【全国市级联考】安徽2017-2018学年高一下学期期末考试数学试题+答案

2017-2018学年度第二学期期末质量监测
高一数学试题（A卷）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给 出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.
A.
2.
在
A.
的内角的对边分别为
D.
，若，则为（ ）
，若，则等于（ ）
B. C.
中，内角
B. C.
的对边分别是
D.
3.
各项均为正数的等比数列
为
A.
（ ）
B. C.
的通项为
C.
，其前项和为.若，则数列的通项公式
D.
，则数列的前项和（ ）
4.
已知数列
A.
5.
设
B. D.
的前项和，且，若，则当最大时，（ ） 是公差不为零的等差数列
D. A. B. C.
6.
某空间组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为（ ）

A.
7.
设
A.
B. C.
，若是
D.
和

的最小值为（ ） 的等比中项，则
B. C. D.
8.
大衍数列，来源于《乾坤普》中对易传“大衍之数五十”的推论 .主要用于解释中国传统文化中太极衍生
1 13

原理.数列 中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两翼数量总和.是中国传统文化中隐藏着的
世界数学 史上第一道数列题.其前
（ ）
A. B. C. D.
，若

三点共线，为坐标原点，且（直
项依次是，则此数列第项为
9.
已知等差数列
线
A.
不过点），则
B.
的前项和为
等于（ ）
D.
对于一切实数恒成立，由又
的最小值为（ ）

，则
D.
若则的取值范围是
的大小关系是（ ）
，使
C.
10.
已知，一元二次不等式
，则
A. B.
11.
若实数
A.
12.
（ ）
A.
C. D.
，且满足
C. B.
B. C. D.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.
已知向量
14.
在
满足，且
的对边分别是且
，则向量与夹 角余弦值为
__________
．
，若的面积，则的值为中，角
__________．
15.
半径为的球的体积与一个长、宽分别为、的长方体的体积相等，则长方体的面积为________．
满足公比，且中的任意两项之积也是该数列中的一项，若
16.
设等比数列
，则的所有可能取值的集合为__________．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.
请推导等比数列的前项和公式.
18.
已知二次函数的二次项系数为，且不等式的解集为，
2 13

（1）若
（2）若
有两个相等的实根，求
的最大值为正数，求的取值范围.
.
的解集为或
的解析式，
19.
已知函数
（1）若
（2）对任意
20.
设的内角
，求的值；
恒成立，求的取值范围.
的对边分别是.
（1）求；
（2）若，求.
.
21.
已知一四面体的三组对边分别相等，且长度依次为
（1）求该四面体的体积；
（2）求该四面体外接球的表面积.
22.
设数列
（1）求
（2）设
都有





的前项和为，已知
，证明数列
，数列
成立，求的最大值.
.
是等差数列；
的前项和为
的值，若
，若存在整数，使对任意且，
3 13

第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.
A.
的内角的对边分别为
D.
，若，则等于（ ）
B. C.
【答案】
D
【解析】试题分析：根据题意中给定了两边以及一边的对角可知那么结合余弦定理可知

故答案为
C.
考点：解三角形

点评：主要是考查了余弦定理的运用，求解边，属于基础题。

2.
在
A.
中，内角
B. C.
的对边分别是
D.
，若，则为（ ）
【答案】
A
【解析】试题分析：，则由正弦定理可得
.
故选
B.
考点：正弦定理，余弦定理

3.
各项均为正数的等比数列
为
A.
（ ）
B. C. D.
，其前项和为.若，则数列的通项公式
，又，

【答案】
D
【解析】
各项均为正数
,
公比为
q< br>的等比数列
{a
n
}，a
2
?a
5
=?78 ,S
3
=13，
可得
解得
则
本题选择
D
选项
.
，
，

4 13

4.
已知数列的通项为，则数列的前项和（ ）
A. B. C. D.

【答案】
C
【解析】
数列
{a
n
}
的通项为
，
前
50
项和
本题选择
C
选项
.
点睛：
(1)
等差数列、等比数列以及由等差数列、等比数列通过加、减构成的数列，它们可以
使用等差数列、等比数列的求和公式求解．
(2)
奇数项和偶数项分别构成等差数列或者等 比数列的，可以分项数为奇数和偶数时使用等差
数列或等比数列的求和公式．
5.
设是公差不为零的等差数列的前项和，且，若，则当最大时，（ ）
A. B. C.
【答案】
B
D.

