高中数学卢大庆-高中数学公式百度百科
2007年安徽省高中数学竞赛初赛试题
一.选择题
1.如果集合
A.B
同时满足
AUB?
?
1.2.3.4
?
AIB??
1
?
,
A?
?
1
?
,B?
?
1
?
就称有序集对
。这里的有序集对
?
A,B
?
意指当
A?B
，
?
A,B
?
和
?
B,A
?
是不同的集
?
A,B
?
为“好集对”
对，
那么“好集对”一共有（ ）个。
２.设函数
f
?
x
??lg10
?x
?1
,
方程f?2
x
?f
?1
2
x
的解
为( )
??
????
2
?
lg2
?
?
?
log
2
10
?
?
?
lg2
?
?
2
?
log
2<
br>10
?
?1
3.设
A?100101102L499500
是
一个1203位的正整数,由从100到500的全体三位数按顺
序排列而成那么A除以126的余数是
( )
4.在直角
VABC
中,
?C?90
o
,
CD
为斜边上的高,D
设数列
为垂足.
通项
为
AD?a,BD?b,CD?a?b?1
k
.
?
u
k?
的
u
k
?a
k
?a
k?1
b?a<
br>k?2
b
2
?L?
?
?1
?
b
k<
br>,k?1,2,3,L,
则( )
5.……删去所有和55互质的项之后,把余下的
各项按从小到大的顺序排成一个新的数列
?
a
n
?
,易见
a
1
?1,a
2
?3,a
3
?7,a
4
?9
,a
5
?13L
那么
a
2007
?___________
_
A. 9597 B. 55
19
C.
2831
D.
2759
6.设
A
?1?cos3
0
+
1+cos7
0
+1+cos11
0
+
L
1+cos87
0
B?
1?cos3
+
1-cos7+1-cos11
+
L
1-cos87
0000
则
A:B?
??
7.边长均为整数且成等差数列,周长为60的钝角三角形一共有______________种.
8.设
n?2007
,且
n
为使得
a
n
=
的
a
n
为
9.若正整数
n
恰
好有4个正约数,则称
n
为奇异数,例如6,8,10都是奇异数.那么在
27,42
,69,111,125,137,343,899,3599,7999这10个数中奇异数有_______
______________
个.
10.平行六面体
?
2-2?i2+2
取实数值的最小正整数,则对应此
n
?
n
ABCD?A
1<
br>B
1
C
1
D
1
中,顶点
A
出发的三
条棱
AA
1,
AB,AD
的长度分别为
o
2,3,4,且两
两夹角都为
60
那么这个平行六面体的四条对角线
AC
1
,BD1
,DB
1
,CA
1
的长度
(按顺序)分别为____
_______________
11.函数
f
?
x
?
,
g
?
x
?
的迭代的函数定义为
f
?
1
?<
br>?
x
?
?f
?
x
?
,f
?
2
?
?
x
?
?f
?
f
?
x
?
?
,L
f
?
n
?
?
x
?
?ff
?
n?1
?
?
x
?<
br>,g
?
1
?
?
x
?
?g
?
x
?
,g
?
2
?
?
x
?
?g?
g
?
x
?
?
,Lg
?
n
?
?
x
?
?gg
?
n?1
?
?
x<
br>?
其中
n
=2,3,4…
????
?
f
?
9
?
?
x
?
?g
?
6
?
?
y
?
?
?
?
9
??
6
?
设
f
?
x
?
?2x?3,g
?
x
??3x?2
,则方程组
?
f
?
y
?
?g
?
z
?
的解为_________________
?
?
9
??
6
?
fz?g
???
x
?
??
12.设平行四边形
ABCD
中，
AB?4,AD?2,BD?23,
则平行四边形
ABCD
绕直线
AC
旋转所得的旋转体的体积
为_______________
三．解答题
13.已知椭圆
?:3x
?4y?12
和点
Q
?
q,0
?
,
直线
l
过Q且与?交于A,B
两点(可以重
22
合).
1)若
?AOB
为钝角或平角(
O
为原点),
q?4,
试确定
l
的斜率的取值范围.
2)设
A关于长轴的对称点为
A
1
,
F为椭圆的右焦点,q?4,
试判断
A
1
和F,B
三点是否共
线,并说明理由.
3)问题2)中,若
q?4,那么A
1
,F,B
三点能否共线请说明理由.
14. 数列
?
x
n
?
由下式确定:
x
n?1
?
x
n
,n?1,2,3,
L
,x
1
?1
,试求
2
2x
n
?1
lgx
2007
整数部分k?
?
lgx
2007
?
.
(注
?a
?
表示不大于
a
的最大整数,即
a
的整数部分.)
15. 设给定的锐角
VABC
的三边长
a,b,c,正实数x,y,z满足
22
ayzbzxcxy
???p,
其中
p
xyz
2
为给定的正实数,试求
s?
?
b?c?a
?
x?
?
c?a?b
?
y?
?
a?b?c
?
z<
br>的最大值,并求出当
s
取此最大值时,
x,y,z
的取值.
2007年安徽省高中数学竞赛初赛答案
一、 选择题
. . .
. .
第1题解答过程
逐个元素考虑归属的选择.
元素1必须同时属于
A
和
B
.
元素2必须至少属于
A、B
中之一个，但不能同时属于
A
和
B
，有2种选择：属于A
但不属
于
B
，属于
B
但不属于
A
.
同理，元素3和4也有2种选择.
但元素2，3，4不能同时不属于
A
，也不能同时不属于
B
.
所以4个元素满足条件的选择共有
2?
2?2?2?6
种.换句话说，“好集对”一共有6个.
答：C.
第2题解答过程
令
y?lg(10
?x
?1)
，则
y?0
，且
10
?x
?1?10
y
，
10
?x
?10
y
?1
，
?x?lg(10
y
?1)
，
?1
x??lg(10
y
?1)
.从而
ff(?t)?f
?1
(x)??lg(10
x
?1)
.
令
2
x
?t
，则题设方程为
(t)
，即
lg(
10
t
?1)??lg(10
t
?1)
，故
lg[(10
t
?1)(10
t
?1)]?0
，
(10
t
?1)(10
t
?1)?1
，
10
2t
?2
，
2t?lg2
，解得
2
x
?t?
1
lg2
. 从而
2
1
x?log
2
(lg2)?log
2
(lg2)?1
.
答：A.
2
第3解答过程
注意
126?2?7?9
,2,7和9两两互质. 因为
A?0
（mod2）
,
?100?101?102?
??500?（100?500）?401?2?120300?6
（mod9）
,
所以
A?6
（mod18）
. （1）
10
又因为10??1
，
3
3n
i
?(?1)
（mod7）
（?1）
,所以
A?
?
(500?i)?10?
?
(50
0?i)?
n
400
i?0
3i
400
i?0<
br>?(500?499)?(498?497)?(496?495)???(102?101)?100<
br>?300?6
（mod7）
.
(2)，（1），（2）两式以及7和18互质，知
A?6
（mod126）.
答：C.
999999?10?1
， 另解：，
n?1,2,3,
?
