如何十天学会高中数学-高中数学函数组合
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2017
年安徽省示范高中高考数学二模试卷(理科)
一、选择题:本大题共
12
个小题,每小题
5
分,共
60
分
.
在每小题给出的四个
选项中,只有一项是符合题目要
求的
.
1
.设集合
A=
{
x
|
x
2
<
2x
},
B=
{
x
|
x<
br>﹣
1
<
0
},则
A
∩
B=
(
)
A
.(﹣∞,﹣
1
)
B
.(﹣∞,
1
)
C
.(
0
,
1
)
D
.(
1
,
2
)
2
.命题
“<
br>?
x
0
∈(
1
,+∞),
x
0
2<
br>+
2x
0
+
2
≤
0”
的否定形式是(
)
A
.
C
.
B
.
D
.
3
.
cos215°
)已知角
α
(
0°
≤
α
<
360°
)终边上一点的
坐标为(
sin215°
,,则
α=
( )
A
.
215° B
.
225° C
.
235°
4
.已知
的( )
D
.
245°
”
是夹角为
60°
的两个单位向量,则
“
实数
k=
4”
是
“
A
.充分不必要条件
B
.充要条件
C
.必要不充分条件
5
.函数
单位后的单调递减区间是( )
A
.
C
.
6
.已知
,则(
)
B
.
f
(
3
)>
f
(
e
)>
f
(
2
)
B
.
D
.
D
.既不充分也不必要条件
的最小正周期是
π
,则其图象向右平移个
A
.
f
(
2
)>
f
(
e
)>
f
(
3
)
C
.
f
(
3
)>
f<
br>(
2
)>
f
(
e
)
D
.
f
(
e
)>
f
(
3
)>
f
(
2
)
7
.设函数
f
(
x
)
在(
m
,
n
)上的导函数为
g
(
x
),<
br>x
∈(
m
,
n
),
g
(
x
)若的导
函数小于零恒成立,则称函数
f
(
x
)在(
m,
n
)上为
“
凸函数
”
.已知当
a
≤
2
时,
,在
x
∈(﹣
1
,
2
)上
为
“
凸函数
”
,则函数
f
(
x
)在(﹣<
br>1
,
2
)上结论正确的是( )
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A
.既有极大值,也有极小值
B
.有极大值,没有极小值
C
.没有极大值,有极小值
D
.既无极大值,也没有极小值
8
.
A
.
=
( )
B
.﹣
1
C
.
D
.
9
.设函数
f
(
x
)是二次函数,若
f
(
x
)
e
x
的一个极值点为
x=
﹣
1
,则下列图象
不可能为
f
(
x
)图象的是( )
A
.
B
.
C
.
D
.
10
.《九章算术》是我国古代的优秀数学著
作,在人类历史上第一次提出负数的
概念,内容涉及方程、几何、数列、面积、体积的计算等多方面.书
的第
6
卷
19
题,
“
今有竹九节,下三节容量四升,上四节
容量三升.
”
如果竹由下往上均匀
变细(各节容量可视为等差数列),则中间剩下的两
节容量是多少升( )
A
.
B
.
C
.
D
.
11
.△
ABC
内一点
O
满足
A
.
12
.曲线
B
.
,直线
AO
交
BC
于点
D
,则(
)
C
.
D
.
的一条切线
l
与
y=x
,
y
轴三条直线围成三角形记为△
OAB
,则
△
OAB
外接圆面积的最小值为( )
A
.
二、填空题(每题
5
分,满分
20
分,将答案填在答题纸上)
B
.
C
.
D
.
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13
.已知{
a
n
}是等比数列,
a
3
=
1
,
a
7
=9
,则
a
5
=
.
14
.计算:(﹣
x
)
dx=
.
15
.已知
y=f
(
x
+
1
)+
2
是定义域为
R
的奇函数,则
f
(
e
)+
f
(
2
﹣
e
)
=
.
16
.在△
ABC
中,
则
AD=
.
三、解答题(本大题共
6
小题,共
70
分.
解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤
.
)
17
.
