2019-2020学年安徽省示范高中高一上学期第二次联考数学试题(解析版)

2019-2020学年安徽省示范高中高一上学期第二次联考数学
试题


一、单选题
1
．已知集合
A?
?
x|?1?x ?2
?
，
B?
?
x|x?1?0
?
，则
A I?
R
B?
（

）

A
．
?
x|1?x?2
?

【答案】
C
【解析】确定集合
B
，由集合运算的定义求解．

【详解】

因为集合
B?
?
x|x?1?0
?
?
?
x |x?1
?
，所以
C
R
B?
?
x|x?1
?
，所以
B
．
?
x|1?x?2
?
C
．
?
x|1?x?2
?
D
．
?
x|1?x?2
?

??
AI
?< br>C
R
B
?
?
?
x|1?x?2
?
.
故选：
C.
【点睛】

本题考查集合的运算，属于基础题．

2
．函数
f
?
x
?
?5?x?lg
?
x?2
?
的定义域是（

）

A
．
?
?2,5
?

【答案】
A
【解析】使解析式有意义，因此必须有
5?x?0
且< br>x?2?0
．

【详解】

B
．
?
?2,5
?
C
．
?
2,5
?
D
．
?
2,5
?

?
5?x?0
?
x?5
由
f
?
x
?
?5?x?lg
?
x ?2
?
，得
?
，即
?
，所以
x?
?
?2,5
?
.
x?2?0x??2
??
故选：
A.
【点睛】

本题考查求函数定义域，即求使函数式有意义的自变量的取值范围．

3
．下列各角中，与
?1376?
终边相同的角是（

）

A
．
36?

【答案】
D
?
【解析】根据终边相同的角的公式
?
?
?
?k?360,k?Z< br>，即可求解
.
B
．
44?
C
．
54?
D
．
64?

【详解】

第 1 页 共 16 页

因为
?1376???4?360??6 4?
，所以与
?1376?
终边相同的角是
64?
.
故选：
D.
【点睛】

本题考查终边相同角的公式，属于基础题
.
4
．集合
M?x|lo g
2
x?2,x?N
A
．
7
【答案】
A
【解析】解对数不等式得
M?
?
1,2,3
?
，根据集合元素的个 数可得真子集个数
.
【详解】

由
log
2
x? 2
，得
0?x?4
，又
x?N
*
，

所以集合
M?
?
1,2,3
?
，

集合
M
的真子集有
2
3
?1?7
个
.
故选：
A.
【点睛】

本题考查集合真子集的个数，关键是要确定 集合元素的个数，利用子集个数公式
2
n
求
得真子集个数，是基础题
.
5
．若
?
为钝角
,
则
?
?k
?
?
k?Z
?
是
( )

A
．第一或第二象限角

C
．第二或第四象限角

【答案】
C
【解析】若
?
为钝角
,
则终边落在第 二象限
,
对
k
赋值
,
即可判断
?
?k?
?
k?Z
?
终边所在
象限

【详解】

由题
,
若
?
为钝角
,
则终边落在第二象限
,
当
k?0
时
,
?
?k?
?
k?Z
?
为第二象限角；

当
k?1时
,
?
?k
?
?
k?Z
?
为第四象限 角
,
故选：
C
【点睛】

本题考查象限角的判断
,
属于基础题

第 2 页 共 16 页
B
．第二或第三象限角

D
．第一或第三象限角

B
．
8
?
*
?
，则集合
M
的真子集的个数为（

）

C
．
15 D
．
16

6
．若实数
a?log
0.2
0.3
，
b?lo g
0.3
0.2
，
c?log
0.3
2
，则（
）

A
．
c?b?a

【答案】
B
【解析】与中间值
0
和
1
比较后可得．

【详解】

因为对数函数< br>y?log
0.2
x
是单调递减的，所以
a?log
0.2< br>0.3?log
0.2
0.2?1
，同理，
B
．
c? a?b
C
．
a?b?c
D
．
b?a?c
b?log
0.3
0.2?log
0.3
0.3?1
，所以0?a?1?b
，而
c?log
0.3
2?log
0.3
1?0
，所以
c?a?b
.
故选：
B.
【点睛】