（10
6
?1）（10
6n
?1）
126?2?63，
63999999
，
所以
A?100?10
1200
6
?101102?10
1194
?103104?10
1188
?
??497498?10
6
?499500
?999999B?60060300?999999C?60360
，
其中
B，C
为整数.从而
A?63D?60360?63E?6
，其中
D
，
E
为整数.所以
A
除以63的
余数为6.因为
A
是偶数，所以
A
除以126的余数也为6. 答：C.
第4解答过程
（a?b）?ab
，又已知
a?b?1
，故
ab?1
，
a
(a?1)?1
，易见
CD?AD?BD
，即
22
b
a2
?a?1?0
；
b(b?1)?1
，
b
2
?
b?1?0
.显然
u
k
是首项为
a
k
，公比为q??
的等比
a
a
k
(1?q
k?1
)ak?1
?(?b)
k?1
?
数列的前
k?1
项和.故<
br>u
k
?
，
k?1,2,3?
.
1?qa?b
即
u
k
?u
k?1
a
k?
1
?(?b)
k?1
a
k?2
?(?b)
k?2
1
??
?[a
k?2
?a
k?1
?(?b)
k?2<
br>?(?b)
k?1
]
a?ba?b
a?b
?
1
[a
k?3
?(?b)
k?3
]?u
k?2
，
k?1,2,3?
.
a?b
故答案为A.（易知其余答案均不成立）
另解：易见
CD?AD?BD
，即
（a?b）?ab
，又已知
a?b?1
，故<
br>ab?1
，
2
(a?b）?(a?b)
2
?4ab?1
2
?4?1?5
，
a?b?5
.解得
22
a?
k
5?1
，
b?
2
5?1
.
2
显然
u
k
是
首项为
a
，公比为
q??
b
的等比数列的前
k?1
项和，故
a
a
k
(1?q
k?1
)a
k?1?(?b)
k?1
u
k
??
1?qa?b
?
1
1?5
k?1
1?5
k?1
[()?()]
22
5
，
k?1,2,3,?
. 于是数列
?
u
k
?就是斐波那契数列1，2，3，5，8，13，21，…，
它满足递推关系
u
k?2
?u
k?1
?u
k
,
k?1,2,3,?
. 所以答案为A.
第5题解答过程
?
a
n
?
可看成是在正整数数列1，2，3，4，5，6，7，…中删去所有能被2，
5或11整除的
项之后，把余下的各项按从小至大顺序排成的数列.由三阶容斥原理，1，2，3，4，
…，
m
中不能被2，5或11整除的项的个数为
?
m
??
m
??
m
??
m
??
m
??
m
?
?
m
?
x
m
?m?
??
?
??
?
??
?
??
?
??
?
??
?
?<
br>，
?
?
2
??
5
??
11
??<
br>55
??
22
??
10
??
110
?
其中
?
a
?
不表示不大于
a
的最大整数，即
a<
br>的整数部分.
估值：设
2007?x
m
?m?
mmmmmm
m111
???????m?(1?)(1?)(1?)
252511
1410411
?m
，故
m?2007??5519
.
?m???
2511
11
4
因又
?
5519
??
5519
??
5519
??
5519
??
5519
??
5519
??
5
519
?
x
5519
?5519?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?????
??
2511552210
?????????????
110
?
?
=55501+100+250+551-50=2007，
并且5519不是2
，5，11的倍数，从而知
a
2007
?5519
. 答：B. <
br>又解：
?
a
n
?
可看成是在正整数数列1，2，3，4，5，
6，7，…中删去所有能被2，5 或
11整除的项之后，把余下的各项按从小至大顺序排成的数列.因
为2，5，11是质数，它们
的最小公倍数为110.易见，-54，-53，…，0，1，2，3，…
，55中不能被2，5，11整除的
?19；?21，
，?3，?7，?9；?13，?17，
数为
?1
（或由欧拉公
?23，?27，?29；
?31，?37，?39；?41，?43，?47，?49；?51，?53
,共40个.
式
，1，2，3，…，110中不能被2，5，11整除的数的个数，等于1，2，3，…，110中与
1
10互质的数的个数，等于
?（110）?110?（1?）?（1?）?（1?
1
2
1
5
1
）?40
.）
11
显然1，2，
3，…中每连续110个整数，不能被2，5，11整除的数都有40个.所以，1，
2，3，…，110?50?5500
中，不能被2，5，11整除的数有
40?50?2000
个.大于5500
中的数不能被2，5，11整除的，是5500+1，5500+3，5500+7
，5500+9，5500+13，5500+17，
5500+19，….所以5519是第2007
个不能被2，5，11整除的数，亦即所求的
a
2007
?5519
.
答：B .
第6题解答过程
1?cos3
?
1?cos7
?
1?cos87
?
显然
?????
222
2
A
?cos1.5?cos3.5?cos5.5???cos43.5
；
?sin1.5?sin3.5?sin5.5???sin43.5
.
注意到 <
br>????
????
2cos
?
sin1
?
?sin(
?
?1
?
)?sin(
?
?1
?
)
，
2sin
?
sin1
?
?cos(
?
?1<
br>?
)?cos(
?
?1
?
)
,
所以
?(sin44.5
?
?sin42.5
?
)
?
sin44.5
?
?sin0.5
?
?2cos22.5
?
sin22
?
，
?(cos42.5
?
?cos44.5
?
)
?cos0.5
?
?cos44.5
?
?2sin22
.5
?
sin22
?
.
故
A:B?(2sin1
?
?
A
2
):
(2sin1
?
?
B
2
)?(2cos22.5
?
sin22
?
):(2sin22.5
?
sin22
?
)?
cot22.5
?
?2?1
. 答：D.
另解：
A
2
?cos1.5
0
?cos3.5
0
?cos5.5
0????cos43.5
0
，
B
2
?sin1.5
?
?sin3.5
?
?sin5.5
?
???sin43.5
?
，
sin22
?
??
(cos22.5?isin22.5)
. =<
br>?
sin1
Asin22
?
cos22.5
?
Bsi
n22
?
sin22.5
?
AB
??
因为和是实数，所以，
,
??
sin1sin1
22
22
A:B?
A
2
:
B
2
?
cos22.52cos22.51?co
s45
???
????
sin22.52sin22.5cos22.5sin45<
br>?2??
1?
2
2
?
2?2
?2?1
22<
br>2
.
答：D.
第7解答过程
解：设△
ABC
三
边长
a,b,c
为整数，
a?b?c?60,a?b?c,a,b,c
成等差
数列，
?A
为钝
角，则必有
2b?a?c
，
b?c?a.
易解得
60?a?b?c?b?(a?c)?b?2b?3b
，
b
?20,a?c?40
；
b?a?c
222
222
?(a
?c)(a?c)
，即
20
2
?40(a?c),10?a?c
.因
此
50?(a?c)?(a?c)?2a,25?a
，
即
a?26
.另外，
b?c?a,60?a?b?c?a?a?2a,a?30,a?29
.易检验
(a,b,c)
?(26,20,14),(27,20,13),(28,20,12)
,(29,20,11)
都是钝角三角形. 答：4.
