安徽省高考数学试卷(理科)及解析

安徽省高考数学试卷（理科）


一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求
1．（5分）（2013?安徽）设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若，则z=（ ）


1+i
A．B． 1﹣i C． ﹣1+i D． ﹣1﹣i

2．（5分）（2013?安徽）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果中（ ）


A．

B．

C．

D．


3．（5分）（2013?安徽）在下列命题中，不是公理的是（ ）

A．平行于同一个平面的两个平面平行

过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面 B．

如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所以点都在此平面内 C．

D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

4．（5分）（2013?安徽）“a≤0”是”函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区 间（0，+∞）内单调递增”的（ ）

A．充分不必要条件 B． 必要不充分条件

充分必要条 C．D． 既不充分也不必要条件

5．（5分）（ 2013?安徽）某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生< br>在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为 88，93，93，88，
93，下列说法正确的是（ ）

A．这种抽样方法是一种分层抽样

这种抽样方法是一种系统抽样 B．

这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 C．

D．该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数

6．（5分）（2013?安徽） 已知一元二次不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣1或x＞}，则f（10）＞0的解集为（ ）

A．{x|x＜﹣1或x＞﹣lg2} B． {x|＜﹣1＜x＜﹣lg2} C． {x|x＞﹣lg2} D． {x|x＜﹣lg2}

7．（5分）（2013?安徽）在极坐标系中圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ）

A．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=2 B．
θ=（ρ∈R）和ρcosθ=2

C．
θ=（ρ∈R）和ρcosθ=1
D． θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=1
x

8．（5分）（2013?安徽）函数y=f（x） 的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n（n≥2）个不同的数x
1
，x
2，…，
x
n
，使得=…=，则n的取值范围是（ ）

A．{3，4}


B． {2，3，4} C． {3，4，5} D． {2，3}
9．（5分）（2013?安徽）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足 ==2，则点
集{P|

A．


，
B．

3
，λ、μ∈R}所表示的区域面积是（ ）
C．
2

D．

10．（5分）（2013?安徽）若函数f（x）= x+ax+bx+c有极值点x
1
，x
2
，且f（x
1
）= x
1
，则关于x 的方程3（f（x））
2
+2af（x）+b=0的不同实根个数是（ ）


3 4 5 6
A．B． C． D．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡上
11．（5分）（2013?安徽）若的展开式中x的系数为7，则实数a= _________ ．
4

12．（5分）（2013?安徽）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分 别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角
C= _________ ．

13．（5分）（2013?安徽）已知直线y=a交抛物线y=x于A，B两点，若该抛 物线上存在点C，使得∠ACB为直角，
则a的取值范围为 _________ ．
< br>14．（5分）（2013?安徽）如图，互不相同的点A
1
，A
2
， …，A
n
，…和B
1
，B
2
，…，B
n
， …分别在角O的两条边上，
所有A
n
B
n
相互平行，且所有梯形A< br>n
B
n
B
n+1
A
n+1
的面积均相等，设 OA
n
=a
n
，若a
1
=1，a
2
=2， 则数列{a
n
}的通项公式
是 _________ ．
2

15．（5分）（2013?安徽）如图，正方体 ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为1 ，P为BC的中点，Q为线段CC
1
上的动点，
过点A，P，Q的平面截该正方体所得 的截面记为S，则下列命题正确的是 _________ （写出所有正确命题的编
号）．
①当0＜CQ＜时，S为四边形
②当CQ=时，S为等腰梯形
③当CQ=时，S与 C
1
D
1
的交点R满足C
1
R=
④当＜CQ＜1时，S为六边形
⑤当CQ=1时，S的面积为．


三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算骤
16． （12分）（2013?安徽）已知函数f（x）=4cosωx?sin（ωx+
（1）求ω的值；
（2）讨论f（x）在区间[0，

17．（12分）（2013?安徽）设函数f （x）=ax﹣（1+a）x，其中a＞0，区间I={x|f （x）＞0}
（Ⅰ）求I的长度（注：区间（a，β）的长度定义为β﹣α）；
（Ⅱ）给定常数k∈（0，1），当1﹣k≤a≤1+k时，求I长度的最小值．

