2018-2019学年安徽省示范高中高考数学二模试卷(理科) Word版含解析

2018-2019
学年安徽省示范高中高考数学二模试卷（理科）



一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个
温
馨提示：多少汗水曾洒下，多少期待曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中 惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。高考保持心平气和，不要紧
张，像对 待平时考试一样去做题，做完检查一下题目，不要直接交卷，检查下有没有错的地方，然后耐心等待考试结束。
选项中，只有一项是符合题目要求的
.

1
．设集合
A=< br>{
x
|
x
2
＜
2x
}，
B=
{
x
|
x
﹣
1
＜
0
}，则
A< br>∩
B=
（ ）

A
．（﹣∞，﹣
1
）
B
．（﹣∞，
1
）
C
．（
0
，
1
）
D
．（
1
，
2
）

2
．命题
“< br>?
x
0
∈（
1
，+∞），
x
0
2< br>+
2x
0
+
2
≤
0”
的否定形式是（ ）

A
．
C
．
B
．
D
．



3
．
cos215°
）已知角
α
（
0°
≤
α
＜
360°
）终边上一点的 坐标为（
sin215°
，，则
α=
（ ）
A
．
215° B
．
225° C
．
235° D
．
245°

4
．已知
的（ ）

A
．充分不必要条件
B
．充要条件

C
．必要不充分条件
D
．既不充分也不必要条件

5
．函数
单位后的单调递减区间是（ ）

A
．
C
．
6
．已知


，则（ ）

B
．
D
．


是夹角为
60 °
的两个单位向量，则
“
实数
k=4”
是
“”
的最 小正周期是
π
，则其图象向右平移个
A
．
f
（
2< br>）＞
f
（
e
）＞
f
（
3
）
B
．
f
（
3
）＞
f
（
e
）＞f
（
2
）
C
．
f
（
3
）＞
f
（
2
）＞
f
（
e
）
D
．
f
（
e
）＞
f
（
3
）＞
f< br>（
2
）

7
．设函数
f
（
x
）在（
m
，
n
）上的导函数为
g
（
x
） ，
x
∈（
m
，
n
），
g
（
x）若的导
函数小于零恒成立，则称函数
f
（
x
）在（
m
，
n
）上为
“
凸函数
”
．已知当
a
≤
2
时，
，在
x
∈（﹣
1
，
2
）上为
“
凸函数
”
，则函数
f
（
x
）在（ ﹣
1
，

2
）上结论正确的是（ ）

A
．既有极大值，也有极小值
B
．有极大值，没有极小值

C
．没有极大值，有极小值
D
．既无极大值，也没有极小值

8
．
A
．
B
．﹣
1 C
．

=
（ ）

D
．

9
．设函数
f
（
x
）是二 次函数，若
f
（
x
）
e
x
的一个极值点为
x=
﹣
1
，则下列图象
不可能为
f
（
x
） 图象的是（ ）

A
．
B
．
C
．
D
．

10
．《九章算术》是我国古代的优秀数学著作，在人类历史上第一次 提出负数的
概念，内容涉及方程、几何、数列、面积、体积的计算等多方面．书的第
6
卷
19
题，
“
今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．
”< br>如果竹由下往上均匀
变细（各节容量可视为等差数列），则中间剩下的两节容量是多少升（ ）

A
．
B
．
C
．
D
．

11
．△
ABC
内一点
O
满足A
．
12
．曲线
B
．
C
．
，直线
AO
交
BC
于点
D
，则（ ）

D
．

的一条切线
l
与
y=x，
y
轴三条直线围成三角形记为△
OAB
，则
△
OAB
外接圆面积的最小值为（ ）

A
．


二、填 空题（每题
5
分，满分
20
分，将答案填在答题纸上）

1 3
．已知{
a
n
}是等比数列，
a
3
=1
，
a
7
=9
，则
a
5
=
．


B
．
C
．
D
．

14
．计算：（﹣
x
）
dx=
．

15
．已知
y=f
（
x
+
1
）+
2
是定义域为
R
的奇函数，则
f
（
e
）+
f
（
2
﹣
e
）
=
．

16
．在△
ABC
中，
则
AD=
．



三、解答题（本大题共
6
小题，共
70
分.
解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤
.
）


