2017年安徽省示范高中高考数学二模试卷(文科)(解析版)

2017
年安徽省示范高中高考数学二模试卷（文科）



一、选择题：本大题共
12
个小题，每小题
5
分，共
60< br>分
.
在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的
.

1
．设集合
A=
{﹣
1
，
0
，
1
，
2
}，
B=
{
x
|
x
﹣< br>1
＜
0
}，则
A
∩
B=
（ ）

A
．（﹣
1
，
1
）
B
．（﹣
1
，
0
）
C
．{﹣
1
，
0
，
1
}
D
．{﹣
1
，
0
}

2
．命题
“
?
x
0
∈（
1
，+∞），
x
0
2
+
2x
0
+
2
≤
0”
的否定形式是（ ）

A
．
C
．
B
．
D
．



3
．
cos215°
）已知角
α
（
0°
≤
α
＜
360°
）终边上一点的 坐标为（
sin215°
，，则
α=
（ ）
A
．
215° B
．
225° C
．
235° D
．
245°

4
．已知
的（ ）

A
．充分不必要条件
B
．充要条件

C
．必要不充分条件
D
．既不充分也不必要条件

5
．方程
lnx
+
2x=6
的根所在的区间为（ ）

A
．（
2
，
2.25
）
B
．（
2.25
，
2.5
）

6
．函数
单位后的单调递减区间是（ ）

A
．
C
．
7
．已知


，则（ ）

B
．
D
．


是夹角为
60 °
的两个单位向量，则
“
实数
k=4”
是
“”
C< br>．（
2.5
，
2.75
）
D
．（
2.75
，
3
）

个的最小正周期是
π
，则其图象向右平移
A
．
f
（
2
）＞
f
（
e
）＞
f
（
3
）
B
．f
（
3
）＞
f
（
e
）＞
f
（
2
）
C
．
f
（
3
）＞
f
（
2
）＞
f
（
e
）
D
．
f< br>（
e
）＞
f
（
3
）＞
f
（
2
）

8
．设函数
f
（
x
）在（
m
，
n
）上的导函数为
g
（
x
），
x∈（
m
，
n
），
g
（
x
）若的导函数小于零恒成立，则称函数
f
（
x
）在（
m
，
n
）上为
“
凸函数
”
．已知当
a
≤
2< br>时，
第1页（共20页）

，在
x
∈（﹣< br>1
，
2
）上为
“
凸函数
”
，则函数
f
（
x
）在（﹣
1
，
2
）上结论正确的是（ ）

A
．既有极大值，也有极小值
B
．有极大值，没有极小值

C
．没有极大值，有极小值
D
．既无极大值，也没有极小值

9
．设函数
f
（
x
）是二次函数，若
f
（
x
）
e
x
的一个 极值点为
x=
﹣
1
，则下列图象
不可能为
f
（x
）图象的是（ ）

A
．
B
．
C
．
D
．

10
．《九章算术》是我国古代的优秀数学著 作，在人类历史上第一次提出负数的
概念，内容涉及方程、几何、数列、面积、体积的计算等多方面．书 的第
6
卷
19
题，
“
今有竹九节，下三节容量四升，上四节 容量三升．
”
如果竹由下往上均匀
变细（各节容量可视为等差数列），则中间剩下的两 节容量是多少升（ ）

A
．
B
．
C
．
D
．

11
．△
ABC
内一点O
满足
A
．
B
．
C
．
，直线
AO
交
BC
于点
D
，则（ ）

D
．

12
．已知函数
f
（
x
）
=e
﹣
x
﹣|
lnx
|的两个零点分别为< br>x
1
，
x
2
，则（ ）

A
．
0
＜
x
1
x
2
＜
1 B
．
x
1
x
2
=1 C
．
1
＜
x
1
x
2
＜
e D
．
x
1
x
2
＞
e



二、填空题（每题
5
分，满分
20
分，将答案填在答题纸上）

13
．
sin15°
+
cos15°=
．

14
．已知{
a
n
}是等比数列，
a
3
= 1
，
a
7
=9
，则
a
5
=
．

15
．已知
y=f
（
x
+
1
）+
2
是定义域为
R
的奇函数，则
f
（
0
）+
f
（
2
）
=
．

第2页（共20页）

16
．在△
ABC
中，
则
AD=
．



，过
B
点作
BD
⊥
AB
交
AC
于点
D
．若
AB=CD=1
，
三、 解答题（本大题共
6
小题，共
70
分
.
解答应写出文字说明 、证明过程或演算
步骤
.
）


