高中数学凤凰新学案选修2-2电子稿-高中数学球的体积表面积公式
千人桥中学2017-2018学年度第一学期期末考试
高二数学(文)试卷
(总分:150分 时间:120分钟)
一.选择题(本大题共10小题,每小题5分,共
50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是
符合要求的,请你将符合要求的项的序号填在括号内)
1.
以边长为1的正方形一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体的体
积为 (
)
(A).
?
(B).
?
(C).
?
?
?
?
(D).
?
?
?
2.如图所示为一平面图形的直观图,则此平面图形可能是( )
3.中心角为
?
,面积为
S
的扇形围成一个圆锥,若圆锥的全面积为S
?
,则
S:S
?
?
( )
(A).1∶2 (B).2∶3 (C).3∶4
(D).3∶8
4.
已知直线
xy
??1
过点
(2,1)
,则该直线的斜率为(
)
a2
(B).
?
(A).
?2
1
2
(C).
1
2
(D).2
5.
圆心在
y
轴上,半径为1,且过点
(1,?1)
的圆的方程为( )
(A).
x?(y?1)?1
(B).
x?(y?1)?1
(C).
(x?1)?(y?1)?1
(D).
x?(y?2)?1
6.
“
lna?lnb
”是“
a?b
”的( )
(A).充分必要条件 (B).充分而不必要条件
(C).必要而不充分条件 (D).既不充分也不必要条件
7.已知直线
l?
平面
?
,直线
m?
平面
?
,下列四个
命题中正确的是( )
(1)
?
?
?l?m
(2)
?
?
?
?lm
(3)
lm?
?
?
?
(4)
l?m?
?
?
(A).(1)与(2)
(B).(3)与(4) (C).(2)与(4) (D).(1)与(3)
2222
2222
- 1 - 10
x
2
y
2
8. 设椭圆
C:
2?
2
?1(a?b?0)
的左、右焦点分别为
F
1
、<
br>F
2
,
P
是
C
上的点,
PF
2⊥
ab
F
1
F
2
,
PF
1
?
3PF
2
,则
C
的离心率为( )
(A).
3
22
1
(B).
(C). (D).
3
24
3
9.
一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示,则这个几何体的体积是( )
5
2
3
(C).
2
(D).
2
(A).
3
(B).
x
2
2
22
10. 已知双曲线
C
1
:<
br>?y?1
,圆
C
2
:
x?y?1
.若存在过点
P
的直线与
C
1
、
C
2
都有
2
公共点,则称
P
为曲线
C
1
与
C
2
的“串
点”.以下不是曲线
C
1
与
C
2
的“串点”的为 (
)
(A).
(0,2)
(B).
(0,2)
第Ⅱ卷
二.填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分,请你将正确的答案填在空格处)
11. 关于函数
f(x)
的命题“
?x
1
,x
2
?R
,若
x
1
?x
2
,有
f(x
1
)?f(x
2
)
”的否定 ;
12.
直线
y?2x?3
被圆
x
2
(C).
(1,1)
(D).
(0,0)
?y
2
?6x?2y?6?0
所截得的弦长等于________ ;
13.
命题“
?x?R
,使得
x?2x?a?0
”成立的充要条件是
;
14.
若双曲线过点
(22,2)
,且渐近线方程是
y??
为 ;
15. 如图所示,E、F分别是边长为1的正方形SD
1
DD
2
边
D
1
D、DD
2
的中点,沿SE,SF,EF将其折成
S
D
2
一个几何体,使D
1
,D,D
2
重合,记作D.给出下列命题:
2
2
x
,则这条双曲线的标准方程
2
- 2 - 10
F
D
1
E
D
①SD⊥平面DEF; ②点S到平面DEF的距离为
5
;
2
③DF⊥SE; ④该几何体的体积为
其中正确的有
1
,
12
三.解答题(本大题共6
小题,共75分.请你注意解答本题时,一定要详细地写出文字说明、证
明过程及演算步骤等)
16.(本大题满分12分)
y
2
2
?1
的离心率大于<
br>2
,命题
P
:双曲线
x?
命题
Q
:关于x
的不等式
mx?4x?m?0
在
m
2
x?R
上恒成立.若
(?P)?Q
为真命题,求实数
m
的取值范围.
17.(本大题满分12分)
已知点
A(?2,0)
与点
B(2,
0)
,
P
是动点,且直线
AP
与
BP
的斜率之积等
于
(Ⅰ)求动点
P
的轨迹方程;
(Ⅱ)点
O
为原点,当
OP?
-
3 - 10
3
.
4
23
时,求第二象限点
P
的坐标.
2
18.(本大题满分12分)
如图,点
A(0,3)
,直线
l:x
?2y?4?0
,设圆
C
的半径为1, 圆心在
l
上.