18．（12分）（2013?安徽）设椭圆E：的焦点在x轴上
22
）（ω＞0）的最小正周期为π．
]上的单调性．
（1）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；
（2）设F
1
，F
2
分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F
2
P交y轴于点 Q，并且F
1
P⊥F
1
Q，
证明：当a变化时，点P在某定直线上．

19．（13分）（2013?安徽）如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，其母线与底面 所成的角为22.5°，AB和CD是底
面圆O上的两条平行的弦，轴OP与平面PCD所成的角为60 °，
（1）证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；
（2）求cos∠COD．

20．（13分）（2013?安徽）设函数f
n
（x）=﹣1+x+），证明： < br>（1）对每个n∈N
+
，存在唯一的x
n
，满足f
n
（x
n
）=0；
（2）对于任意p∈N
+
，由（1）中x
n
构成数列{x
n
}满足0＜x
n
﹣x
n+p
＜．

21．（13分）（2013?安徽）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同 的心理测试活动，分别由李老师和
张老师负责，已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加 （n和k都是固定的正整数），假设李老师和
张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k 位学生，且所发信息都能收到，记该系收到李老师或张
老师所发活动通知信息的学生人数为X．
（I）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；
（II）求使P（X=m）取得最大值的整数m．

2013年安徽省高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析


一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求
1．（5分）（2013?安徽）设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若，则z=（ ）


1+i
A．B． 1﹣i C． ﹣1+i D． ﹣1﹣i

考点： 复数代数形式的混合运算；复数相等的充要条件．
专题： 计算题．
分析：
设出复数z=a+bi（a，b∈R），代入后整理，利用复数相等的条件列关于a， b的方程组求解a，
b，则复数z可求．
解答：
解：设z=a+bi（a，b∈R），则，
由，得（a+bi）（a﹣bi）i=2（a+bi），
22
整理得2+（a+b）i=2a+2bi．
则，解得．
所以z=1+i．
故选A．
点评： 本题考查了复数代数形式的混合运算，考查了 复数相等的条件，两个复数相等，当且仅当是不等于实部，
虚部等于虚部，是基础题．

2．（5分）（2013?安徽）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果中（ ）


A．

B．

C．

D．


考点： 程序框图．
专题： 图表型．
分析：
分析程序中各变量、各语句的作用，分析可知：该程序的作用是计算并输出S=++的值，并输出．
解答： 解：分析程序中各变量、各语句的作用，
再根据流程图所示的顺序，可知：
该程序的作用是计算并输出S=++的值

∵S=++=．
故选D．
点评： 根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是 算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程
图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即 要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与
运算的数据比较多，也可使用表格对数据进 行分析管理）?②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选
择恰当的数学模型③解模．

3．（5分）（2013?安徽）在下列命题中，不是公理的是（ ）

A．平行于同一个平面的两个平面平行

过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面 B．

如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所以点都在此平面内 C．

D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

考点： 平面的基本性质及推论．
专题： 规律型．
分析： 根据公理 的定义解答即可．经过人类长期反复的实践检验是真实的，不需要由其他判断加以证明的命题和
原理就是 公理．
解答： 解：B，C，D经过人类长期反复的实践检验是真实的，不需要由其他判断加以证明的命题和原理故是公理；
而A平行于同一个平面的两个平面平行是定理不是公理．
故选A．
点评： 本题考查了公理的意义，比较简单．

4．（5分）（2013?安徽）“a≤0”是”函 数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增”的（ ）

A．充分不必要条件 B． 必要不充分条件

充分必要条 C．D． 既不充分也不必要条件

考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 先看当“a≤0”时，去掉绝对值，结合二次函数的图象求出函数f（x ）=|（ax﹣1）x|是否在在区间（0，+∞）
内单调递增；再反过来当函数f（x）=|（ax﹣ 1）x|在区间（0，+∞）内单调递增时，a≤0是否成立即可．
解答： 解：当“a≤0”时，x∈（0，+∞）
f（x）=|（ax﹣1）x|=﹣a（x﹣）x，结合二次函数图象可知
函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增．
若a＞0，如取a=1 ，则函数f（x）=|（ax﹣1）x|=|（x﹣1）x|，当x∈（0，+∞）时
f（x）=，如图所示，它在区间（0，+∞）内有增有减，
从而得到函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增得出a≤0．
”a≤0”是”函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增”的充要条件．
故选C．