【解析】试题分析：由题意可得
又
，
∴
，
∴
，< br>，
∴
该等差数列的前
7
项为正数，从第
8
项开始为负 数，
∴
当
S
n
最大时，
n=7
，故选：
B .
考点：等差数列的前
n
项和．

6.
某空间组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】
C
【解析】
由三视图可知 该几何体是由两个长方体组成的组合体，上面的长方体长宽高分别为
4,2,5
，线面的长方体 长宽高分别为
4,6,1
，据此可得该几何体的体积为
.
5 13

本题选择
C
选项
.
点睛：
(1 )
求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及
直观图中线 面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；
(2)
若所给几何体的体积不能
直 接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．
7.
设，若是和的等比中项，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.

【答案】
C
【解析】
∵是和的等比中项，
，，当且仅当，即
又
∵
时等号成立
.
本题选择
C
选项
.
点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等 式成立的三个条件，就是
“
一正
——
各项均为
正；二定
——
积或和为定值；三相等
——
等号能否取得
”
，若忽略了某个条件，就 会出现错误．
8.
大衍数列，来源于《乾坤普》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用 于解释中国传统文化中太极衍生
原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两翼数量 总和.是中国传统文化中隐藏着的
世界数学史上第一道数列题.其前
（ ）
项依次是，则此数列第项为
A. B. C. D.

【答案】
B
【解析】
由
0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，
可得偶数项的通项公式：
a
2n
=2n
2
.
10
2
=200.
则此数列第
20
项
=2×本题选择
B
选项
.
9.
已知等差数列
线不过点）， 则
的前项和为，若三点共线，为坐标原点，且（直
等于（ ）
A. B. C. D.

【答案】
A
6 13

∴
a
6
+a
15
=1 ，
∴
a
1
+a
20
=1，
∴
本题选择
B
选项
.
10.
已知，一元二次不等式
，则
对于一切实数恒成立，由又
的最小值为（ ）

，使
.
A. B.
【答案】
D
C. D.

∴
a>0
，且△
=4?4 ab
?
0，
∴
ab
?
1.
再由
?
x
0
∈
R,
使
，
当且仅当
本题选择
D
选项
.
11.
若实数，且满足，则的大小关系是（ ）

成立，可得△
=0，
∴
ab=1，
即时等号成立，
A. B. C. D.
【答案】
B
【解析】
∵
a、b
∈
(0,1)
，且满足
，

本题选择
B
选项
.
12.
（ ）
若则的取值范围是
A.
【答案】
A
B. C. D.

7 13

【解析】
根据题意
,
向量
，
则
令
,
则
，
而
m+n
∈
[1, 2]
，即
1
?
m+n
?
2
，在直角坐标系表示如图 ，
表示区域中任意一点与原点
(0,0)
的距离，
分析可得：
又由
故
本题选择
A
选项
.
，
，
.

第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.
已知向量
【答案】

满足，且，则向量与夹角余弦值为
__________
．
【解析】

即向量与夹角余弦值为
.
14.
在中，角的对边分别是且，若的面积，则的值为
__________
．
8 13

【答案】

【解析】
在△
A BC
中
,
由条件用正弦定理可得
2sinCcosB=2sinA+sinB =2sin(B+C)+sinB，
即
2sinCcosB=2sinBcosC+2sin CcosB+sinB,
∴
2sinBcosC+sinB=0,

由于△
ABC
的面积为

15.
半径为
【答案】


的球的体积与一个长、宽分别为、的长方体的体 积相等，则长方体的面积为
________
．
【解析】试题分析：设该长方体的高 为
x,
则因为半径为
，即，所以长方体的表面积为
的球的体积为，所以

，故应填
88.
考点：
1
、简单几何体的体积的求法
.
16.
设等比数 列满足公比，且中的任意两项之积也是该数列中的一项，若
，则的所有可能取值的集合为
___ _______
．
【答案】

，设该数列中任意两项为
，故
，它们的积为，则
的可
【解析】试题分析：由题意，
，即
能取值为
考点：等比数列

必须是
81
的正约数，即

，所以的所有可能取值的集合为
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.
请推导等比数列的前项和公式.
【答案】见解析
【解析】
试题分析：
由等比数列的特点分类讨论，然后结合错位相减的方法即可求得