第8题解答过程
注
意到
x?2?2
，
y?2?2
满足
x
2
?y
2
?(2?2)?(2?2)?4
，
x,y?0
，
故可令
x?2cos
?
，
y?2sin
?
，0＜
?
＜?
22
.从而
4cos
?
?2?2
，-
2?4
cos
?
?2
，
2
，故-
23
?
?2co
s
2
?
?1?cos?cos2
?
24
?
?
3
?
8
，
3
?
3
?
3n
?+
?isin)
n
?cos
888
3n
?
3
n
?
isin
.
a
n
取实数，当且仅当
sin?
0
，当且仅当
n?8k
，
k?
Z.满足此条件且
8
8
3x2008
?
?cos753
?
??1
.
n
?2007
的最小正整数
n
为
2008
，此时
a
n
?a
2008
?cos
8
a
n
?(cos
答：-1.
第9题解答过程
易见奇异数有两类：第一类是质数的立方
p
（
p
是质数）；第二类是两个不同质数的乘积
3
p
1
p<
br>2
（
p
1
,p
2
为不同的质数）.由定义可得
27?3
3
是奇异数（第一类）；
42?2?3?7
不是奇异数；
；
69?3?23
是奇异数（第二类）
；
111?3?37
是奇异数（第二类）
；
125?5
3
是奇异数（第一类）
137
是质数，不是奇异数；
；
343?7
3
是奇异数（第一类）
；
899?900
?1?30
2
?1
2
?（30?1）（30?1）?31?29
是奇
异数（第二类）
；
3599?3600?1?60
2
?1
2
?（60?1）
（60?1）?61?59
是奇异数（第二类）
7999?8000
?1?20
3
?1
3
?(20?1)(20
2
?20?1)
?19?421
是奇异数（第二类）.
答：8.
第10解答过程
a?a
?2
，
b?b?3
，
c?c?4
，
abc
解：将向
量
AA
1
，
AB
，
AD
分别记为，，.
则
且易见
AC
1
?a?b?c
，
A
1
C??a?b?c
，
BD
1
?a?b?c
，
DB
1
?a?b?c
.
所以
AC
1
2<
br>?(a?b?c)?a?b?c?2(a?b?b?c?c?a)
222
2
222
?2?3?4?2?3?3?4?4?2
=55，
故
AC
1
?55
. 类似地，可算得，
BD
1<
br>?19
，
DB
1
?15
，
CA
1
?
27
=3
3
.
答：
55
，
19
，
15
，3
3
.
第11题解答过程
令
x?3?t
，易见
x?t?3
，f(x)?2x?3?2(t?3)?3?2t?3
，
f
(2)
(x)?
2(2t?3)
?3
?2
2
t?3,?,f
(n)
(x)?
2
n
t?3
；令
y?1?s
，易见
y?s?1
，<
br>g(y)?3y?2?3(s?1)?2
?3s?1
，
g
(2)
(y)?3(3s?1)?2?3
2
s?1,?
，
g
(n)
(y)?3
n
s?1
，
n?1,2,3,?
.因此，题设方程组可
化为
（1）-（2），（2）-（3），（3）-（1）得
所以
3
6
3
6
2
3
6
3
x?y?
9
(y?z)?(
9
)(z?x)?(
9
)(x?
y)
222
?
x?y?0?y?z?0
?x?y?z
.
代入（1）得
2(x?3)?3?3(x?1)?
1
，
512(x?3)?3?729(x?1)?1
，
96
512x?1533?729x?728
，
?217x?2261
,
?31x?323
,
x??
所以原方程组的解为
x?y?z??
第12题解答过程
.以
V
T?l
表示平面图形
T
绕直线
l
所得旋转体体积
.
323
.
31
323323
.
答：
x?y?z??
.
3131
记直线
AC
为
l
，作
BM,DN?l
，交
l
于
E,F
，分别交CD
，
AB
于
M,N
.过
O
作
PQ?
l
，
分别交
AB,CD
于
P,Q
.由于
O
是
BD
的中点，所以
P,Q
分别是
BN,DM
的中点.由对
称
性，易见所求旋转体体积为
V?V
平行四边形ABCD?l
?2(V
?ADN?l
?V
平行四边形NPQD?l
)
.
??
由
于
AB?4，BD?23，AD?2
，易见
?ADB?90，?DBA?30
，
AO?AD
2
?DO
2
?4?3?7
，
AC?
27
.显然
?DAC??DCA??CAB
，
DF?FN
.且
DF?
2S
?ADO
AD?DO232
???21
AOAO77
，
AF?AD
2
?DF
2
?4?
12164
.从而由圆锥体积公式得
??
77
7
V
?ADN?l
?V
?ADF?l
?
1
?
12416
?
16
?
?
?DF
2
?AF?????7
?.
337
777
49
4
7
?
14?4
7
?
10
7
，又
CF?AC?AF?27?
CO?AO?
7
，
CF:CO?DF:QO
，
QO?
CO?DF2101
?7?21??21
.从而由圆锥体积公式得 <
br>CF7
7
5
?
10
7
?
214071000
?343657
?7)?7
?
(?)?7
?
??
25492
512251225
7
?
)?27
?
(
?
?
12
37
(7
?
.从而
V?2(
16657
7
?
?
491225
27
?
?)?27
?
?
?
.
49
答：所求体积为
3027
?
：
175
第13题解答过程
解：I）可设
l
：
x?my?4
，与
?
联立得
(3m?4)y?24my?36?0
. 这是
，
B（x
2
,y
2
）
，则
y
的一元二次方程，由判别式
??0
解得
m
2
?4
.
记
A（x
1
,y
1
）
22
y
1
?
y
2
?
?24m36
，.
yy?
12
22
3m?43m?4
由题设条件，
OA?OB?x
1
x
2
?
y
1
y
2
?0
，即
(my
1
?4)(m
y
2
?4)?y
1
y
2
?0
，
36?24m
?4m??16?0
，
22
3m?43m?
4
251
2
3
222
2
2
即
9(m?1)?24m?4(3m?4)?0
.得
?3m?25?0
，
m?
，
()?
，
3m25
2
得
(m
?1)y
1
y
2
?4m(y
1
?y
2
)?
16?0
，即
(m?1)?
2
?
33
?m?
. <
br>55
故
l
的斜率的取值范围为
(?
33
,)
.
55
因为
F
(1,0),所以
FA
，
FB?<
br>，从而
（x
1
?1,?y
1
）（x
2
?1
,y
2
）
1
?
?2my
1
y
2
?3(y
1
?y
2
)?2m?
36?24m?3??0
.
3m
2
?43m
2
?4
?FA
1
与
FB
共线，
即
A
1
与
F、B
三点共线.
III）假设
q?4
，过
Q(q,0)
的直线与
?
交于
A、B
，且A
关于长轴的对称点为
A
1
，如
果
A
1
、
F、B
三点共线.我们另取点
P(4,0)
.设直线
AP
与
?
交于
B
1
，那么如II）的证明，
A
1、
F、B
三点必共线.故
B
与
B
1
重合，从而
直线
AB
和
AB
1
重合，就是
AQ
与
AP
重合.所以
P
与
Q
重合，
q?4
，与假设矛盾.这
就是说，
q?4
时，三点
A
1
、
F、B
不能共线.