本题考查比较对数的大小，对于同底数的对数，可以利用对数函数的单调性 比较，不同
底数的对数可以与中间值
0
，
1
等比较后得出结论．
7
．若函数
f(x)?(m
2
?2m?2)x
m?1
是幂函数
,
且
y?f(x)
在
(0,??)
上单调 递增
,
则
f
?
2
?
?
( )

A
．
1

4
B
．
1

2
C
．
2 D
．
4

【答案】
D
【解析】由幂函数的定义及幂函数的单调性可得
m?3
，再求值即可得解
.
【详解】

解：因为函数
f
?
x
?
?m? 2m?2x
2
??
m?1
是幂函数
,
所以
m2
?2m?2?1
,
解得
m??1
或
m?3
.
又因为
y?f(x)
在
(0,??)
上单调递增
,
所以
m?1?0
,
所以
m?3
,
2
即
f(x)?x
,
从而
f
?
2
?
?2?4
，

2
故选：
D.
【点睛】

本题考查了幂函数的定义及幂函数的单调性，重点考查了求值问题，属基础题
.
8< br>．已知函数
f
?
x
?
?
?
a?1
?
x?
?
a?2
?
x?bcosx
是定义在
?
a?3,a?1
?
上的奇函数，
3
第 3 页 共 16 页

则
f
?
a?b
?
?
（

）

A
．
-2
【答案】
B
【解析】根 据奇函数的定义域关于原点对称可得
a?3?a?1?0
，再由
f
?
0
?
?0
，列
方程组求出
a,b
，进而求出
a?b
代入求函数值即可
.
【详解】

由函数
f
?x
?
?
?
a?1
?
x?
?
a?2?
x?bcosx
是定义在
a?3,a?1
上的奇函数，

3
B
．
-1 C
．
2 D
．
5

??
?
a?3?a?1?0
?
a?1
3
得
?
，所以
?
，
f
?
x
?
?2x?3x，

?
?b?0
?
b?0
则
f
?a?b
?
?f
?
1
?
??1
.
故选：
B.
【点睛】

本题考查函数奇偶性的性质，特别的定义域关于原点对称不要忽略，是基础题
.
?< br>,
GH
?
,
EF
?
是单位圆上的四段弧
(< br>如图
),
点
P
在其中一段上
,9
．在平面坐标系中< br>,
?
AB
,
CD
角
?
以
x
轴的非负半轴为始边
,
OP
为终边
,
若
sin
?< br>?cos
?
?0
,
且
cos
?
?sin?
?tan
?
,
则
P
所在的圆弧是
( )


A
．
?
AB

?

B
．
CD
?

D
．
GH
?
C
．
EF
【答案】
D
【解析】假设点
P
在指定象 限
,
得到
sin
?
,cos
?
,tan
?
的符号
,
验证
sin
?
?cos
?
?0< br>,
cos
?
?sin
?
?tan
?
是否成立 即可

【详解】

若点
P
在第一象限
,
则
sin
?
?0
,
cos
?
?0
,
则
sin
?
?cos
?
?0
,
与题意不符
,
故排除
第 4 页 共 16 页

A,B
；若点
P
在第二象限
,
则
sin
?
?0
,
tan
?
?0
,
则
sin
?
?tan
?
,
与题意不符
,
故排除
C
；

故选：
D
【点睛】

本题考查象限角的三角函数值的符号的应用
,
考查排除法处理选择题

10
．已知函数
f(x)??
围是（

）

A
．
?
?,
?

33
【答案】
A
4
2
5
0
在
[?1,1]
上恒成立，则
a
的取值范
x?ax?
，若
f(x)…
33
?
11< br>?
??
B
．
?
?1,?
?

3?
?
1
?
?
C
．
[?1,1]
D
．
?
?1,
?