17
．在△
ABC
中，角
A
，
B
，
C
的对边长是
a
，
b
，
c
公差为
1
的等差数列，且
C=2 A
．
（Ⅰ）求
a
，
b
，
c
；

（Ⅱ）求△
ABC
的面积．

18
．已知等差数列{
a
n
}的公差
d
≠
0
，其前
n
项和为< br>S
n
，若
S
9
=99
，且
a
4，
a
7
，
a
12
成等比数列．

（Ⅰ）求数列{
a
n
}的通项公式；

（Ⅱ）若
1 9
．已知
（Ⅰ）求
f
（
x
）的最小正周期和最大值；

（Ⅱ）画出函数
y=f
（
x
）在区间上的图象．

，证明：．

．


20
．已知
S
n
是等比数列{
a
n
}的前
n
项和，
S
3
，
S
9
，
S
6
成等差数列．

（Ⅰ）求证：
a
2
，
a
8
，
a
5
成等差数列；

（Ⅱ）若等差数列{
b
n
}满足
b
1
=a
2
=1
，
b
3
=a
5
，求 数列{
a
n
3
b
n
}的前
n
项和
T
n
．

21
．已知函数

（Ⅰ）若
x= 1
是
f
（
x
）的极值点，求
f
（
x
）的极值；

第3页（共20页）

（Ⅱ）若
f
（
x
）有两个极值点，求
m
的取值范围．

22< br>．已知函数
f
（
x
）
=e
x
+
ax
+
b
（
a
，
b
∈
R
）在
x=ln2
处的切线方程为
y=x
﹣
2ln2
．

（Ⅰ）求函数
f
（
x
）的单调区间；

（Ⅱ）当< br>x
＞
0
，
k
≤
2
时，求证：（
k< br>﹣
x
）
f'
（
x
）＜
x
+
1
（其中
f'
（
x
）为
f
（
x
） 的
导函数）．



第4页（共20页）

2017
年安徽省示范高中高考数学二模试卷（文科）

参考答案与试题解析



一、选择题：本大题共
12个小题，每小题
5
分，共
60
分
.
在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的
.

1
．设集合
A=< br>{﹣
1
，
0
，
1
，
2
}，
B=
{
x
|
x
﹣
1
＜
0
}，则< br>A
∩
B=
（ ）

A
．（﹣
1
，
1
）
B
．（﹣
1
，
0
）
C
．{﹣
1
，
0
，
1
}

【考点】交集及其运算．

【分析】求解一元一次不等式化简
B
，再由交集运算得答案．

【解 答】解：∵
B=
{
x
|
x
﹣
1
＜
0
}
=
（﹣∞，
1
），
A=
{﹣
1
，
0
，
1
，
2
}，

∴
A∩
B=
{﹣
1
，
0
}，

故选：
D
．



2
．命题
“< br>?
x
0
∈（
1
，+∞），
x
0
2< br>+
2x
0
+
2
≤
0”
的否定形式是（ ）

A
．
C
．
【考点】命题的否定．

【分析】根据特称命题的否定是全称命题，写出它的否定命题即可．

【解答】解：命 题
“
?
x
0
∈（
1
，+∞），
x
0
2
+
2x
0
+
2
≤
0”
的否定 形式是：

“
?
x
∈（
1
，+∞），
x< br>2
+
2x
+
2
＞
0”
．

故选：
A
．




3
．
cos215°
）已知角
α
（
0°
≤
α
＜
360°
）终边上一点的坐标为（
sin215°
，，则
α=
（ ）
D
．{﹣
1
，
0
}

B
．
D
．


A
．
215° B
．
225° C
．
235° D
．
245°

【考点】任意角的三角函数的定义．

【分析】利用诱导公式，任意角的三角函数的定义，求得
α
的值．

【解答】解：∵角
α
（
0°
≤
α
＜
360°
）终边上一点的坐标为（
sin215°
，
cos215°
），

第5页（共20页）

由三角函数定义得
cosα=sin 215°=cos235°
，
sinα=cos215°=sin235°
，∴
α=235°
，

故选：
C
．



4
．已知
的（ ）

A
．充分不必要条件
B
．充要条件

C
．必要不充分条件
D
．既不充分也不必要条件

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【分析】设出向量的坐标，求出< br>【解答】解：设
若
则（
2
﹣
k
）
?
=
（
1
，
0
），则
”
，

