高中数学各大模块占的分值-南充市高中数学版本
排列组合应用
（一）排列
解排列问题，首先必须认真审题，明确问题是否是
排列问题，那是否
有序，抓住问题本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析，同时
要讲究一
些基本策略与方法技巧。
1、特殊元素的“优先按排法”。
例1、用0、1、2、3、4这五个数字，组成没有重复的三倍数，其中
偶数共有多少？ （分析）由于三位数是偶数，故末尾数字必须是偶数，以“0”不能
排在首位，所以“0”就是其中
特殊元素，优先按排。按“0”在末尾
1
11
和不在末尾分为两类。共A
2<
br>4
+A
2
A
3
A
3
=30种。
2
、相邻问题有“捆绑法”。对于某几个元素要求相邻的排列问题，可
将先相邻的元素“捆绑”起来，作为
一个“大”的元素，与其他元素
排列，然后再对相邻元素的内部进行排列。
例2、7人站成一排照相，要求甲、乙、丙三人相邻有多少种不同的
排法？
（分析）
先把甲乙丙三人“捆绑“看作一个元素，与其余4个元素进
3
行排列再对甲、乙、丙三人进行排
列。共A
5
5
A
3
种。
3、不相邻问题有“插空法”。对
于某几个元素不相邻的排列问题，可
先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两
端的空隙间插入即可。
例3、7人站成一排照相，要求甲、乙、丙三人不相邻有多少种不同
的排法？
（分析）先让其余4人站好，有A
4
4
种排法，这时有5个“空隙”可
4
3
供甲、乙、丙选取，即A
3
种。共AA
4
55
种排法。
4、间接法或淘汰法。理解题中的要求，把不符合要求的除去，此时
应注意既不能
多减也不能少减。
例4、5名男生，5名女生排成一行，其中5名男生不排在一起，有
几种排法？
（分
析）先计算出10人的全排列数，再减去5名男生排在一起的排
56
列数即可。共A
1
0
10
—A
5
A
6
排法。
5、合理分类与准确分
步。解含有约束条件的排列组合问题，应按元
素的性质进行分类，事情发生的连续性分步，做到分类标准
明确，分
步层次清楚，不重不漏。
例5、五人从左到右站成一排，其中甲不站排头，乙不站第二个位置，
共有多少种不同站法
（分析）若甲在第二位置上其余4人可自由按排，有A
4
4
种；
若
甲在第3、4、5位置上，则乙可站在其他3个位置上，有A
1
3
A
1
3
A
3
3
113
种；共A
4
4
+
A
3
A
3
A
3
种排法。
或用间接法：①甲在第一
位置，乙在第二位置有A
3
3
种；②甲在第一
位置，乙不在第二位置有A1
3
A
3
3
种；③甲不在第一位置，乙在第二位
313
13
置有A
1
3
A
3
3
种；即共有A
3<
br>+ A
3
A
3
+ A
3
A
3
种不符
合要求，则符合要求
31313
的有A
5
5
—(A
3
+ A
3
A
3
+ A
3
A
3
)种。
6“住店法”解决“允许重复排列问题”。要注意区分两类元素，一类
元素是可以重复，另一类元素是不可以重复，把不能重复的元素看作
“客”把可以重复的元素看作“店
”再利用乘法原理求解的方法称“住
店法”
例6、七名学生争夺五项冠军，获得冠军的可能性有多少种？
（分析）因同一学生可同时夺得
几项冠军，故学生可重复排列，把七
名学生看作七家“店”，五项冠军看作五名“客”。每个“客”有7
种
住法，共7
5
种。
7、顺序固定问题有“除法”。对于某几个元素顺序一
定的排列问题，
可先将这几个元素与其他元素一同进行排列，然后用总的排列数除以
这几个元素
的全排列数。
例7、五人排列，甲在乙前面的排法有多少种？
2
（分析）先将5人
全排列有A
5
种排法，而甲、乙之间排法有A
2
种排
5
A<
br>5
5
法，而甲在乙前的排法只有一种符合，故符合条件的排法有
2
种。
A
2
8、特征分析法。研究有约束这种的排列问题要紧扣问题所提供的数
字特
征、结构特征，进行推理分析求解。
例8、由1、2、3、4、5、6六个数字可组成多少个无重复且是6的