第14题解答过程
14.解：
1
x
n?1
1
2x
?1
11
1
2
?
n
?2x
n
?
，
2
?4x
n
?4?
2
，
x
n?1
x
n
x
n
x
n
1
2
?4(x
n
?1)
，
n?1,2,3?
.
2
x
n
2
2
x
n?1
?
2006
故
?
(
x
n?1
1
2
n?1
?
1
x
n
2
)?4
?
(x
n
?1)
，亦即
2
n?
1
2006
1
2
x
2007
2006
1
2
?
2
?4
?
x
n
?8024
，
x
1
n?1
由
x
1
?1
得
1
2
x
2007
?4
?
x
n
?8
025
. （*）
2
n?1
2006
由于
x
n?1
1
??1
，
n?1,2,3,?,
且显然
x
n
?0
，故
?
x
n
?
是
递减数列，且
2
x
n
2x
n
?1
x
2<
br>?
x
2
3
1
x???
，，
?
3<
br>2
2
2
11
2x
2
?1
2x
1?1
3
?1
9
x
1
1
3
2006故
?
x
n?1
2
n
1
2
20
06
2
1
2006
3
2
19
?1?()?
?
x
n
?1??
?
()?1???2004?151
，
39119121
n?3n?3
由（*）式得
8025?<
br>1
2
x
2007
?4?151?8025?8629
，
1111
22
，
?x
2007
?,lg?lgx
200
7
?lg
86298
3
?lg8629?2lgx
2007
??lg8025
，
?4?2lgx
2007
??3
，
?2
?lgx
2007
??
，
2
?
k?
?
l
gx
2007
?
??2
.
第15题解答过程
证明：因
为△
ABC
是锐角三角形，其三边
a,b,c
满足
a,b,c?0<
br>，以及
b?c?b,c?a?b,a?b?c,b?c?a,c?a?b,a?b?c
.
因此，由平均不等式可知
222
1
2
z
2
12
x
2
1
2
y
2
222
y
2
22
z
222
x
?(b?c?a)x(
2
?
2)?(c?a?b)y(
2
?
2
)?(a?b?c)z(
2?
2
)
222
zyxzyx
222222222
ayz
bzxcxy
2
a
2
y
2
z
2
b
2
z
2
x
2
c
2
x
2
y
2
?(??)?2(bcx
2
?cay
2
?abz
2
)
，
???
222
xyz
xyz
从而 [(b?c)
2
?a
2
]x
2
?[(c?a)
2
?b
2
]y
2
?[(a?b)
2
?c
2
]z
2
?(
亦即
ayzbzxcxy
2
??)?P
2
，
xyz
P
2
(a?b?c)S?P
，
S?
.
a?b?c
2
上式取等式当且仅当
x?y?z
，亦即
x?y?z?
222P
.因此所求的
S
的最大值为
a?b?c
P
2
P
，当
S
取最大值时，
x?y?z?
.
a?b?c
a?b?c
A
B
o
l
Q
x
A
B
o
F
A
1
l
Q
x
y
C
1
B
1
D
1
B
C
A
1
A
D
y
D
F
Q
O
N
P
M
E
B
C
A
（第13题答图） （第10题答图） （第12题答图）
2008年安徽高中数学竞赛初赛试题
一、选择题
1.若函数
y?f
?
x
?
的图象绕原点顺时针旋转
（A）
g< br>?
x
?
?f
?1
?
?x
?
（C）
g
?
x
?
??f
?1
?
?x< br>?
?
后，与函数
y?g
?
x
?
的图象重合，则（ ）
2
（B）
g
?
x
?
?f
?1
?
x
?
（D）
g
?
x
?
??f
?1
?
x
?
2.平面中，到两条相交直线的距离之和为1的点的轨迹为（ ）
（A）椭圆 （B）双曲线的一部分 （C）抛物线的一部分
3.下列4个数中与
cos1
o
?cos2
o
?
L
?cos2008
o
最接近的是 （ ）
（A）-2008 （B）-1 （C）1 （D）2008
4.四面体的6个二面角中至多可能有（ ）个钝角。
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
5.
（D）矩形
11
写成十进制循环小数的形式
?0. 000498K625498K625K
，其循环节的长度为
20082008
( )
(A)30 (B)40 (C)50 （D）60
6.设多项式
?
1?x
?
（A）127
2008
?a
0
?a
1
x?L?a
2008
x
2008，则
a
0
,a
1
,L,a
2008
中共有（ ）个是偶数。
（B）1003 （C）1005 （D）1881
二、填空题
7 .化简多项式
kmk?m
C
?
n
C
k
x
?
1?x
?
n
n?k
?
k?m
8.函数
f
?
x
?
?
3?5sin x
的值域为
5?4cosx?3sinx
a1
?a
n?1
,
?
n?2
?
，且具有最小正周 期2008，则
a
1
?
1?a
1
a< br>n?1
9.若数列
?
a
n
?
满足
a
1
?0,a
n
?
10.设非负数
a
1
,a
2
,L,a
2008
的和等于1，则
a
1
a
2
?a
2
a
3
?L?a
2007
a
2008
?a
2008
a
1
的最大值
为
11.设点A
?
1,1
?
，B、C在椭圆
x?3y?4上，当直线BC的方程为
时，
VABC
22
的面积最大。
12.平面点集
G?
?<
br>?
i,j
?
|i?1,2,L,n;j?1,2,L,n
?
，
易知
G
可被1 个三角形覆盖（即各
2
点在某个三角形的边上），
G
3
可被2个三角形覆盖，则覆盖
G
2008
需要
个三角形。
三、解答题
13.将6个形状大小相同的小球（其中红色、黄色、蓝色各2个）
随机放入3个盒子中，每
个盒子中恰好放2个小球，记
?
为盒中小于颜色相同的盒子的
个数，求
?
的分布。
14.设
a
1
?1,a
n<
br>?
?
na
n?1
?
,
?
n?2
?<
br>，其中
?
x
?
表示不超过x的最大整数。证明：无论
a
1
取
??
何正整数时，不在数列
?
a
n
?
的素数只有有限多个。
15.设圆
O
1
与圆
O
2
相交于A，B两点，圆
O
3
分别与圆
O
1
，圆
O
2
外切于C，D，直线EF分别
与圆
O
1
，圆
O<
br>2
相切于E，F，直线CE与直线DF相交于G，证明：A，B，G三点共线。
08年安徽省高中数学竞赛初赛答案
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1．D 2．D 3．B 4．A 5．C 6．D
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
7．
C
n
m
8．
?
?
?
4
?
10,10
?
?
5
?
9．
tan
k
?
，正整数<
br>k?1003
且与2008互素。
2008
10．
14
11．
x?3y?2?0
12．
1338
三、解答题（本题满分60分，每小题20分）
13．
?
?0,1,3
。 （2分）
P(
?
?3)?P(
盒①中球同色，盒②中球同色
)?111
??
。
5315
（6分）
112
P(
?