=0
，

）]
?
（
1
，
0
）
=2
﹣
=0
，

=
（，
”
的充要条件，判断即可．

），

是夹角为
60°
的两个单位向量，则
“
实数
k=4”
是< br>“”
故[
2
（
1
，
0
）﹣
k
（，
解得：
k=4
，

故实数
k=4”
是
“
故选：
B
．



”
的充要条件，

5
．方程
lnx
+
2x=6
的根所在的区间为（ ）

A
．（
2
，
2.25
）
B
．（
2.25
，
2.5
）

【考点】二分法的定义．

=lnx
+
2x
﹣
6< br>的零点，
=lnx
+
2x
【分析】方程
lnx
+2x=6
的根即函数
f
（
x
）而函数
f
（x
）
﹣
6
在定义域上单调连续，从而即可求零点的区间．
【解答】解：令
f
（
x
）
=lnx
+
2x﹣
6
，则
f
（
x
）在（
2
，
3
）上为增函数．

f
（
2
）
=ln2
﹣
2
＜
0
，
f
（
2.25
）
=ln 2.25
﹣
1.5
＜
0
，
f
（
2.5）
=ln2.5
﹣
1
＜
0
，
f
（2.75
）
=ln2.75
﹣
0.5
＜
0
，< br>f
（
3
）
=ln3
＞
0
，

故选
C
．



第6页（共20页）

C
．（
2.5
，
2.75
）
D
．（
2.75
，
3
）

6
．函数
单位后的单调递减区间是（ ）

A
．
C
．
【考点】余弦函数的图象．



的最小正周期是
π
，则其图象向右平移个
B
．
D
．


【分析】根据最小正周期是
π
，可知
ω=2
， 求得图象向右平移
再结合三角函数的性质求单调递减区间．

【解答】解：由函数
解得：
ω=2
，

图象向右平移
个单位后解析式，
的最小正周期是
π
，即，
个单位，经过平移后得到函数解 析式为
，

由
解得单调递减区间为
故选：
B
．



7
．已知
（
k
∈
Z
），

．

，则（ ）

A
．
f
（
2
）＞
f
（
e
）＞
f
（
3
）
B
．
f
（
3
）＞
f
（
e
）＞
f
（
2
）
C
．
f
（
3
）＞
f
（
2
）＞
f
（
e
）
D< br>．
f
（
e
）＞
f
（
3
）＞
f
（
2
）

【考点】利用导数研究函数的单调性．

【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而
求出函数的最大值，计 算
f
（
e
），
f
（
3
），
f（
2
）的值，比较即可．

【解答】解：
f
（
x
）的定义域是（
0
，+∞），

∵，

∴
x
∈（
0
，
e
），
f'
（
x
） ＞
0
；

x
∈（
e
，+∞），
f'
（
x
）＜
0
，

故
x=e
时，
f
（
x
）
max
=f
（
e
），

第7页（共20页）

而
f
（
e
）＞
f
（
3
）＞
f
（
2
），

故选：
D
．



，

8
．设函数
f
（
x
）在（
m
，
n
）上的导 函数为
g
（
x
），
x
∈（
m
，
n
），
g
（
x
）若的导
函数小于零恒成立，则称函数
f
（
x
）在（
m
，
n
）上为
“
凸 函数
”
．已知当
a
≤
2
时，
，在
x
∈（﹣
1
，
2
）上为
“
凸函数
”
，则函 数
f
（
x
）在（﹣
1
，
2
）上结论正确的 是（ ）