倍数的五位数？ （分析）6的倍数的数既是2的倍数不是3的倍数，其中3的倍数又
满足“各个数位上的数字和是3
的倍数”的特征。把6个数字分成4
组：（1，5）（2，4）（3）（6），每组数字之和为3的倍数
，因而可分
成两类，一类由1、5、2、4、6作为数码，另一类由1、5、2、4、3
作为数码，且末尾数字为偶数即可。第一类有A
1
3
A
4
4
种，第二类有共
414
1
有A
1
2
A
4<
br>4
种，共有A
3
A
4
+
A
2
A
4
种。
巩固练习
1、
有3名男生、4名女生、排成一排
（1） 选其中5人排成一行（2）甲只能在中间或两头（3）甲、
乙二
人必须在两头（4）甲不在排头，乙不在排尾（5）男生、女生
各站一边（6）男生必须排
在一起（7）男生、女生各不相邻（8）
男生不能相邻（9）甲、乙、丙三人中甲必须在前，丙必须在后
，
但三人不一定相邻（10）甲、乙中间必须有3人，各有多少种
不同的排法
242
1653
（答案）（1）A
5
（2）AA（3）AA（4）3720（5）A
AA
242
（6）
73653
A
7
7
33
AA（7）AA（8）AA（9）
3
（10）A
2
2
A
5<
br>A
3
A
3<
br>3
3
5
5
3
3
4
4
4
4<
br>3
5
2、 由数字0、1、2、2、4、5组成（各位上数字不允许重复）（1）
多少六位数？（2）多少个六位偶数（3）多少个被5整除的五
位数？（4）多少个被3整除的五位数
（5）比240135大的六位
数有多少个？
（答案）(1)A
1
5
A
5
5
(2)312(3)216(4)216(5)407
（二）组合
组合与排列有许多联系，在解决组合问题中常借用解决排列问题的方
法。以下是解决组合问 题的几种方法
1、 直接法或间接法
例1、 在100件产品中有98件合格品，2件次品 。从这100件产品中
任意取出3件（1）一共有多少种不同的取法（2）恰好取出1
件次品， 有多少种取法（3）至少有1件次品，有多少种取法？
112
22133
（答案）(1)C
3
9
(2)C
2
C
98
(3) C
2
C
98
+C
2
C
98
(或C
100
–C
98
)
练习：要从12人中选出5人去参加一项 活动，按下列要求有多少种
不同选法？（1）A、B、C三人必须入选（2）A、B、C三人不能入选（3）A、B 、C三人只有一人入选（4）A、B、C三人至少一人入
选（5）A、B、C三人至多二人入选
21
（答案）(1)C
9
(2)C
5
9
(3)C
3
C
4
9
4232
(4)C
1
3
C
9
+C
3
C
3
9
+C
3C
9
5
014232
( 5)C
3
C
5
+ CC+ CC (或C–C
12
939399
)
2、分组分配
例2、六本不同的书按下列条件各有多少种不同的分法？
（1） 分给甲、乙、丙三人，每人 两本子（2）分成三份，每份两本（3）
分成三份，一份一本，一份二本，一份三本（4）分给甲、乙、
丙三人，一人一本，一人二本，一人三本
2
2
（分析）（1）先分给甲有 C
6
种,再分给乙有 C
2
4
种,最后为丙有 C
2
种,
2
2
共C
6
C
2
4
C
2
=90种
（2）问题（1）也可以分成两步 完成：第一步先把六本书均分成三份，
设有x种分法，第二步把已分好的书分给甲、乙、丙三人有A3
3
种,即
222
C
6
C
4<
br>C
2
有xA= C C C
?
x==15种
3
A
3
3
3
2
6
2
4
2
2
说明：（1）（2）两题的区别在于（2）只分组不分配，（1）既分组又
分配。那么为什么在（2）中
也就是只分组的问题中要除去 A
m
m
呢？
比如A、B
、C、D四个元素要均分为两组，先取AB再取CD为一
AB
种即｛
CD
或
先取CD再取AB为另一种即｛
CD
AB
，由于只分组即AB
与CD间是无序
的因而只能算一种分法。因而“分组分配”有如下一
般结论：
a)
b)
c)
d)
nn
C
2n
C
n
将2n个元素均分为两组方法数：种。 <
br>2!
nn
C
3
n
n
C
2n
C
n
将3n个元素均分为三组方法数：种。
3!