17
．
B
，
C
的对边长是
a
，
b
，
c
公差为
1
的等差数列，在△
ABC
中，角A
，且
a
+
b=2ccosA
．
，过
B
点作
BD
⊥
AB
交
AC
于点
D
．若AB=CD=1
，
（Ⅰ）求证：
C=2A
；

（Ⅱ）求
a
，
b
，
c
．

18< br>．已知等差数列{
a
n
}的公差
d
≠
0
，其 前
n
项和为
S
n
，若
S
9
=99
，且
a
4
，
a
7
，
a
12
成等比 数列．

（Ⅰ）求数列{
a
n
}的通项公式；

（ Ⅱ）若
19
．已知
（Ⅰ）求
f
（
x
）的最小正周期 和最大值；

（Ⅱ）若
﹣
m
（
m
∈
R）的零点个数．

，画出函数
y=g
（
x
）的图象，讨 论
y=g
（
x
）
，证明：．

．


20
．已知
S
n
是等比数列{
a
n}的前
n
项和，
S
3
，
S
9
，
S
6
成等差数列．

（Ⅰ）求证：< br>a
2
，
a
8
，
a
5
成等差数列；< br>
（Ⅱ）若等差数列{
b
n
}满足
b
1
=a
2
=1
，
b
3
=a
5
，求数列{
a
n
3
b
n
}的前
n
项和
T
n< br>．

21
．已知函数
f
（
x
）
=e
x
+
ax
+
b
（
a
，
b
∈
R
）在
x=ln2
处的切线方程为
y=x
﹣
2l n2
．

（Ⅰ）求函数
f
（
x
）的单调区间；

（Ⅱ）若< br>k
为差数，当
x
＞
0
时，（
k
﹣
x
）
f'
（
x
）＜
x
+
1
恒成立， 求
k
的最大值（其
中
f'
（
x
）为
f（
x
）的导函数）．

22
．已知函数
f
（< br>x
）
=2ln
（
x
+
1
）+
（Ⅰ） 求实数
m
的取值范围；

（Ⅱ）若
f
（
x
1
）
=f
（
x
2
）（
x
1
≠x
2
），求证：
x
1
+
x
2
＞
2
．



﹣（
m
+
1
）
x
有且只有一个极值．

2017
年安徽省示范高中高考数学二模试卷（理科）

参考答案与试题解析



一、选择题：本大题共
12个小题，每小题
5
分，共
60
分
.
在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的
.