A
．既有极大值，也有极小值
B
．有极大值，没有极小值

C
．没有极大值，有极小值
D
．既无极大值，也没有极小值

【考点】利用导数研究函数的极值．

【分析】根据函数恒成立，得出
m
的值，利用函数单调性得出结果．

【解答】解：，

由已知得
g′
（
x
）
= x
﹣
a
＜
0
，当
x
∈（﹣
1
，< br>2
）时恒成立，

故
a
≥
2
，又已知
a
≤
2
，故
a=2
，

此时由
f′（
x
）
=0
，得：
x
1
=2
﹣
当
x
∈（﹣
1
，
2
﹣
，
x
2< br>=2
+?（﹣
1
，
2
），

，
2< br>）时，
f′
（
x
）＜
0
，

）时，
f′
（
x
）＞
0
；当
x
∈（
2< br>﹣
所以函数
f
（
x
）在（﹣
1
，
2
）有极大值，没有极小值，

故选：
B
．



9
．设函数
f
（
x
）是二次函数，若
f
（
x
）
e
x
的一个极值点为
x=
﹣
1
，则下列图象
不可能为
f
（
x
）图象的是（ ）

A
．
B
．
C
．
第8页（共20页）

D
．

【考点】利用导数研究函数的极值．

【分析】先求出函数
f
（x
）
e
x
的导函数，利用
x=
﹣
1
为 函数
f
（
x
）
e
x
的一个极值
点可得a
，
b
，
c
之间的关系，再代入函数
f
（x
）
=ax
2
+
bx
+
c
，对答案分 别代入验证，
看哪个答案不成立即可．

【解答】解：由
y=f
（< br>x
）
e
x
=e
x
（
ax
2
+
bx
+
c
）?
y′=f′
（
x
）
e
x
+
e
x
f
（
x
）
=ex
[
ax
2
+（
b
+
2a
）
x
+
b
+
c
]，

由
x=
﹣1
为函数
f
（
x
）
e
x
的一个极值点 可得，﹣
1
是方程
ax
2
+（
b
+
2a< br>）
x
+
b
+
c=0
的一个根，

所 以有
a
﹣（
b
+
2a
）+
b
+
c =0
?
c=a
．

法一：所以函数
f
（
x
）
=ax
2
+
bx
+
a
，对称轴为
x=
﹣
=a
．

对于
A
，由图得
a＞
0
，
f
（
0
）＞
0
，
f< br>（﹣
1
）
=0
，不矛盾，

对于
B
，由图得
a
＜
0
，
f
（
0
）＜
0
，
f
（﹣
1
）
=0
，不矛盾，

对于
C
，由图得
a
＜
0
，
f
（
0
）＜
0
，
x=
﹣
对于
D
，由图得
a
＞
0
，
f
（
0
）＞
0
，
x=
﹣
中
f
（﹣
1
）＞
0
矛盾，
D
不对．

法二：所以函数
f
（
x
）
= ax
2
+
bx
+
a
，由此得函数相应方程的两根之积为1
，对照四
个选项发现，
D
不成立．

故选：
D
．



10
．《九章算术》是 我国古代的优秀数学著作，在人类历史上第一次提出负数的
概念，内容涉及方程、几何、数列、面积、体 积的计算等多方面．书的第
6
卷
19
题，
“
今有竹九节，下 三节容量四升，上四节容量三升．
”
如果竹由下往上均匀
变细（各节容量可视为等差数 列），则中间剩下的两节容量是多少升（ ）

