人教版高中数学必修二电子课本-招聘高中数学竞赛教练2019
安徽省示范高中培优联盟2020年高一数学春季联赛试题 理
本试卷分第I卷(选择
题)和第II卷(非选择题)两部分,第I卷第1至第2页,第II卷
第3至第4页。全卷满分150分
,考试时间120分钟。
考生注意事项:
1.答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填
写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡
上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一
致。
2.答第I卷时,每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改<
br>动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
3.答第II卷时,必须使用0.5毫米的黑色墨
水签字笔在答题卡上书写,要求字体工整、笔迹
....
清晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定
的位置绘出,确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔
...
描清楚。必须在题号所指示的答题
区域作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草
....................<
br>稿纸上答题无效。
.......
4.考试结束,务必将试题卷和答题卡一并上交。
第I卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每
小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的。)
(1)已知集合A={x|x-1>0},B={x|y=log
2
x},则A∩B=
(A)[1,+∞) (B)(1,+∞) (C)(-∞,-1]
(D)(-∞,-1)
(2)已知x>0,y>0,且
2
14
?
=1,则x+y的最小值为
xy
(A)8 (B)9 (C)12 (D)6
(3)
定义在R上的函数f(x)同时满足:①对任意的x∈R都有f(x+1)=f(x);②当x∈(1,2]时,f(x)=2-x。若函数g(x)=f(x)-log
a
x(a>1)恰有3个零点
,则a的最大值是
(A)5 (B)2 (C)3 (D)4
(4)已知向量a=(-2,-1),b=(λ,2),若a与b的夹角为钝角,则λ的取值范围是
(A)(-1,4)∪(4,+∞) (B)(2,+∞) (C)(-1,+∞)
(D)(-∞,-1)
(5)已知各项均为正数的等比数列{a
n
}的前3项和为7
,且a
5
=3a
3
+4a
1
,则a
3
=
(A)16 (B)8 (C)4 (D)2
(6)若cos(
211
?
?
-α)=,则cos(+2α)=
33
6
- 1 -
(A)-
7711
(B) (C)- (D)
9999
(7)已知锐角△ABC的内角A,B
,C的对边分别为a,b,c,2asinC=
3
c,a=1,则△ABC
的周长取最
大值时面积为
(A)
3
(B)
2
(C)
3
(D)4
4
(8)在△ABC中,AD为BC边上的中
线,已知E为AD的中点,令
AB
=a,
AC
=b,若过点E
的直线
分别交AB,AC于P,Q两点,且
AP
=ma,
AQ
=nb,则
(
A)4 (B)3 (C)5 (D)
11
?
=
mn
1
3
x
2
?1
(9)函数y=的图象大致为
3x
(10)若数列{a
n
}的首项a
1
=-21,且满足(2n-3)
a
n+1
=(2n-1)a
n
+4n-8n+3,则a
24
的值为
(A)1980 (B)2000 (C)2020
(D)2021
(11)已知P(1,2)是函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0
)的图像的一个最高点,B,C是与
2
?
3
=,则f(x)的图像对称中心可
以是
24
1317
(A)(0,0) (B)(1,0)
(C)(,0) (D)(,0)
22
P相邻的两个最低点。设∠BPC=θ,若t
an
(12)已知函数y=f(3x-1)为奇函数,y=f(x)与y=g(x)图像关于y=-x对
称,若x
1
+x
2
=0,
则g(x
1
)+g(x<
br>2
)=
(A)2 (B)-2 (C)1 (D)-1
第II卷(非选择题 共90分)
考生注意事项:
请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。
.........
.....
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填在答题卡的相应位置。)
(13)在平面直角坐标系xOy中,角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边
- 2 -
交单位圆O于点P(x,y),且x+y=
73
?<
br>,则cos(2α+)的值是 。
52
(14)平行四边形A
BCD中,AB=2,AD=1,
AB?AD
=-1,点M在边CD上,则
MA?MB
的最
小值为 。
(15)在△ABC中,角A,B,C所对
的边分别为a,b,c,若a,b,c成等比数列,且
tanB?
则
1
,3
tanAtanC
的值是 。
tanA?tanC<
br>0?x?2
?
|log
2
x|,
1
?
(16
)已知函数f(x)=
?