B
,
C
的对边长是
a
,
b
,
c
公差为
1
的等差数列,在△
ABC
中,角A
,且
a
+
b=2ccosA
.
,过
B
点作
BD
⊥
AB
交
AC
于点
D
.若AB=CD=1
,
(
Ⅰ
)求证:
C=2A
;
(
Ⅱ
)求
a
,
b
,
c
.
18
.已知等差数列{
a
n
}的公差
d
≠
0
,其前
n
项和为
S
n
,若
S
9
=99
,且
a
4
,
a
7
,
a
12
成等比数列.
(
Ⅰ
)求数列{
a
n
}的通项公式;
(
Ⅱ
)若
19
.已知
(
Ⅰ
)求
f
(
x
)的最小正周期和最大值;
(
Ⅱ
)若
﹣
m
(
m
∈
R
)的零点个数.
,画出函数
y=g
(
x
)的图象,讨论
y=g
(
x
)
,证明:.
.
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20
.已知
S
n
是等比数列{
a
n
}的前
n
项和,
S
3
,
S
9
,
S
6
成等差数列.
(
Ⅰ
)求证:
a
2
,
a
8
,
a
5
成等差数列;
(
Ⅱ
)若等差数列{
b
n
}满足
b
1
=a
2<
br>=1
,
b
3
=a
5
,求数列{
a
n
3
b
n
}的前
n
项和
T
n
.
21
.已知函数
f
(
x
)
=e
x<
br>+
ax
+
b
(
a
,
b
∈
R
)在
x=ln2
处的切线方程为
y=x
﹣
2ln2
.
(
Ⅰ
)求函数
f
(
x
)的单调区间;
<
br>(
Ⅱ
)若
k
为差数,当
x
>
0
时,
(
k
﹣
x
)
f'
(
x
)<
x+
1
恒成立,求
k
的最大值(其
中
f'
(x
)为
f
(
x
)的导函数).
22
.已知函数
f
(
x
)
=2ln
(
x
+1
)+
(
Ⅰ
)求实数
m
的取值范围;
(
Ⅱ
)若
f
(
x
1
)
=f
(<
br>x
2
)(
x
1
≠
x
2
),求证:<
br>x
1
+
x
2
>
2
.
﹣(
m
+
1
)
x
有且只有一个极值.
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2017
年安徽省示范高中高考数学二模试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共
12个小题,每小题
5
分,共
60
分
.
在每小题给出的四个
选项中,只有一项是符合题目要求的
.
1
.设集合
A=<
br>{
x
|
x
2
<
2x
},
B=
{
x
|
x
﹣
1
<
0
},则
A<
br>∩
B=
( )
A
.(﹣∞,﹣
1
)
B
.(﹣∞,
1
)
C
.(
0
,
1
)
D
.(
1
,
2
)
【考点】交集及其运算.
【分析】分别求解一元二次不等式及一元一次不等式化简集
合
A
、
B
,再由交集
运算得答案.
【解答】解:
∵
A=
{
x
|
x
2
<
2x
}=
(
0
,
2
),
B=
{
x
|
x
﹣
1
<
0
}
=
(﹣∞,
1),
∴
A
∩
B=
(
0
,
1
),
故选:
C
.
2.命题
“
?
x
0
∈(
1
,+∞),
x
0
2
+
2x
0
+
2
≤
0”
的否定形式是( )
A
.
C
.
【考点】命题的否定.
【分析】根据特称命题的否定是全称命题,写出它的否定命题即可.
【解答】解:命
题
“
?
x
0
∈(
1
,+∞),
x
0
2
+
2x
0
+
2
≤
0”
的否定
形式是:
“
?
x
∈(
1
,+∞),
x<
br>2
+
2x
+
2
>
0”
.
故选:
A
.
3
.
cos215°
)已知角
α
(
0°
≤
α
<
360°
)终边上一点的坐标为(
sin215°
,,则
α=
(
)
B
.
D
.
A
.
215° B
.
225° C
.
235°
D
.
245°
【考点】任意角的三角函数的定义.
【分析】利用诱导公式,任意角的三角函数的定义,求得
α
的值.