1
．设集合
A=< br>{
x
|
x
2
＜
2x
}，
B=
{
x
|
x
﹣
1
＜
0
}，则
A< br>∩
B=
（ ）

A
．（﹣∞，﹣
1
）
B
．（﹣∞，
1
）
C
．（
0
，
1
）
D
．（
1
，
2
）

【考点】交集及其运算．

【分析】分别求解一元二次不等式及一元一次不等式化简集 合
A
、
B
，再由交集
运算得答案．

【解答】解： ∵
A=
{
x
|
x
2
＜
2x
}=
（
0
，
2
），
B=
{
x
|
x
﹣
1
＜
0
}
=
（﹣∞，
1），

∴
A
∩
B=
（
0
，
1
），

故选：
C
．



2．命题
“
?
x
0
∈（
1
，+∞），
x
0
2
+
2x
0
+
2
≤
0”
的否定形式是（ ）

A
．
C
．
【考点】命题的否定．

【分析】根据特称命题的否定是全称命题，写出它的否定命题即可．

【解答】解：命 题
“
?
x
0
∈（
1
，+∞），
x
0
2
+
2x
0
+
2
≤
0”
的否定 形式是：

“
?
x
∈（
1
，+∞），
x< br>2
+
2x
+
2
＞
0”
．

故选：
A
．




3
．
cos215°
）已知角
α
（
0°
≤
α
＜
360°
）终边上一点的坐标为（
sin215°
，，则
α=
（ ）
B
．
D
．


A
．
215° B
．
225° C
．
235° D
．
245°

【考点】任意角的三角函数的定义．

【分析】利用诱导公式，任意角的三角函数的定义，求得
α
的值．

【解答】解：∵角
α
（
0°
≤
α
＜
360°
）终边上一点的坐标为（
sin215°
，
co s215°
），

由三角函数定义得
cosα=sin215°=cos23 5°
，
sinα=cos215°=sin235°
，∴
α=235°
，

故选：
C
．



4
．已知
的（ ）

A
．充分不必要条件
B
．充要条件

C
．必要不充分条件
D
．既不充分也不必要条件

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【分析】设出向量的坐标，求出< br>【解答】解：设
若
则（
2
﹣
k
）
?
=
（
1
，
0
），则
”
，

=0
，

）]
?
（
1
，
0
）
=2
﹣
=0
，

=
（，
”
的充要条件，判断即可．

），

是夹角为
60°
的两个单位向量，则
“
实数
k=4”
是< br>“”
故[
2
（
1
，
0
）﹣
k
（，
解得：
k=4
，

故实数
k=4”
是
“
故选：
B
．



5
．函数
”
的充要条件，

的最小正周期是
π
，则其图象向右平移个
单位后的单调递减区间是（ ）

A
．
C
．
【考点】余弦函数的图象．

【分析】根据最小正周期是
π
，可知
ω=2
，求得图象向右平移
再 结合三角函数的性质求单调递减区间．

个单位后解析式，


B
．
D
．

【解答】解：由函数
解得：
ω=2
，

图象向右平移
的最小正周期是
π
，即，
个单位，经过平移后得到函数解析式为
，

由
解得单调递减区间为
故选：
B
．



6
．已知
（
k
∈
Z
），

．

，则（ ）

A
．
f
（
2
）＞
f
（
e
）＞
f
（
3
）
B
．
f
（
3
）＞
f
（
e
）＞
f
（
2
）
C
．
f
（
3
）＞
f
（
2
）＞
f
（
e
）
D< br>．
f
（
e
）＞
f
（
3
）＞
f
（
2
）

【考点】利用导数研究函数的单调性．

【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而
求出函数的最大值，计 算
f
（
e
），
f
（
3
），
f（
2
）的值，比较即可．

【解答】解：
f
（
x
）的定义域是（
0
，+∞），

∵，

∴
x
∈（
0
，
e
），
f'
（
x
） ＞
0
；

x
∈（
e
，+∞），
f'
（
x
）＜
0
，

故
x=e
时，
f
（
x
）
max
=f
（
e
），

而
f
（
e
）＞
f
（
3
）＞
f
（
2
），

故选：
D
．



7
．设函数
f
（
x
）在（
m
，
n
）上的导函数为
g
（
x
），
x
∈（m
，
n
），
g
（
x
）若的导
函数小于 零恒成立，则称函数
f
（
x
）在（
m
，
n
）上为
“
凸函数
”
．已知当
a
≤
2
时，< br>，在
x
∈（﹣
1
，
2
）上为
“
凸函 数
”
，则函数
f
（
x
）在（﹣
1
，
，