,若f(a)≥f(a+),则a的取值范围
2?x?43
?
?
log
2
?
4?x
?
,
是 。
三、解答题(本大题共6小题,共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。)
(17)(本题满分10分)
已知全集为R。函数f(x)=log
π
(x
-1)的定义域为集合A,集合B={x|(x+cos0)(e-e)≥
0}。
(I)求A∩B;
(II)若C={x|1-m
(18)(本小题满分12分) △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2bsinC=acosC+ccosA,B=<
br>(I)求角C;
(II)若点D满足
AD?2DC
,求△ABD的外接圆半径。
(19)(本小题满分12分)
已知公差不为零的等差数列{a
n
},若a
4
+a
8
=22,且a
5
,a
8
,a13
成等比数列。
(I)求数列{a
n
}的通项公式;
(I
I)设
b
n
x2
?
R
B
?
,求实数m的取
值范围。
2
?
,c=
3
。
3
?
a?1
?
?
n
a
n
a
n?1
2
1
?1
,数列{b
n
}的前n项和S
n
,证明S
n
≥。
3
(20)(本小题满分12分)
已知△ABC的面积为3
3
,且内角B是A,C的等差中项。
(I)若cos(c-
?
)=3sinA,求边AC的长;
2
(II)当AC边上中线BD取最小值时,试判断△ABC的形状。
- 3 -
(21)(本小题满分12分)
已知函数,f(x)=2020sin(πx
-
(I)求数列{a
n
}的通项公式;
(II)设b
n
=
2(a
n
+
n
?
)(x∈R)的所有正数的零点构成递增数列{a<
br>n
}。
4
3
),求数列{b
n
}的前n项和T
n
。
4
(22)(本小题满分12分)
已知x∈R,定义函数f(x)表示不超过x的最
大整数,例如:f(
3
)=1,f(π)=3,f(-0.5)
=-1。
(I)若f(x)=2020,写出实数x的取值范围;
(II)若x>0,且f(2x+f(x))=f(7+
1
),求实数x的取值范围;
e
x
?1
?
?
1
?
x?7
f?
x
?
?
??
7?x?8log
(III)设g(x)
=x+k·,h(x)=
?
?
2
?
,若对于任意的x
1,x
2
,x
3
∈[7,
x
?
logx?7,<
br>?
8?x?9
?
2
?
9),都有g(x
1
)
>|h(x
2
)-h(x
3
)|,求实数k的取值范围。
- 4 -
安徽省示范高中培优联盟2020年春季联赛(高一)
数学(理科)参考答案及评分标准
选择题答案:1-5 BBCAC 6-10
CCACA 11-12 DA
2
1答案:B解析:
A
={
x<
br>|
x
-1>0}={
x
|
x
<-1或
x>1}=(-∞,-1)∪(1,+∞),
B
=(0,+
∞),则
A∩
B
=(1,+∞).
?
41
?
414
xy
?
2答案:B解析:由题意可得+=1,则
x
+
y
=(x
+
y
)·
?
=5++≥5+2
?
??
yx
?
yx
?
yx
4
xy
×
yx
=9,当且仅当
x
=3,
y
=6时等号成立,故
x
+y
的最小值为9.选B.
3答案:C解析:画出函数
y
=
f<
br>(
x
)的图象,如下图所示.
又由题意可得
,若函数
y
=log
a
x
的图象与函数
y
=
f
(
x
)的图象有交点,则需满足
a
>1.结合图
??
log
a
2<1
象可得,要使两函数的图象有三个交点,则需满足?
?
?
log
a
3≥1
,解得2<
a
≤3,所以实数
a
最大值为
3
,故选C.
4答案:A解
析:因为当
λ
=0时,
a
与
b
的夹角为钝角,排除B,D;
当
λ
=4时,夹角为π,
排除C,选A.
422
5答案
:C解析:设{
a
n
}的公比为
q
,由
a
5
=3
a
3
+4
a
1
得
q
=3
q
+4,得
q
=4,由数列{
a
n
}的各
2
项均为正数,所以
q
=2,又
a
1
+
a
2
+
a
3
=
a
1
(1+
q
+
q)=
a
1
(1+2+4)=7,所以
a
1
=1,所以<
br>a
3
2
=
a
1
q
=4.
41?