第9页（共20页）

， 且
f
（﹣
1
）
=2a
﹣
b
，
f< br>（
0
）
＞
0
?
b
＞
0
?< br>f
（﹣
1
）＜
0
，不矛盾，

＜﹣
1
?
b
＞
2a
?
f
（﹣
1
）＜< br>0
与原图

A
．
B
．
C
．
D
．

【考点】等差数列的通项公式．

a
2
，
…
，
a
9
，【分析】设九节竹自上而下分别为
a
1
，由题意可得
求出首项和公差，则答案可求．

【解答 】解：由题意，设九节竹自上而下分别为
a
1
，
a
2
，…
，
a
9
，

则
∴
故选：
B
．



11．△
ABC
内一点
O
满足
A
．
B
．
C
．
，直线
AO
交
BC
于点
D
，则（ ）

D
．

，
，解得
．

，

【考点】平面向量的基本定理及其意义．

【分析】由已知得
此能求出
2
+
3=
．

=
，直线
AO
交
BC
于点
D
，

=
，则
=
，从而得到
=
，由
【解答】解：∵△ABC
内一点
O
满足
∴
令
=
=
，
，则
=
，

∴
B
，
C
，< br>E
三点共线，
A
，
O
，
E
三点共线，∴D
，
E
重合．

∴
=
，∴
2
+
3=2
﹣
2
+
3
﹣
3=
﹣﹣
5 =
．

故选：
A
．



12< br>．已知函数
f
（
x
）
=e
﹣
x
﹣|
lnx
|的两个零点分别为
x
1
，
x
2
， 则（ ）

A
．
0
＜
x
1
x
2
＜
1 B
．
x
1
x
2
=1 C
．
1
＜
x
1
x
2
＜
e D
．
x
1
x
2
＞
e

【考点】函数零点的判定定理．

【分析】利用函数的零点，判断零点的范围，利用指 数函数的单调性以及对数运
算法则，推出结果即可．

第10页（共20页）

【解答】解：函数
f
（
x
）
=e
﹣
x
﹣|
lnx
|的两个零点分别为
x
1
，
x
2
，

不妨设
0
＜
x
1＜
1
＜
x
2
，则，，，

所以﹣
ln x
1
＞
lnx
2
，
ln
（
x
1< br>x
2
）＜
0
，
0
＜
x
1
x
2
＜
1
．

故选：
A
．



二、填空题（每题
5
分，满分
20
分，将答案 填在答题纸上）

13
．
sin15°
+
cos15°=
．

【考点】两角和与差的正弦函数．

【分析】原式提取，利用特殊角的三角函数值及两 角和与差的正弦函数公式
化简，即可得到结果．

【解答】解：
sin15°
+
cos15°=
sin60°=
．


（
sin15°
+
cos15°
）
=sin
（
15°
+
45°
）
=
故答案为：


14
．已 知{
a
n
}是等比数列，
a
3
=1
，
a< br>7
=9
，则
a
5
=

3
．

【考点】等比数列的通项公式．

【分析】由已知结合等比数列的性质求解．

【解答】解：∵
a
3< br>=1
，
a
7
=9
，

∴由等比数列的性质可得：

，又
∴
a
5
=3
．

故答案为：
3
．



15
．已知
y=f
（
x
+
1
）+
2
是定义域为
R< br>的奇函数，则
f
（
0
）+
f
（
2
）
=
﹣
4
．

【考点】函数奇偶性的性质．
< br>【分析】
y=f
（
x
+
1
）+
2
的 图象关于原点（
0
，
0
）对称，则
y=f
（
x< br>）图象关于（
1
，
﹣
2
）对称，即可求出
f
（
0
）+
f
（
2
）．

第11页（共20页）

＞
0
，

【解答】解：
y=f
（
x
+
1
）+
2
的 图象关于原点（
0
，
0
）对称，

则
y=f（
x
）是由
y=f
（
x
+
1
）+2
的图象向右平移
1
个单位、向下平移
2
个单位得
到，

图象关于（
1
，﹣
2
）对称，
f
（0
）+
f
（
2
）
=
﹣
4
．< br>
故答案为﹣
4
．



16
．在△
ABC
中，
则
AD=
．

，过
B
点作
BD
⊥
AB
交
AC
于 点
D
．若
AB=CD=1
，
【考点】正弦定理．

【分析】设
AD=x
，由题意求出∠
CBD
、
sin
∠BDC
，由正弦定理求出
BC
，在△
ABC
中由余弦定理列出方 程，化简后求出
x
的值，可得答案．

【解答】解：设
AD=x，且
BD
⊥
AB
，
AB=CD=1
，

在△
BCD
中，，则，

=
，

且
sin
∠
BDC=sin
（
π
﹣∠
ADB
）=sin
∠
ADB=
由正弦定理得，，

所以
BC===
，

在△
ABC
中，由余弦定理得，

AC
2
=AB< br>2
+
BC
2
﹣
2?AB?BCcos
∠
AB C

则
解得
x=
，即
AD=
．

，

，化简得，，

故答案为：
第12页（共20页）

三、解答题（本大题共
6
小题，共
70
分
.
解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤
.
）


17
．在△
ABC
中，角
A< br>，
B
，
C
的对边长是
a
，
b
，c
公差为
1
的等差数列，且
C=2A
．
（Ⅰ）求
a
，
b
，
c
；