3
?
?
1?
?
0
在
[?1,1]
上恒成立，【解析】
f(x)…
则抛物线在
[?1,1]
间的部分都在
x
轴上方或在
x轴
上，只需最低点，即区间的两个端点满足即可，可得
f(?1)?0,f(1)?0，求解即可得
出结论
.
【详解】

0
在
[?1,1]
上恒成立，

因为
f(x)…< br>45
?
f(1)???a?
…
0,
?
?
11
33
.
a
所以
?
解得
?剟
45
33
?
f(?1)???a?
…
0,
?
33
?故选
:A.
【点睛】

本题考查不等式在给定区间恒成立，转为为二次 函数图像特征，考查数形结合思想，属
于基础题
.
11
．某工厂产生的废气 必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原
污染物总量的
0.5%
.
已知在过滤过程中的污染物的残留数量
P
（单位：毫克

升）与过< br>?kt
滤时间
t
（单位：小时）之间的函数关系为
P?P
0< br>?e
（
k
为常数，
P
0
为原污染物总
量）< br>.
若前
4
个小时废气中的污染物被过滤掉了
80%
，那么要能 够按规定排放废气，还
需要过滤
n
小时，则正整数
n
的最小值为（< br>
）（参考数据：取
log
5
2?0.43
）

A
．
8

【答案】
C
第 5 页 共 16 页
B
．
9
C
．
10
D
．
14

1ln51
?kt
?
， 可得出
k?
，然后解不等式
e?
，解
54200
出
t
的取值范围，即可得出正整数
n
的最小值
.
【解析】根据已知条件得出
e
?4k
【详解】

?kt由题意，前
4
个小时消除了
80%
的污染物，因为
P?P
0
?e
，所以
?4k
，所以
0.2?e
?4k
， 即
?4k?ln0.2??ln5
，所以
k?
?
1?80%
?
P
0
?Pe
0
?kt
则由
0.5%P
0
?P
0
e
，得
ln0.005??
ln5
，

4
ln5
t
，

4
4ln200
?4 log
5
200?4log
5
?
5
2
?2
3
?
?8?12log
5
2?13.16
，

ln5
故正整数
n
的最小值为
14?4?10
.
所以
t?
故选：
C.
【点睛】

本题考查指数函 数模型的应用，涉及指数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等
题
.
12．已知函数
f(x)?3sin
?
?
x?
的取值范围是
( )

A
．
?
0,
?
?
?
?
?
(
?
?0)
,
若
f
?
x< br>?
在区间
(
?
,2
?
]
内没有零点
,
则
?
6
?
?
1
??
12
??
?
?
,
?

?
12
??
3 3
?
B
．
?
0,
?
1
??
17< br>?
?
?
?
,
?

?
12
? ?
612
?
C
．
?
0,
?
1
?< br>?

12
??
?
7
?
D
．
?
0,
?

?
12
?
【答案】
B
?
?
??
??k
?
?
?
6
,k?Z，再【解析】由函数
f(x)
在区间
(
?
,2
?
]
内没有零点
,
可得
?
?
2
??
??
?(k?1)
?
?
6
?
结合
k?Z
求解即可
.
【详解】

解：因为
?
?x?2
?
,
?
?0
, 所以
??
?
?
6
?
?
x?
?
6
?2
??
?
?
6
.
因为
f(x)在区间
(
?
,2
?
]
内没有零点
,
第 6 页 共 16 页

?
?
??
??k
?
?
?
6
,k?Z
.
所以
?
?
?
2
??
??(k?1)
?
?
6
?
解得
k?
1k7
?
?
??,k?Z
.
6212
1k7
?
k???
?
?
75
6212
,
所以
??k?
,
因为
?
66
?
k
?7
?0
?
?
212
因为
k?Z
.
所以
k??1
或
k?0
.
1
;
12
17< br>当
k?0
时
,
?
?
?
，

612
当
k??1
时
0?
?
?
故选：
B.
【点睛】

本题考查了函数的零点问题，重点考查了三角函数图像的性质，属中档题
.


二、填空题
13
．已知角
?
的终边经过点
P( ?3,1)
,
则
cos??
____________.

【答案】
?
3

2
【解析】结合三角函数的定义求解即可
.
【详解】

解：因为
P(?3,1)
，

则
OP?
r?
所以
cos
?
??
(?3)
2
?1?2
,
3
,
2
故答案为：
?
【点睛】

3
.
2
本题考查了三角函数的定义，属基础题
.
??log
2
x,x?0
14
．若函数
f
?
x< br>?
?
?
x
，则
ff
2,x?0
?
?
?
2
?
?
?
______.