2
）上结论正确的是（ ）

A
．既有极大值，也有极小值
B
．有极大值，没有极小值

C
．没有极大值，有极小值
D
．既无极大值，也没有极小值

【考点】利用导数研究函数的极值．

【分析】根据函数恒成立，得出
m
的值，利用函数单调性得出结果．

【解答】解：，

由已知得
g′
（
x
）
= x
﹣
a
＜
0
，当
x
∈（﹣
1
，< br>2
）时恒成立，

故
a
≥
2
，又已知
a
≤
2
，故
a=2
，

此时由
f′（
x
）
=0
，得：
x
1
=2
﹣
当
x
∈（﹣
1
，
2
﹣
，
x
2< br>=2
+?（﹣
1
，
2
），

，
2< br>）时，
f′
（
x
）＜
0
，

）时，
f′
（
x
）＞
0
；当
x
∈（
2< br>﹣
所以函数
f
（
x
）在（﹣
1
，
2
）有极大值，没有极小值，

故选：
B
．



8
．
A
．
B
．﹣
1 C
．

=
（ ）

D
．

【考点】三角函数的化简求值．

【分析】利用
“
切化弦
”
的思想与辅助角公式结合化简即可．

【解答】解：

故选：
B
．



9
．设函数
f
（
x
）是二次函数，若
f
（
x
）
e
x
的一个极值点为
x=
﹣
1
，则下列图象
不可能为
f
（
x
）图象的是（ ）

A
．
B
．
C
．

D
．

【考点】利用导数研究函数的极值．

【分析】先求出函数
f
（x
）
e
x
的导函数，利用
x=
﹣
1
为 函数
f
（
x
）
e
x
的一个极值
点可得a
，
b
，
c
之间的关系，再代入函数
f
（x
）
=ax
2
+
bx
+
c
，对答案分 别代入验证，
看哪个答案不成立即可．

【解答】解：由
y=f
（< br>x
）
e
x
=e
x
（
ax
2
+
bx
+
c
）?
y′=f′
（
x
）
e
x
+
e
x
f
（
x
）
=ex
[
ax
2
+（
b
+
2a
）
x
+
b
+
c
]，

由
x=
﹣1
为函数
f
（
x
）
e
x
的一个极值点 可得，﹣
1
是方程
ax
2
+（
b
+
2a< br>）
x
+
b
+
c=0
的一个根，

所 以有
a
﹣（
b
+
2a
）+
b
+
c =0
?
c=a
．

法一：所以函数
f
（
x
）
=ax
2
+
bx
+
a
，对称轴为
x=
﹣
=a
．

对于
A
，由图得
a＞
0
，
f
（
0
）＞
0
，
f< br>（﹣
1
）
=0
，不矛盾，

对于
B
，由图得
a
＜
0
，
f
（
0
）＜
0
，
f
（﹣
1
）
=0
，不矛盾，

对于
C
，由图得
a
＜
0
，
f
（
0
）＜
0
，
x=
﹣
对于
D
，由图得
a
＞
0
，
f
（
0
）＞
0
，
x=
﹣
中
f
（﹣
1
）＞
0
矛盾，
D
不对．

法二：所以函数
f
（
x
）
= ax
2
+
bx
+
a
，由此得函数相应方程的两根之积为1
，对照四
个选项发现，
D
不成立．

故选：
D
．



10
．《九章算术》是 我国古代的优秀数学著作，在人类历史上第一次提出负数的
概念，内容涉及方程、几何、数列、面积、体 积的计算等多方面．书的第
6
卷
19
题，
“
今有竹九节，下 三节容量四升，上四节容量三升．
”
如果竹由下往上均匀
变细（各节容量可视为等差数 列），则中间剩下的两节容量是多少升（ ）


，且
f
（﹣1
）
=2a
﹣
b
，
f
（
0
）
＞
0
?
b
＞
0
?
f
（﹣
1
）＜
0
，不矛盾，

＜﹣
1
?
b
＞
2a
?
f
（﹣
1
）＜
0
与原图

A
．
B
．
C
．
D
．

【考点】等差数列的通项公式．

a
2
，< br>…
，
a
9
，【分析】设九节竹自上而下分别为
a
1< br>，由题意可得
求出首项和公差，则答案可求．

【解答】解：由题意，设九节竹 自上而下分别为
a
1
，
a
2
，
…
，
a
9
，

则
∴
故选：
B
．



11
．△
ABC
内一点
O
满足
A
．
B
．
C
．
，直线
AO
交
BC
于点
D
，则（ ）

D
．

，
，解得
．

，

【考点】平面向量的基本定理及其意义．

【分析】由已知得
能求出
2
+
3=
．

=
，直线
AO
交
BC
于点
D
，

=
，则
=
，从而得到
=
，由此
【解答】解：∵△< br>ABC
内一点
O
满足
∴
令
=
=
，< br>
，则
=
，

∴
B
，
C
，
E
三点共线，
A
，
O
，
E
三点共线，∴< br>D
，
E
重合．

∴
=
，∴
2
+
3=2
﹣
2
+
3
﹣
3=
﹣﹣
5=
．

故选：
A
．



12
．曲线的一条切线
l
与
y=x
，
y
轴三条直线围成 三角形记为△
OAB
，则
△
OAB
外接圆面积的最小值为（ ）

A
．
B
．
C
．
D
．

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】设直线
l
与曲线的切点坐标为（
x
0
，
y
0
），求出函数的导数，可得切线的
斜率和方程，联立直线
y=x
求得
A
的坐标，与
y
轴的交点
B
的 坐标，运用两点距
离公式和基本不等式可得
AB
的最小值，再由正弦定理可得外接圆的 半径，进而
得到所求面积的最小值．

