安徽省高考数学试卷(理科)

2013年安徽省高考数学试卷（理科）


一、选择题 ：本大题共10小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一个符合题
目要求
1．（ 5分）（2013?安徽）设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若（z?）i+2=2z，则z=
（ ）
A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
2．（5分）（2013?安徽）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）

A． B． C． D．
3．（5分）（2013?安徽）在下列命题中，不是公理的是（ ）
A．平行于同一个平面的两个平面平行
B．过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面
C．如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内
D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
4．（5 分）（2013?安徽）“a≤0”是“函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增”< br>的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（5分）（2013?安徽）某班级有50名学生，其中有30名男生 和20名女生，随机询问了
该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为8 6，94，88，
92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93，下列说法正确的 是（ ）
A．这种抽样方法是一种分层抽样
B．这种抽样方法是一种系统抽样
C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差
D．该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数
6．（5分）（2013?安徽）已知 一元二次不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣1或x＞}，则
f（10）＞0的解集为（ ）
A．{x|x＜﹣1或x＞﹣lg2} B．{x|﹣1＜x＜﹣lg2}
C．{x|x＞﹣lg2} D．{x|x＜﹣lg2}
7．（5分）（2013?安徽）在极坐标系中圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ）
x
第1页（共22页）

A．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=2
C．θ=
B．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=2
（ρ∈R）和ρcosθ=1 D．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=1
8．（5分）（2013?安徽）函数y=f（x）的图象如 图所示，在区间[a，b]上可找到n（n≥2）
个不同的数x
1
，x
2，…，x
n
，使得=…=，则n的取值范围是（ ）

A．{3，4} B．{2，3，4} C．{3，4，5} D．{2，3}
9．（5分） （2013?安徽）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足
||=||=?=2，则点 集{P|=λ+μ，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的
面积是（ ）
A． B． C． D．
32
10．（5分）（2013?安徽）若函数f（x）=x+ax+bx +c有极值点x
1
，x
2
，且f（x
1
）=x
1< br>＜x
2
，
2
则关于x的方程3（f（x））+2af（x）+b=0的 不同实根个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡上
11．（5分）（2013?安徽）若的展开式中x的系数为7，则实数a= ．
4< br>12．（5分）（2013?安徽）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c =2a，
3sinA=5sinB，则角C= ．
2
13．（5分）（201 3?安徽）已知直线y=a交抛物线y=x于A，B两点，若该抛物线上存在点
C，使得∠ACB为直角 ，则a的取值范围为 ．
14．（5分）（2013?安徽）如图，互不相同的点A
1
，A
2
，…，A
n
，…和B
1
，B
2，…，B
n
，…
分别在角O的两条边上，所有A
n
B
n
相互平行，且所有梯形A
n
B
n
B
n+1
A
n+1
的面积均相等，
设OA
n
=a
n
，若a
1
=1，a
2
=2，则数列{a
n
}的通项公式是 ．
第2页（共22页）

15．（5分）（20 13?安徽）如图，正方体ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D1
的棱长为1，P为BC的中点，Q
为线段CC
1
上的动点，过点A，P ，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正
确的是 （写出所有正确命题的编号）．
①当0＜CQ＜时，S为四边形
②当CQ=时，S为等腰梯形
③当CQ=时，S与 C
1
D
1
的交点R满足C
1
R=
④当＜CQ＜1时，S为六边形
⑤当CQ=1时，S的面积为．


三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算骤
16．（12分）（2013?安徽）已知函数f（x）=4cosωx?sin（ωx+
π．
（1）求ω的值；
（2）讨论f（x）在区间[0，]上的单调性．
22
）（ω＞0）的最小正周期为
17．（12分）（2013?安徽）设函数f（x）=ax﹣（1+a） x，其中a＞0，区间I={x|f（x）＞
0}
（Ⅰ）求I的长度（注：区间（a，β）的长度定义为β﹣α）；
（Ⅱ）给定常数k∈（0，1），当1﹣k≤a≤1+k时，求I长度的最小值．
18．（1 2分）（2013?安徽）设椭圆E：
（1）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；
第3页（共22页）