11
?
??
?
?
?2
?
?
=2cos
2
?
?
?
?
-1=2×-1=-. 6答案:C
解析:cos
?
99
?
3
??
6
?
3.∵△
ABC
为锐
2
π
bca
222
角三角形
,∴
A
=. 由正弦定理,得===,∴
b
=sin
B
,
c
=sin
3sin
B
sin
C
sin
A
333
7答案:C解析:∵2
a
sin
C
=3
c
,∴2sin
A
sin
C
=3sin
C
,∴sin
A
=
C
,
∴△
ABC
的周长为1+
2
?
?
2π
?
s
in
B
+sin
C
=1+2sin
?
B?
?<
br>,∴当
B
=,即△
ABC
为等
3
33
6??
3
,选C.
4
边三角形时,周长取得最大值,此时面积为
8答案:A解析:由于题中直线
PQ
的条件是过点
E
,所以该直线是一条“动
”直线,所以最后
→
1
→→
的结果必然是一个定值.故可利用特殊直线确定所
求值.如图1,
PQ
∥
BC
,则
AP
=
AB
,
AQ
=
2
1
→
AC
,
2
- 5 -
图1
此时
m
=
n
=
11
1
,故+=4,故选A.
mn
2
x
2
?1
9答案:C解析:因为函数
y
=为奇函数,所以其图象关于原点对称,当
x
>0时,
y
=
3x
x
2
?1
1+2
,所以函数
y
=在(0,+∞)上单调递减,所以排除选项B,
x3x
2
D;又当
x
=1时,
y
=<1,所以排除选项A
,故选C.
3
1
3
x
2
+1
1
=
x
2
3
1
10答案:A解析:∵(2
n
-3)
a
n
+1
=(2
n
-1)
a
n
+4
n
-7
n
+3,∴(2
n
-3)
a
n
+1
=(2
n
-1)
a
n
+(2
n
-3)(2
n
-1),
∴
2
a
n?1
a
a
?
a
?
?
n
?1
.∵
a
1
=21
,∴
1
?21
,∴数列
?
n
?
是首项为21,公差
为1的
2n?12n?32?1
?
2n?3
?
等差数列,
a
n
?21?(n?1)?1?n?20
,∴
a
n
=(n
+20)(2
n
-3),
n
∈N
*
.
a
24
?1980
,选A.
2n?3
?
?3
11答案:D解析:取BC的中点
D
,连接
PD
,则
PD
=4,
?BPD?
,在
Rt?PBD
中,由
tan?<
br>,
224
得
BD
=3.所以
B
(-2,-2),<
br>C(
4,-2),
BP
,
CP
的中点都是
f(x)<
br>的对称中心,且周期T=6,故选
D
∴
12答案:A 解析:方法
一:因为
y?f(3x?1)
为奇函数,故
y?f(3x?1)
的图像关于原
点(0,0)
对称,故
y?f(x)
的图像关于
(?1,0)
对称,
从而
y?g(x)
的图像关于(0,1)对称,因为
x
1
?x
2
?0
,所以
g(x
1
)?g(x
2
)?
2.
方法二:特例法,设
∴
f(t)?
f(3x?1)?x
,令
t?3x?1
,∴
x?
1
?
t+1
?
,
3
11
?
t+1
?
∴
f(x)?
?x+1
?
33
1
y?
?
?x
?∵
y?g(x)
与
y?f(x)
关于对称 ,∴
?x?
?
?y+1
?
,
g(x)
?
3x?1
,
3
g(x
1
)?g(x
2
)?
x
1
?x2
?0
∵,所以2.
247
13答案:解析:由三角函数定
义知,cos
α
=
x
,sin
α
=
y
.∴
cos
α
+sin
α
=
255
∴(cos
α+sin
α
)=1+sin2
α
=
24
.
25
14答案:
?
2
3
?
?
4
94924
?
,∴sin2
α
=-1=,∴cos
?
2?
?
?
=sin2
α
=
252525
2
??
1
→→→→
解析:如图,∵
AB
·
AD
=-
1,
AB
=2,
AD
=1,∴|
AB
|·|
AD<
br>|cos∠
BAD
=-1,
4
- 6 -
1
∴2cos∠
BAD
=-1,cos∠
BAD
=-,∴∠
BAD
=120°.