（Ⅱ）求△
ABC
的面积．

【考点】余弦定理；正弦定理．

【分析】（Ⅰ）由已知得
a=b
﹣
1
，
c=b
+
1
，由余弦定理得
a
2=b
2
+
c
2
﹣
2bccosA
，结
合正弦定理即可求
a
，
b
，
c
的值．

（ Ⅱ）由（Ⅰ）中的边长，利用余弦定理得
a
2
=b
2
+
c< br>2
﹣
2bccosA
求
sinA
，即可求
△
ABC
的面积．

【解答】解：（Ⅰ）由已知得
a=b
﹣
1
，
c=b
+
1
，由余弦定理得
a
2
=b< br>2
+
c
2
﹣
2bccosA

整理得：b
+
4=2
（
b
+
1
）
cosA …
①

由
C=2A
，得
sinC=sin2A=2sinAcosA
由正弦定理得
c=2acosA
，即
cosA=
由①②整理得：
b=5
，

∴
a=4
，
c=6
；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得
cosA=
∴
sinA=
故得△
ABC
的面积


18
．已知等差数列{
a
n
}的公差< br>d
≠
0
，其前
n
项和为
S
n
，若< br>S
9
=99
，且
a
4
，
a
7
，
a
12
成等比数列．

第13页（共20页）

…
②

=

，

．

（Ⅰ）求数列{
a
n
}的通项公式；

（Ⅱ）若，证明：．

【考点】数列与不等式的综合；等差数列的通项公式；数列的求和．

【分析】（Ⅰ） 由
S
9
=99
，求出
a
5
=11
，由a
4
，
a
7
，
a
12
成等比数列，求 出
d=2
，由
此能求出数列{
a
n
}的通项公式．

（Ⅱ）求出
裂项求和法能证明
=n
（
n
+
2
），从而
．

==
，由此利用
【解答】解：（Ⅰ）因为等差数列{
a
n
}的公差
d
≠
0
，其前
n
项 和为
S
n
，
S
9
=99
，

∴
a
5
=11
，
…

由
a
4
，
a
7
，
a
12
成等比数列，得，

即（
11
+
2d
）
2
=
（
11< br>﹣
d
）（
11
+
7d
），∵
d
≠< br>0
，∴
d=2
，
…

∴
a
1
=11
﹣
4
×
2=3
，

故
a
n
=2n
+
1 …

证明：（Ⅱ）
∴
=
[（
1
﹣）+（
=
[
1
+
故


19
．已知
（Ⅰ）求
f
（
x
）的最小正周期和最大值；

（Ⅱ）画出函数
y=f
（
x
）在区间上的图象．

．

．
…


=n
（
n
+
2
），
==
，
…

）+（
]
=
）+
…
+（
，

）+（）]
…

第14页（共20页）

【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．
【 分析】（
I
）根据向量的数量积运算公式二倍角公式化简
f
（
x）即可得出结论；

（
II
）使用描点法作出图象即可．
fx
）
=2
【解答】解：（Ⅰ）（
sin
（
2x
﹣）+
1
．

+
1
．

=2=sin2 x
+
2sin
2
x=sin2x
﹣
cos2x
+< br>1=
（
sin
2
x
+
sinxcosx
）< br>所以
f
（
x
）的最小正周期
T=π
；
f（
x
）的最大值为
（Ⅱ）函数
y=f
（
x
）在 区间[﹣
2x
﹣

，
﹣
π

]上列表为

﹣

﹣

0


x

sin
（
2x
﹣
y=sin
（
2x
﹣
）

）+
1

﹣


﹣

﹣
﹣
1

1
﹣



0

1

0


1

1
+
2

2

1

描点作图如下：




第15页（共20页）

20
．已知
S
n
是等比数列{
a
n
}的前
n
项和，
S
3
，
S
9
，< br>S
6
成等差数列．

（Ⅰ）求证：
a
2
，< br>a
8
，
a
5
成等差数列；

（Ⅱ）若等差数 列{
b
n
}满足
b
1
=a
2
=1
，
b
3
=a
5
，求数列{
a
n
3
b
n
}的前
n
项和
T
n
．

【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．

【分析】（Ⅰ）设等比数列{
a
n
}的公比为
q
．当
q=1
时，显然
S
3
+
S
6
≠
2S
9
，与已知
S
3
，
S
9
，
S
6
成等差数列矛盾，
1
+
q
3
=2q
6
，可得
q
≠
1
．由
S
3
+
S
6
=2S
9
，利用求和公式 化为：
即可证明
a
2
，
a
8
，
a
5
成等差数列．