的焦点在x轴上

（2） 设F
1
，F
2
分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直 线F
2
P交y
轴于点Q，并且F
1
P⊥F
1
Q，证 明：当a变化时，点P在某定直线上．
19．（13分）（2013?安徽）如图，圆锥顶点为P，底 面圆心为O，其母线与底面所成的角为
22.5°，AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦，轴OP与 平面PCD所成的角为60°，
（1）证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；
（2）求cos∠COD．

20．（13分）（2013?安徽）设函数f
n
（x）=﹣1+x+++…+（x∈R，n∈N
+
），证明：
（1）对 每个n∈N
+
，存在唯一的x∈[，1]，满足f
n
（x
n
）=0；
（2）对于任意p∈N
+
，由（1）中x
n
构成数列{x
n
}满足0＜x
n
﹣x
n+p
＜．
21．（13 分）（2013?安徽）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试
活动，分别由李 老师和张老师负责，已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参
加（n和k都是固定的正整数 ），假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随
机地发给该系k位学生，且所发信息都能收 到，记该系收到李老师或张老师所发活动通知信
息的学生人数为X．
（I）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；
（II）求使P（X=m）取得最大值的整数m．

第4页（共22页）

2013年安徽省高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析


一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，每 小题给出的四个选项中，只有一个符合题
目要求
1．（5分）（2013?安徽）设i是虚数 单位，是复数z的共轭复数，若（z?）i+2=2z，则z=
（ ）
A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
【分析】设出复数z=a+bi（a，b∈R），代入于a，b的方程组求解a，b，则复数z可求．
【解答】解：设z=a+bi（a，b∈R），则，
由，得（a+bi）（a﹣bi）i+2=2（a+bi），
22
整理得2+（a+b）i=2a+2bi．
则，解得．
后整理，利用复数相等的条件列关
所以z=1+i．
故选A．
【点评】本 题考查了复数代数形式的混合运算，考查了复数相等的条件，两个复数相等，当
且仅当实部等于实部，虚 部等于虚部，是基础题．

2．（5分）（2013?安徽）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）

A． B． C． D．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，分析可知：该程序的作 用是计算并输出
S=++的值，并输出．
【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，
再根据流程图所示的顺序，可知：
该程序的作用是计算并输出S=++的值
第5页（共22页）

∵S=++=．
故选D．
【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型 ，其处
理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管
理）?② 建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．

3．（5分）（2013?安徽）在下列命题中，不是公理的是（ ）
A．平行于同一个平面的两个平面平行
B．过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面
C．如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内
D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
【分析】 根据公理的定义解答即可．经过人类长期反复的实践检验是真实的，不需要由其他
判断加以证明的命题和 原理就是公理．
【解答】解：B，C，D经过人类长期反复的实践检验是真实的，不需要由其他判断加 以证
明的命题和原理故是公理；
而A平行于同一个平面的两个平面平行是定理不是公理．
故选A．
【点评】本题考查了公理的意义，比较简单．

4．（5分） （2013?安徽）“a≤0”是“函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增”
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】对a分类讨论，利用二次函数的图象与单调性、充要条件即可判断出．
【解答】解：当a=0时，f（x）=|x|，在区间（0，+∞）内单调递增．
当a＜0时，，
结合二次函数图象可知函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增．
若a＞0，则函数f（x）=|（ax﹣1）x|，其图象如图

它在区间（0，+∞）内有增有减，
从而若函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增则a≤0．
∴a≤0是”函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增”的充要条件．
故选：C．
第6页（共22页）