2
31
→→
22
建立如图
所示的平面直角坐标系,则
MA
·
MB
=
x
(
x<
br>-2)+=(
x
-1)-. 令
f
(
x
)=(x
-1)
44
1
1
?
13
??
1??
3
?
-,
x
∈
?
?,
?
,则
f
(
x
)在
?
?,1
?
上单调递减,
在
?
1,
?
上单调递增,所以
f
(
x
)<
br>min
=
?
.
4
4
?
22
??<
br>2
??
2
?
10
解析:∵a,b,c成等比数列,
∴b2=ac,由正弦定理得sin2B=sinAsinC,
10
tanAtanC10<
br>1
tanAtanCt+1
?
∴,∴sin
B
=,∴
?sinB
,∵tan
B
=
tanA?tanC10
tanA?t
anC3
10
15答案:
1
?1?37
?
?
111
1
?
设
y?f(x)
与
y?f(x?)
的图像交于点A,
?
∪
?
,
?
解析:
6
3
?
?
63
?
1
??
B,且横坐标分别为
x
1
,x
2
(x
1
?x
2
)
,由图像可得满足
f(a)?f
?
a?
?
的实数
a
的取值范围为
3
??
11
?
?
0
x
1
?
∪
?
x,
?
.
2
?3
??
16.答案:
a?
?
0,
对于
x
1
,由
?log
2
x
1
?log
2
?<
br>x
1
?
?
?x
1
?
对于
?
?
?
x
2
,由
?1?37
(负值舍去)
6
?
?
1
?
?
11
,综上可得,
log
2
x
2
?log
2
?
4?
?
x
2<
br>?
?
?
?x
2
?
36
?
??
?
?
?
1
?
3
?
?
?1?37
?
?
1111
?
a?
?
?
∪
?
,
?
?
0,
6
??
?
63
?
17.
【解析】(1)由
x?1?0
得,函数
f
?
x
?
的
定义域
A?{xx?1}
,又
x
2
?x?2?0
,
得
B?
?
xx?2或x??1
?
,
?A?B?<
br>?
xx?2
?
.……………………………………………………4分
(2)
C?{x?1?x?2}
,
①当
C??
时,满足要求, 此时
1?m?m
,
得
1
m?
;……………………………………………6分
2
1?m?m
②当
C??
时,要
C?{x?1?x?2}
,则
{1?m??1
,解得
m?2
1
?m?2
,…………………………8分
2
由①② 得,
m?2
,
?
实数
m
的取值范围
- 7 -
p>
?
??,2
?
.…………………………………………………10分
18解:(1)由2
b
sin
C
=
a
cos
C
+
c
cos
A
,结合
b
=
a
cos
C
+
c
cos
A
,可得2b
sin
C
=
b
.
因为
b
>0,所以sin
C
=
1
. 又
2
0<
C
<
π
3
,所以
C
=
π.…………………………………………………5分
6
(2)由正弦定理易知
b<
br>sin
B
=
c
sin
C
=23,解得
b=
3.…………………………………………………7分
22
又
AD?2
DC
,所以
AD
=
AC
=
b
,即
AD=2.
33
2ππ
在△
ABC
中,因为∠
ABC=π,
C
=,所以
A
=,
366
π
所以在△
ABD
中,
A
=,
AB
=3,
AD
=2,
由余弦定理得
BD
=1……………………………10
6
分
由
BD
?2?2R
sinA
可知
?ABE
的外接圆半径为
1
.………………………………………………12分
?
2
a
1
+10
d
=22
?
19解:(1)设数列{
a
n
}的首项
为
a
1
,依题意,
?
2
?
?
a
1
+7
d
=
a
1
+4
da
1
+12
d
,解得
a
1
=1,
d
=2,
∴数列{
a
n
}的通项公式为
a
n
=2
n
-
1.……………………………………………………………………5分
(2)
b<
br>n
=
a
n
+1
a
n
a
n
+
1
2
-1=
4
n
2
n
-1
2
2<
br>n
+1
-1=
1
2
n
-12
n
+1
=
1
2
1
??
1
?
??
,
…………………8分
2n?12n?1
??
∴
S
n
=1
×
2
1
?
1
?
1
?
11
??
1
?
?
?