将kn个元素均分为k组方法数：<
br>nn
C
kn
C
(
n
k?1)n
....C<
br>n
k!
种。
将n个元素均分为m组每组r个（m
?
r=n）
方法数：
rrrrr
C
n
C
n
C
2?r
C
n?2r
...
r
C
r
m!
e) 若再
将m组分配给m个对象，则分配方法有
rrrrr
C
n
C
n
C
2?r
C
n?2r
...
r
C
r
?m!
m!
(3)先分一本，再分二本，最后分三本，即得分三组的方法数
2
共有C
1
6
C
5
C
3
3
=60种
23
(4)先要把收分成三组有C
1
6
C
5
C3
3
=60种，再分配给三人有A
3
种
123
共有
A
3
3
C
6
C
5
C
3
=360种
。
练习：六本不同的书，分成3组，1组4本，其余各1本有多少种分
法？
11
C
6
4
C
2
C
1
（答案）
2
A
2
3、隔板法
例3、某中学从高中7个班中选出12名学生组
成校代表队，参加市
课外知识竞赛，使代表中每个班至少有1人参加的选法有多少种？
（分析
）由于12个名额是不可区分的，所以将问题转化为：把排成
一行的12个“0”分成7份的不同方法数
。12个“0”形成11个空
66
隙，用6个隔板可将其分成7组，有C
11
种不同的插法,即C
11
=462种。
练习：10个相同的球放入6个盒中，每个盒中至少一个的放法有多
少种。
（答案）C
5
9
=126
4、插空法
例4、某城市新修
建的一条道路上有12盏路灯，为了节约用电又不
影响照明，可以熄灭其中的3盏，但两端的灯不能熄，
也不能熄灭相
邻的两盏灯，则熄灭的方法共有多少种？
（分析）把要熄灭的三盏灯去掉，有九
盏灯亮着，则有8个空隙，在
3
这8个空隙中安排3盏灯故有C
8
种。 练习：一排无区别的座位10个，3个人来坐，都不能坐两头，且两
人之间至少有一个座位，问有多
少种不同的坐位？
（答案）C
3
6
5、 递推法
例5
、一楼梯共10级，如果规定每次只能跨下一级或两级，要走上
这10级楼梯，共有多少
种不同的走法？
（分析）设上n级楼梯的走法为a
n
种,则a
1
=
1,a
2
=2,当n≥2时，上n
级楼梯的走法可分两类：一类是最后一步跨一级有a
n﹣1
种走法，另一
类是最后一步跨二级有a
n
﹣2
种走法
,则有a
n
= a
n﹣1
+ a
n
﹣2
由a
3
=a
2
+a
1
=3,a
4
=a3
+a
2
=5,a
5
=a
4
+a
3<
br>=8,a
6
=a
5
+a
4
=13,a
7=a
6
+a
5
=21,a
8
=34,
a
9
=55,a
10
=89
练习：一个楼梯共18级台阶，一步可跨一级或两级台阶，若12步
登完共有多少种不同的走法？
（分析）一步一台阶x个，一步二台阶y个则有
?x?y?12
x?y?18
得
x=6,y=6，即无论哪种走法都有6
个一步一台阶6个一步二台阶的，
6
因而转化为求12步中任选6步的不同选法：C
1
2
=924
巩固练习
1、
从五双不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配在一双
的可能性有多少种？
2、 有2
0个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要
求每个盒子内的球数不少于盒子的编号数，
问有多少种不同的
放法？
3、 某校高二年级共有6个班，现从外地转入4名学生要按排到该
年级的两个班，每班二名有多少不同的方案？
4、
四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子则恰好一个
空盒的放法有多少种？
5、 平面内有n个点，如果有m个点共线，其余各点任何三点不共
线，则这几
个点能形成多少条直线？多少个三角形？
23
22
（答案）1、130
2、C
16
3、C
6
C
2
4
4、C
4
A
4
=144
233
5、C
2
n
﹣C
m
+1，C
n
﹣C
m