【解答】解：设直线
l
与曲线 的切点坐标为（
x
0
，
y
0
），

函数的导数为．

则直线
l
方程为，即，

，

，

可求直线
l
与
y=x
的 交点为
A
（
2x
0
，
2x
0
），与
y
轴的交点为
在△
OAB
中，
当且仅当
x
02
=2
时取等号．

，

，

由正弦 定理可得△
OAB
得外接圆半径为
则△
OAB
外接圆面积
故 选
C
．



二、填空题（每题
5
分，满 分
20
分，将答案填在答题纸上）

13
．已知{
a
n
}是等比数列，
a
3
=1
，
a
7
=9
，则
a
5
=

3
．

【考点】等比数列的通项公式．

【分析】由已知结合等比数列的性质求解．

【解答】解：∵
a
3
=1
，
a
7
=9，

∴由等比数列的性质可得：

，又
∴
a
5
=3
．

故答案为：
3
．



14
．计算：

＞
0
，

（﹣
x
）
dx=
．

【考点】定积分．

【分析】先利用定积分的几何意义计算
dx
，即 求被积函数
y=
（﹣
x
）
dx
，问题得以解与直线
x=0
，
x=1
所围成的图形的面积即可，再求出
决．

【解答】解：由定积分的几何意义知
x=1
所围成的图形的面积，

即是以（
1
，
0
）为圆心，以
1
为半径的圆的面积的，
故
dx=
（﹣
x
）
dx=
﹣
∴（< br>，

=
，

．

dx
是由
y=
与直线
x=0
，
﹣
x
）
dx=
．
故答案为：



15
．已知
y=f
（
x
+
1
）+
2
是定义域为
R
的奇函数 ，则
f
（
e
）+
f
（
2
﹣
e）
=
﹣
4
．
【考点】函数奇偶性的性质．

【分析】
y=f
（
x
+
1
）+
2
的图象 关于原点（
0
，
0
）对称，则
y=f
（
x
）图象关于（
1
，
﹣
2
）对称，即可求出
f
（< br>e
）+
f
（
2
﹣
e
）．

【解答】解：
y=f
（
x
+
1
）+
2
的图 象关于原点（
0
，
0
）对称，

则
y=f
（
x
）是由
y=f
（
x
+
1
）+
2
的图象向右平移
1
个单位、向下平移
2
个单位得
到，图象 关于（
1
，﹣
2
）对称，
f
（
e
）+f
（
2
﹣
e
）
=
﹣
4
．
故答案为﹣
4
．



16
．在△
ABC
中，
则
AD=
．

，过
B
点作
BD
⊥
AB
交
AC
于 点
D
．若
AB=CD=1
，
【考点】正弦定理．

【分析】设
AD=x
，由题意求出∠
CBD
、
sin
∠BDC
，由正弦定理求出
BC
，在△
ABC
中由余弦定理列出方 程，化简后求出
x
的值，可得答案．

【解答】解：设
AD=x
，且
BD
⊥
AB
，
AB= CD=1
，

在△
BCD
中，，则，

=
，

且
sin
∠
BDC=sin
（π
﹣∠
ADB
）
=sin
∠
ADB=
由正弦定 理得，，

所以
BC===
，

在△
ABC
中，由余弦定理得，

AC
2
=AB< br>2
+
BC
2
﹣
2?AB?BCcos
∠
AB C

则
解得
x=
，即
AD=
．

，

，化简得，，

故答案为：


< br>三、解答题（本大题共
6
小题，共
70
分
.
解答应写 出文字说明、证明过程或演算
步骤
.
）


17
．
B
，
C
的对边长是
a
，
b
，
c< br>公差为
1
的等差数列，在△
ABC
中，角
A
，且a
+
b=2ccosA
．
（Ⅰ）求证：
C=2A
；
（Ⅱ）求
a
，
b
，
c
．