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【解答】解:∵角
α
(
0°
≤
α
<
360°
)终边上一点的坐标为(
sin21
5°
,
cos215°
),
由三角函数定义得
cosα=
sin215°=cos235°
,
sinα=cos215°=sin235°
,∴
α=235°
,
故选:
C
.
4
.已知
的( )
A
.充分不必要条件
B
.充要条件
C
.必要不充分条件
D
.既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】设出向量的坐标,求出<
br>【解答】解:设
若
则(
2
﹣
k
)
?
=
(
1
,
0
),则
”
,
=0
,
)]
?
(
1
,
0
)
=2
﹣
=0
,
=
(,
”
的充要条件,判断即可.
),
是夹角为
60°
的两个单位向量,则
“
实数
k=4”
是<
br>“”
故[
2
(
1
,
0
)﹣
k
(,
解得:
k=4
,
故实数
k=4”
是
“
故选:
B
.
5
.函数
”
的充要条件,
的最小正周期是
π
,则其图象向右平移个
单位后的单调递减区间是(
)
A
.
C
.
【考点】余弦函数的图象.
【分析】根据最小正周期是
π
,可知
ω=2
,求得图象向右平移
式
,再结合三角函数的性质求单调递减区间.
个单位后解析
B
.
D
.
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【解答】解:由函数
解得:
ω=2
,
图象向右平移
的最小正周期是
π
,即,
个单位,经过平移后得到函数解析式为
,
由
解得单调递减区间为
故选:
B
.
6
.已知
(
k
∈
Z
),
.
,则( )
A
.
f
(
2
)>
f
(
e
)>
f
(
3
)
B
.
f
(
3
)>
f
(
e
)>
f
(
2
)
C
.
f
(
3
)>
f
(
2
)>
f
(
e
)
D<
br>.
f
(
e
)>
f
(
3
)>
f
(
2
)
【考点】利用导数研究函数的单调性.
【分析】求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,从而
求出函数的最大值,计
算
f
(
e
),
f
(
3
),
f(
2
)的值,比较即可.
【解答】解:
f
(
x
)的定义域是(
0
,+∞),
∵,
∴
x
∈(
0
,
e
),
f'
(
x
)
>
0
;
x
∈(
e
,+∞),
f'
(
x
)<
0
,
故
x=e
时,
f
(
x
)
max
=f
(
e
),
而
f
(
e
)>
f
(
3
)>
f
(
2
),
故选:
D
.
7
.设函数
f
(
x
)在(
m
,
n
)上的导函数为
g
(
x
),
x
∈(m
,
n
),
g
(
x
)若的导
函数小于
零恒成立,则称函数
f
(
x
)在(
m
,
n
)上为
“
凸函数
”
.已知当
a
≤
2
时,<
br>,在
x
∈(﹣
1
,
2
)上为
“
凸函
数
”
,则函数
f
(
x
)在(﹣
1
,
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,
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2
)上结论正确的是(
)
A
.既有极大值,也有极小值
B
.有极大值,没有极小值
C
.没有极大值,有极小值
D
.既无极大值,也没有极小值
【考点】利用导数研究函数的极值.
【分析】根据函数恒成立,得出
m
的值,利用函数单调性得出结果.
【解答】解:,
由已知得
g′
(
x
)
=
x
﹣
a
<
0
,当
x
∈(﹣
1
,<
br>2
)时恒成立,
故
a
≥
2
,又已知
a
≤
2
,故
a=2
,
此时由
f′(
x
)
=0
,得:
x
1
=2
﹣
当
x
∈(﹣
1
,
2
﹣
,
x
2<
br>=2
+?(﹣
1
,
2
),
,
2<
br>)时,
f′
(
x
)<
0
,
)时,
f′
(
x
)>
0
;当
x
∈(
2<
br>﹣
所以函数
f
(
x
)在(﹣
1
,
2
)有极大值,没有极小值,
故选:
B
.
8
.
A
.
B
.﹣
1
C
.
=
( )
D
.
【考点】三角函数的化简求值.
【分析】利用
“
切化弦
”
的思想与辅助角公式结合化简即可.
【解答】解:
故选:
B
.