点评： 本题主要考查了必要条 件、充分条件与充要条件的判断，函数的单调性及单调区间，单调性是函数的重要
性质，属于基础题．

5．（5分）（2013?安徽）某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生， 随机询问了该班五名男生和五名女生
在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88 ，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，
93，下列说法正确的是（ ）

A．这种抽样方法是一种分层抽样

这种抽样方法是一种系统抽样 B．

这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 C．

D．该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数

考点： 极差、方差与标准差．
专题： 概率与统计．
分析： 根据抽样方法可知，这种抽样方法是 一种简单随机抽样．根据平均数的定义：平均数是指在一组数据中所
有数据之和再除以数据的个数；方差 公式：s=[（x
1
﹣）+（x
2
﹣）+…+（x
n
﹣）< br>]求解即可．
解答： 解：根据抽样方法可知，这种抽样方法是一种简单随机抽样．
五名男生这组数据的平均数=（86+94+88+92+90）÷5=90，
方差=[（8 6﹣90）+（94﹣90）+（88﹣90）+（92﹣90）+（90﹣90）
]=8．
五名女生这组数据的平均数=（88+93+93+88+93）÷5=91，
方差=[（8 8﹣91）+（93﹣91）+（93﹣91）+（88﹣91）+（93﹣91）
]=6．
故这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差．
故选C．
点评： 本题考查 了抽样方法、平均数以及方差的求法，要想求方差，必须先求出这组数据的平均数，然后再根据
方差公式 求解．

6．（5分）（2013?安徽）已知一元二次不等式f（x）＜0的解集为{x |x＜﹣1或x＞}，则f（10）＞0的解集为（ ）

A．{x|x＜﹣1或x＞﹣lg2} B． {x|＜﹣1＜x＜﹣lg2} C． {x|x＞﹣lg2} D． {x|x＜﹣lg2}

考点： 其他不等式的解法；一元二次不等式的解法．
专题： 不等式的解法及应用．
分析：
xx
由题意可得f（10）＞0等价于﹣1＜10＜，由指数函数的单调性可得解集．
解答：
解：由题意可知f（x）＞0的解集为{x|﹣1＜x＜}，
x
22222
22222
2222

故可得f（10）＞0等价于﹣1＜10＜，
由指数函数的值域为（0，+∞）一定有10＞﹣1，
而10＜可化为10＜
xx< br>x
xx
，即10＜10
x
﹣
lg2
，
由指数函数的单调性可知：x＜﹣lg2
故选D
点评： 本题考查一元二次不等式的解集，涉及对数函数的单调性及对数的运算，属中档题．

7．（5分）（2013?安徽）在极坐标系中圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ）

A．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=2 B．
θ=（ρ∈R）和ρcosθ=2

C．
θ=（ρ∈R）和ρcosθ=1
D． θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=1

考点： 简单曲线的极坐标方程；圆的切线方程．
专题： 直线与圆．
分析： 利用圆的极坐标方程和直线的极坐标方程即可得出．
解答： 解：如图所示，在极坐标系中圆ρ=2cosθ是以（1，0）为圆心，1为半径的圆．
故圆的两条切线方程分别为
故选B．
（ρ∈R），ρcosθ=2．

点评： 正确理解圆的极坐标方程和直线的极坐标方程是解题的关键》

8．（5 分）（2013?安徽）函数y=f（x）的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n（n≥2）个不同的数 x
1
，x
2
，…，
x
n
，使得=…=，则n的取值 范围是（ ）