第 7 页 共 16 页

【答案】
2

2
【解析】先求出
f
【详解】

因为
f
? ?
1
1
2??
，再代入
x??
，求
2
2< br>?
1
?
f
?
?
?
即可
.
?
2
?
?
2
?
??log
2
< br>2
2
1
2??
，所以
ff
2
?
?< br>?
?
1
?
2
?
1
?
.
2 ?f
?
?
?
?2
2
?
2
?
2?
故答案为：
【点睛】

本题考查分段函数的函数值的求解，是基础题
.
15
．已知
?为第三象限角
,
则
cos
?
1?tan
2
?< br>?3sin
?
1?
【答案】
?4

【解析】由同角三 角函数的关系可将原式变形为
cos
?
?
结合三角函数象限角的符号求解即可
.
【详解】

解：
1
?
____________.

2
tan
?
11
?3sin
?
?
，再
|cos
?< br>||sin
?
|
1sin
2
?
?cos
2< br>?
sin
2
?
?cos
2
?
cos
?
1?tan
?
?3sin
?
1??cos
?
?3 sin
?
tan
2
?
cos
2
?
sin< br>2
?
2
?cos
?
?
11
?3sin
?
?
，

|cos
?
||sin
?
|< br>又
?
为第三象限角
,
则
sin
?
?0,co s
?
?0
，

故原式

?cos
?
?
故答案为：
?4
.
【点睛】

本题考查了三角函数象限角的符号问题，重点考查了同角三角函数的关系，属基础题
.
16
．定义在
R
上的偶函数
f(x)
满足
f(x)?f( 4?x)
,
且当
x?[0,2]
时
,
f(x)?cosx< br>,
则
11
?3sin
?
???4
，

?cos
?
?sin
?
g(x)?f(x)?lgx
的零点个数为
____________.

第 8 页 共 16 页

【答案】
10
【解析】由函数的零点个数与函数图像的交点个数的关 系，函数
g(x)?f(x)?lgx
的
零点个数等价于函数
y?f(x)< br>的图像与函数
y?lgx
的图像的交点个数，再结合函数
的性质作图观察即可得 解
.
【详解】

解：由于定义在
R
上的偶函数
y ?f
?
x
?
满足
f(x)?f
?
4?x
?
,
所以
y?f
?
x
?
的图象关于直线
x ?2
对称
,
画出
x?[0,??)
时，
y?f
?
x
?
部分的图象如图
,
在同一坐标系中画出
y?lgx的图象
,
由图可知：当
x?(0,??)
时
,
有5
个交点
,
又
y?lgx
和
y?f
?
x
?
都是偶函数
,
所以在
x?(??,0)
上也是有< br>5
个交点
,
所以
g
?
x
?
?f?
x
?
?lgx
的零点个数是
10
，

故答案为：
10.

【点睛】

本题考查了函数的性质， 重点考查了函数的零点个数与函数图像的交点个数的相互转
化，属中档题
.

三、解答题
17
．已知集合
A?
?
x|x?a?2
或
x?a?3
?
,
B?x|y?log
3
x?log3
?
5?x
?
.

(1)
当
a?1
时
,
求
AUB
;

(2)
若
AIB?B
,
求实数
a
的取值范围
.

【答案】
(1)
?
x|x??1
或
x?0< br>?
;(2)
?
??,?3
?
U
?
7,??< br>?
.
【解析】（
1
）计算
B?
?
x|0? x?5
?
，
A?
?
x|x??1
或
x?4
?
，再计算
AUB
得到答
案
.
（
2
）根 据
AIB?B
得到
B?A
，故
a?3?0
或
a?2 ?5
，计算得到答案
.
第 9 页 共 16 页
??

【详解】

(1)
因为
?
?< br>x?0
,
所以
0?x?5
,
即
B?
?
x|0?x?5
?
,
?
5?x?0
当
a?1
时
,
A?
?
x|x??1
或
x?4
?
,所以
A?B?
?
x|x??1
或
x?0
?
.
(2)
因为
AIB?B
,
所以
B?A
,
B?
?
x|0?x?5
?
,
则
a?3?0
或
a?2?5
,
即
a??3
或
a?7
,
所以实数
a
的取值范围为
?
??,?3
?
U
?< br>7,??
?
.
【点睛】

本题考查了并集的计算，根据包含关系求参数，意在考查学生对于集合知识的综合应用
. 18
．已知角
?
的终边经过点
P(2,?3)
,
求下列 各式的值
.