（Ⅱ）由（Ⅰ）
1
+
q
3
=2q
6
，解得
q
3
=
﹣
=
．可得+，
=
=
=
，
b
1
=a
2
=1
，
b
3
=a
5
=
﹣，．可得
b
n
=
﹣
再利用
“
错位相减法
”
与等比数列的求和 公式即可得出．

【解答】（Ⅰ）证明：设等比数列{
a
n
}的公比 为
q
．

当
q=1
时，显然
S
3
+
S
6
≠
2S
9
，与已知
S
3
，
S
9
，
S
6
成等差数列矛盾，

∴
q
≠
1
．由
S
3
+
S
6
=2S
9
，可得
化为：
1
+
q
3
=2q
6
，∴
a
2
+
a
5
=
∴
a
2
，
a
8
，
a
5
成等差数列．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）
1
+
q
3
=2q
6
，解得< br>q
3
=1
（舍去），
q
3
=
﹣．

∴
===
．

=
+
=2
=2a
8
．

，
b
1
=a
2
=1
，
b
3
=a
5
=
﹣，

数列{
b
n
}的公差
d=（
b
3
﹣
b
1
）
=
﹣．
< br>∴
b
n
=
﹣
故
T
n
=
=< br>①﹣②得：
=
﹣
2
+
=
+
+
…< br>+
+，

，

+
…
+
+
﹣
，①

②

第16页（共20页）

=
﹣
2
﹣
解得
T
n
=
﹣+


21
．已知函数
．

﹣
=
+，


（Ⅰ）若
x=1
是
f
（
x
）的极值点，求
f
（
x
）的极值；

（Ⅱ）若
f
（
x）有两个极值点，求
m
的取值范围．

【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．

【分析】（Ⅰ）求 出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，
从而求出函数的极值即可；
< br>（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论
m
的范围，求出函数的单调区间，根据函数
的 极值点的个数，确定
m
的范围即可．

【解答】解：（Ⅰ）
f′（
x
）
=
+
mx
﹣（
2m
+
1
），

由已知得，
f′
（
1
）
=1﹣
m=0
，
m=1
，

此时
f′
（
x
）
=
，

由
f′
（
x
）
=0
，得
x=1
或
x=2< br>，

随
x
的变化
f′
（
x
）、f
（
x
）的变化情况如下：

x

f′
（
x
）

f
（
x
）

（
0
，
1
）

+

递增

1

0

极大值

（
1
，
2
）

﹣

递减

2

0

极小值

（
2
，+∞）

+

递增

故< br>f
（
x
）极大值为
f
（
1
）
=﹣；
f
（
x
）极小值为
f
（
2
）=2ln2
﹣
4
；

（Ⅱ）
f
（
x
）定义域为（
0
，+∞），

f′
（
x
）
=
，

，

（
1
）当
m=0
时，
f′
（
x
）
=
x
∈（
0
，
2
），
f′
（
x< br>）＞
0
，
x
∈（
2
，+∞），
f′
（
x
）＜
0
，

