?
x
2
,y
2
,z
2
?
,则
d
2
A,B
?
?
x
2
?x
1?
?
?
y
2
?y
1
?
2
?< br>?
z
2
2
?z
1
?
.
71.点Q 到直线
l
的距离:
h?
1
2
2
,直线
a< br>?
a?b
?
?
?
a?b
?
,点P在直线l
上
l
的方向向量
a?PA
,向量
b?PQ
.
72.点B到平面
?
AB?n
的距离:
d?
n
,< br>n
为平面
?
的法向量,
AB
是面
?
的一条斜 线,
A?
?
.
73.(1)设直线
OA
为平面
?
的斜线,其在平面内的射影为
OB
,
OA
与
OB
所 成的角为
?
1
,
OC
在平面
?

内,且与
OB
所成的角为
?
2
,与
OA
所成的角为
?
,则
cos
?
?cos
?
1
cos
?< br>2
.
(2)若经过
?BOC
的顶点的直线
OA
与
?BOC
的两边
OB
、
OC
所在的角相等，则
O A
在
?BOC
所
在平面上的射影为
?BOC
的角平分线；反 之也成立.
74. 面积射影定理:
S?
S
'
'
cos< br>?
(平面多边形及其射影的面积分别是
S
、
S
，所在平面成锐 二面角
?
).
75.分类计数原理:
N?m
1
?m
2
??m
n
.分步计数原理:
N?m
1
?m
2< br>??m
n
.

76.排列恒等式:①
Am
(n?m?1)A
m?1
m
n
n
?
n
； ②
A
n
?
n?m
A
m
mm?1
n? 1
； ③
A
n
?nA
n?1
；
④
nA< br>nn?1n
A
mmm?1
n
?A
n?1
?A
n
； ⑤
n?1
?A
n
?mA
n
.
77.常见组合恒等式:
⑴
C
m
n?m?1
m?1
nn
m?
n
?
m
C
mm
n
;⑵
C
n
?
n?m
C
n?1
; ⑶
C
mn
?
m
C
1
k
n?1
; ⑷
kC
n
?nC
k?1
n?1

⑸
Crrrrr?1012rnn
r
?C
r?1
?C
r?2
???C
n
?C
n?1
. (6)
C
n
?C
n
?C
n
???C
n
???C
n
? 2
.
(7)
C
135024n?112
?3C
3nn?1
n
?C
n
?C
n
???C
n
?C
n
?C
n
???2
. (8)
C
n
?2C
nn
???nC
n
?n?2

78．排列数与组合数的关系是：A
m
?m！?C
m
nn

79．单条件排列：以下各条 的大前提是从
n
个元素中取
m
个元素的排列.
（1）“在位”与“ 不在位”：①某（特）元必在某位有
A
m?1
mm?1
n?1
种；② 某（特）元不在某位有
A
n
?A
n?1