（
1
）
6sin
?
;

3cos
?
?sin
?
2
（
2
）
cos(
?
?
3
?
?
2
?
)?sin
2
?
?
??sin(
?
?
?
)?3
.

??
22
??
【答案】（
1
）
-2
（
2
）
?
17

13
【解析】（
1
）由三角函数的定义可得
tan
?
??
可得解
.
3
，再结合同角三角函数的商数关系即
2
（
2
）由同角三角函数的 平方关系及诱导公式化简即可得解
.
【详解】

解
:
（< br>1
）由角
?
的终边经过点
P(2,?3)
,
可知tan
?
??
则
3
,
2
6sin
?
6tan
?
???2
.
3 cos
?
?tan
?
3?tan
?
（
2
） 由已知有
sin
?
?
313313
，

??
13
4?9
所以
cos
?
?
?
2
??
3
?
?
?
2
?
?
?sin
2
?
?
?
??
?sin(
?
?
?
)?3

2
?
2
??
?sin
2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?3

?sin
2
?
?1?3

?
917
?2??
.
1313
【点睛】

第 10 页 共 16 页

本题考查了三角函数的定义及同角三角函数的关 系，重点考查了运算能力，属基础题
.
19
．某同学用
“
五点法< br>”
画函数
f
?
x
?
?Asin
?
?
x?
?
?
在某一个周期内的图象时
,
列表并
填入了 部分数据
,
如下表
:

?
x?
?

x

0

?

2
5
?

12
2

?


3
?

2
2
?


11
?

12

Asin
?
?
x?
?
?

0


0

0

(1)
请将上表 数据补充完整
,
填写在相应位置
,
并求出函数
f
?
x
?
的解析式
;

(2)
把
y?f
?x
?
的图象上所有点的横坐标伸长到原来的
2
倍
(
纵坐 标不变
),
再把得到的图
?
23
?
?
?
g
y?gx
象向左平移个单位长度
,
得到函数
??
的图象,
求
?
6
?
的值
.

3
??
【答案】
(1)
见解析
,
f
?
x
?
?2sin
?
2x?
?
?
?
?
?
.(2 )-1
3
?
?
?
5
?
?
?
?< br>?
?
?
?2
?
?
12
?
?
2
,
即可求得
?
【解析】（
1
）由表格中数据
,< br>可得
?
?
,
由
Asin?2
?
??
2
?
11
?
?
?
?
?
3
?
?
3
?
?
2
?
12
可得
A?2
,
则
f
?
x
?
?2sin
?
2x?
?
?
?
?
?
,
进而补全表格即可；

3
?
（
2
）由图像变换原则可得
g
?
x
?< br>?2sinx
,
进而将
x?
【详解】

23
?
代入求解即可

6
?
?
5
?
?
?
?
?
?
?
?2
?
?
12
?
2
,
解得
?
解
:(1)
根据表中 已知数据
,
可得
?
?
,
11
?
3
?
?
??
?
?
?
?
?
?
3?
?
2
?
12
又
Asin
?
2
?2
,
所以
A?2
,
?
?
所以
f?
x
?
?2sin
?
2x?
数据补全如下表
:
?
?
?
.
3
?
第 11 页 共 16 页

?
x?
?

x

0
?

6
?

2
5
?

12
2
?

2
?

3
0
3
?

2
2
?

7
?

6
0
11
?

12
-2
Asin
?
?
x?
?
?

0

(2)
由
(1)
知
f
?
x
?
? 2sin
?
2x?
?
?
?
?
?
,
3
?
把
y?f
?
x
?
的图像上所有点的横坐标伸 长到原来的
2
倍
(
纵坐标不变
),
得到
?
??
y?2sin
?
x?
?
的图像
,
3
??
再把得到的图像向左平移
??
??
?
个单位长度
,得到
y?2sin
?
x??
?
?sinx
的图像
,
即
3
33
??
g
?
x
?
?2 sinx
,
所以
g
?
?
23
?
?
6
23
?
??
?
?
?2sin?2sin
??< br>?
?
??1

6
??
6
?
【点睛】

本题考查由三角函数性质求 解析式
,
考查三角函数的图像变换
,
考查运算能力

20< br>．已知函数
f
?
x
?
是定义在
R
上的奇函数 ，当
x?
?
0,??
?
时，
f
?
x
?
?x
2
?ax?3?2a
.