(
Ⅰ)若圆心
C
也在直线
x?y?1?0
上,过点
A
作圆C
的切线,求切线方程;
(Ⅱ)若圆
C
上存在点
M
,
使
MA?MO
,求圆心
C
的横坐标
a
的取值范围.
x
x
y
A
x
C
x
l
19.(本大题满分13分)
如图,四棱锥
P?ABCD
中,
?ABC??BAD?90,
BC?2AD,
E
为棱
BC
中
点,
o
x
x
M
x
O
x
第18题图
P
?PAB与?PAD
都是边长为
2
的等边三角形.
(Ⅰ)证明:
AE
∥平面
PCD
(Ⅱ)证明:
CD?
平面
PBD
(Ⅲ)求点
A
到平面
PCD
的距离.
- 4 - 10
D
C
A
O
E
B
第19题图
20.(本大题满分13分)
已知抛物线
C:x
2
?2py
与直线
y?2x?1
相切
(Ⅰ)求抛物线
C
的方程.
(Ⅱ) 过点
(0,1)
作直
线交抛物线
C
于
A,B
两点.若直线
AO,BO
分别交直线
l:y?2
于
M,N
两点,求
MN
的取值范围.
21.(本大题满分13分) 在平面直角坐标系
xOy
中,已知椭圆
C
的中心在原点
O
,焦点在
x
轴上,短轴长为
2
,离心
率为
2
.
2
(Ⅰ)求椭圆
C
的方程;
(II) 直线
l:y?k
x?b(b?0)
与椭圆交于
A,B
两点,
E
为线段
AB<
br>的中点,射线
OE
交椭
uuuruuur
圆
C
于点<
br>P
,若
OP?2OE
,求
?AOB
的面积.
- 5
- 10
文数答案
1~10 BCBBA BDADA
11.
?x
1
,x
2
?R
,若
x
1
?x
2
,有
f(x
1
)?f(x
2
)
;
x
2
y
2
165
??1
;15.
①③ 12. 13.
?
aa?1
?
;14.
5
42
16.解:
P真?m?1
………………………………3分
∴
P假?m?1
………………………………5分
又
Q?m??2
………………………………8分
若
(?P)?Q
为真命题,则
?P
真且
Q
真,即
P
假且
Q
真
…………………………9分
∴
(?P)?Q?
?
?
m?1
?m??2
?
m??2
∴所求实数
m
的取值范围为
(??,?2)
………………………………12分
17.(I)解:
设点
P
的坐标为
(x,y)
x
2
y
2
y?0y?03
?1
.
由题意得
??
,化简得
?
43
x?2x?24
x
2
y
2
??1
?
x??2
?
(没写
x??2
不扣分) …………6分 故动点
P
的轨迹方程为43
(II)∵
OP?x
2
?y
2
?
2323
22
,故
x?y?
………① ………………8分
2
4
x
2
y
2
??1
………②
………………9分 又由(I)知
43
?
x??5
?
x<
br>2
?5
??
由①②得
?
2
3
?
?<
br>, ………………11分
3<
br>?
y?
?
y??
?4
?2
?
3
?<
br>又点
P
在第二象限内
∴点
P
的坐标为
?
?5,
?
??
………………12分
2
??
18解(Ⅰ)由
?
?
x?2y
?4?0
得圆心
C(2,3)
……………………………1分
?
x?y?1?0
- 6 - 10
∴圆
C
的方程为
(x?2)?(y?3)?1
……………………………2分
故切线斜率存在,可设切线方程为
y?kx?3
,即<
br>kx?y?3?0
22
∴圆心
C
到直线
l
的距离
2k?3?3
k
2
?1
?1
,故
k??3
………………………………5分
3
∴切线方程为
y??
3
x?3
………………………………6分
3
2
a?4
2
)?1
,
M(x,y)
<
br>2
3
则由
MA?MO
得
x
2
?(y?3)<
br>2
?x
2
?y
2
,即
y?
…………………8分
2
3a?4
2
3a?4
22
∴
(x?a)?(?)?1
,即有
(x?a)
2
?1?(?)?0
…………10分
2222
(Ⅱ)可设圆
C
的方程为
(x?a)?(
y?
∴
OA?OB?OD
,即
?3?a?1
∴所求圆心<
br>C
的横坐标
a
的取值范围为
?
?3,1
?
……………………………12分
a?4
2
)?1
,
M(x,y)
2
3<
br>则由
MA?MO
得
x
2
?(y?3)
2
?x
2
?y
2
,即
y?
…………………8分
2
3
∴点
M
在直线
y?
上
2
3
∴圆
C
与直线
y?
有公共点
………………………10分
2
另解:可设圆
C
的方程为
(x?a)
?(y?
2
∴圆心到此直线的距离
a?43
??1
,故
?3
?a?1
22
∴所求圆心
C
的纵坐标
a
的取值范
围为
?
?3,1
?
………………………12分
19(Ⅰ)证明:∵
?ABC??BAD?90,
∴
AD
∥
BC
又
BC?2AD,
∴
ABED
,
AECD
为平行四边形
∴
AE
∥
CD
又
AE?