【考点】正弦定理；余弦定理．

【分析】（Ⅰ）由
a
+
b =2ccosA
．利用正弦定理可证
C=2A
．

b
，c
公差为
1
的等差数列，
c=b
+
1
，（Ⅱ） 由
a
，得
a=b
﹣
1
，由余弦定理得
a
2
=b
2
+
c
2
﹣
2bccosA
，利用正 弦定理可求
a
，
b
，
c
的值．


【解答】（Ⅰ）证明：由已知
a
+
b=2ccosA
及正弦定理得
sinA
+
sinB=2sinCcosA…
①，

又
sinB=sin
（
A
+
C
）
=sin AcosC
+
cosAsinC…
②

把②代入①得：
si nA
+
sinAcosC
+
cosAsinC=2sinCcosA
，

整理得：
sinA=sin
（
C
﹣
A
）

又∵
0
＜
A
＜
π
，
0
＜
C
﹣
A
＜
π
，

∴
A=C
﹣
A

故
C=2A
．

（Ⅱ）由已知得
a=b
﹣
1
，
c=b
+
1
，由余弦定理得
a
2
=b
2
+
c
2
﹣
2bccosA
，

整理得：
b
+
4=2（
b
+
1
）
cosA
①

由（Ⅰ）知
C=2A
，得
sinC=sin2A=2sinAcosA
，
由正弦定理得
c=2acosA
即
cosA=
由①②整理得：
b =5
，

∴
a=4
，
b=5
，
c=6
．



18
．已知等差数列{
a
n
}的公差
d
≠
0
，其前
n
项和为
S
n
，若
S
9
=99
，且
a
4
，
a
7
，
a< br>12
成等比数列．

（Ⅰ）求数列{
a
n
}的通项公式；

（Ⅱ）若，证明：．

=
②

【考点】数列与不等式的综合；等差数列的通项公式；数列的求和．

【分析】（Ⅰ） 由
S
9
=99
，求出
a
5
=11
，由a
4
，
a
7
，
a
12
成等比数列，求 出
d=2
，由
此能求出数列{
a
n
}的通项公式．

（Ⅱ）求出
裂项求和法能证明
=n
（
n
+
2
），从而
．

==
，由此利用
【解答】解：（Ⅰ）因为等差数列{
a
n
}的公差
d
≠
0
，其前
n
项 和为
S
n
，
S
9
=99
，

∴
a
5
=11
，
…

由
a
4
，
a
7
，
a
12
成等比数列，得，

即（
11
+
2d
）
2
=
（
11< br>﹣
d
）（
11
+
7d
），∵
d
≠< br>0
，∴
d=2
，
…

∴
a
1
=11
﹣
4
×
2=3
，

故
a
n
=2n
+
1 …

证明：（Ⅱ）
∴
=
[（
1
﹣）+（
=
[
1
+
故


19
．已知
．
…


=n
（
n
+
2
），
==
，
…

）+（
]
=
）+
…
+（
，

）+（）]
…

．

（Ⅰ）求
f
（
x
）的最小正周期和最大值；

（Ⅱ ）若
﹣
m
（
m
∈
R
）的零点个数．
，画出函数
y=g
（
x
）的图象，讨论
y=g
（
x
）


【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；正 弦函数的图象．
【分析】（Ⅰ）根据
f
（
x
）
=2
，利用向量数量积的运算法则求解
f
（
x
）并化
简，即可求得
f
（
x
）的最小正周期和最大值