?1)?3P(
盒①中球同色，盒②中球异色
)?3??(1?)?
。
535
P(
?
?0)?1?P(
?
?3)?P(<
br>?
?1)?
8
。
15
（6分）
（6分）
14．
a
1
?1，a
2
?
?
2a
1
?1，a
3
?
??
3a
2
?1
。
?
（2分）
当
n?4
时，利用数
学归纳法，得
a
n
?
?
na
n?1
?
??
?
（5分）
n(n?3)?n?2
。
?
令
b<
br>n
?a
n
?n
，则有
?2?b
n
?
?
?
b?1
?
n(n?1?b
n?1
)?n?
?<
br>n?1
?
。
?
2
?
（5分）
当
b
n?1
??1
时，
b
n
?
?
n(n?
2)?n??1
。
?
（5分）
故当
n
充分
大时，
b
n
??2
，不在数列
{a
n
}
中
的正整数只有有限多个。 （3分）
15．以
EF
为
x
轴，O
1
E
为
y
轴，建立平面直角坐标系。设
E(0,0)
，
F(c,0)
， （1分）
⊙O
1
:x
2?(y?r
1
)
2
?r
1
2
，
（1分）
（1分）
（1分）
⊙O2
:(x?c)
2
?(y?r
2
)
2
?r2
2
，
⊙O
3
:(x?a)
2
?(y?b
)
2
?r
3
2
，
?
a
2
?(
b?r
1
)
2
?(r
1
?r
3
)
2
其中
a,b
满足
?
222
(a?c)?(b?r)?(r
?r)
223
?
于是，
AB:2cx?c?2(r
2
?r<
br>1
)y?0
，
2
①
②
（2分）
（2分）
（2分）
C:
r
3<
br>(0,r
1
)
r
1
(a,b)
r
1
(a,r
3
?b)
??
，
r
1
?r
3
r
1
?r
3
r
1
?r
3
D:r
3
(c,r
2
)
r
2
(a,b)
(
r
2
a?r
3
c,r
2
b)
??
， <
br>r
2
?r
3
r
2
?r
3
r
2
?r
3
（2分）
CE:(r
3
?b)x?ay?0
，
（2分）
（2分）
（2分）
（2分）
DF:(r
3
?b)(x?c)?(a?c)y?0
，
G:(a,r
3
?b)
。
由①－②知，点
G
的坐标满足直线
AB
的方程。
注：对于几何证法，如果无法列举所有情形，得分减半。
2010年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷
一、填空题（每小题8分，共64分）
1.函数
f(x)?2x?4x?x
2
的值域是
.
2.函数
y?
的图象与
y?e
的图象关于直线
x?y?1
对称.
3.正八面体的任意两个相邻面所成二面角的余弦值等于 .
x
x
2
y
2
??1
与双曲线
xy?1
相
切，则
t?
. 4.设椭圆
t?1t?1
5.设
z
是复数，则
|z?1|?|z?i|?|z?1|
的最小值等于
.
6.设
a
，
b
，
c
是实数，若方程
x
?ax?bx?c?0
的三个根构成公差为1的等差数列，
则
a
，
b
，
c
应满足的充分必要条件是
.
32
uuuruuuruuuruuur
7.设
O
是
?
ABC
的内心，
AB?5
，
AC?6
，
BC?7
，
OP?xOA?yOB?zOC
，
0?x,y,z?1
，动点
P的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于 .
8.从正方体的八个顶点中随机选取三点，构成直角三角形的概率是
.
二、解答题（共86分）
9.（20分）设数列
?
a
n
?
满足
a
1
?0
，
a
n
?
2<
br>2
，
n?2
.求
a
n
的通项公式.
1?a
n?1
10.（22分）求最小正整数
n
使得
n?n?24
可被2010整除.
11.（22分）已知
?ABC
的三边长度各不相等，
D
，
E
，
F
分别是
?A
，
?B
，
?C
的平
分线与边
BC
，
CA
，
AB的垂直平分线的交点.求证：
?ABC
的面积小于
?DEF
的面积. <
br>12.（22分）桌上放有
n
根火柴，甲乙二人轮流从中取走火柴.甲先取，第一次可取
走至多
n?1
根火柴，此后每人每次至少取走
1
根火柴.但是不超过对方刚才
取走火柴数目的2倍.取得最
后一根火柴者获胜.问：当
n?100
时，甲是否有获胜
策略请详细说明理由.
10年安徽省高中数学竞赛初赛答案
1.答案：
?
4?25,8
?
.
??提示：因
0?x?4
，设
x?2?2cos
?
（
0?<
br>?
?
?
），
则
y?4cos
?
?2sin
?
?4?25cos(
?
?
?
)?4
（其中
cos
?
?
为锐角），
所以当
?
?0
时，y
max
?8
，当
?
?
?
?
?
时，
y
min
?4?25
，故
y?
?
4?25,
8
?
.
1
2
，
sin
?
?
，<
br>?
5
5
??
2. 答案：
1?ln(1?x)
提示：因两函数图象关于直线
x?y?1
对称，所以
x?y?1
，
y?1?x
，
∴
1?x?e
3.
答案：
?
1?y
，解得
y?1?ln(1?x)
.
1
3
2
，∴
cos
2
?
?提示：正八面体由两个棱长都相等的正四棱锥组成，所以任意两个相邻面所成二面角是
正四棱锥侧面
与底面所成二面角
?
的两倍.∵
tan
?
?
11
，
则
?
2
1?tan
?
3
1
cos2
??2cos
2
?
?1??
.
3
4.
答案：
5
x
2
y
2
??1
知，
t?1
， 提示：由
椭圆方程
t?1t?1
?
?
x?t?1cos
?
设其参数方
程为
?
（
?
为参数）代入双曲线方程
xy?1
，得
?
?
y?t?1sin
?
sin2
?
?
2
t?1
2
.
因两曲线相切，∴
2
t?1
2
?1<
br>，故
t?5
.
5. 答案：
1?3
提示：在复平
面上，设
A(?1,0)
，
B(1,0)
，
C(0,1)
，
则当
Z
为
?ABC
的费马点时，
|z?1|?|z?i|?|z?1
|
取得最小值，最小值为
1?
32323
???1?3
.
333
a
2
a
3
a
?
.
?1
且
c?
6. 答案：
b?
273
3
提
示：设三个根为
?
?1
，
?
，
?
?1
，则
x?ax?bx?c?(x?
?
?1)(x?
?
)(x?
?
?1)
，
右边展开与左边比较得
?a?3
?
，
b
?(
?
?1)
?
?
?
(
?
?1)?(?
?1)(
?
?1)?3
?
?1
，
2
32
?
a
2
b??1
?
?
3
，这就是所求
的充要条件.
?c?(
?
?1)
?
(
?
?1)<
br>，消去
?
得
?
3
?
c?
a
?
a
?
273
?
7. 答案：
126
提示：如图
，根据向量加法的几何意义，知点
P
在图中的三个平形四边形及其内部运
动，所以动点
P
的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于等于
?ABC
面积的2倍，即
126
.