【点评】本题考查了二次函数的图象与单调性、充要条件，考查了数形结合的思想方法，考
查了推理能力 与计算能力，属于中档题．

5．（5分）（2013?安徽）某班级有50名学生，其中 有30名男生和20名女生，随机询问了
该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的 成绩分别为86，94，88，
92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93，下 列说法正确的是（ ）
A．这种抽样方法是一种分层抽样
B．这种抽样方法是一种系统抽样
C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差
D．该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数
【分析】根据抽样方法可知，这种抽样 方法是一种简单随机抽样．根据平均数的定义：平均
数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数 ；方差公式：s=[（x
1
﹣）+（x
2
﹣）+…+（x
n
﹣）]求解即可．
【解答】解：根据抽样方法可知，这种抽样方法是一种简单随机抽样．
五名男生这组数据的平均数=（86+94+88+92+90）÷5=90，
方差=×[（ 86﹣90）+（94﹣90）+（88﹣90）+（92﹣90）+（90﹣90）]=8．
五名女生这组数据的平均数=（88+93+93+88+93）÷5=91，
方差=×[（ 88﹣91）+（93﹣91）+（93﹣91）+（88﹣91）+（93﹣91）]=6．
故这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差．
故选：C．
【点评】本题考 查了抽样方法、平均数以及方差的求法，要想求方差，必须先求出这组数据
的平均数，然后再根据方差公 式求解．

6．（5分）（2013?安徽）已知一元二次不等式f（x）＜0的解集为{ x|x＜﹣1或x＞}，则
f（10）＞0的解集为（ ）
A．{x|x＜﹣1或x＞﹣lg2} B．{x|﹣1＜x＜﹣lg2}
C．{x|x＞﹣lg2} D．{x|x＜﹣lg2}
【分析】由题意可得f（10）＞0等价于﹣1＜10＜，由指数函数的单调性可得解集．
x x
x
22222
22222
22
22
第7页（共22页）

【解答】解：由题意可知f（x）＞0的解集为{x|﹣1＜x＜}，
故可得f（10）＞0等价于﹣1＜10＜，
由指数函数的值域为（0，+∞）一定有10＞﹣1，
而10＜可化为10＜
xx< br>x
xx
，即10＜10
x
﹣
lg2
，
由指数函数的单调性可知：x＜﹣lg2
故选：D
【点评】本题考查一元二次不等式的解集，涉及对数函数的单调性及对数的运算，属中档题．

7．（5分）（2013?安徽）在极坐标系中圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ）
A．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=2
C．θ=
B．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=2
（ρ∈R）和ρcosθ=1 D．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=1
【分析】利用圆的极坐标方程和直线的极坐标方程即可得出．
【解答】解：如图所示，在极坐标系中圆ρ=2cosθ是以（1，0）为圆心，1为半径的圆．
故圆的两条切线方程分别为
故选B．
（ρ∈R），ρcosθ=2．

【点评】正确理解圆的极坐标方程和直线的极坐标方程是解题的关键》

8．（5 分）（2013?安徽）函数y=f（x）的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n（n≥2）
个 不同的数x
1
，x
2
，…，x
n
，使得=…=，则n的取值 范围是（ ）

A．{3，4}

B．{2，3，4} C．{3，4，5} D．{2，3}
第8页（共22页）

【分 析】由表示（x，f（x））点与原点连线的斜率，结合函数y=f（x）的图象，数形
结合分析可得答 案．
【解答】解：令y=f（x），y=kx，
作直线y=kx，可以得出2，3，4个交点，
故k=（x＞0）可分别有2，3，4个解．
故n的取值范围为2，3，4．
故选B．
【点评】本题考查的知识点是斜率公式， 正确理解表示（x，f（x））点与原点连线的
斜率是解答的关键．