A．{3，4}

考点： 变化的快慢与变化率．
专题： 函数的性质及应用．


B． {2，3，4} C． {3，4，5} D． {2，3}

分析：
解答：
由
解：∵
表示（x，f（x））点与原点连线的斜率，结合函数y=f（x）的图象， 数形结合分析可得答案．
表示（x，f（x））点与原点连线的斜率
若=…=，
则n可以是2，如图所示：

n可以是3，如图所示：

n可以是4，如图所示：

但n不可能大于4
故选B
点评：

9．（5分）（2013?安徽）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足 ==2，则点
本题考查的知识点是斜率公式，正确理解表示（x，f（x））点与原点连线的斜率是解答 的关键．
集{P|，，λ、μ∈R}所表示的区域面积是（ ）


A．B． C． D．


考点： 平面向量的基本定理及其意义；二元一次不等式（组）与平面区域；向量的模．
专题： 平面向量及应用．

分析：
由两定点A，B满足== 2，说明O，A，B三点构成边长为2的等边三角形，设出两个
定点的坐标，再设出P点坐标，由平面向 量基本定理，把P的坐标用A，B的坐标及λ，μ表示，把不等式
|λ|+|μ|≤1去绝对值后可得线 性约束条件，画出可行域可求点集P所表示区域的面积．
解答：
解：由两定点A，B满足
不妨设A（
由
），B（
，得：
．
==2，说明O，A，B三点构成边长为2的等边三角形．
）．再设P（x，y）．
所以，解得①．
由|λ|+|μ|≤1．
所以①等价于或或或．
可行域如图中矩形ABCD及其内部区域，

则区域面积为．
故选D．
点评： 本题考查了平面向量的基本定理及其意义，考查了二元一次不等式（组）所表示的平面区域，考 查了数学
转化思想方法，解答此题的关键在于读懂题意，属中档题．

10．（5 分）（2013?安徽）若函数f（x）=x+ax+bx+c有极值点x
1
，x
2< br>，且f（x
1
）=x
1
，则关于x 的方程3（f（x））
2
+2af（x）+b=0的不同实根个数是（ ）


3 4 5 6
A．B． C． D．

考点： 函数在某点取得极值的条件；根的存在性及根的个数判断．
专题： 综合题；导数的综合应用．
22
分析：
求导数f′（x），由题意知x
1
，x
2是方程3x+2ax+b=0的两根，从而关于f（x）的方程3（f（x））+2af（x）
+b =0有两个根，作出草图，由图象可得答案．
解答：
解：f′（x）=3x
2+2ax+b，x
1
，x
2
是方程3x
2
+2ax+b =0的两根，
2
由3（f（x））+2af（x）+b=0，则有两个f（x）使等式成立， x
1
=f（x
1
），x
2
＞x
1
=f（x
1
），

32

如下示意图象：

如图有三个交点，
故选A．
点评： 考查函数零点的概念、以及对嵌套型函数的理解，考查数形结合思想．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡上
11．（5分）（2013?安徽）若的展开式中x的系数为7，则实数a=
4
．

考点： 二项式系数的性质．
专题： 计算题．
分析： 利用二项式定理的通项公式即可得出．
解答：
解：由通项公式T
r+1
==，
∵的展开式中x的系数为7，∴
4
，解得．
故答案为．
点评： 熟练掌握二项式定理的通项公式是解题的关键．

12．（5分）（2013?安徽）设△ ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角
C= ．

考点： 余弦定理；正弦定理．
专题： 解三角形．
分析： 由3sinA=5sinB，根据正弦定理，可得3a=5b，再利用余弦定理，即可求得C．
解答： 解：∵3sinA=5sinB，∴由正弦定理，可得3a=5b，
∴a=
∵b+c=2a，
∴c=
∴cosC=
∵C∈（0，π）
=﹣

∴C=
故答案为：
点评： 本题考查正弦、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．

13．（5分）（ 2013?安徽）已知直线y=a交抛物线y=x于A，B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，
则a的取值范围为 [1，+∞） ．

考点： 直线与圆锥曲线的关系．
专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．
2
分析：
如图所示，可知A，B ，设C（m，m），由该抛物线上存在点C，使得∠ACB
为直角，可得=0．即可得到a的取值范围．
，B
，
，
．
2
解答：
解：如图所示，可知A
设C（m，m），
2
∵该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，
∴
2
=
22
．
化为m﹣a+（m﹣a）=0．
2
∵m，∴m=a﹣1≥0，解得a≥1．
∴a 的取值范围为[1，+∞）．
故答案为[1，+∞）．

