2011年全国高中数学联赛安徽省预赛试题及答案

学奥数，这里总有一本适合你！
华东师范大学出版社

2011年全国高中数学联赛安徽省预赛

安徽省预赛的命题工作是由安徽省数学 会负责，预赛试题所涉及的知识范围，完
全参考了《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学 内容和要求，但在方法
的要求上有所提高，主要考查学生对所学的基本知识和基本技能的掌握情况，以及 灵活
运用知识的综合能力.
试题包括8道填空题，4道解答题，满分150分，考试时间为2小时.
印制试卷严格按照 联赛的要求，秘密印卷，采用大包30份，小包10份的包装，通
过保密渠道，在9月9日左右寄达各市 教研室. 各市教研员在收到试题后派专人保管，
并在考前5分钟拆封.
安徽省预赛于20 11年9月10日举行，在这个值得庆贺日子“教师节”，我省17
各地市的高中数学老师都在认真地监 考. 共有31078名学生在各地、县中学参加考试.
初赛结束后，各地教研员认真组织改卷、初评 和复评工作，坚持公开、公正、公平的原
则，最终复评后确定了1130人有参加10月16日到中国科 学技术大学参加全国高中数
学复赛的资格.

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试 题


一、填空题（每小题8分，共64分）
1．以
X
表示集合
X
的元素个数. 若有限集合
A,B,C
满足
A?B?20
，
B?C?30
，
C?A?40
，
则
A?B?C
的最大可能值为 .
2．设
a
是正实数. 若
f(x)?x
2
?6ax?10a
2
?x
2
?2ax?5a
2
，x?R
的最小值为1 0，
则
a?
.
3．已知实系数多项式
f(x)?x
4
?ax
3
?bx
2
?cx?d
满
足f(1)?2
，
f(2)?4
，
f(3)?6
，
则f(0)?f(4)
的
所有可能值集合为 .
4．设展开式
(5x?1)
n
?a
0
?a
1
x???a
nx
n
，n?2011
.
若
a
2011
?ma x(a
0
,a
1
,?,a
n
)
，则
n?< br> .
5．在如图所示的长方体
ABCD?EFGH
中，设
P
是矩
形
EFGH
的中心，线段
AP
交平面
BD E
于点
Q
. 若
第5题


AB?3
，
AD?2
，
AE?1
，
则
PQ?
.
6．平面上一个半径
r
的动圆沿边长
a
的正三角形的外
侧滚 动，其扫过区域的面积为 .
第6题

7．设直角坐标平面上的点
(x,y)
与复数
x?yi
一一对应. 若点
A,B
分别对应复数
z,z
?1
（
z?R
）， 则直线
AB
与
x
轴的交点对应复数 （用
z
表示）.
8．设n是大于4的偶数. 随机选取正n边形的4个顶点构造四边形，得到矩形的概率
为 .
二、解答题（第9—10题每题22分，第11—12题每题21分，共86分）
9．已知数 列
{a
n
}
满足
a
1
?a
2
?1
，
a
n
?1?
a
1
?
?
?an?2
（
n?3
），求
a
n
的通项公式.
4
1111
??
?
??
.
a
1
a
2
a
n
2
10．已知正整数
a
1
,a
2
,
?
,a
n
都是合数，并且两两互素，求证：
1 1．设
f(x)?ax
3
?bx?c
（
a,b,c
是实数） ，当
0?x?1
时，
0?f(x)?1
. 求
b
的最大可
能值.

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12．设点
A(?1,0)，B(1,0)，C(2 ,0)
，
D
在双曲线
x
2
?y
2
?1的左支上，
D?A
，直线
CD
交
双曲线
x
2< br>?y
2
?1
的右支于点
E
. 求证：直线
AD
与
BE
的交点
P
在直线
x?
1
上.
2

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本 文档选自华东师范大学出版社的《高中数学联
赛备考手册（2012）（预赛试题集锦）》，该书收录< br>了2011年各省市预赛试题和优秀解答。预赛命题人
员大多为各省市数学会成员，试题在遵循现 行教学
大纲，体现新课标精神的同时，在方法的要求上有
所提高。命题人员大多同时兼任各省市 高考命题工
作，试题对高考有一定的指导作用，本书架起了联赛与高考的桥梁，是一
本不可或缺 的备考手册。

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解答
1. 10.
2. 2.
3. {32}.
4. 2413.
5.
17
.
4
6.
6ar?4πr
2
.
7.
8.
z?z
.
1?zz
3
.
(n?1)(n?3)
9．
a
n< br>?1?
a
1
??a
n?2
a
?a
n?1?
n?2

44
?
1

2
n?1?a
n
?
a
n?1
1
?
a
?
?
?
a
n?1
?
n?2
?
?
22
?
2
?
?2
n?1
a
n
?2
n?2
a
n?1
?1???n?a
n
?
n
2
n?1.
10．设
a
k
的最小素因子
p
k
，因为< br>a
k
不是素数，所以
a
k
?p
k
2
. 于是
n
11
?
??
2
k?1
a
k< br>k?1
p
k
n
1
n
1
??
?
4
k?2
(2k?1)
2
?
11
?
?
4
k?2
(2k?1)
2
?1
111
???
24n2
n

?
f(0)?c
?
?
11．由
?f(1)?a?b?c
?
ab
1
f()???c
3
?< br>333
?
可知
2b?33f(
1
3
)?f(1)?(33?1)f(0)?33

f(x)?
3
2
3
(x?x
3
)
满足题设 ，
b
的最大可能值为
3
2
3
.

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12．设D(x
1
,y
1
)，E(x
2
,y
2
)，P(x,y)
，直线
CD
的方程
y?k(x?2)
，则
x
2
?k
2
(x?2)
2
?1
，所以 < br>?4k
2
1?4k
2
5
x
1
?x
2
?，xx????1?(x
1
?x
2
)
，
①
12
22
1?k1?k4
y
1
y
(x?1)?y?
2
(x?1)
，
x
1
?1x
2
?1
所以
y
2
y x
2
?2x
1
?2
?
1
?
x?1x
1
?1x
2
?1x
1
?12x
1
x
2< br>?3x
1
?x
2
x?
2
??
。
y
2
y
1
x
2
?2x
1
?2
3x? x?4
21
??
x
2
?1x
1
?1x
2< br>?1x
1
?1

把①代入上式，得
x?

1
.
2