9．（5分 ）（2013?安徽）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足
||=||=?=2，则 点集{P|=λ+μ，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的
面积是（ ）
A． B． C． D．
==2，说明O，A，B三点构成边长为2【分析】由两定点A，B 满足
的等边三角形，设出两个定点的坐标，再设出P点坐标，由平面向量基本定理，把P的坐
标 用A，B的坐标及λ，μ表示，把不等式|λ|+|μ|≤1去绝对值后可得线性约束条件，画出
可行域 可求点集P所表示区域的面积．
【解答】解：由两定点A，B满足==2，=﹣，则||=（
2
﹣）=
2
﹣2?+=4，则||=2，说明O，A，B三点构成边长为2的等
边三角形．
不妨设A（
由
），B（
，得：
．
）．再设P（x，y）．
所以，解得①．
由|λ|+|μ|≤1．
第9页（共22页）

所以①等价于或或或
．
可行域如图中矩形ABCD及其内部区域，

则区域面积为．
故选D．
【点评】本题考查了平面向量的基本定理及其意义，考查了二元一次不等式（组）所表示的
平面 区域，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键在于读懂题意，属中档题．

10．（5 分）（2013?安徽）若函数f（x）=x+ax+bx+c有极值点x
1
，x
2< br>，且f（x
1
）=x
1
＜x
2
，
2
则关于x的方程3（f（x））+2af（x）+b=0的不同实根个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2
【分析】求导数f′（x），由题意知x
1
，x
2
是方程3x+2ax+b=0的两根，从而关于f（x）的方
2
程3（f（x））+ 2af（x）+b=0有两个根，作出草图，由图象可得答案．
22
【解答】解：f′（x） =3x+2ax+b，x
1
，x
2
是方程3x+2ax+b=0的两根， < br>2
由3（f（x））+2af（x）+b=0，则有两个f（x）使等式成立，x
1=f（x
1
），x
2
＞x
1
=f（x
1
），
如下示意图象：
如图有三个交点，
故选A．
32

第10页（共22页）

【点评】考查函数零点的概念、以及对嵌套型函数的理解，考查数形结合思想．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡上
11．（5分）（2013?安徽）若的展开式中x的系数为7，则实数a=
4
．
【分析】利用二项式定理的通项公式即可得出．
【解答】解：由通项公式T
r+1
==，
∵的展开式中x的系数为7，∴
4
，解得．
故答案为．
【点评】熟练掌握二项式定理的通项公式是解题的关键．

12．（5分）（20 13?安徽）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，
3sinA =5sinB，则角C= ．
【分析】由3sinA=5sinB，根据正弦定理，可得3a=5b，再利用余弦定理，即可求得C．
【解答】解：∵3sinA=5sinB，∴由正弦定理，可得3a=5b，
∴a=
∵b+c=2a，
∴c=
∴cosC=
∵C∈（0，π）
∴C=

=﹣
故答案为：
【点评】本题考查正弦、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．

13．（5分）（2013?安徽）已知直线y=a交抛物线y=x于A，B两点，若该抛 物线上存在点
C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为 [1，+∞） ．
【分析】如图 所示，可知A
在点C，使得∠ACB为直角，可得
【解答】解：如图所示，可知A

2
，B，设C（m，m），由该抛物线上存
2
=0．即可得到a的取值范围．
，B
第11页（共22页）
，

设C（m，m），
2
，．
∵该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，
∴
2
=
22
．
化为m﹣a+（m﹣a）=0．
2
∵m，∴m=a﹣1≥0，解得a≥1．
∴a 的取值范围为[1，+∞）．
故答案为[1，+∞）．

【点评】本题考查了如何表示抛物线上点的坐标、垂直于 数量积得关系等基础知识，考查了
推理能力和计算能力．

14．（5分）（20 13?安徽）如图，互不相同的点A
1
，A
2
，…，A
n
， …和B
1
，B
2
，…，B
n
，…
分别在角O的两条 边上，所有A
n
B
n
相互平行，且所有梯形A
n
B
n
B
n+1
A
n+1
的面积均相等，
设OA
n=a
n
，若a
1
=1，a
2
=2，则数列{a
n
}的通项公式是 ．

