【附20套高考模拟试题】2020届安徽省省级示范高中高考数学模拟试卷含答案

高中数学选修34-高中数学书多少开

2020年9月21日发(作者：储传亨)

2020届安徽省省级示范高中高考数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1
．下图是古希腊数学家阿基米德用平衡法求球的体积所用的图形
.
此图由正方形
ABCD
、半径为
r
的圆及
等腰直角三角形构成，其中圆内切于正方形，等腰三角形的直角顶点与
AD
的中点
N
重合，斜边在直线

现将该图形绕直线
NS
旋转一周，则阴影部分旋转后形成的几何体积为（

）
BC
上
.
已知
S
为
BC
的中点，

2
?
r
3
10
?
r
3
A．
3
B．
?
r
3
C．
2
?
r
3
D．
3

2
．阅读如图的框图，则输出的
S?

A．
30
B．
29
C．
55
D．
54

3
．
“p
∨
q
为真命题”
是
“p
∧
q
为真命题
”
的
(

)
A
．充分不必要条件

B
．必要不充分条件

C
．充要条件

D．既不充分也不必要条件
4
．已知
(x?1)
5
?(x ?2)
9
?a?1)?a
29
0
?a
1
(x
2
(x?1)?...?a
9
(x?1)
，则
a
7
?
（

A．9 B．36 C．84 D．243
）

5
．已知定义在上的函数
，
A
．
C．
满足，且对任意（
0
，
3)
都有，若，
，则下面结论正确的是（

）

D．

?43
，
b?4
，则
B?
（

）
B
．

6
．在
?ABC
中，角
A
，
B
，
C
所对的边分别是
a
，
b
，
c
，
A?60?
，
a
A
．
B?30?
或
B?150?

C．
B?30?
D．
B?60?

B
．
B?150?

7
．读算法，完成该题：第一步，李同学拿出一正方体；第二步，把正方体表面全涂上红色；第三步，将
该正方体切割成
27
个全等的小正方体；第四步，将这些小正方体放到一箱子里，搅拌均匀；第五步，从
箱子里随机取一个小正方体．问：取到的小正方体恰有三个面为红色的概率是（）

8
61224
A．
27
B．
27
C．
27
D．
27

8
．已知函数
f(x)?l g(x?1)
，记
a?f(5
0.2
)
，
b?f(log 0.2
3)
，
c?f(1)
，则
a,b,c
的大小关系为
( )
A．
b?c?a
B．
a?b?c
C．
c?a?b
D．
c?b?a

9
．

已知
f(x)
是定义在
R
上的偶函数，且在
(??,0] 上是增函数，设
a?f(ln
?
),
b?f(?log
52),
c?f(e
?
2
),
则
a,b,c
的大小关系是

A．
b?c?a

10
．在三棱锥
B．
a?b?c
C．
c?b?a

中，和
D．
a?c?b

的外接球的半
1
是有公共斜边的等腰直角三角形，若三棱锥
的体积为，则直线与平面径为
2
，球心为，且三棱锥
A． B． C． D．
所成角的正弦值是（

）

x
2
11
．已知椭圆
C
：
?y
2
?1上的三点
A
，
B
，
C
，斜率为负数的直线
BC
与
y
轴交于
M
，若原点
O
是
4
3
?ABC
的重心，且
?BMA
与
?CMO
的面积之比为，则直线
BC
的斜率为（

）

2

?
A．
2
4

1
3
?
B．
4
C．
6

?
?
D．
3
3

x
2y
2
12
．斜率为
2
的直线
l
过双曲线
2
?
2
=1
(a?0,b?0)
的右焦点，且与双曲线的左右两支分别相交，则
ab
双曲线的离心率
e
的取值范围是
(

)

A
．
e?2

5
D．
e?
B
．
1?e?3

C．
1?e?5

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知四棱锥
P?ABCD
，底面
ABCD
为正方形，
P A?
面
ABCD
，且满足
PA?AB
，点
E
是PD
的
中点，则异面直线
AE
与
PB
所成角的大小为_ _________．
14．已知点
A(x,lgx
1
)
，
B(x
2
,lgx
2
)
是函数
f
?
x ?
?lgx
的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段
AB
lgx 1
?lgx
2
?
x?x
?
?lg
?
12
?
2
?
2
?
成立.运用类比思想方总是位于
A
，
B
两点之间函数图象的下方，因此有结论
法可知，若点
A(x1
,2
x
1
)
，
B(x
2
,2
x
2
)
是函数
g
?
x
?
?2
x
的图象上的不同两点，则类似地有__________成立．
15
．观察下列事实：
x?y?1
的不同整数解
(x,y)
的个数为
4
；
x?y?2
的不同整数解
(x,y)
的个数为
8
；