9
.设函数
f
(
x
)是二次函数,若
f
(
x
)
e
x
的一个极值点为
x=
﹣
1
,则下列图象
不可能为
f
(
x
)图象的是( )
A
.
B
.
C
.
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D
.
【考点】利用导数研究函数的极值.
【分析】先求出函数<
br>f
(
x
)
e
x
的导函数,利用
x=
﹣
1
为函数
f
(
x
)
e
x
的一个
极值
点可得
a
,
b
,
c
之间的关系,再代入函数<
br>f
(
x
)
=ax
2
+
bx
+
c
,对答案分别代入验证,
看哪个答案不成立即可.
【解答】解:由y=f
(
x
)
e
x
=e
x
(
ax
2
+
bx
+
c
)?
y′=f′
(x
)
e
x
+
e
x
f
(
x)
=e
x
[
ax
2
+(
b
+
2a
)
x
+
b
+
c
],
由x=
﹣
1
为函数
f
(
x
)
e
x
的一个极值点可得,﹣
1
是方程
ax
2
+(
b<
br>+
2a
)
x
+
b
+
c=0
的一个根
,
所以有
a
﹣(
b
+
2a
)+
b
+
c=0
?
c=a
.
法一:所以函数
f
(
x
)
=ax
2
+
bx
+
a<
br>,对称轴为
x=
﹣
=a
.
对于
A
,由图得
a
>
0
,
f
(
0
)>
0
,
f
(﹣
1
)
=0
,不矛盾,
对于
B
,由图得
a
<
0
,
f
(
0
)<
0
,
f
(﹣
1
)
=0
,不矛
盾,
对于
C
,由图得
a
<
0
,
f
(
0
)<
0
,
x=
﹣
对于
D<
br>,由图得
a
>
0
,
f
(
0
)>0
,
x=
﹣
中
f
(﹣
1
)>
0
矛盾,
D
不对.
法二:所以函数
f
(
x
)
=ax
2
+
bx
+
a
,由此得函数相
应方程的两根之积为
1
,对照四
个选项发现,
D
不成立.
故选:
D
.
10
.《九章算术》是
我国古代的优秀数学著作,在人类历史上第一次提出负数的
概念,内容涉及方程、几何、数列、面积、体
积的计算等多方面.书的第
6
卷
19
题,
“
今有竹九节,下
三节容量四升,上四节容量三升.
”
如果竹由下往上均匀
变细(各节容量可视为等差数
列),则中间剩下的两节容量是多少升( )
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,且
f
(﹣
1
)
=2a
﹣
b
,
f
(
0<
br>)
>
0
?
b
>
0
?
f
(﹣
1
)<
0
,不矛盾,
<﹣
1
?
b
>
2a
?
f
(﹣
1
)<
0
与原
图
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A
.
B
.
C
.
D
.
【考点】等差数列的通项公式.
a
2
,
…
,
a
9
,【分析】设九节竹自上而下分别为
a
1
,由题意可得
求出首项和公差,则答案可求.
【解答
】解:由题意,设九节竹自上而下分别为
a
1
,
a
2
,…
,
a
9
,
则
∴
故选:
B
.
11.△
ABC
内一点
O
满足
A
.
B
.
C
.
,直线
AO
交
BC
于点
D
,则(
)
D
.
,
,解得
.
,
【考点】平面向量的基本定理及其意义.
【分析】由已知得
此能求出
2
+
3=
.
=
,直线
AO
交
BC
于点
D
,
=
,则
=
,从而得到
=
,由
【解答】解:∵△ABC
内一点
O
满足
∴
令
=
=
,
,则
=
,
∴
B
,
C
,<
br>E
三点共线,
A
,
O
,
E
三点共线,∴D
,
E
重合.
∴
=
,∴
2
+
3=2
﹣
2
+
3
﹣
3=
﹣﹣
5
=
.
故选:
A
.
12<
br>.曲线的一条切线
l
与
y=x
,
y
轴三条直线围成三
角形记为△
OAB
,则
△
OAB
外接圆面积的最小值为(
)
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A
.
B
.
C
.
D
.