【分析】设，利用已知可得A
1
B1
是三角形OA
2
B
2
的中位线，得到
==，梯形A< br>1
B
1
B
2
A
2
的面积=3S．由已知可得 梯形A
n
B
n
B
n+1
A
n+1
的面积< br>=3S．利用相似三角形的性质面积的比等于相似比的平方可得：，，
第12页（共22页）

，…，已知，，可得，…．因此数列{}是一个首项为1，公差< br>为3等差数列，即可得到a
n
．
【解答】解：设，∵OA
1
=a
1
=1，OA
2
=a
2
=2，A
1
B
1
∥A
2
B
2
，
∴A
1
B1
是三角形OA
2
B
2
的中位线，∴
故梯形A
n
B
n
B
n+1
A
n+1
的面积=3S．
==，∴梯形A
1
B
1
B
2
A
2
的面积 =3S．
∵所有A
n
B
n
相互平行，∴所有△OA
nB
n
（n∈N）都相似，∴
*
，，
，…，
∵
∴数列{
∴
，∴，，…．
=1+（n﹣1）×3=3n﹣2． }是一个等差数列，其公差d=3，故
．
． 因此数列{a
n
}的通项公式是
故答案为．
【点评】本题综合考查了三角形 的中位线定理、相似三角形的性质、等差数列的通项公式等
基础知识和基本技能，考查了推理能力和计算 能力．

15．（5分）（2013?安徽）如图，正方体ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为1，P为BC的中点，Q
为线段CC
1
上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正< br>确的是 ①②③⑤ （写出所有正确命题的编号）．
①当0＜CQ＜时，S为四边形
②当CQ=时，S为等腰梯形
③当CQ=时，S与C
1
D
1
的交点R满足C
1
R=
④当＜CQ＜1时，S为六边形
⑤当CQ=1时，S的面积为．
第13页（共22页）

【分析】由题意作出满足条件的图形，由线面位置关系找出截面可判断选项的正误．
【解答】解：如图
=， 当CQ=时，即Q为CC
1
中点，此时可得PQ∥ AD
1
，AP=QD
1
=
故可得截面APQD
1
为 等腰梯形，故②正确；
由上图当点Q向C移动时，满足0＜CQ＜，只需在DD
1
上取点M满足AM∥PQ，
即可得截面为四边形APQM，故①正确；
③当CQ=时，如图，

延长 DD
1
至N，使D
1
N=，连接AN交A
1
D
1< br>于S，连接NQ交C
1
D
1
于R，连接SR，
可证AN∥P Q，由△NRD
1
∽△QRC
1
，可得C
1
R：D
1
R=C
1
Q：D
1
N=1：2，故可得C
1
R= ，
故正确；
④由③可知当＜CQ＜1时，只需点Q上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的 APQRS，
显然为五边形，故错误；
⑤当CQ=1时，Q与C
1
重合，取 A
1
D
1
的中点F，连接AF，可证PC
1
∥AF，且PC
1
=AF，
可知截面为APC
1
F为菱形，故其面积为AC
1
?PF=
第14页（共22页）

=，故正确．

故答案为：①②③⑤．
【点评】本题考查命题真假的判断与应用，涉及正方体的截面问题，属中档题．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算骤
16．（12分）（2013?安徽）已知函数f（x）=4cosωx?sin（ωx+
π．
（1）求ω的值；
（2）讨论f（x）在区间[0，]上的单调性．
）（ω＞0） 的最小正周期为
【分析】（1）先利用和角公式再通过二倍角公式，将次升角，化为一个角的一个三角函 数的
形式，通过函数的周期，求实数ω的值；
（2）由于x是[0，
f（x）在区间 [0，
]范围内的角，得到2x+
]上的单调性．
）=2
）+
sinωx?cosωx+2
，
cosωx
2
的范围，然后通过正弦函数的单调性求出
【解答】解：（1）f（x）=4cosωxsin （ωx+
=（sin2ωx+cos2ωx）+
=π，∴ω=1．
）+
，
=2sin（2ωx+
所以 T=
（2）由（1）知，f（x）=2sin（2x+< br>因为0≤x≤
当
当
≤2x+
≤2x+
，所以
≤
≤
≤2x+≤
，
时，即0≤x≤
时，即≤x≤
时，f（x）是增函数，
时，f（x）是减函数，
，]上单调减． 所以f（x）在区间[0，]上单调增，在区间[
【点评】本题考查三角函数的化简求值，恒等关系的应用，注意三角函数值的变换，考查计
算能 力，常考题型．

