2008年安徽省高中数学联赛初赛试卷

2008年安徽省高中数学联赛初赛试卷
(考试时间:2008年9月6日9:30~11:30)
一,选择题:本大题共6小题,每 小题6分,共36分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要
求的.
1,函数< br>y?f(x)
存在反函数,若函数
y?f(x)
的图象绕原点逆时针旋转
90
后,与函数
y?g(x)
的图
象重合,则有
A,
g(x)?f
?1
(?x)
B,
g(x)?f
?1
(x)
C,
g(x)??f
?1
(?x)
D,
g(x)??f
?1
(x)

2,在平面中,到两条相交直线的距离之和为1的点的轨迹为
A,椭圆 B,双曲线的一部分 C,抛物线的一部分 D,矩形
3,下列四个数中与
cos1?cos2??cos2008
最接近的是
A,
?2008
B,
?1
C,1 D,2008
4,四面体的6个二面角中至多可能有( )个钝角
A,3 B,4 C,5 D,6
5,将
11
?0.000498
写成十进制循环小数的形式
20082008
625498625,
其循环节的长度为
A,30 B,40 C,50 D,60
6,设 多项式
(1?x)
2008
?a
0
?a
1
x??a
2008
x
2008
,则
a
0
,a
1,,a
2008
中共有( )个是偶数
A,127 B,1003 C,1005 D,1881
二,填空题:本大题共6小题,每小题9分,共54分,将答案填在题中的横线上.
7,化简 多项式
k?m
?
CC
k
n
n
m
k
x
k?m
(1?x)
n?k
?

3?5sinx
的值域为
5?4cosx?3sinxa?a
n?1
9,若数列
{a
n
}
满足
a1
?0,a
n
?
1
(n?2)
,且具有最小正周期20 08,则
a
1
?

1?a
1
an?1
10,设非负实数
a
1
,a
2
,,a
2 008
的和等于1,则
a
1
a
2
?a
2
a
3
??a
2007
a
2008
?a
2008
a
1
的最大值为
8,函数
f(x)?
11,设 点
A(1,1),B,C
在椭圆
x?3y?4
上,当直线
BC
的方程为 时,
?ABC
的面积最大.
12,设平面点集< br>G
n
?{(i,j)|i?1,2,
22
,n;j?1,2,,n}< br>,易知
G
2

可被一个三角形所覆盖,
G
3
可被两个三角形所覆盖,如右图所示.
则覆盖
G
2008
至少需要 个三角形.
三,解答题:本大题共3小题,每小题20分,共60分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
13,将6个形状相同的小球(其中红色,黄色,兰色各2个)随机放入3个盒子中,每个盒子中恰好放 2个小
球,记
?
为盒中小球颜色相同的盒子的个数,求
?
的概率分布 列.

14,设
a
1
?1,a
n
?[na
n?1
](n?2)
,其中
[x]
表示不超过
x
的最大整数.证明:无论
a
1
取何正整数时,不在
数列
{a
n
}
中的素数只有有限个.





















15,设





























O
1
与
O
2
相交于
A,B
两点 ,
O
3
分别与
O
1
,O
2
外切于点
C,D,
直线
EF
分别与
O
1
,O
2
相切于点
E,F
,直线
CE
与直线
DF
相交于点
G
.证明:
A,B,G
三点共线.

2008年安徽省高中数学联赛初赛试卷(参考答案)
(考试时间:2008年9月6日9:30~11:30)
一,选择题:本大题共6小题,每 小题6分,共36分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要
求的.
1,函数< br>y?f(x)
存在反函数,若函数
y?f(x)
的图象绕原点顺时针旋转
90
后,与函数
y?g(x)
的图
象重合,则有 ( D )
A,
g(x)?f
?1
(?x)
B,
g(x)?f
?1
(x)
C,
g(x)??f
?1
(?x)
D,
g(x)??f
?1
(x)

2,在平面中,到两条相交直线的距离之和为1的点的轨迹为 ( D )
A,椭圆 B,双曲线的一部分 C,抛物线的一部分 D,矩形
3,下列四个数中与
cos1?cos2??cos2008
最接近的是 ( B )
A,
?2008
B,
?1
C,1 D,2008
4,四面体的6个二面角中至多可能有( )个钝角 ( A )
A,3 B,4 C,5 D,6
5,将< br>11
?0.000498
写成十进制循环小数的形式
20082008
625498625,
其循环节的长度为(C)
A,30 B,40 C,50 D,60
6,设 多项式
(1?x)
2008
?a
0
?a
1
x??a
2008
x
2008
,则
a
0
,a
1,,a
2008
中共有( )个是偶数( D )
A,127 B,1003 C,1005 D,1881
二,填空题:本大题共6小题,每小题9分,共54分,将答案填在题中的横线上.
7,化简 多项式
k?m
?
CC
k
n
n
m
k
m