点评： 本题考查了如何表示抛物线上点的坐标、垂直于数量积得关系等基础知识，考查了推理能力和计算能力．

14．（5分）（2013?安徽）如图，互不相同的点A
1
，A
2
，…，A
n
，…和B
1
，B
2
，…，B
n
，…分别在角O的两条边上，
所有A
n
B
n
相互平行， 且所有梯形A
n
B
n
B
n+1
A
n+1
的 面积均相等，设OA
n
=a
n
，若a
1
=1，a
2
=2，则数列{a
n
}的通项公式
是 ．


考点： 数列的应用；数列的函数特性．

专题： 等差数列与等比数列．
分析：
设，利用已知可得A
1
B
1
是三角形OA
2
B
2
的中位线，得到==，梯形
A
1B
1
B
2
A
2
的面积=3S．由已知可得梯形A
n
B
n
B
n+1
A
n+1
的面积=3S．利用相 似三角形的性质面积的比等于相
似比的平方可得：，，，…，已知，，可得，…．因此数列
{} 是一个首项为1，公差为3等差数列，即可得到a
n
．
，∵OA
1
=a
1
=1，OA
2
=a
2
=2，A
1
B
1
∥A
2
B
2
，
解答：
解：设
∴A
1
B
1
是三角形OA
2
B
2
的中位 线，∴
故梯形A
n
B
n
B
n+1
A
n+1
的面积=3S．
==，∴梯形A
1
B
1
B
2A
2
的面积=3S．
∵所有A
n
B
n
相互平 行，∴所有△OA
n
B
n
（n∈N）都相似，∴
∵
∴数列{
∴
，∴，，…．
*
，，，…，
}是一个等差数列，其公差d=3，故
．
．
=1+（n﹣1）×3=3n﹣2．
因此数列{a
n
}的通项公式是
故答案为．
点评： 本题综合考查 了三角形的中位线定理、相似三角形的性质、等差数列的通项公式等基础知识和基本技能，
考查了推理能 力和计算能力．

15．（5分）（2013?安徽）如图，正方体ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为1，P为BC的中点，Q 为线段CC
1
上的动点，
过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列 命题正确的是 ①②③⑤ （写出所有正确命题的
编号）．
①当0＜CQ＜时，S为四边形
②当CQ=时，S为等腰梯形
③当CQ=时，S与C
1
D
1
的交点R满足C
1
R=
④当＜CQ＜1时，S为六边形
⑤当CQ=1时，S的面积为．

考点： 命题的真假判断与应用．
专题： 计算题．
分析： 由题意作出满足条件的图形，由线面位置关系找出截面可判断选项的正误．
解答：
解：如图
=， 当CQ=时，即Q为CC
1
中点，此时可得PQ∥AD
1
，A P=QD
1
=
故可得截面APQD
1
为等腰梯形，故②正确；
由上图当点Q向C移动时，满足0＜CQ＜，只需在DD
1
上取点M满足AM∥PQ，
即可得截面为四边形APQM，故①正确；
③当CQ=时，如图，
延长DD
1
至N，使D
1
N=，连接AN交A
1
D
1
于S ，连接NQ交C
1
D
1
于R，连接SR，
可证AN∥PQ，由△N RD
1
∽△QRC
1
，可得C
1
R：D
1
R=C
1
Q：D
1
N=1：2，故可得C
1
R=，故正确；
④由③可知当＜CQ＜1时，只需点Q上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的APQRS，显然为五 边
形，故错误；

⑤当CQ=1时，Q与C
1
重合，取A
1
D
1
的中点F，连接AF，可证PC
1
∥AF，且PC
1
=AF，
可知截面为APC
1
F为菱形，故其 面积为AC
1
?PF==，故正确．
故答案为：①②③⑤
点评： 本题考查命题真假的判断与应用，涉及正方体的截面问题，属中档题．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算骤
16． （12分）（2013?安徽）已知函数f（x）=4cosωx?sin（ωx+
（1）求ω的值；
（2）讨论f（x）在区间[0，]上的单调性．
）（ω＞0）的最小正周期为π．