17．（12分）（2013?安徽）设函数f（x）=ax﹣（1+a ）x，其中a＞0，区间I={x|f（x）＞
0}
（Ⅰ）求I的长度（注：区间（a，β）的长度定义为β﹣α）；
（Ⅱ）给定常数k∈（0，1），当1﹣k≤a≤1+k时，求I长度的最小值．
【分析】（Ⅰ）解不等式f（x）＞0可得区间I，由区间长度定义可得I的长度；
（Ⅱ）由 （Ⅰ）构造函数d（a）=，利用导数可判断d（a）的单调性，由单调性可判
22
断d（a） 的最小值必定在a=1﹣k或a=1+k处取得，通过作商比较可得答案．
第15页（共22页）

22
【解答】解：（Ⅰ）因为方程ax﹣（1+a）x= 0（a＞0）有两个实根x
1
=0，
故f（x）＞0的解集为{x|x
1＜x＜x
2
}，
因此区间I=（0，

（Ⅱ）设d（a）=，则d′（a）=，
），区间长度为；
＞0，
令d′（a）=0，得a=1，由于0＜k＜1，
故当1﹣k≤a＜1时，d′（a）＞0， d（a）单调递增；当1＜a≤1+k时，d′（a）＜0，d（a）
单调递减，
因此当1﹣k≤a≤1+k时，d（a）的最小值必定在a=1﹣k或a=1+k处取得，
而=＜1，故d（1﹣k）＜d（1+k），
因此当a=1﹣k时，d（a）在区间[1﹣k ，1+k]上取得最小值，即I长度的最小值
为．
【点评】本题考查二次不等式的求解，以及 导数的计算和应用等基础知识和基本技能，考查
分类讨论思想和综合运用数学知识解决问题的能力．

18．（12分）（2013?安徽）设椭圆E：的焦点在x轴上
（1）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；
（2）设F
1
，F
2
分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F
2
P交y
轴于点Q，并且F
1
P⊥F
1
Q，证明：当a变化时，点P在某定直线上．
【分析】（1）利用椭圆的标准方程和几何性质即可得出
（2）设P（x
0
， y
0
），F
1
（﹣c，0），F
2
（c，0），其中
，解出即可；
．利用斜率的计算公式
和点斜式即可得出直线F
1
P的斜率 =，直线F
2
P的方程为．即
可得出Q．得到直线F
1
Q的斜率=． 利用F
1
Q⊥F
1
P，可得
第16页（共22页）

=
解出点P的坐标．
．化为．与椭圆的方程联立即可
【解答】解：（1）∵椭圆E的焦距为1，∴，解得．
故椭圆E的方程为．
． （2）设P（x
0
，y
0
），F
1
（﹣c，0），F
2
（c，0），其中
由题设可知：x
0
≠c．则直线F
1
P的斜率=，直线F
2
P的斜率=．
故直线F
2
P的方程为．
令x=0，解得．即点Q．
因此直线F
1
Q的斜率=．
∵F
1
Q⊥F
1
P，∴
化为
=．
．
联立，及x
0
＞0，y
0
＞0，
解得，．
即点P在定直线x+y=1上．
【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程及其几何性质，直线 和直线、直线和椭圆的位置关
系等基础知识和基本技能，考查了数形结合的思想、推理能力和计算能力， 属于难题．