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】设直线
l
与
曲线的切点坐标为(
x
0
,
y
0
),求出函数的导数,可得
切线的
斜率和方程,联立直线
y=x
求得
A
的坐标,与
y<
br>轴的交点
B
的坐标,运用两点距
离公式和基本不等式可得
AB
的最小值,再由正弦定理可得外接圆的半径,进而
得到所求面积的最小值.
【解答】
解:设直线
l
与曲线的切点坐标为(
x
0
,
y
0<
br>),
函数的导数为.
则直线
l
方程为,即,
可求直线
l
与
y
=x
的交点为
A
(
2x
0
,
2x
0
),与
y
轴的交点为,
在△
OAB
中,
当且仅
当
x
0
2
=2
时取等号.
,
,
,
由正弦定理可得△
OAB
得外接圆半径为
则△
OAB
外接圆面积
故选
C
.
二、填空题(每题
5
分,满分
20
分,将答案填在答题纸
上)
13
.已知{
a
n
}是等比数列,
a
3
=1
,
a
7
=9
,则
a
5
=
3
.
【考点】等比数列的通项公式.
【分析】由已知结合等比数列的性质求解.
【解答】解:∵
a
3<
br>=1
,
a
7
=9
,
∴由等比数列的性质可得:
,又
∴
a
5
=3
.
>
0
,
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故答案为:
3
.
14
.计算:(﹣
x
)
dx=
.
【考点】定积分.
【分析】先利用定积分的几何意义计算
dx
,即
求被积函数
y=
(﹣
x
)
dx
,问题得以解与直线
x=0
,
x=1
所围成的图形的面积即可,再求出
决.
【解答】解:由定积分的几何意义知
x=1
所围成的图形的面积,
即是以(
1
,
0
)为圆心,以
1
为半径的圆的面积的,
故
dx=
(﹣
x
)
dx=
﹣
∴(<
br>,
=
,
.
dx
是由
y=
与直线
x=0
,
﹣
x
)
dx=
.
故答案为:
15
.已知
y=f
(
x
+
1
)+
2
是定义域为
R
的奇函数
,则
f
(
e
)+
f
(
2
﹣
e)
=
﹣
4
.
【考点】函数奇偶性的性质.
【分析】
y=f
(
x
+
1
)+
2
的图象
关于原点(
0
,
0
)对称,则
y=f
(
x
)图象关于(
1
,
﹣
2
)对称,即可求出
f
(<
br>e
)+
f
(
2
﹣
e
).
【解答】解:
y=f
(
x
+
1
)+
2
的图
象关于原点(
0
,
0
)对称,
则
y=f
(
x
)是由
y=f
(
x
+
1
)+
2
的图象向右平移
1
个单位、向下平移
2
个单位得
到,图象
关于(
1
,﹣
2
)对称,
f
(
e
)+f
(
2
﹣
e
)
=
﹣
4
.
故答案为﹣
4
.
16
.在△
ABC
中,
则
AD=
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,过
B
点作
BD
⊥
AB
交AC
于点
D
.若
AB=CD=1
,
.
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【考点】正弦定理.
【分析】设
AD=
x
,由题意求出∠
CBD
、
sin
∠
BDC
,由正
弦定理求出
BC
,在△
ABC
中由余弦定理列出方程,化简后求出
x
的值,可得答案.
【解答】解:设
AD=x
,且
BD⊥
AB
,
AB=CD=1
,
在△
BCD
中,,则,
=
,
且
sin
∠
BDC=sin
(
π
﹣∠
ADB
)=sin
∠
ADB=
由正弦定理得,,
所以
BC===
,
在△
ABC
中,由余弦定理得,
AC
2
=AB<
br>2
+
BC
2
﹣
2?AB?BCcos
∠
AB
C
则
解得
x=
,即
AD=
.
,
,化简得,,
故答案为:
<
br>三、解答题(本大题共
6
小题,共
70
分
.
解答应写
出文字说明、证明过程或演算
步骤
.
)
17
.
B
,
C
的对边长是
a
,
b
,
c<
br>公差为
1
的等差数列,在△
ABC
中,角
A
,且a
+
b=2ccosA
.