所以
x=2
时，
f
（
x
）取得极大值；

（
2
）当
m
≠
0
时，由
f′
（< br>x
）
=0
，得
x=2
或
x=
，

第17页（共20页）

①若
m
＜
0，则＜
0
，
x
∈（
0
，
2
），
f′
（
x
）＞
0
，
x
∈（
2
， +∞），
f′
（
x
）＜
0
，

所以
x=2
时，
f
（
x
）取得极大值；

②若
m=
，则
=2
，
f′
（
x
）
=
≥
0
，

f
（
x
）在（
0
，+∞）上为增函数，无极值；

③若
0
＜
m
＜，则＞
2
，随
x
的 变化
f′
（
x
）、
f
（
x
）的变化情况如 下：

x

f′
（
x
））

f
（
x
）

（
0
，
2
）

+

递增

2

0

极大值

（
2
，）

﹣

递减


（，+∞）
0

极小值

+

递增

所以，当
x=2
时，
f
（
x
）取得极大值；当
x=
时，
f
（
x
）取得极小值．

④若
m
＞，则
0
＜＜，随
x
的变化
f ′
（
x
），
f
（
x
）的变化情况如下：

x

f′
（
x
）

f
（
x
）

（
0
，）

+

递增


（，
2
）

﹣

递减

2

0

极小值

（
2
，+∞）

+

递增

0

极大值

所以，当
x=
时，
f
（
x
）取得极大值；当
x=2
时，
f（
x
）取得极小值，

综上：
f
（
x
）有两个极值点，
m
的取值范围是（
0
，）∪（，+∞）．



22
．已知函数
f
（
x
）
= e
x
+
ax
+
b
（
a
，
b
∈
R
）在
x=ln2
处的切线方程为
y=x
﹣
2 ln2
．

（Ⅰ）求函数
f
（
x
）的单调区间；

（Ⅱ）当< br>x
＞
0
，
k
≤
2
时，求证：（
k< br>﹣
x
）
f'
（
x
）＜
x
+
1
（其中
f'
（
x
）为
f
（
x
） 的
导函数）．

【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】 （Ⅰ）求出函数的导数，根据
f′
（
ln2
）
=1
，求出< br>a
的值，从而求出函数
的单调区间；

（Ⅱ）问题转化为（
k
﹣
x
）
e
x
﹣
k
﹣
1
＜
0
，令
g
（
x
）
=
（
k
﹣
x
）
e
x
﹣
k
﹣
1
，（
x
＞
0
），
根据函数的单调性证明即可．

【解答】解： （Ⅰ）
f′
（
x
）
=e
x
+
a
，

第18页（共20页）

由已知得
f′
（
ln2
）
=1
，故
e
ln2
+
a=1< br>，解得
a=
﹣
1
，

又
f
（
ln2
）
=
﹣
ln2
，得
e
ln2
﹣< br>ln2
+
b=
﹣
ln2
，解得：
b=
﹣2
，

f
（
x
）
=e
x
﹣< br>x
﹣
2
，所以
f′
（
x
）
=ex
﹣
1
，

当
x
＜
0
时，< br>f′
（
x
）＜
0
；当
x
＞
0
时，
f′
（
x
）＞
0
，

所以
f
（
x
）的单调区间递增区间为（
0
，+∞），递减区间为（﹣∞，
0
）；

证明：（Ⅱ）由已知（
k
﹣
x
）
f′
（
x
）＜
x
+
1
，及
f′< br>（
x
）
=e
x
﹣
1
，

整 理得（
k
﹣
x
）
e
x
﹣
k
﹣1
＜
0
，

令
g
（
x
）=
（
k
﹣
x
）
e
x
﹣
k﹣
1
，（
x
＞
0
），
g′
（
x
）
=
（
k
﹣
1
﹣
x
）
e
x
，

g′
（
x
）
=0
得，< br>x=k
﹣
1
，

①因为
x
＞
0，所以
g′
（
x
）＜
0
，
g
（
x
）在（
0
，+∞）上为减函数，

g
（
x）＜
g
（
0
）
=
﹣
1
＜
0< br>，满足条件．


②当
1
＜
k
≤
2
时，
x
∈（
0
，
k
﹣
1
），< br>g′
（
x
）＞
0
，
g
（
x
）在上为增函数；

x
∈（
k
﹣
1
，+∞），g′
（
x
）＜
0
，
g
（
x
） 在上为减函数．

所以
g
（
x
）
max
= g
（
k
﹣
1
）
=e
k
﹣
1
﹣（
k
+
1
），

令
h
（
k< br>）
=e
k
﹣
1
﹣（
k
+
1
），（
1
＜
k
≤
2
），
h′
（
k
）
=e
k
﹣
1
﹣
1
＞
0
，

h
（
k
）在
k
∈（
1
，2
]上为增函数，所以
h
（
k
）≤
h
（
2
）
=e
﹣
3
＜
0
，

故当< br>x
＞
0
，
k
≤
2
时，（
k
﹣
x
）
f′
（
x
）＜
x
+
1成立．



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2017
年
3
月
3
日

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