19．（13分）（2013?安徽）如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O， 其母线与底面所成的角为
22.5°，AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦，轴OP与平面PCD所 成的角为60°，
（1）证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；
（2）求cos∠COD．
第17页（共22页）

【分析】（1）利用线面平行的判定与性质，可证平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；
（2）先作出OP与平面PCD所成的角，再求出OC，OF，求出cos∠COF，利用二倍角公
式 ，即可求得cos∠COD．
【解答】（1）证明：设平面PAB与平面PCD的交线为l，则
∵AB∥CD，AB?平面PCD，∴AB∥平面PCD
∵AB?面PAB，平面PAB与平面PCD的交线为l，∴AB∥l
∵AB在底面上，l在底面外
∴l与底面平行；
（2）解：设CD的中点为F，连接OF，PF
由圆的性质，∠COD=2∠COF，OF⊥CD
∵OP⊥底面，CD?底面，∴OP⊥CD
∵OP∩OF=O
∴CD⊥平面OPF
∵CD?平面PCD
∴平面OPF⊥平面PCD
∴直线OP在平面PCD上的射影为直线PF
∴∠OPF为OP与平面PCD所成的角
由题设，∠OPF=60°
设OP=h，则OF=OPtan∠OPF=
∵∠OCP=22.5°，∴
∵tan45°=
∴tan22.5°=
∴OC==


=1
在Rt△OCF中，cos∠COF==
2
=
∴cos∠COD=cos（2∠COF）=2cos∠COF﹣1=17﹣12

【点评】本 题考查线面平行的判定与性质，考查空间角，考查学生的计算能力，正确找出线
面角是关键．

第18页（共22页）

20．（13分）（2013? 安徽）设函数f
n
（x）=﹣1+x+++…+（x∈R，n∈N
+
），证明 ：
（1）对每个n∈N
+
，存在唯一的x∈[，1]，满足f
n
（ x
n
）=0；
（2）对于任意p∈N
+
，由（1）中x
n
构成数列{x
n
}满足0＜x
n
﹣x
n+p
＜．
【分析】（1）由题意可得f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．求得f
n
（1）
＞0，f
n
（）＜0，再根据函数的零点的判定定理，可得要证的结 论成立．
（2）由题意可得f
n+1
（x
n
）＞f
n（x
n
）=f
n+1
（x
n+1
）=0，由 f
n+1
（x） 在（0，+∞）上单调
递增，可得 x
n+1
＜x
n
，故x
n
﹣x
n+p
＞0．用 f
n
（x）的解析式减去f
n+p
（x
n+p
）的解析式 ，
变形可得x
n
﹣x
n+p
=
，综上可得要证的结论成立．
【解答】证明：（1）对每个n∈N
+
，当x＞0时，由函数f
n
（ x）=﹣
1+x+），可得
+，再进行放大，并裂项求和，可得它小于
f′（x）= 1+++…＞0，故函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．
++…+＞0，即f
n
（1）＞0． 由于f
1
（x
1）=0，当n≥2时，f
n
（1）=
又f
n
（）=﹣1++[+ ++…+]≤﹣+?
=﹣+×=﹣?＜0，
根据函数的零点的判定定理，可得存在唯一的x
n
，满足f
n
（x
n
）=0．
（2）对于任意p ∈N
+
，由（1）中x
n
构成数列{x
n
}，当x＞0时， ∵f
n+1
（x）=f
n
（x）+
＞f
n
（x），
∴f
n+1
（x
n
）＞f
n
（x
n
）=f
n+1
（x
n+1
）=0．
由 f
n+1
（x） 在（0，+∞）上单调递增，可得 x
n+1
＜x
n
，即 x
n
﹣x
n+1
＞ 0，故数列{x
n
}为减
数列，即对任意的 n、p∈N
+
，x
n
﹣x
n+p
＞0．
第19页（共22页）