（
1
）求
f
?
x
?
的解析式；

（
2
）若
f
?
x
?
是
R
上的单调函数，求实数
a
的取值范围
.

?
x
2< br>?ax?3?2a,x?0
?
?
3
?
【答案】（
1< br>）
f
?
x
?
?
?
0,x?0
；（< br>2
）
?
0,
?

?
2
?
?
?x
2
?ax?3?2a,x?0
?
【解析】（
1
）由奇函数的定义可求得解析式；

（
2
）由分段函数解析式知，函数在R
上单调，则为单调增函数，结合二次函数对称轴
和最值可得参数范围．即
x?0
时要是增函数，且端点处函数值不小于
0.
【详解】

解：（1
）因为函数
f
?
x
?
是定义在
R
上 的奇函数，所以
f
?
0
?
?0
，

第 12 页 共 16 页

当
x?0
时，则
f?
?x
?
?
?
?x
?
?a
?
?x
?
?3?2a
?x?ax?3?2a??f
?
x
?，
?x?0
，
2
2
所以
f
?
x
?
??x?ax?3?2a
?
x?0
?
，

2
?
x
2
?ax?3?2a,x?0
?
.
所以
f
?
x
?
?
?
0,x?0
?
?x
2
?ax?3?2a,x?0
?
（
2
）若
f
?
x
?
是
R
上的单调函数，且
f
?
0
?
?0
，

?
a
?
??0
则 实数
a
满足
?
2
，

?
?
3?2a?0
3
0?a?
解得，

2
故实数
a
的取值范围是
?
0,
?
.
2
【点睛】

本题考查函数的奇偶性与单调性，分段函数在整个定义域上单调 ，则每一段的单调性相
同，相邻端点处函数值满足相应的不等关系．

21
． 已知函数
f
?
x
?
?asin
?
2x?
?
3
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?a?b
x?0,
?
时
,
函数
f
?x
?
的值域是
,
当
?
?
4
?
?
2
?
?
?2,2
?
.

??
(1)
求常数
a
,
b
的值
;

(2)
当
a?0
时
,
设
g
?
x< br>?
?f
?
x?
?
?
?
?
?
?
?
0,
?
上的单调性
.

gx
,
判断函数在
??
?
?
2
?
?
2
?
?
?
?
上单调递增
.
函数
?
?
8
?
(1)
a?2
,
b??2
或
a??2
,
b?4?2
.(2)
函数
g
?
x
?
在
?
0,
【答案】
?
??
?
g
?
x
?
在
?
,
?
上单调递减
.
?
82
?
【解析】（
1
）先求得
sin
?
2x?
可；
（
2
）由（
1
）
f
?
x
?
??2sin
?
2x?
?
?
?
?
?
2
?
??,1
?
,
再讨论
a?0
和
a? 0
的情况
,
进而求解即
?
?
4
?
?
2
?
?
?
?
?
?
??
?2?2gx?2 sin2x?
,
??
则
???
?2?2
,
进
4
?
4
??
第 13 页 共 16 页

而判断单调性即可

【详解】

解
:(1)
当
x?
?
0,
?
?
?
5
?
?
?
?
?
2x??
?
,
?
, ,
时
?
2
4
??
?
44
?
?
?< br>?
2
?
?
sin2x?,1
?
,
所以??
?
?
?
4
?
?
2
?
?< br>?
?
2
?
?
a?
?
?
?
?
?a?b??2
, ①
当
a?0
时
,
由题意可得< br>?
?
2
??
?
?
a?1?a?b?2
?2
a?a?b??2
?
?
,
解得
a?2
,b??2
；

即
?
2
?
2a?b?2
?
?
?
2
?
??a?b?2
?
a?
??< br>??
2
②
当
a?0
时
,
由题意可得
?
?
,
?
?
?
a?1?a?b??2
?
2
a?a?b?2
?
?
,
解得
a??2
,
b?4?2