(
Ⅰ
)求证:
C=2
A
;
(
Ⅱ
)求
a
,
b
,
c
.
【考点】正弦定理;余弦定理.
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精品文档 【分析】(
Ⅰ
)由
a
+
b=2ccosA
.利用正弦定
理可证
C=2A
.
b
,
c
公差为
1的等差数列,
c=b
+
1
,(
Ⅱ
)由
a
,得
a=b
﹣
1
,由余弦定理得
a
2
=b
2
+
c
2
﹣
2bccosA
,利用正弦定理可求
a
,
b
,
c
的值.
【解答】(
Ⅰ
)证明:由已知
a
+
b=2ccosA
及正弦定理得
s
inA
+
sinB=2sinCcosA…
①,
又
sinB=sin
(
A
+
C
)
=sinAcosC
+
cos
AsinC…
②
把②代入①得:
sinA
+
sinAco
sC
+
cosAsinC=2sinCcosA
,
整理得:
sinA=sin
(
C
﹣
A
)
又∵
0
<
A
<
π
,
0
<
C
﹣
A
<
π
,
∴
A=C
﹣
A
故
C=2A
.
(
Ⅱ
)由已知得
a=b
﹣
1
,
c=b+
1
,由余弦定理得
a
2
=b
2
+
c
2
﹣
2bccosA
,
整理得:
b
+<
br>4=2
(
b
+
1
)
cosA
①
<
br>由(
Ⅰ
)知
C=2A
,得
sinC=sin2A=2sinA
cosA
,
由正弦定理得
c=2acosA
即
cosA=
由①②整理得:
b=5
,
∴
a=4
,
b=5
,
c=6
.
18
.已知等差数列{
a
n
}的公差
d
≠
0
,其前
n
项和为
S
n
,若
S
9
=99
,且
a
4
,
a
7
,
a<
br>12
成等比数列.
(
Ⅰ
)求数列{
a
n
}的通项公式;
(
Ⅱ
)若,证明:.
=
②
【考点】数列与不等式的综合;等差数列的通项公式;数列的求和.
【分析】(Ⅰ
)由
S
9
=99
,求出
a
5
=11
,由
a
4
,
a
7
,
a
12
成等比数列,求出
d=2
,由
此能求出数列{
a
n
}的通
项公式.
(
Ⅱ
)求出
裂项求和法能证明
=n
(<
br>n
+
2
),从而
.
==
,由此利用
【解答】解:(
Ⅰ
)因为等差数列{
a
n
}的公差
d≠
0
,其前
n
项和为
S
n
,
S
9
=99
,
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∴
a
5
=11
,
…
由
a
4
,
a
7
,
a
12
成等比数列,得,
即(
11
+
2d
)
2
=
(
11<
br>﹣
d
)(
11
+
7d
),∵
d
≠<
br>0
,∴
d=2
,
…
∴
a
1
=11
﹣
4
×
2=3
,
故
a
n
=2n
+
1 …
证明:(
Ⅱ
)
=n
(
n
+
2
),
==
,
…
∴
=
[(
1
﹣)+(
=
[
1
+
故
19
.已知
.
…
)+(
]
=
)+
…
+(
,
)+()]
…
.
(
Ⅰ
)求
f
(
x
)的最小正周期和最大值;
(
Ⅱ
)若
﹣
m
(
m
∈
R
)的零点个数.
,画出
函数
y=g
(
x
)的图象,讨论
y=g
(
x
)
【考点】三角函数中的恒等变换应用;平面向量数量积的运算;正弦函数的图
象.
【分析】(
Ⅰ
)根据
f
(
x
)
=2<
br>精品文档
,利用向量数量积的运算法则求解
f
(
x
)并化<
/p>
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简,即可求得
f
(
x
)的最小正周期和最大值
(
Ⅱ
)
fx
)
=2
【解答】解:(
Ⅰ
)(<
br>
,利用
“5
点画法
”
画出函数
y=g
(<
br>x
)的图象.