由于 f
n
（x
n
）=﹣1+x
n
+++…+=0 ①，
f
n+p
（x
n+p
）=﹣1+x
n+p
+++…++[++…+]②，
用①减去②并移项，利用 0＜x
n+p
≤1，可得
x
n
﹣x
n+p
=+≤≤＜
=＜．
综上可得，对 于任意p∈N
+
，由（1）中x
n
构成数列{x
n
}满足0 ＜x
n
﹣x
n+p
＜．
【点评】本题主要考查函数的导数及应用， 函数的零点的判定，等比数列求和以及用放缩法
证明不等式，还考查推理以及运算求解能力，属于难题．

21．（13分）（2013?安徽）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同 的心理测试
活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参< br>加（n和k都是固定的正整数），假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随
机地发 给该系k位学生，且所发信息都能收到，记该系收到李老师或张老师所发活动通知信
息的学生人数为X．
（I）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；
（II）求使P（X=m）取得最大值的整数m．
【分析】（I）由题设，两位老师发送信息 是独立的，要计算该系学生甲收到李老师或张老师
所发活动通知信息的概率可先计算其对立事件，该生没 有接到任一位老师发送的信息的概
率，利用概率的性质求解；
（II）由题意，要先研究随机 变量X的取值范围，由于k≤n故要分两类k=n与k＜n进行研
究，k=n时易求，k＜n时，要研究 出同时接受到两位老师信息的人数，然后再研究事件所
包含的基本事件数，表示出P（X=m），再根据 其形式研究它取得最大值的整数m即可．
【解答】解：（I）因为事件A：“学生甲收到李老师所发信 息”与事件B：“学生甲收到张老师
所发信息”是相互独立事件，所以与相互独立，由于P（A）=P（ B）==，故P
（）=P（）=1﹣，
2
因此学生甲收到活动信息的概率是1﹣（1﹣）=
（II）当k=n时，m只能取n，此时有P（X=m）=P（X=n）=1
当k＜n时，整 数m满足k≤m≤t，其中t是2k和n中的较小者，由于“李老师与张老师各
自独立、随机地发送活动 信息给k位”所包含的基本事件总数为（
第20页（共22页）

），当X=m时，同时
2

收到两位老师所发信息的学生人数 为2k﹣m，仅收到李老师或张老师转发信息的学生人数为
m﹣k，由乘法原理知：事件{X=m}所包 含的基本事件数为
P（X=m）==
2
当k≤m＜t时，P（X=M）＜P（X= M+1）?（m﹣k+1）≤（n﹣m）（2k﹣m）?m≤2k﹣
假如k≤2k﹣
k≤2k﹣
＜t成立，则当（k+1）能被n+2整除时，
＜2k+1﹣
处达到最大值；
当（k+1）不能被n+2整除时，P（X=M）在m=2k﹣[
表示不超过x的最大整数），
下面证明k≤2k﹣＜t
2
2

＜t，故P（X=M）在m=2k ﹣和m=2k+1﹣
]处达到最大值（注：[x]
因为1≤k＜n，所以2k﹣﹣k=≥=≥0
而2k﹣﹣n=＜0，故2k﹣＜n，显然2k﹣＜2k
因此k≤2k﹣＜t
] 综上得，符合条件的m=2k﹣[
【点评】本题主要考查古典概率模型，计数原理，分类讨论思想等基础 知识和基本技能，考
查抽象的思想，逻辑推理能力，运算求解能力，以及运用数学知识分析解决实际问题 的能力，
本题易因为审题时不明白事件的情形而导致无法下手，或者因为分类不清未能正确分类导致失分

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参与本试卷答题和审题的老师有：sxs123；minqi5；沂蒙松；lincy；豫汝王世崇；wyz 123；
刘长柏；caoqz；xintrl（排名不分先后）
菁优网
2016年9月12日
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