8. 答案：
6
7
3
提示：从正方体
的八个顶点中随机选取三点，共有
C
8
个三角形，其中直角三角形有
12?C
3
4
个，所求“构成直角三角形”的概率是
3
12?C
4<
br>6
.
?
3
C
8
7
9. 解：特征根法.
又
a
n
?2?
4?2a
n?1
1?a
n?1
，
a
n
?1?
，…………（10分）
1?a
n?11?a
n?1
a
n
?2a
n?1
?2
(?2)
n
?2
2
a
n?2
?2
n
?(?2)??
(?2)?
L
?(?2)
，于是
a
n
?
得.…（2
0
n
(?2)?1
a
n
?1a
n?1
?1a
n?2
?1
分）
?
n
2
?n?24?0mod2
?
n
2
?n?0mod3
?
2
?
2
?<
br>n?n?24?0mod3
2
2010|n?n?24?
?
10.
解：
?
n?n?1mod5
……（10
?
2
?
n
2
?n?43mod67
?
n?n?24?0mod5
?
?
n
2
?n?24?0mod67
?
分）
又
n?n
?0mod3?n?0
或
2mod3
，
n?n?1mod5?n?2mod5
，
22
n
2
?n?43mod67?n?10
或
56mod67
，故所求最小正整数
n?77
.…………（22
分）
11. 证明：由题设可证
A
，
B
C
，
D
，
E
，
F
六点共圆. …………（10分）
不妨设
圆半径为1，则有
S
?ABC
?
1
(sin2A?sin2B?si
n2C)
，
2
1
S
?DEF
?(sinA?sinB?si
nC)
.
2
由于
sin2A?sin2B?sin2C
∴
?ABC
的面积小于
?DEF
的面积. …………（22分）
12. 解：把所有使得甲没有有获胜策略的初始火柴数目
n
从小到大排序为：
n
1
，
n
2
，
n
3
，…，
不难
发现其前4项分别为2，3，5，8. 下面我们用数学归纳法证明：
（1）
?
n
i
?
满足
n
i?1
?n
i
?n
i?1
；
（2）当
n?n
i
时，乙总可取到最后一根火柴，并且乙
此时所取的火柴数目
?n
i?1
；
（3）当
n
i
?n?n
i?1
时，甲总可取到最后一根火柴，并且甲此时所取的火柴数目
?n
i
.
……………………………………（10分）
设
k?n?n
i
（
i?4
），注意到
n
i?2
?
当
1?
k?
当
n
i
?n
i?1
.
2
n
i
时，甲第一次时可取
k
根火柴，剩余
n
i
?2k
根火柴，乙无法获胜.
2
n
i
?k?n
i?1
时，
n
i?2
?k?n
i?1
，根据归纳假设，甲可以取到第
k
根火柴，并且甲此
2
时所取的火柴数目
?n
i?2
，剩余
n
i
?2n
i?2
根火柴，乙无法获胜.
当
k?n
i?1
时，设甲第一次时取走
m
根火柴，若
m?k
，则乙可取走所
有剩小的火柴；
若
m?k
，则根据归纳假设，乙总可以取到第
k
根火
柴，并且乙此时所取的火柴数目
?n
i?2
，
剩余
n
i?2n
i?2
根火柴，甲无法获胜.
综上可知，
n
i?1
?n
i
?n
i?1
.
因为100不在数列
?
n
i
?
，所以当
n?100
时，甲有获胜策略. …………（22分）
2011年全国高中数学联赛安徽省预赛
一、填空题（每小题8分，共64分）
1．以
X
表示集合
X
的元素个数. 若有限集合
A,B,C
满足
A?B?20
，
B?C?30
，
C?A?40
，则
A?B?C
的最大可能值为
2．设
a
是正实数. 若
f(x)?x
2
?6ax?10a
2
?x
2
?2ax?5a
2
，x?R
的最小值为<
br>10，则
a?
3．已知实
系数多项式
f(x)?x?ax?bx?cx?d
满足
f(1)?2
，
f(2)?4
，
f(3)?6
，
则
f(0)?f(4)
的
所有可能值集合为
nn
4．设展开式
(5x?
1)?a
0
?a
1
x???a
n
x，n?2011
.
432
第5题
第6题
若
a
2011
?ma
x(a
0
,a
1
,?,a
n
)
，则
n?<
br>
5．在如图所示的长方体
ABCD?EFGH中，设
P
是矩
形
EFGH
的中心，线段
AP
交
平面
BDE
于点
Q
. 若
则
PQ?
.
AB?3
，
AD?2
，
AE?1
，
6．平面上一个
半径
r
的动圆沿边长
a
的正三角形的外侧
滚动，其扫过区域的面积为
.
7．设直角坐标平面上的点
(x,y)
与复数
x?yi
一一对应.
若点
A,B
分别对应复数
z,z
（
z?R
），则直
线
AB
与
x
轴的交点对应复数
（用
z
表示）.
8．设
n
是大于4的偶数.
随机选取正
n
边形的4个顶点构造四边形，得到矩形的概率
为
.
二、解答题（第9—10题每题22分，第11—12题每题21分，共86分）
9．
已知数列
{a
n
}
满足
a
1
?a
2
?1
，
a
n
?1?
?1
a
1
???a<
br>n?2
（
n?3
），求
a
n
的通项公式.
4
1111
?????
.
a
1
a
2<
br>a
n
2
10．已知正整数
a
1
,a
2
,?,a
n
都是合数，并且两两互素，求证：
3
11．设
f(x)
?ax?bx?c
（
a,b,c
是实数），当
0?x?1
时，
0?f(x)?1
. 求
b
的最大
可能值.
12．设点
A(?1,0)，B(1,0)，C(2,0)
，
D
在双曲线
x?y?1<
br>的左支上，
D?A
，直线
CD
交双曲线
x?y?1
的
右支于点
E
. 求证：直线
AD
与
BE
的交点
P<
br>在直线
x?
22
22
1
上.
2
2011年全国高中数学联赛安徽省预赛答案
1. 10. 2. 2.
3. {32}. 4. 2413. 5.
17
. 6.
6ar?4πr
2
. 7.
4
z?z
.
1?zz
8.
3
.
(n?1)(n?3)
<
br>9．
a
n
?1?
a
1
?
L
?an?2
a
?a
n?1
?
n?2
44
a
n?1
1
?
a
?
1
?
?
an?1
?
n?2
?
?
L
?
n?1
<
br>22
?
2
?
2
?a
n
?
?2
n?1
a
n
?2
n?2
a
n?1
?1???n?
a
n
?
n
2
n?1
.
2
10．设
a
k
的最小素因子p
k
，因为
a
k
不是素数，所
以
a
k
?p
k
. 于是
?
f(0)?c
?
?
11．由
?
f(1)?a?b?c
?
ab
1<
br>f()???c
3
?
333
?
可知
f(x)?3
2
3
(x?x
3
)
满足题设，
b
的
最大可能值为
3
2
3
.
12．设
D(x
1
,y
1
)，E(x
2
,y
2
)，P(x,y)
，
直线
CD
的方程
y?k(x?2)
，则
x
2
?k
2
(x?2)
2
?1
，所以 <
br>?4k
2
1?4k
2
5
x
1
?x
2
?，xx????1?(x
1
?x
2
)
，
①
12
22
1?k1?k4
y
1
y
(x?1)?y?