考点： 两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．
专题： 三角函数的图像与性质．
分析： （1）先利用和角公式再通过二倍角公式，将次升 角，化为一个角的一个三角函数的形式，通过函数的周期，
求实数ω的值；
（2）由于x是[0，
]上的单调性．
解答：
解：（1）f（x）=4c osωxsin（ωx+
=（sin2ωx+cos2ωx）+
=π，∴ω=1．
）+，
）=2sinωx?cosωx+2
）+，
cosωx
2
]范围内的角，得到2x+的范围，然后通过正弦函数的单调性求出f（x）在区间[0，
= 2sin（2ωx+
所以 T=
（2）由（1）知，f（x）=2sin（2x+
因为 0≤x≤
当
当
≤2x+
≤2x+
，所以
≤
≤
≤2x+≤，
时，即0≤x≤
时，即≤x≤
时，f（x）是增函数，
时，f（x）是减函数，
，]上单调减． 所以f（x）在区间[0，]上单调增，在区间[
点评： 本题考查三角函数的化简求值，恒等关系的应用，注意三角函数值的变换，考查计算能力，常考题型．

17．（12分）（2013?安徽）设函数f（x）=ax﹣（1+a）x，其中a＞0，区间I={ x|f （x）＞0}
（Ⅰ）求I的长度（注：区间（a，β）的长度定义为β﹣α）；
（Ⅱ）给定常数k∈（0，1），当1﹣k≤a≤1+k时，求I长度的最小值．

考点： 导数的运算；一元二次不等式的解法．
专题： 函数的性质及应用．
分析： （Ⅰ）解不等式f（x）＞0可得区间I，由区间长度定义可得I的长度；
（Ⅱ）由 （Ⅰ）构造函数d（a）=，利用导数可判断d（a）的单调性，由单调性可判断d（a）的最小
22< br>值必定在a=1﹣k或a=1+k处取得，通过作商比较可得答案．

22
解答：
解：（Ⅰ）因为方程ax﹣（1+a）x=0（a＞0）有两个实根x
1
=0，＞0，
故f（x）＞0的解集为{x|x
1
＜x＜x
2
}，
因此区间I=（0，），区间长度为；
（Ⅱ）设d（a）=，则d′（a）=，
令d′（a）=0，得a=1，由于0＜k＜1，
故当1﹣k≤a＜1时，d′（a）＞0， d（a）单调递增；当1＜a≤1+k时，d′（a）＜0，d（a）单调递减，
因此当1﹣k≤a≤1+k时，d（a）的最小值必定在a=1﹣k或a=1+k处取得，
而=＜1，故d（1﹣k）＜d（1+k），
因此当a=1﹣k时，d（a）在区间[1﹣k，1+k]上取得最小值，即I长度的最小值为．
点评： 本题考查二次不等式的求解，以及导数的计算和应用等基础知识和基本技能，考查分类讨论思想 和综合运
用数学知识解决问题的能力．

18．（12分）（2013?安徽）设 椭圆E：
（1）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；
（2）设F
1
，F
2
分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F
2
P交 y轴于点Q，并且F
1
P⊥F
1
Q，
证明：当a变化时，点P在某定 直线上．

考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．
专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
（1）利用椭圆的标准方程和几何性质即可得出，解出即可；
（2）设P（x
0，y
0
），F
1
（﹣c，0），F
2
（c，0），其中 ．利用斜率的计算公式和点斜式即可得
的焦点在x轴上
出直线F
1
P的斜率 =，直线F
2
P的方程为．即可得出Q．得
到直线F
1
Q的斜率=． 利用F
1
Q⊥F
1
P，可得=．化为
．与椭圆的方程联立即可解出点 P的坐标．
解答：
解：（1）∵椭圆E的焦距为1，∴，解得．
故椭圆E的方程为．