（补集思想）?A
1m?1m1m?1
n?1
A
n?1
（着眼位置）
?A
n?1
?A
m?1
A
n?1
（着眼元素）种. （2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）：①定位紧贴：
k(k?m?n)
个元在固定位的排 列有
A
km?k
k
A
n?k
种.
②浮动紧贴：< br>n
个元素的全排列把k个元排在一起的排法有
A
n?k?1
n?k?1
A
k
k
种.此类问题常用捆绑法；
③插空：两组元素分别有k、h 个（
k?h?1
），把它们合在一起来作全排列，k个的一组互不能挨
近的所有排列数 有
A
hk
h
A
h?1
种.
（3）两组元素各相同的插空 ：
m
个大球
n
个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？
当
n?m?1
时，无解；当
n?m?1
时，有
A
n
m ?1
n
A
n
?C
m?1
种排法.
n
（4 ）两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排列数为
C
n
m ?n
.
80．分配问题：
（1）(平均分组有归属问题)将相异的
mn< br>个物件等分给
m
个人，各得
n
件，其分配方法数共有
N?C< br>nn
C
nnn
mn
?C
mn?n
?
mn?2 n
?
?
?C
2n
?C
(mn)!
n
?(n!)
m
.
（2）(平均分组无归属问题)将相异的
mn
个 物体等分为无记号或无顺序的
m
堆，其分配方法数共有
N?
C
n?C
nnnn
mnmn?n
?C
mn?2n
...?C
2n
?C
n
(mn)!
m!
?
m!(n!)
m.
⑶(非平均分组有归属问题)将相异的
P(P=n
1
+n
2
++n
m
)
个物体分给
m
个人，物件必须被分完，分别得到
n
1
，
n
2
，…，
n
m
件，且
n
1
，
n
2
，…，
n
m
这
m
个数彼此不相等，则其分配方法数共有
N?C
n
1
?C< br>n
2
n
m
p
?m!?
p!m!
p?n
1
...C
n
m
n
.
1
!n
2
!...n
m
!
（4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的
P(P=n
1
+n
2
++n
m
)
个物体分给
m
个人，物件必须被分完，
分别得到
n
1
，
n
2
， …，
n
m
件，且
n
1
，
n
2
，… ，
n
m
这
m
个数中分别有a、b、c、…个相等，则其
分配 方法数有
N?
C
n
1
n
2
n
m
p
?C
p?n
1
...C
n
m
?m!
p!m !
a!b!c!...

?
n
.
1
!n
2
!...n
m
!(a!b!c!...)
（5）(非平均分组无归属问题) 将相异的
P(P=n
1
+n
2
++n
m
)
个物体分为任意的
n
1
，
n
2
，…，
n
m
件无
记号的
m
堆，且
n
p!
1
，
n
2
，…，
n
m
这
m
个数彼此不相等，则其分配方 法数有
N?
n!n
.
12
!...n
m
!
（6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的
P(P=n
1
+n
2
++n
m
)
个物体分为任意的
n
1
，
n
2
，…，
n
m
件
无记号的
m
堆，且
n< br>1
，
n
2
，…，
n
m
这
m
个数中分别有a、b、c、…个相等，则其分配方法数有
N?
p!
na!b!c!.. .)
.
1
!n
2
!...n
m
!(
（7 ）(限定分组有归属问题)将相异的
p
（
p?n
1
+n
2< br>++n
m
）个物体分给甲、乙、丙，……等
m
个人，
物体必须 被分完，如果指定甲得
n
1
件，乙得
n
2
件，丙得
n
3
件，…时，则无论
n
1
，
n
2
，…，
n
m
等
m
个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有
N? C
n
1
n
2
n
m
p!
p
?Cp?n
1
...C
n
m
?
nn
.
1
!n
2
!...
m
!
81．二项式定理:
(a?b )
n
?C
0n1n?12n?22rn?rrnn
n
a?C
n
ab?C
n
ab?
?
?C
n
ab?
?< br>?C
n
b
；
二项展开式的通项公式：
T
rn?r r
r?1
?C
n
ab
(r?0，1，2?，n)
.
82．等可能性事件的概率：
P(A)?
m
n
.（一次试验共有n个结果等 可能的出现，事件A包含其中m个
结果）
83．①互斥事件
A
、
B
有一个发生的概率：
P
?
A?B
?
?P
?
A
?
?P
?
B
?
；
n
个互斥事件中有一个 发生的
概率：
P
?
A
1
?A
2
????? A
n
?
?P
?
A
1
?
?P
?A
2
?
?????P
?
A
?
n
?；
②
A
、
B
是两个任意事件，则
P
?
A?B
?
?1?PA?B
?
?1?P
?
A?B
?
.
84．相互独立事件
A
、
B
同时发生的概率：
P
?
A?B
?
?P
?
A
?
?P
?
B
?
；
n
个相互独立事件同时发生的概
率：
P?
A
1
?A
2
?????A
n
?
?P
?
A
1
?
?P
?
A
2
?
?????P
?
A
n
?
．
（上接第8页） 第十六部分 理科选修部分
1． 排列、组合和二项式定理：
⑴排列数公式:
A
m
!
n
=n(n-1)(n-2)…(n-m＋1)=
n
(n?m)!
(m≤ n, m、n∈N*),
当m=n时为全排列
A
n< br>n
=n·(n-1)·(n-2)·…·3·2·1= n!
⑵组合数公式：
C
m
n
=
A
m
n
n(n?1)
?
(n?m?1)
n！
A
(
n
，
m
∈N
*< br>m
==，且
m?n
)
m
1?2?
?
?m< br>m！?(n?m)！
⑶组合数性质：
C
mn?m
n
?C
n
;C
m
n
?C
m?1
n
?C
m
n?1