等比数列前
n
项和公式
.
试题解析：
若数列
.
下面证明：
9 13
为公比为的等比数列，则其前项和公式，当时，

，
①
，
②
①②可得
当
当
时，上式两边同除以
时，数列各项均为，故
，
可得
.
，
点睛：一是在运用等比数列的前
n
项和公式时 ，必须注意对
q＝1
或
q≠1
分类讨论，防止因忽
略
q＝1
这一特殊情形而导致解题失误．
二是运用等比数列的性质时，注意条件的限制
.
18.
已知二次函数
（1）若
（2）若
的二次项系数为，且不等式
有两个相等的实根，求
的最大值为正数，求的取值范围.
（2）或.
的图像与横坐标的交点、二次不等式
的根是同一个问题．解决与之相关
的解析式，
的解集为，
【答案】（1）
【解析】试题分析：（
1
）抓住二次函 数
解集的端点值、二次方程
的问题时，可利用函数与方程的思想、化归的思想将问题转化，（< br>2
）结合二次函数的图象来解决是当不等
式对应的方程的根个数不确定时，讨论判别式< br>坐标，或在对称轴处取得最大值

试题解析：由题意可设
即
（
1
）
即
得
而
整理得
（
2
）
，即，

，得，即
．
6
分


，
2
分

，

有两个相等的实根，

，即，

，

，且，

与
0
的关系，（
3
）当
a>0
时，配方法最大值，也可用顶点
10 13

而，得
，或
，即
，而，

，
9
分

得的取值范围为．
12
分

考点：二次函数和一元二次不等式解的关系及二次函数的最值

19.
已知 函数
（1）若
（2）对任意
【答案】（1），（2）
2
.
的解集为或，求的值；
恒成立，求的取值范围.

kx
－
2x
＋
6k<0.
【解析】
(1)f(x )>k?
由已知
{x|x<
－
3
，或
x>
－
2}
是其解集，得
kx
－
2x
＋
6k
＝
0
的两根是－
3
，－
2.
由根与系数的关系可知
(
－
2)
＋
(
－
3)
＝，即
k
＝－

(2)∵x>0
，
f(x)
＝
即
t
的取值范围 是
20.
设的内角
＝
≤
.
的对边分别是.
＝ ，当且仅当
x
＝时取等号．由已知
f(x)≤t
对任意
x>0
恒成立，故
t≥
，
2
（1）求；
（2）若
【答案】（1）
，求.
（2）或.
得
，由，结合余弦定理可求出
;
可求出
【解析】试题分析：（
1
）由< br>（
2
）由三角形内角和定理可知
或
试题解析：

（
1
）因为
由余弦定理得
因此

，所以




，解之即可
.
，所以，

（
2
）由（
1
）知

11 13

故或，因此或

考点：
1.
余弦定理；
2.
三角恒等变换
.
21.
已知一四面体的三组对边分别相等，且长度依次为
（1）求该四面体的体积；
（2）求该四面体外接球的表面积.
【答案】（1）20（2）
【解析】
试题分析：

.
( 1)
将四面体放入一个长方体，列出方程求得长宽高，据此可得该四面体的体积是
20；
(2)
结合
(1)
的结论可得外接球半径为
试题解析：
（1）

四面体的三组对边分别相等，
，则外接球的表面积为
.
四面体为某一长方体的六条面对角线组成的三棱锥，
设长方体的棱长为，则
，
解得
，
.
四面体的体积
（2
）由（
1
）可知四面体的外接球为长方体的外接球，外接球直径为长方体的体对角线长
，
外接球的半径为
外接球的表面积为
22.
设数列
（1）求
（2）设
都有
的前项和为，已知
，证明数列
，数列
成立，求的最大值 .
.
，
.
.
是等差数列；
的前项和为，若存在 整数，使对任意且，
的值，若
【答案】（1）见解析（2）
12 13

【解析】
试题分析：
(1)
由题意可得
(2)
由题意可得
试题解析：
（1）由
又
两式相减，得
于是
所以数列
（2）
即
是

，则

，
则数列是首项为，公差为的等差数列
.
，结合恒成立的条件可得得最大值为
.
，则可得
，
，即
，
，
以首项为，公差为的等差数列
.

令
则
所以



.
所以当
据题意，

时，的最小值为
.
.
，即，又为整数，故得最大值为
13 13