=2sinxcosx
+
2sin
2
x
=sin2x
﹣
cos2x
+
1=
∴
f
(
x
)的最小正周期
T=π
;
函数
f
(
x
)的最大值为:
(
Ⅱ
)
上
列表为
x
;
,利用
“5
点画法
”
,函数
y=g<
br>(
x
)在区间
﹣
π
0
1
﹣
1
0
0
1
2
2
1
描点作图
那么:
y=g
(
x
)﹣m
(
m
∈
R
)的零点个数,即为函数
y=g
(
x
)与直线
y=m
的交
点个数,
由图可知,当
当
当或
时,无零点;
时,有
1
个零点;
时,有
2
个零点;
当
m=2
时,有
3
个零点.
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20
.已知
S
n是等比数列{
a
n
}的前
n
项和,
S
3
,
S
9
,
S
6
成等差数列.
(
Ⅰ
)求证:
a
2
,
a
8
,
a
5
成等差数列;
(
Ⅱ
)若等差数列{
b
n
}满足
b
1
=a
2
=1
,
b
3
=
a
5
,求数列{
a
n
3
b
n
}的前
n
项和
T
n
.
【考点】数列的求和;等差数列的通项公式.
【分析】(
Ⅰ
)设等
比数列{
a
n
}的公比为
q
.当
q=1
时,显然<
br>S
3
+
S
6
≠
2S
9
,与已知S
3
,
S
9
,
S
6
成等差数列矛盾,
1
+
q
3
=2q
6
,可得
q
≠<
br>1
.由
S
3
+
S
6
=2S
9
,利用求和公式化为:
即可证明
a
2
,
a
8
,<
br>a
5
成等差数列.
(
Ⅱ
)由(
Ⅰ
)
1
+
q
3
=2q
6
,解得
=
=
出.
【解答】(
Ⅰ
)证明:设等比数列{
a
n
}的公比为
q
.
当
q=1
时,显然
S<
br>3
+
S
6
≠
2S
9
,与已知
S3
,
S
9
,
S
6
成等差数列矛盾,
∴
q
≠
1
.由
S
3
+
S
6
=2S
9
,可得
化为:
1
+
q
3
=2q
6
,∴
a
2
+
a
5
=
∴
a
2
,
a
8
,
a
5
成等差数列.
(
Ⅱ
)解:由(
Ⅰ
)
1
+
q<
br>3
=2q
6
,解得
q
3
=1
(舍去),q
3
=
﹣.
∴
===
.
=
+
=2
=2a
8
.
,
==
q
3
=
﹣.可得
+,.
b
1
=a
2
=1
,
b
3
=a
5
=
﹣,可得
b
n
=
﹣
,再利用
“
错位相减法
”
与等比数列的求和公式即可得
b
1
=a
2
=1
,
b
3
=a
5
=
﹣,
数列{
b
n
}的公差
d=
(
b
3
﹣
b
1
)<
br>=
﹣.
∴
b
n
=
﹣
故
T
n
=
=
+,
,
++
…
+,①
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=
①﹣②得:
+
…
+
=
﹣
2
+
=
=
+
.
﹣
2
,
﹣
+②
﹣
﹣
解得
T
n
=
﹣+
21
.已知函数
f
(
x
)
=
e
x
+
ax
+
b
(
a
,
b
∈
R
)在
x=ln2
处的切线方程为
y=x
﹣
2
ln2
.
(
Ⅰ
)求函数
f
(
x
)的单调区间;
(
Ⅱ
)若
k
为差数,当
x
>
0
时,(
k
﹣
x
)
f'
(
x
)<<
br>x
+
1
恒成立,求
k
的最大值(其
中
f'<
br>(
x
)为
f
(
x
)的导函数).
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.
【分析】(
Ⅰ
)求出原函数的导函数,由
f'
(
ln2
)<
br>=1
求导
a
值,再由
f
(
ln2
)
=
﹣
ln2
求得
b
值,代入原函数的导函数,再由导函数的符号与原
函数单调性间的
关系确定原函数的单调区间;
(
Ⅱ
)把当
x
>
0
时,(
k
﹣
x
)
f'
(<
br>x
)<
x
+
1
恒成立,转化为在
x
>
0
时
恒成立.令,利用导数求其最小值得答案.