即
?
2
?
2a?b??2
?
(2)
由（
1
）当
a?0
时
,
a??2
,
b?4?2
,
所以
f
?
x
?
??2sin
?
2x?
所以
?
?
?
?
?
?2? 2
,
4
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
g
?
x
?
?f
?
x?
?
??2sin
?
2
?
x?
?
?
?
?2?2
?2sin
?
2x?
?< br>?2?2
,
4
?
2
?
2
?
4?
?
?
?
?
令
?
?
2
?2k
?
?2x?
?
4
?
?
2
?2k
?
,
k?Z
,
解得
?
3
??
?k
?
?x??k
?
,
k?Z
,
88
当
k?0
时
,
?
3
??
?
3
??
???
??
?
?
?x?
,
则
?
?,
?
?
?
0,
?
?
?
0,
?
,
88
?
88
??
2
??
8
?
?< br>?
?
上单调递增
,
?
8
??
?
? ?
?
,
?
上单调递减

?
82
?
所以函数
g
?
x
?
在
?
0,
同理
,
函数
g
?
x
?
在
?
【点睛】

本题考查由三角函数性质求解析式
,
考查正弦型函数的单调区间
,
考 查运算能力

第 14 页 共 16 页

2e
x
?2e
?x
22
．已知函数
f(x)?
，其中
e
为 自然对数的底数
.

3
(1)
证明
:
f
?
x
?
在
(0,??)
上单调递增；

(2)
函数
g(x)?
5
2
g
?
x
2
?
?x
，如果总存在
x
1
?[?a,a](a?0)
，对任意
x
2
?R,f
?
x
1
?
…
3
都 成立，求实数
a
的取值范围
.

【答案】（
1
）证 明见解析；（
2
）
[ln2,??)

【解析】（
1
）用增函数定义证明；

（
2
）分别 求出
f(x)
和
g(x)
的最大值，由
f(x)
的最大值不 小于
g(x)
的最大值可得
a
的
范围．

【详解】

（
1
）设
0?x
1
?x
2
，
< br>则
f(x
1
)?f(x
2
)?
2
x
1
?x
1
2
x
2
211
(e?e)?(e?e?x
2
)?[(e
x
1
?e
x
2
)? (
x
1
?
x
2
)]

333ee
2(e
x
1
?e
x
2
)(e
x
1
e
x
2
?1)
，

?
x
1
x2
ee
∵
0?x
1
?x
2
，
∴
e
x
1
?e
x
2
，
e
x
1e
x
2
?1
，
∴
f(x
1
)?f(x
2
)?0
，即
f(x
1
)?f(x
2
)< br>，

∴
f(x)
在
(0,??)
上单调递增；

g?
x
2
?
都成立，即（
2
）总存在
x
1
?[?a,a](a?0)
，对任意
x
2
?R,f
?x
1
?
…
f(x)
max
?g(x)
max< br>，

5
5
g(x)??x
2
的最大值为
g( x)
max
?
，

3
3
2e
x
? 2e
?x
是偶函数，在
(0,??)
是增函数，
∴
当
x?[?a,a]
时，
f(x)?
3
f(x)
max
2e
a
?2e
?a
，

?f(a)?
3
2e< br>a
?2e
?a
5
∴
?
，整理得
2e
2a
?5e
a
?2?0
，
(e
a
?2)(2ea
?1)?0
，

33
∵
a?0
，
∴
e
a
?1
，即
2e
a
?1?0
，
∴
e
a
?2?0
，
∴
a?ln2
．即
a< br>的取值范围是
第 15 页 共 16 页

[ln2,??)
．

【点睛】

本题考查 函数的单调性，考查不等式恒成立问题．单调性的证明只能按照定义的要求进
行证明．而不等式恒成立问 题要注意问题的转化，本题中问题转化为
f(x)
max
?g(x)
max< br>，

如果把量词改为：对任意
x
1
，总存在
x
2
，使得
f(x
1
)≥g(x
2
)
成立，则等价 于
f(x)
min
?g(x)
min
，

如果把量 词改为：对任意
x
1
，任意
x
2
，使得
f(x1
)≥g(x
2
)
恒成立，则等价于
f(x)
min< br>?g(x)
max
，

如果把量词改为：存在
x
1< br>，存在
x
2
，使得
f(x
1
)≥g(x
2< br>)
成立，则等价于
f(x)
max
?g(x)
min
.
（
x
1
,x
2
的范围均由题设确定）．


第 16 页 共 16 页