……
则
x?y?505
的不同整数解
(x,y)
的个数为 __________．
16．若一个正四面体的棱长为1，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为_________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆
的直线交椭圆于两点，
的左、右焦点分别为
周长为8.线段
，离心率为，过左焦点且斜率为
交椭圆于，两点（点
？若存在，求出的值，若不存
的中点为，直线 均在轴上方）.求椭圆的方程；是否存在实数，使得
在，说明理由.
18．（12分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，
x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相2
C:
?
sin
?
?2acos
?
(a?0)
，过点
P(?2,?4)
的直线
l
的参数方程为同的单位长度．已知曲线

?
?
x??2?
?
?
?
y?? 4?
?
?
2
t
2
(t为参数)
2
t.PMMNPN
2
．直线
l
与曲线
C
分别交于
M
、
N
．求
a
的取值范围；若、、
成等比数列，求实数
a
的值．
19
．（
12
分）某省确定从
2021
年开始，高考采用
“3
十
l+2”
的模式，取消文理分科，即
“3 ”
包括语文、数学、
外语，为必考科目，
“1”
表示从物理、历史中任选一门；
“2”
则是从，生物、化学、地理、政治中选择两门，
共计六门考试科目．某高中从高一年级
2000
名学生（其中女生
900
人）中，采用分层抽样的方法抽取
n
名学进行讲行调查．已知抽取的
n
名学生中含男生
110
人，求
n
的值及抽取到的女生人数；学校计划在高
二上学期开设选修中的
“ 物理
”
和
“
历史
”
两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对在（
1
）的
条件下抽取到的以名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个
2
列联表，请将列联表补充完整，并判断是否有
99.5%
的把握认为科目）．下表是根据调查结果得到的
2×
选择科目与性别有关？说明你的理由；

性别

男生

女生

总计

选择物理

30

选择历史

50

总计

（
3
）在（
2
）的条件下，从抽取的选择
“物理
”
的学生中按分层抽样抽取
6
人，再从这
6
名学生中抽取
2
人，
对
“
物理
’’
的选课意向作深入了解，求
2
人中至少有
1
名女生的概率，

附：
K

2
n(ad?bc)
2
?
? a?b
??
c?d
??
a?c
??
b?d
?
，其中n＝a+b+c+d．
，其中.当时，求满足的实数的取值范20．（12分）已知关于的函数
围；若当时，函数的图象总在直线的上方，求的整数值.
0
?
，直线
l
：
x?t
，曲线
?
：
21
．（
12
分）设常数
t?2
．在平面直角坐标系
xOy
中，已知点F
?
2，
y
2
?8x
?
0?x?t，y?0 ?
．
l
与
x
轴交于点
A
、与
?交于点
B
．
P
、
Q
分别是曲线
?
与线段
AB
上的动
点．

用
t
表示点 B
到点
F
距离；设
t?3
，
FQ?2
，线段
OQ
的中点
在直线
FP
，求
△AQP
的面积；设 t?8
，是否存在以
FP
、
FQ
为邻边的矩形
FPE Q
，使得点
E
在
?
上？
若存在，求点
P
的坐标；若不存在，说明理由．
22．（10分）已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，，
，过与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于
在线段上是否存在点，使得
两点．求椭圆的方程；若的中点为，
？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．C
2．D
3．B
4．B
5．C
6．C
7．B
8．A
9．D
10．D
11．C
12．D
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
60

x
1
?x
2
2
x
1
?2
x
2 ?2
2
2
14．
o
15．2020

3
?
16．
2

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17
．（Ⅰ）
【解析】

【分析】

（Ⅱ）

（Ⅰ）先根据离心率得
得
【详解】

（Ⅰ）因为离心率为，所以
因为周长为所以
，

得
的中点为，所以
，则
,
，再根据椭圆定义得周长为即得（Ⅱ）根据
,
根据韦达定理以及中点坐标公式列方程，解得结果
.
，

，

因此椭圆的方程为
（Ⅱ）由
因为线段
设
,
,
即为中点
,
因此，

所以
因为，所以
.