（Ⅱ）
fx
）
=2
【解答】解：（Ⅰ）（

，利用
“5
点画法
”
画出函数
y=g
（
x
）的图 象．
=2sinxcosx
+
2sin
2
x=sin2x
﹣
cos2x
+
1=

∴
f
（
x
）的最小正周期
T=π
；

函数
f
（
x
）的最大值为：；

（Ⅱ）
上列表为

x







，利用
“5
点画法
”
，函数
y=g
（
x
）在区间








﹣
π

0

1

﹣
1

0

0


1

2

2

1

描点作图


那么：
y=g
（
x
）﹣m
（
m
∈
R
）的零点个数，即为函数
y=g
（
x
）与直线
y=m
的交
点个数，

由图可知，当
当
当或
时，无零点；

时，有
1
个零点；

时，有
2
个零点；

当
m=2
时，有
3
个零点．



20
．已知
S
n
是等比数列{
a
n
}的前
n
项和，
S
3
，
S
9
，
S
6< br>成等差数列．

（Ⅰ）求证：
a
2
，
a
8< br>，
a
5
成等差数列；

（Ⅱ）若等差数列{
b
n
}满足
b
1
=a
2
=1
，
b
3
=a
5
，求数列{
a
n
3
b
n
}的前
n
项和
T
n
．

【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．

【分析】（Ⅰ）设等比数列{
a
n
}的公比为
q
．当
q=1
时，显然
S
3
+
S
6
≠
2S
9
，与已知
S
3
，
S
9
，
S
6
成等差数列矛盾，
1
+
q
3
=2q
6
，可得
q
≠
1
．由
S
3
+
S
6
=2S
9
，利用求和公式 化为：
即可证明
a
2
，
a
8
，
a
5
成等差数列．

（
Ⅱ
）由（
Ⅰ
）
1
+
q
3
=2q
6
，解得< br>q
3
=
﹣
=b
1
=a
2
=1
，
b
3
=a
5
=
﹣，．可得
b
n
=
﹣
．可得
=
+，
=
=
，
再利用“
错位相减法
”
与等比数列的求和公式即可得出．

【解答】（ Ⅰ）证明：设等比数列{
a
n
}的公比为
q
．

当
q=1
时，显然
S
3
+
S
6
≠
2 S
9
，与已知
S
3
，
S
9
，
S< br>6
成等差数列矛盾，

∴
q
≠
1
．由
S
3
+
S
6
=2S
9
，可得
化为：1
+
q
3
=2q
6
，∴
a
2
+
a
5
=
∴
a
2
，
a
8
，
a
5
成等差数列．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）
1
+< br>q
3
=2q
6
，解得
q
3
=1
（舍 去），
q
3
=
﹣．

∴
===
．

=
+
=2
=2a
8
．

，
b
1
=a
2
=1
，
b
3
=a
5
=
﹣，

数列{
b
n
}的公差
d=（
b
3
﹣
b
1
）
=
﹣．
< br>∴
b
n
=
﹣
故
T
n
=
=< br>①﹣②得：
=
﹣
2
﹣
解得
T
n
=< br>﹣+


21
．已知函数
f
（
x
）
=e
x
+
ax
+
b
（
a
，
b
∈
R
）在
x=ln2
处的切线方程为
y=x
﹣
2ln2
．

（Ⅰ）求函数
f
（
x
）的单调区间；

（Ⅱ）若< br>k
为差数，当
x
＞
0
时，（
k
﹣
x
）
f'
（
x
）＜
x
+
1
恒成立， 求
k
的最大值（其
中
f'
（
x
）为
f（
x
）的导函数）．


+，

，

+
+
…
+
=
﹣
2
+
﹣
．

=
+
+
…
+
+
﹣
，

，①

②

=

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

【分析】（ Ⅰ）求出原函数的导函数，由
f'
（
ln2
）
=1
求导a
值，再由
f
（
ln2
）
=
﹣
ln2
求得
b
值，代入原函数的导函数，再由导函数的符号与原函数单调性间的
关系 确定原函数的单调区间；

（Ⅱ）把当
x
＞
0
时，（
k
﹣
x
）
f'
（
x
）＜
x
+< br>1
恒成立，转化为在
x
＞
0
时
恒成立．令，利用导数 求其最小值得答案．