2
(x?1)
，
x
1
?1x
2
?1
所以
y
2
y
?
1
x?1x
1
?1
x?
2
?
y
2
y
1
?
x
2
?1x
1
?1
把①代入上式，得
x?
1
.
2
x
2?2x
1
?2
?
x
2
?1x
1
?12
x
1
x
2
?3x
1
?x
2
。
?
x
2
?2x
1
?2
3x?x?4
21
?<
br>x
2
?1x
1
?1
2013年全国高中数学联赛安徽赛区初赛
试卷
一．填空题（每题8分，共64分）
1.函数
f(x)?
|
x
+1|+|
x
-1|+
4-x
2
的值域是
2.方程sin（2013兀x）=
x
2013
的实数根为
3.化简sin
12
?
sin
48
?
sin
54
?
= （用数字作答）
4.设数列{
a
n
}满足
a
1
?a
2
?1
，
a
n
?3a
n?1
?a
n?2
(n?3)
,则
a
2013
?
?
?
2
?
AP?(AB?AC)
5
5.设ΔABC的外接圆圆心P满足，则
cos?
BAC
=
z?1
y
6.设复数z=x+yi满足的实部和虚部
之比为
3
，其中i是虚数单位，x,y
?R
，则的
z?1
x
最大值为
7.设
1?x?x
?
2
150
?
=
?
cx
k
k?0
300
k，其中
c
0
,...,c
300
是常数，则
?
c
k?0
300
3k
=
8.随机选取正11边形的3个不同顶点，它们构成锐角三角形的概率为
二．解答题（第9-10每题21分，第11-12题每题22分，共86分）
9.设正三棱锥的底面边长为1，侧面长为2，求其体积和内切球的半径.
10.求所有函数
f:R?R
，使得对任意的x,y都有
ab?bc?c<
br>2
11.设a,b,c是不全为0的实数，求F=
2
的取值范围，a,b,c分
别满足什么条
a?2b
2
?3c
2
件时，F取最大值和最小值 2
（1?a
n?1
）
a
1
?1,a
2
?2,a
n
?(n?3)
12.设数列{
a
n
}满足
a
n?2
（1）求数列{
a
n
}的通项公式；
（
2）求证：对任意的正整数k,
a
2k?1
和
a
2k
都是整
数.
2
2013安徽高中数学竞赛初赛试题答案
2014年全国高中数学联赛安徽省初赛试卷
一、填空题（每题8分，共64分）
x
2
?2x?3
(x?R)
的值域是_______________.
1. 函数
y?
2
x?4x?5
2. 函数
y?tan(2013x
)?tan(2014x)?tan(2015x)
在
[0,
?
]
中
的零点个数是__________．
3. 设定点
A(2,1)
，动点
B
在
x
轴上，动点
C
在直线
y?x
上，则
?
ABC
的周长的最小值是
________．
4. 设
P
2k?
1
是
P
1
的对称点，
P
2k?2
是
P2k?1
关于
P
2
的对称
1
,P
2
是
平面上两点，
P
2k
关于
P
*
点,
k?N
．若
|PP
12
|?1
，则
|P
2013
P
2014
|?
__________．
5.
已知四面体
ABCD
的侧面展开图如下图所示，则其体积是__________．
6. 设复数
z
满足
|z?
1
|?2
，则
|z|
的取值范围是_______________．
z
7. 设动点
P
(t,0),Q(1,t)
，其中参数
t?[0,1]
，则线段
PQ
扫过的平面区域的面积是
_____________．
8.
从正12边形的顶点中取出4个顶点，它们两两不相邻的概率是___________．
二、解答题（第9—10题每题21分，第11—12题22分，共86分）
9. 已知正
实数
x,y,z
满足
x?y?z?1
．求证：
z?yx?zy?x<
br>???0
．
x?2yy?2zz?2x
2
a
n
?3
10. 设数列{a
n
}
满足
a
1
?1,a
n?1
?
,n?1
．求证：
2a
n
（1）
当
n?2
时，
a
n
严格单调递减．（2） 当
n?1
时，
|a
n?1
?3|?23
r
2
n
1?r2
n
，这里
r?2?3
．
11.
已知平面凸四边形
ABCD
的面积为1．求证：
|AB|?|AC|?|AD|?|BC|?|BD|?|CD|?4?22
．
12. 求证：（1）方程
x?x?1?0
恰有一个实根
?
，并且<
br>?
是无理数；
（2）
?
不是任何整数系数二次方程
ax?
bx?c?0(a,b,c?Z,a?0)
的根．
2
3
2014年全国高中数学联赛安徽省初赛试卷答案
2015全国高中数学联赛安徽省初赛试卷
（考试时间：2015年7月4日上午9:00—11:30）
一、填空题（每题8分，共64分）
1.
函数
f(x)?x?1?x?3?e
?x
，x?R
的最小值是
．
2. 设
x
1
?1，x
n
?
x
n?1
?1
，n?2
．数列
{x
n
}
的通项公式是
x
n
?
．
2x
n?1
?4
3. 设平面向量
?
,
?
满足
1?|
?
|,|
?
|,|
?
?
?|?3
，则
?
?
?
的取值范围是
．
4. 设
f(x)
是定义域为
R
的具有周期
2
?<
br>的奇函数，并且
f(3)?f(4)?0
，则
f(x)
在
[0
,10]
中至少有 个零点．
5. 设
a
为实数，且关于
x
的方程
(a?cosx)(a?sinx)?1
有实根，则
a
的
取值范围
是 .
6.
给定定点
P(0,1)
，动点
Q
满足线段
PQ
的垂直平分线
与抛物线
y?x
2
相切，则
Q
的轨迹方程是
．
7. 设
z?x?yi
为复数，其中
x,y
是实数，
i
是虚数单位，其满足
z
的虚部和
z?i
1?z
的实部均非负
，则满足条件的复平面上的点集
(x,y)
所构成区域的面积是
．
8. 设
n
是正整数．把男女乒乓球选手各
3n
人配成男双、女
双、混双各
n
对，每
位选手均不兼项，则配对方式总数是
．
二、解答题（第9题20分，第10━12题22分，共86分）
9.
设正实
数
a,b
满足
a?b?1
．求证：
a?
2
11?b
2
??3
．
ab
10.
在如图所示的
多面体
ABCDEF
中，已知
AD,BE,CF
都与平面
ABC垂直．设
AD?a，BE?b，CF?c
，
AB?AC?BC?1
．求四
面体
ABCE
与
BDEF
公
共部分的体积（用
a,b,c<
br>表示）．
11.
设平面四边形
ABCD
的四边长分别为4
个连续的正整数。证明：四边形
ABCD
的面积的最大值不是整数。
12.