（2）设P（x
0，y
0
），F
1
（﹣c，0），F
2
（c，0），其中 ．
由题设可知：x
0
≠c．则直线F
1
P的斜率=，直线F
2
P的斜率=．
故直线F
2
P的方程为．
令x=0，解得．即点Q．
因此直线F
1
Q的斜率=．
∵F
1
Q⊥F
1
P，∴
化为
=．
．
联立，及x
0
＞0，y
0
＞0，
解得.．
即点P在定直线x+y=1上．
点评： 本题主要考查了椭圆的标准方程及其几何性质，直线 和直线、直线和椭圆的位置关系等基础知识和基本技
能，看出数形结合的思想、推理能力和计算能力．

19．（13分）（2013?安徽）如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，其母线与底面 所成的角为22.5°，AB和CD是底
面圆O上的两条平行的弦，轴OP与平面PCD所成的角为60 °，
（1）证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；
（2）求cos∠COD．


考点： 直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与 平面之间的位置关系；平面与平
面之间的位置关系．
专题： 空间位置关系与距离；空间角．
分析： （1）利用线面平行的判定与性质，可证平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；
（2）先作出OP与平面PCD所成的角，再求出OC，OF，求出cos∠COF，利用二倍角公式，即可求 得
cos∠COD．
解答： （1）证明：设平面PAB与平面PCD的交线为l，则
∵AB∥CD，AB?平面PCD，∴AB∥平面PCD
∵AB?面PAB，平面PAB与平面PCD的交线为l，∴AB∥l
∵AB在底面上，l在底面外
∴l与底面平行；

（2）解：设CD的中点为F，连接OF，PF
由圆的性质，∠COD=2∠COF，OF⊥CD
∵OP⊥底面，CD?底面，∴OP⊥CD
∵OP∩OF=O
∴CD⊥平面OPF
∵CD?平面PCD
∴平面OPF⊥平面PCD
∴直线OP在平面PCD上的射影为直线PF
∴∠OPF为OP与平面PCD所成的角
由题设，∠OPF=60°
设OP=h，则OF=OPtan∠OPF=
∵∠OCP=22.5°，∴
∵tan45°=
∴tan22.5°=
∴OC==

=1

=
2
在Rt△OCF中，cos∠COF==
∴cos∠COD=cos（2∠COF）=2cos∠COF﹣1=17﹣12

点评： 本题考查线面平行的判定与性质，考查空间角，考查学生的计算能力，正确找出线面角是关键．
< br>20．（13分）（2013?安徽）设函数f
n
（x）=﹣1+x+
（1）对 每个n∈N
+
，存在唯一的x
n
，满足f
n
（x
n
）=0；
），证明：
（2）对于任意p∈N
+
，由（1）中x< br>n
构成数列{x
n
}满足0＜x
n
﹣x
n+p
＜．

考点： 反证法与放缩法；函数的零点；导数的运算；数列的求和；数列与不等式的综合．
专题： 等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．
分析：
题干错误：n∈N
+
，应该是对每个n∈N
+
，

（1）由题意可得f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．求得f
n
（1 ）＞0，f
n
（）＜0，再根
据函数的零点的判定定理，可得要证的结论成立． （2）由题意可得f
n+1
（x
n
）＞f
n
（x
n
）=f
n+1
（x
n+1
）=0，由 f
n+1
（x） 在（0，+∞）上单调递增，可得 x
n+1
＜x
n
，故x
n
﹣x
n+p
＞0．用 f
n
（x）的解析式减去f
n+p
（x
n+p
）的 解析式，变形可得x
n
﹣x
n+p
=
综上可得要证的结论成立．