【解答】解：（Ⅰ）
f'
（
x）
=e
x
+
a
，由已知得
f'
（
ln 2
）
=1
，故
e
ln2
+
a=1
，解得< br>a=
﹣
1
．
又
f
（
ln2
）
=
﹣
ln2
，得
e
ln2
﹣
ln2
+< br>b=
﹣
ln2
，解得
b=
﹣
2
，

∴
f
（
x
）
=e
x
﹣
x
﹣
2
，则
f'
（
x
）
=e
x
﹣< br>1
，

当
x
＜
0
时，
f'
（
x
）＜
0
；当
x
＞
0
时，
f'
（
x
）＞
0
，

∴
f
（
x
）的单调区间递增区间为（
0
，+∞），递减区间为（﹣∞，
0
） ；

（Ⅱ）由已知（
k
﹣
x
）
f'
（x
）＜
x
+
1
，及
f'
（
x
）
=e
x
﹣
1
，

整理得在
x
＞
0
时恒成立．

令，，
< br>当
x
＞
0
时，
e
x
＞
0
，
e
x
﹣
1
＞
0
；

由（Ⅰ）知< br>f
（
x
）
=e
x
﹣
x
﹣
2
在（
0
，+∞）上为增函数，

又
f
（
1
）
=e
﹣
3
＜
0
，
f
（
2
）
=e
2
﹣
4
＞
0
，

∴存在
x
0
∈（
1
，
2
）使得，此时

当
x
∈（
0
，
x
0
）时，
g'< br>（
x
）＜
0
；当
x
∈（
x
0
，+∞）时，
g'
（
x
）＞
0

∴．

故整数
k
的最大值为
2
．



22
．已知函数
f
（
x
）
=2ln
（
x< br>+
1
）+﹣（
m
+
1
）
x
有且只有 一个极值．

（Ⅰ）求实数
m
的取值范围；

（Ⅱ）若
f
（x
1
）
=f
（
x
2
）（
x
1
≠
x
2
），求证：
x
1
+
x
2< br>＞
2
．

【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．

【分析】（Ⅰ）求 出函数的导数，通过讨论
m
的范围，根据函数有且只有一个极
值，求出
m的范围即可；

（Ⅱ）不妨设﹣
1
＜
x
1
＜< br>1
＜
x
2
，令
g
（
x
）
= f
（
2
﹣
x
）﹣
f
（
x
）（﹣< br>1
＜
x
＜
1
），根据
函数的单调性证明即可．

【解答】解：（Ⅰ）
f
（
x
）定义域为（﹣
1
，+∞），

…

即求
f'
（
x
）
=0
在区间（﹣
1
，+∞）上只有一个解，

（
1
）当
m
≠
0
时，由
f'
（
x
）
=0
得
x=1
或
则，
m
＜
0…

．得
x=1
符合题意，

，

（
2
）当
m=0
时，
综上：当
m
≤
0
时，
f
（
x
）有且只有一个极值
…

（Ⅱ）由 （Ⅰ）知：
m
≤
0
，
x=1
时
f
（
x
）有且只有一个极大值．

又
f
（
x
1
）
=f
（
x
2
）（
x
1
≠
x< br>2
），不妨设﹣
1
＜
x
1
＜
1
＜< br>x
2

令
g
（
x
）
=f
（
2
﹣
x
）﹣
f
（
x
）（﹣
1＜
x
＜
1
）

gx
）
=2ln
则（（
3
﹣
x
）﹣
2ln
（
x
+
1
）+
2x
﹣
2
（
m
+
1
）< br>所以
g
（
x
）在（﹣
1
，
1
）上为 减函数，故
g
（
x
）＞
g
（
1
）
=0…

即当﹣
1
＜
x
＜
1
时，
f
（
2
﹣
x
）＞
f
（
x
）．
所以
f
（
2
﹣
x
1
）＞
f
（
x
1
）
=f
（
x
2
），即f
（
2
﹣
x
1
）＞
f
（
x< br>2
）

由（Ⅰ）知，
f
（
x
）在（
1
，+∞）上为减函数，且
2
﹣
x
1
＞
1
，
x
2
＞
1
，

所以
2
﹣
x
1
＜
x
2
，故
x
1
+
x2
＞
2
．
…

2017
年
3
月
3
日