⑷二项式定理：
(a?b)
n
?C
0
a
n
?C
1n?11k
a
n?k
b
k
??
?C
nn?
nn
ab?
?
?C
nn
b(n?N)

①通项：
T
rn?rr
r?1
?C
n
ab(r?0,1,2,...,n);
②注意二项式系数与系数的区别
⑸二项式系数的性质：（展开时有
n?1
项）
①与首末两端等距离的二项式 系数相等；②若n为偶数，中间一项（第
n
2
＋1项）二项式系数最大；
若n 为奇数，中间两项（第
n?1
2
和
n?1
2
＋1项）二项式 系数最大；
(6)求二项展开式各项系数和或奇（偶）数项系数和时，注意运用赋值法。
2. 概率与统计：

⑴随机变量的分布列：①随机变量分布列的性质：p
i
≥ 0, i=1,2,3，…； p
1
+p
2
+…=1;
②离散型随机变量：
X
P
x
1

P
1

X
2

P
2

…
…
X
n

P n
…
…
均值（又称期望）：EX＝ x
1
p
1
+ x
2
p
2
+ … + x
n
p
n
+ …
222
方差：DX＝
(x
1
?EX)p
1
?(x
2
?EX)p
2
?????(x
n
?EX)pn
????

注：
E(aX?b)?aEX?b;D(aX?b)?aDX
；
③二项分布（独立重复试验）：若X～B（n , p）,则EX＝n p, DX＝n p（1- p） 注：
k
P(X?k)?C
n
p
k
(1?p)
n?k
。
2
⑵条件概率：称
P(B|A)?
P(AB)
为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。注：0
?
P（B|A）
?
1
P(A)
⑶独立事件同时发生的概率：P（AB）=P（A）P（B）。
⑷正态总体 的概率密度函数：
f(x)?
数（期望值）EX与标准差
DX
1
2< br>??
；
e
?
(x?
?
)
2
2?
2
,x?R,
式中
?
,
?
是参数，分别表示 总体的平均
⑸正态曲线的性质：①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，关于直线x＝< br>?
对
称；③曲线在x＝
?
处达到峰值
1
?
2
?
；④曲线与x轴之间的面积为1；
① 当
?
一定时，曲线随
?
值的变化沿x轴平移；
② 当
?< br>一定时，曲线形状由
?
确定：
?
越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布 越分散；
?
越小，曲线越“高瘦”，表示总体分布越集中。
注：P
(?
?
?
?x?
?
?
?
)
=0.682 6；P
(
?
?2
?
?x?
?
?2
?
)
=0.9544
P
(
?
?3
?
?x?
?
?3
?
)
=0.9974
附：数学归纳法：一般的证明一个与正整数
n
有关的一个命题，可按以下步骤进行：
?
⑴证明当
n
取第一个值
n
0
时命题成立；⑵假设 当
n?k(k?n
0
,k?N)
命题成立，证明当
n?k?1
时
命题也成立。那么由⑴⑵就可以判定命题对从
n
0
开始所有的正整数都成 立。此证明方法叫数学归纳法。
注：①数学归纳法的两个步骤缺一不可，用数学归纳法证明问题时必须严格按步骤进行；
①
n
0
的取值视题目而定，可能是1，也可能是2等。