1?
?
+…+
2
??
=
2
?
1?
?
32n?12n?12n?
1
??????
=
n1
?
.…………………………12分
2n?13
20解:∵△
ABC
三个内角
A
、
B
、
C
依次成等差数列,∴
B
=
60°.……………………………………
…2分
设
A
、
B
、
C
所对的边分别为
a
、
b
、
c
,
- 8 -
1<
br>由△
ABC
的面积
S
=33=
ac
sin
B
可得
ac
=12.
2
(1)∵sin
C
=3si
n
A
,由正弦定理知
6.……………………………………………4分
在△<
br>ABC
中,由余弦定理可得
b
=
a
+
c
-2
ac
cos
B
=28,∴
b
=27,即
AC
的长为
27. ……6分
→
1
→→
(2)∵
BD
是
AC
边上的中线,∴
BD
=(
BC
+
BA),
2
1
22
1
→
2
1
→
2
→
2
→→
1
22
∴
BD
=(
B
C
+
BA
+2
BC
·
BA
)=(
a
+
c
+2
ac
cos
B
)=(
a
+c
+
ac
)≥(2
ac
+
ac
)=9, 4444
→
当且仅当
a
=
c=
23
时取“=”
,∴|
BD
|≥3,即
BD
长的最小值为3,
此时△
AB
C
为等边三角
222
c
=3
a
,∴
a
=2
,
c
=
形………………………………………………………………………………12分
(其他解法请酌情赋分)
21.【解析】(1)
f(x)?2020sin
?
?
x?
?
?
?
?
?
1
?
?0?
?
x??k
?
(k?Z)?x??k(k?Z)
,
4
?
44
这就是函数
f(x)
的全部零点.已知函数f(x)
的全部正数的零点构成等差数列{
a
n
},则其首项
等
于
公
1
,
4
差等于1,{
a
n
}的通项
公式就是
3
a
n
?n?(n?N*)
……………………………………
……………5分
4
(2)
b
n
?2
?
a
n
?
……7分
利用错位相减法得
n
?
?
3
?
n
?
?n?2
……………………………………………………………………
…
4
?
T
n
?(n?1)2
n?1
?2
…
……………………………………………………………12分
22解:(1)若
f
?<
br>x
?
?2020
,则
x
表示不超过
20201
的最大整数,
所以
2020?x?2020?1
,故
x
的取值范
围为
2020?x?2021
;…………………………………………3分
(2)若<
br>x?0
,可得
0?
则
11
?
,
f
?
2x?f(x)
?
?7
,
e
x
?12
- 9 -
7?2x?f(x)?8
,
7?2x?f(x)?8?2
x
,………………………………………………………
…5分
当
x?1
时,
f(x)?5
,不符合.
当
x?2
时,
f(x)?3
,不符合.
则
x?3
时,
f(x)?1
,不符
合.
当
2?x
?3
时
f(x)?2
,所以
7?2x?2?8?2x
,解得
所以实数
x
的取值范围为
5
?x?3
.
2
5?x?3
;……………………………………………………………………8分
2
方
法二:画出两直线与函数y=f(x)的图像,由图象观察得:实数
x
的取值范围为
5
?x?3
.
2
?
?
1
?
x?
7
?
?
,7?x?8
?h(x)
在
?
7,8
?
单调递减,在
?
8,9
?
单调递增. (3)?
h(x)?
?
?
2
??
?
log(x?7)
,8?x?9
?
2
可得
h
?
x
?
max<
br>?h
?
7
?
?1
,
h
?
x
?
min
?h
?
8
?
?0
,则
h
?
x
2
?
?h
?
x
3
?
?h?
7
?
?h
?
8
?
?1
,
所以
g
?
x
1
?
?1
在
?
7,9
?
恒成立,即
x?k?
立,………10分
当
x?
?
7,8
?
时,
7k?x?x
在
?
7,8
?
恒成立,即
k??6
,
2
f
?
x
?
2
?1
,整理得
k?f
?
x
?
?x?x
在
?
7,9
?
恒成
x
当
x?
?
8,9
?
时,
8k?x?x
在
?
8,9
?
恒成立,即
k??7
,
2
综上可得: 实数
k
的取值范围为
k??6
.……………
……………………………………………………12分
- 10 -