平面
PCD
∴
AE
∥平面
PCD
………………………………4分
(Ⅱ)证明:连接
BD
交
AE
于<
br>O
,连接
OP
,由(Ⅰ)知
ABED
为平行四边形
又
?PAB与?PAD
都是边长为
2
的等边三角形,
?ABC??B
AD?90,
∴
ABED
为正方形,故
AE
⊥
BD
①
…………………………6分
o
o
- 7 - 10
∵<
br>?PAB与?PAD
都是边长为
2
的等边三角
形
∴
PA?PB?PD
,
OP?BD
又
ABED
为正方形,
OA?OB?OD
∴△
POA
≌△
POB
≌△
POC
即有
?POA?90
,故
AE
⊥
OP
②
…………………………8分
由①②得
AE
⊥平面
PBD
又由(Ⅰ)知
AE
∥
CD
,故
CD
⊥平面
PBD
………………………………9分
(
Ⅲ)由(Ⅱ)知点
P
到底面
ABCD
的垂线即为
PO?
又△
ACD
中,
S
?ACD
?
∴
V
A?PCD
?V
P?ACD
?
o
2
2
?(2)
2?2
1
?2?2?2
2
122
S
?ACD
?PO?
33
o<
br>由(Ⅱ)知
CD
⊥平面
PBD
,故
?PDC?90
,
CD?AE?22
∴△
A
中,
S
?PCD
?
1
?22?2?22
2
122
S
?PCD
?h?
,故
h?1
………13分
33
设求点
A
到平面
PCD
的距离为
h
,则
V
A?PCD
?
另解:由(Ⅰ)知
AE
∥
平面
PCD
,即求点
O
到平面
PCD
的距离
又由
CD
⊥平面
PBD
,故
PCD
⊥平面
PBD
即求△
POD
中点
O
到边
PD
的高,即为1
- 8 - 10
?
?
x
2
?2py<
br>2
20解(Ⅰ)由
?
得
x?4px?2p?0
………………………………2分
?
?
y?2x?1
∵抛物线
C:x
2
2
?2py
与直线
y?2x?1
相切
1
或
0
(舍) …………………………………4分 <
br>2
∴
??16p?8p?0
,故
p?
∴抛物线
C的方程
x
2
?y
.
…………………………………5分
(Ⅱ)由已知直线
AB
斜率存在,设为
k
,即方程为
y?kx?1
?
?
x
2
?y
22
2
由
?
得
x?kx?1?0
,设
A(
x
1
,x
1
),B(x
2
,x
2
)
,
?
?
y?kx?1
则有
x
1
?x
2
?k,x
1
x
2
??1
………………………………………7分
又直线
AO,BO
方程分别为
y?x
1
x
,
y?x
2
x
,与直线
l:y?2<
br>联立,
得
x
M
?
x?x
22
22
,
x
N
?
,故
x
M
?x
N
???
2
12
………………………9分
x
1
x
2x
1
x
2
x
1
x
2
2
又x
1
?x
2
?(x
1
?x
2
)?4x
1
x
2
?k
2
?4
…………………………………10分
MN?x
M
?x
N
?2k
2
?4?4
∴
MN
的取值范围为
[4,??)
……………………………………13分
x
2
y
2
21解:(Ⅰ)由
已知可设椭圆标准方程为
2
?
2
?1
?
a?b?0
?
,半焦距为
c
………1分
ab
∴
2b?2
,
e?
c2
?
,故得
a?2,b?c?1
a2
x
2
?y
2
?1
…………………………3分 ∴椭圆
C
的方程
2
?
y?kx?b?
222
(1?2k)x?4kbx?2(b?1)?0
……………………………4分 (II) 由
?
x
2
得
2
?
?y?1
?2
4kb2(b
2
?1)
,x
1
x
2
?
设
A(x
1
,y
1
),B(x<
br>2
,y
2
)
,则
x
1
?x
2
??
1?2k
2
1?2k
2
- 9 - 10
p>
故
y
1
?y
2
?k(x
1
?x
2
)?2b?
2b
………………………………7分
1?2k
2
x
1
?x
2<
br>?
x?
?
?
E
2
∵
E
为线段
AB
的中点 ∴
?
y?y
2
?
y?<
br>1
E
?
?2
2
uuuruuur
?
x
P
?x
1
?x
2
x
P
2
?y
P
?1
若
OP?2OE
,则
?
,由点
P
在
椭圆上得
2
?
y
P
?y
1
?y
2
8k
2
b
2
4b
2
??1
,即有
1?2k
2
?4b
2
…………………………10分 ∴
2
222
(1?2k)(1?2k)
又
AB?1?k
2
221?2k<
br>2
?b
2
6
2
(x
1
?x
2
)?4x
1
x
2
?1?k
?1?k
1?2k<
br>2
2b
22
点
O
到边
AB
的距离
h
?
0?0?b
1?k
2
?
b
1?k
2
∴
S
?OAB
?
16
AB?h?
…………………………………………13分
24
- 10 - 10