x
k?m
(1?x)
n?k
?
C
n< br>4
3?5sinx
10,10]
的值域为
(?
5
5 ?4cosx?3sinx
k
?
a?a
n?1
,
正整数9, 若数列
{a
n
}
满足
a
1
?0,a
n?
1
(n?2)
,且具有最小正周期2008,则
a
1
?
tan
2008
1?a
1
a
n?1
k?1003
且与2008互素.
1
10,设非负实数
a
1
,a
2
,,a
2008
的和等于1,则
a
1
a
2?a
2
a
3
??a
2007
a
2008
?a
2008
a
1
的最大值为
4
11,设点
A (1,1),B,C
在椭圆
x
2
?3y
2
?4
上, 当直线
BC
的方程为
x?3y?2?0
时,
?ABC
的面积 最
8,函数
f(x)?
大.
12,设平面点集
G
n
?{(i,j)|i?1,2,,n;j?1,2,,n}
,易知
G
2
可被
一个三角形所覆盖,
G
3
可被两个三角形所覆盖,如右图所示.则覆盖
G
2008
至少需要 1338 个三角形.
三,解答题:本大题共3小题,每小题20分,共60分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
13,将6个形状相同的小球(其中红色,黄色,兰色各2个)随机放入3个盒子中,每个盒子中恰好放 2个小
球,记
?
为盒中小球颜色相同的盒子的个数,求
?
的概率分布 列.
【解:】
?
的取值可以为0,1, 3……………………………………………2分
111
P(
?
?3)?P(盒(1)中求同色,盒(2)中球同色)
???
…………………………………………6分
5315
112
P(
?
? 1)?3P(
盒(1)中球同色,盒(2)中球异色)
?3?(1?)?
…………………………………6分
535
8
P(
?
?0)?1?P (
?
?3)?P(
?
?1)?
…………………………………6分
15

14,设
a
1
?1,a
n
?[na
n?1
](n?2)
,其中
[x]表示不超过
x
的最大整数.证明:无论
a
1
取何正整数时,不在
数列
{a
n
}
中的素数只有有限个.
【解】:
a
1
?1,a
2
?[2a
1
]?1,a
3
? [3a
2
]?1
…………………………………2分
当
n?4时,用数学归纳法得
a
n
?[na
n?1
]?n(n?3)?n ?2
.…………………………………5分
b?1
令
b
n
? a
n
?n
,则有
?2?b
n
?[n(n?1?b
n ?1
)]?[
n?1
]
…………………………………5分
2
当
b
n?1
??1
时,
b
n
?[n(n?2)] ?n??1
…………………………………5分
故当
n
充分大时,
b
n
??2
,所以不在数列
{a
n
}
中的正整数只 有有限多个. …………………………3分

15,设
O
1
与O
2
相交于
A,B
两点,
O
3
分别与
O
1
,O
2
外切于点
C,D,
直线
EF
分 别与
O
1
,O
2
相切于点
E,F
,直线
CE
与直线
DF
相交于点
G
.证明:
A,B,G
三 点共线.
【证明:】以
EF
为
x
轴,
O
1
E
为
y
轴,建立平面直角坐标系.设
E(0,0),F(c,0)
…………………1分
O
1
:x
2
?(y?r
1
)
2
?r
1
2
………………………………1分
O
2
:(x?c)
2
?(y?r< br>2
)
2
?r
2
2
…………………………………1分
O
3
:(x?a)
2
?(y?b )
2
?r
3
2
…………………………………1分
222
?
(1)
?
a?(b?r
1
)?(r
1
?r
3
)
其中
a,b
满足
?
…………………………………2分
222
(2 )
?
?
(a?c)?(b?r
2
)?(r
2
?r< br>3
)
2
于是,
AB:2cx?2(r
2
?r
1
)y?c?0
…………………………………2分
r(0,r
1
)
r
1
( a,b)
r
1
(a,r
3
?b)
…………………………………2分
C:
3
??
r
1
?r< br>3
r
1
?r
3
r
1
?r
3
r(0,r
2
)
r
2
(a,b)
(r
2
a ?r
3
c,r
2
b)
…………………………………2分
D:
3
??
r
2
?r< br>3
r
2
?r
3
r
2
?r
3
CE:(r
3
?b)x?ay?0
…………………………………2分
DF:(r
3
?b)(x?c)?(a?c)y?0
…………………………………2分
G:(a,r
3
?b)
…………………………………2分
由(1)
?(2)
,知点
G
的坐 标满足直线
AB
的方程. ………………………………2分
注:对于几何证法,如果无法列举所有情形,得分减半.