+，再进行放大，并裂项求和，可得它小于 ，

解答：
证明：（1）对每个n∈N
+
，当x＞0时，由函数f
n
（x）=﹣ 1+x+），可得
f′（x）=1+++…＞0，故函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．
++…+＞0，即f
n
（1）＞0． 由于f
1
（0）=0，当n≥ 2时，f
n
（1）=
又f
n
（）=﹣1++[+++…+]≤﹣+? =﹣
+×=﹣?＜0，
根据函数的零点的判定定理，可得存在唯一的x
n
+
，满足f
n
（x
n
）=0．
（2）对于任意p∈N，由（ 1）中x
n
构成数列{x
n
}，当x＞0时，∵f
n+1
（ x）=f
n
（x）+＞f
n
（x），
∴f
n+1
（x
n
）＞f
n
（x
n
）=f
n+1
（x
n+1
）=0．
由 f
n+1
（x） 在（0，+∞）上单调递增，可得 x
n+1
＜x
n
，即 x
n﹣x
n+1
＞0，故数列{x
n
}为减数列，即对任意
的 n、p∈N
+
，x
n
﹣x
n+p
＞0．
由于 f
n
（x）=﹣1+x
n
+++…+=0 ①，
f
n+p
（x
n+p
）=﹣1+x
n+p
+++…++[++…+]②，
用①减去②并移项，利用 0＜x
n+p
≤1，可得
x
n
﹣x
n+p
=+≤≤＜=＜．
综上可得，对于任意p ∈N
+
，由（1）中x
n
构成数列{x
n
}满足0＜xn
﹣x
n+p
＜．
点评： 本题主要考查函数的导数及应用，函数的零 点的判定，等比数列求和以及用放缩法证明不等式，还考查推
理以及运算求解能力，属于难题．

21．（13分）（2013?安徽）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同 的心理测试活动，分别由李老师和
张老师负责，已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加 （n和k都是固定的正整数），假设李老师和
张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k 位学生，且所发信息都能收到，记该系收到李老师或张
老师所发活动通知信息的学生人数为X．
（I）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；
（II）求使P（X=m）取得最大值的整数m．

考点： 概率的应用；古典概型及其概率计算公式；计数原理的应用．
专题： 综合题；分类讨论；转化思想；概率与统计．
分析： （I）由题设，两位老师发送信息是独立的，要 计算该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概

率可先计算其对立事件，该生没有接到任一位老师发送的信息的概率，利用概率的性质求解；
（II）由题意，要先研究随机变量X的取值范围，由于k≤n故要分两类k=n与k＜n进行研究，k=n时易 求，
k＜n时，要研究出同时接受到两位老师信息的人数，然后再研究事件所包含的基本事件数，表示出 P（X=m），
再根据其形式研究它取得最大值的整数m即可．
解答： 解：（I）因为事件 A：“学生甲收到李老师所发信息”与事件B：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立事
件，所以与 相互独立，由于P（A）=P（B）==，故P（）=P（）=1﹣，
因此学生甲收到活动信息的概率是1﹣（1﹣）=
2

（II）当k=n时，m只能取n，此时有P（X=m）=P（X=n）=1
当k＜n时，整 数m满足k≤m≤t，其中t是2k和m中的较小者，由于“李老师与张老师各自独立、随机地发
送活动 信息给k位”所包含的基本事件总数为（），当X=m时，同时收到两位老师所发信息的学生人数
2为2k﹣m，仅收到李老师或张老师转发信息的学生人数为m﹣k，由乘法原理知：事件{X=m}所包含的 基本
事件数为
P（X=M）==
当k≤m＜t时，P（X=M）＜P（X=M+1 ）?（m﹣k+1）2≤（n﹣m）（2k﹣m）?m≤2k﹣
假如k≤2k﹣＜t成立，则当（k+1）能被n+2整除时，
2
k≤2k﹣
达到最大值；
＜2k+1﹣＜t，故P（X=M）在m=2k ﹣和m=2k+1﹣处
当（k+1）不能被n+2整除时，P（X=M）在m=2k﹣[
最大整 数），
下面证明k≤2k﹣＜t
2
]处达到最大值（注：[x]表示不超过x的< br>因为1≤k＜n，所以2k﹣﹣k=≥=≥0
而2k﹣﹣n=＜0，故2k﹣＜n，显然2k﹣＜2k
因此k≤2k﹣＜t
点评： 本题主要考查古典概率模型，计数原理，分类讨论思想等基础知识和基本技能，考查抽象的思想，逻辑推

理能力，运算求解能力，以及运用数学知识分析解决实际问题的能力，本题易 因为审题时不明白事件的情
形而导致无法下手，或者因为分类不清未能正确分类导致失分