已知31位学生参加了某次考试，考试共有10道题，每位学生解出了至少6
道题．求证：存在
两位学生，他们解出的题目中至少有5道相同．
2015全国高中数学联赛安徽省初赛试卷答案
一、填空题（每题8分，共64分）
(
x
)??2?e
?
x
?0
,
因此
f
(
x
)
单1. 当
x
??3
时，<
br>f
(
x
)??2
x
?4?e
?
x
,
f
?
f
(
x
)?2?e
?
x
,<
br>
f
?
(
x
)??e
?
x
?0，调减；当
?3?
x
??1
时，此时
f(x)
(
x
)?2?e
?
x
. 令亦单调减；当
x??1
时，f
(
x
)?2
x
?4?e
?
x
，f
?
f
?
(
x
)?0
得
x
?
?ln2.
因此
f(x)
在
x
??ln2
处取得最小值6-2ln2．
2. 设
u?a?cosx，v?a?sinx
．方程有实根
?
双曲
线
uv?1
与圆
(u?a)
2
?(v?a)
2
?1
有公共交点. 注意到圆的圆心位于直线
y
?
x
之上，只
须找到圆与双曲线相切时圆心的位置即可. 易计算得，圆与双曲线切于
A(1,1)点时 ，圆心坐标为
1?
点时，圆心坐标为
?1?
22
或
1?22
.圆与双曲线切于B(-1,-1)
22
.
22
或
?1?
??
22
?
22
?
,?1?,1?
因此，a的取值 范围为
a
?
?
?1?
?
?
?
1?
?
．
2222
????
????
3. 由
x
n< br>?1?3
x
n?1
?1
2x?1
和
2x
n< br>?1?2
n?1
，可得
2x
n?1
?4
2x
n?1
?4
n?2
x
n
?1
3
x
n?1< br>?1
?
3
?
??
??
2x
n
?12 2x
n?1
?1
?
2
?
2
n?2
?3n?2
4. 故
x
n
?
．
2?3
n?2
?2
n?2
5.
?
?
?
?
．
1
22
?
?
?
?
?
?
?
2
1
2
?
?
?
?
?
?
?
4
?
2
?917
?
?
1?9
??
．
22
?
?
?
?< br>?
2
?
?
9
．
4
?
179
?
6.
以上等号均可取到．故
??
?
的取值范围是
?
?,
?
．
?
24
?
7. 由题设可知
f
(
?
?x
)?
f
(?
?
?
x
)??
f
(
?
?
x
)
。令x=0得
f(
?
)?0
。 另
一方面，
f
(2
?
?4)?
f
(? 4)??
f
(4)?0.
类似地，
f(2
?
-3)?0
因此，
f(x)
在
[0,10]
中的零点一定包含
0,2π?4,3,π,2π?3,4,2π,4π?4,2π ?3,3π,4π?3
这11个零点．
2
t
)
. 则
l
的方8. 设
PQ
的垂直平分线
l
与抛物线
y ?x
2
相切于
(t,t
2
)
，切向为
(1,
程为
y?2t(x?t)?t
2
．设
Q(x,y)
，由
P Q
与
l
垂直且
PQ
中点在
l
上，可得
?
x?2t(y?1)?0①
?
1
．
2
?
2
(y?1)?tx?t②
由
①
解得
t?x
，代入
②
得
Q
的轨迹方程为
2?2y
?< br>1
?
(2y?1)x
2
?2(y?1)(y?1)
2
?0
，
y?
?
?1,
?
．
2
??
9.
Re
z
?i
x
?(
y
?1)i
x
(1?
x
)?(
y
?1)
y
?Re??0
等价于
22
1?
z
1?
x
?
y
i
(1?
x
)?
y
2
1
2
(
x
?
1
)?(
y
?)?
2
2
1
2
. 又由于
y
?0
，故满足条件的点集构成了圆的<
br>一部分，计算得其
面积为
3
?
?2
．
8
8. 从3n名男选手中选取2n人作为男双选手有
C
3
2n
n
种选法，把他们配成n对男
双选手有
(2n)!
种配对方式
。女选手类似。把n个男选手和n个女选手配成n对
n
2n!
2
(3n)!<
br>?
n
n!
?
混双有n!种配对方式。因此，配对方式总数是
?
C
3
2
n
n
C
2
．
n!??
n
n32n
2
?
(n!)2
?
二、
解答题（第9题20分，第10━12题每题22分，共86分）
1)
，由均值不等式有
9. 证明：对任意
a
?(0,
4
a
?
1
a
?24
a
?
1
a
?4.
----------------------------------（5分）
因此，
a
2
?
11
?a
2
?4a?4a??a
2
?4a?4?2?a
．------------（15分）
aa
1)，
b
2
?
同理，对于任意
b
?(0,
1
b
?2?
b
.
因此，
a
2
?
11
?b
2
??2?a?2?b?3
．-----------------
----（20分）
ab
10. 设
AE?BD?G，BF?CE?H
，则
四面体
BEGH
是
ABCE
与
BDEF
的公共
部分
．
--------------------------------------------
---------（5分）
易计算得：
G
到直线
AB
的距离d
1
?
ab
，
a?b
---------------
------------------（10分）
G
到平面
BCFE
的距
离
d
2
?
3d
1
，
2a
-------
-----------------------------------（15分）
H
到直线
BC
的距离
d
3
?
分）
因此，
V
BEGH
?
分）
b
?
d
3
bc
，
S
?
BEH
?
．----------
------（20
2
b?c
S
?
BEH
d
23
3
b
3
．---------------------（22
?
12(
a
?
b
)(
b
?
c
)
11. 不妨设
ABCD
是凸四边形，其面积为S．记
a?AB，b?BC，
c?CD，d?DA
。由
12.
S
?
AC
2
1
1
ab
sin
B
?
cd
sin
D
，
22
?
a
2
?
b
2
?2
ab
c
os
B
?
c
2
?
d
2
?2
cd<
br>cos
D
，
可得
2
S
?
ab
s
in
B
?
cd
sin
D
，
(
a
2
?
b
2
?
c
2
?
d
2
)
2?
ab
cos
B
?
cd
cos
D
（8分
）
两遍平方和得
等号成立当且仅当
B?D?
?
，即
A,
B,C,D
四点共圆--------------------
（16分）
(
n
?1).
由此 现根据假设
a
,
b<
br>,
c
,
d
为四个连续整数
n
,
n
?
1,
n
?2,
n
?3
，--------------
S
?
n
(
n
?1)(
n
?2)(
n
?3)
. 显然
n
2
?3
n
?
S?
n
2
?3
n
?1.
因此，
S不是整数。-
--------------------------------------------------
-（22
分）
13. 证明：设
S
是所有试题的集合，
S
i
是第
i
位学生解出的试题的集合，
T
i
?SS
i
．题目即证存在
i?j
使得
S
i
?S
j
?
5
．--------------------------------（5分）
3?120
个三元子集，每个
T
i
恰包含4不妨设
S
i<
br>?6， T
i
?4，?i
．
S
共有
C
1
0
个三元子集．因此，存在
i?j
使得
T
i
,T
j
包含相同的三元子集，
T
i
?T
j
?3
．---（
15分）从而，
S
i
?S
j
?S
i
?S
j
?S
i
?S
j
?2?T
i
?T
j
?5
．-----------------（22分）
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