【解答】解:
(
Ⅰ
)
f'
(
x
)
=e
x
+a
,由已知得
f'
(
ln2
)
=1
,故
e
ln2
+
a=1
,解得
a=
﹣
1
.<
br>
又
f
(
ln2
)
=
﹣
ln2,得
e
ln2
﹣
ln2
+
b=
﹣
ln
2
,解得
b=
﹣
2
,
∴
f<
br>(
x
)
=e
x
﹣
x
﹣
2
,
则
f'
(
x
)
=e
x
﹣
1
,
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当
x
<
0
时
,
f'
(
x
)<
0
;当
x
>
0<
br>时,
f'
(
x
)>
0
,
∴
f
(
x
)的单调区间递增区间为(
0
,+∞),递减区间为(﹣∞
,
0
);
(
Ⅱ
)由已知(
k
﹣
x
)
f'
(
x
)<
x
+
1
,及<
br>f'
(
x
)
=e
x
﹣
1
,
整理得在
x
>
0
时恒成立.
令
,,
当
x
>
0
时,
e
x
>
0
,
e
x
﹣
1
>
0
;
由(
Ⅰ
)知
f
(
x
)
=e
x
﹣
x
﹣
2
在(
0
,+∞)上为增函数,
又
f
(
1
)
=e
﹣
3
<
0
,
f
(
2
)
=e
2
﹣
4
>
0
,
∴存在
x
0
∈(
1
,
2
)使得,此时 <
br>当
x
∈(
0
,
x
0
)时,
g'(
x
)<
0
;当
x
∈(
x
0
,+∞)时,
g'
(
x
)>
0
∴.
故整数
k
的最大值为
2
.
22
.已知函数
f
(
x
)
=2ln
(
x<
br>+
1
)+
(
Ⅰ
)求实数
m
的取值范围;
(
Ⅱ
)若
f
(
x
1
)
=f
(
x
2
)(
x
1
≠
x
2
),求证:
x
1
+
x
2
>
2
.
【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性.
【分析】(
Ⅰ
)求出函数的导数,通过讨论
m
的范围,根据函数有且只有一个极
值,求
出
m
的范围即可;
(
Ⅱ
)不妨设﹣
1
<
x
1
<
1
<
x
2
,令
g
(
x
)
=f
(
2
﹣
x
)﹣
f(
x
)(﹣
1
<
x
<
1
),根据函数的单调性证明即可.
【解答】解:(
Ⅰ
)
f
(<
br>x
)定义域为(﹣
1
,+∞),
﹣(
m
+
1
)
x
有且只有一个极值.
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…
即求
f'
(
x
)
=0
在区间(﹣
1
,+∞)上只有一个解,
(
1
)当
m
≠
0
时,由
f'
(
x
)
=0
得
x=1
或,
则,
m
<
0…
(
2
)当
m=0
时,.得
x=1
符合题意,
综上:当
m
≤
0
时,
f
(
x
)有且只有一个极值
…
(
Ⅱ
)由(
Ⅰ
)知:
m
≤
0
,
x=1
时
f
(
x
)有且只有一个极大值.
又
f
(
x
1
)
=f
(
x2
)(
x
1
≠
x
2
),不妨设﹣
1<
br><
x
1
<
1
<
x
2
令<
br>g
(
x
)
=f
(
2
﹣
x
)
﹣
f
(
x
)(﹣
1
<
x
<
1)
则
g
(
x
)
=2ln
(
3
﹣
x
)﹣
2ln
(
x
+
1
)+
2x
﹣
2
所以
g
(
x
)在(﹣
1
,
1
)上为减函数,故
g
(
x
)>g
(
1
)
=0…
即当﹣
1
<
x
<
1
时,
f
(
2
﹣
x
)><
br>f
(
x
).
所以
f
(
2
﹣
x
1
)>
f
(
x
1
)
=f(
x
2
),即
f
(
2
﹣
x
1
)>
f
(
x
2
)
由(
Ⅰ
)知,
f
(
x
)在(
1
,+∞)上为减函数,且
2
﹣
x
1
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1
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