【数学竞赛】2018年全国高中数学联赛安徽省初赛试卷(附答案)

2018 年全国高中数学联赛安徽省初赛试卷

（考试时间：2018 年 6 月 30 日上午 9:00—11:30）



题号
得分

一

二


总分
12 11 9 10















评卷人

复核人


注意：1.本试卷共 12 小题，满分 150 分； 2.用钢笔、签字笔或圆珠笔作答；
3.书写不要超过装订线；

4.不得使用计算器.
一、填空题（每题 8 分，共 64 分，结果须化简）

1. 设三个复数
1, i, z
在复平面上对应的三点共线，且
| z |? 5
，则
z ? ?

.

2. 设
n
是正整数，且满足
n? 438427732293
，则
n ? ?
5
.
.

.
.

3. 函数
f ( x) ?| sin(2x) ? sin(3x) ? sin(4x) |
的最小正周期
? ?



4. 设点
P, Q
分别在函数
y ? 2
和
y ? log
2
x
的图象上，则
| PQ |
的最小值
?

5. 从
1, 2,
x

,10
中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差
s
2
? 1
的概率
? ?

6. 在边长为 1 的正方体
ABCD ? A
1
B
1
C
1
D
1
内部有一小球，该小球与正方体的对角线段
AC
1
相切，则小球
半径的最大值
? ?
.
.

7. 设
H
是
△ABC
的垂心，且
3HA ? 4HB ? 5HC ? 0
，则
cos ?AHB ?




8.

把
1, 2,
T

, n
2
按照顺时针螺旋方式排成
n
行
n
列的表格
T
，第一行是
1, 2,
n



?1 2 3??
, n
.例如：
?
?
8 9 4
?
.

3
? ??
?
?
7 6 5
?
??
设
2018
在
T
100
的第
i
行第
j
列，则
(i, j) ? ?
.
二、解答题（第 9—10 题每题 21 分，第 11—12 题每题 22 分，共 86 分）

9. 如图所示，设
ABCD
是矩形，点
E, F
分别是线段
AD, BC
的中点，点
G
在线段
EF
上，点
D, H
关于

线段
AG
的垂直平分线
l
对称.求证:
?HAB ? 3?GAB
.
D

H
C
l

G
F

E


A
B

x

2
?
y
2

M
处的切线交
C
的两条渐近线于
A, B

10. 设
O
是坐标原点，双曲线
C :
2
?
2
? 1(a ? 0, b ? 0)
上动点
ab

两点.




（1）求证:
△AOB
的面积
S
是定值；
（2）求
△AOB
的外心
P
的轨迹方程.







11. （1）求证：对于任意实数
x, y, z
都有
x
2
? 2 y
2
? 3z
2
?
?
3(xy ? yz ? zx)
.



k ??3
，使得对于任意实数
x, y, z
下式恒成立？

（2）是否存在实数

x
2
? 2 y
2
? 3z
2
? k (xy ? yz ?
zx)

试证明你的结论.






12. 在正
2018
边形的每两个顶点之间均连一条线段，并把每条线段染成红色或蓝
色. 求此图形中三边颜色都相同的三角形的最小个数.

参考答案和评分标准



一、填空题（每题 8 分，共 64 分）
1 2 3 4


1 ? ln(ln 2)
4 ? 3 i 或 ? 3 ? 4 i
213
2 π
2
ln 2
5
1
15
6
4 ? 6
5
7
6
?

6

8

(34,95)


二、解答题（第 9—10 题每题 21 分，第 11—12 题每题 22 分，共 86 分）
9．由 E, F 分别是 AD, BC 的中点，得 EF AB ? AD ． (3 分)
设 P 是 E 关于l 的对称点，则 EP AG ? l ，故四边形 AEPG 是等腰梯形． (8 分)
进而 ?PAG ? ?EGA ? ?GAB ， ?APG ? ?GEA ，从而 AP ? HG ． (13 分)
再由 HP ? DE ? EA ? PG ，得 ?HAP ? ?PAG ? ?GAB ． (18 分)
因此， ?HAB ? 3?GAB ． (21 分)


10．(1)
M ( x
0
, y
0
) 处的切线方程
x
0
x
?
y
0
y
? 1 ． (3 分)
2
a
b
2
?
a
?
a
?
b
?
?
b
?
? ? ? ??
与渐近线方程联立，得 A( x
1
, y
1
) ?
?
x
0

y
0
,
x
0

y
0
?
， B( x
2
, y
2
) ?
?
x
0

y
0
,
x
0

y
0
?
．(6 分)
?
a
?
b

a
?
b
?
?
?
a
?
b

a
?
b
?
?

从而， S ?
1
2

x
1
y
2
? x
2
y
1

? ab 是定值．


a b
(2) 由 (1) 可设 A( λa, λb),B(
λ
,?
λ
),P( x, y) ， λ 为非零常数．
b
2
由 PA ? PO ? PB ，得 ( x ?
?
a)
2
? ( y ?
?
b)
2
? x
2
? y
2
? ( x ?
a
)
2
? ( y ?
??
)．
?
2 2 2 2

1
?
从而有 ax ? by ?
?
(a? b) ， ax ? by ?(a? b) ．
2
??
2
上述两式相乘，得 P 的轨迹方程为 a
2
x
2
? b
2
y
2
?
1
(a
2
? b
2
)
2
．
(9 分)


(12 分)
(15 分)

(18 分)

(21 分)

4

1
2
3
2
?
3
2
?
11．(1) 由均值不等式， x?
2
y ?3xy，
1
x
2
?
2
z ?3xz，
1
y
2
?
3
z
2
?
?
3 yz ．

2 2 2 2
故
x
2
? 2 y
2
? 3 z
2
?
?
3
?
xy ? yz ? zx
?
．
2 2 2
(2)

x
2
? 2 y
2
? 3z
2
? k
?
xy ? yz ? zx
?
? (x ?
k
y ?
k
z)
2
? (2 ?
k
) y
2
? (3 ?
k
)z
2
? (
k
? k) yz

2 2
(8 分)
(14 分)

(18 分)

(22 分)


上式 ? 0 恒成立当且仅当 2 ? ? 0 (
? k ) ? 4(2 ??
)(3 ?
?
) ．
化简得 k ? 2

2
且
k
3
? 6k
2
? 24 ? 0 ．显然， k ? 2 ?
?
3 满足要求．
k
2
4


2
且
k
2

2

4 4 2
k
2
4
k
2
4


12．设 N 是此图形中三边颜色都相同的三角形数目， M 是此图形中三边颜色不全相同
的三角形数目， x
i
是以第i 个顶点为端点的红色线段数目，则有

3
，
M ? N ? C
2018
?
x
i
(2017 ? x
i
) ? 2M
．
i ?1
2018
(10 分)


3 2

3
1009
当且仅当每个 x
i
? 1008或1009 时， N 取得最小值C
2018
? ?1008 ? 2C． (16 分)

1009


3
N ? 2C
1009
是可以取到的，例如把线段i ? i ? j mod 2018 (1 ? i ? 2018, 1 ? j ? 504) 染成红

色，其它线段染成蓝色． (22 分)