【点睛】

本题考查椭圆标准方程以及直线与椭圆位置关系，考查综合分析求解能力，属中档题.
18 ．（
1
）
a?0.
（
2
）
a?1

【解析】

【详解】

试题分析：

（Ⅰ）由题意曲线
C
的直角坐标方程为
y?2ax
?
a?0
?
将直线
l
的参数方程代入曲线
C
的
2
直角坐标方程令
V?0
即可；

（Ⅱ）设交点
M
，
N
对应的参数分别为
t
1
,t
2
，由执行参数方程中
t
1
,t
2
的几何意义可得
t
1
?t
2
?242?2a ,t
1
t
2
?2
?
16?4a
?
，然后由
PM、MN、PN
成等比数列，可得
t
1
?t
2
? t
1
t
2

2
??
代入求解即可

试题解析：（Ⅰ）曲线
C
的直角坐标方程为
y?2ax
? a?0
?

2
2
t,
2
(t为参数）

将直线
l的参数方程
{
2
y??4?t.
2
x??2?
代入曲线
C
的直角坐标方程得：
1
2
t?42?2at?16?4a?0
2
??
因为交于两点，所以
V?0
，即
a?0或a? ?4.
又
a?0

∴
a
的取值范围
a?0

（Ⅱ）设交点
M
，
N
对应的参数分别为
t
1
,t
2
.
则
t
1
?t
2
?242?2a ,t
1
t
2
?2
?
16?4a
?

??
MN、PN
成等比数列，则
t
1
?t
2
若 PM、
2
?t
1
t
2

解得
a?1或a??4
（舍）所以满足条件的
a?1
.
考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线参数方程的几何意义
19
．（
1
）见解析；（
2
）见解析；（
3
）
【解析】

【分析】

(1)
本题可根据分层抽样的相关性质列出等式
数减去男生人数即可得出女生人数；

(2)
首先可以根据题意以及
(1)
中结果将列联表补充完整，然后通过列联表中的数据计算出
k
，即可得出结
果；

(3)
本题首先可以通过分层抽样的相关性质计算出男生人数以及女生人数，然后写出所有的可能事件以及满
足题意
“
至少有
1
名女生
”
的事件，最后通过概率的相关计算公式即可得出结果。

【详解】

（
1
）因为
3

5
n110
?
，即可计算出抽取的总人数，再用抽取的总人
20001100
n110
?
，所以
n?200
，女生人数为
200?110?90
.
20001100
（
2
）列联表为：

k
2
的观测值
k?
200?
?
60?60?50?30
? 110?90?90?110
2
?8.999?7.879
，

所以有
99.5%
的把握认为选择科目与性别有关
.

（
3
）从
90
个选择物理的学生中采用分层抽样的方法抽
6名，

这
6
名学生中有
4
名男生，记为
a、
b
、
c
、
d
；
2
名女生记为
A
、
B
，

b)
、
(a,?c)
、(a,?d)
、
(a,?A)
、
(a,?B)
、
(b, ?c)
、
(b,?d)
、
(b,?
B)
、
(c,? d)
、
A)
、
(b,?
抽取
2
人所有的情况为(a,?
(c,?A)
、
(c,B)
、
?
d,A
?
、
?
d,B
?
、
?
A,B
?
，共
15
种，

选取的
2
人中至少有
1
名女生情况的有
?
a,A
?
、
?
a,B
?
、
?
b,A
?
、
?
b,B
?
、
? c,A
?
、
?
c,B
?
、
?
d,A
?
、
?
d,B
?
、
?
A,B
? ，共
9
种，

故所求概率为
P?
【点睛】

本题考查分层抽样、列联表以及古典概型的相关性质，考查如何用分层抽样的相关性质计算出抽取的人数，
考查如何用列联表计算概率，考查古典概型类题目的概率计算公式，考查了计算能力，体现了综合性，是
中档题。
20
．（Ⅰ）
【解析】

【分析】

（Ⅰ）当时，
,
即
在

上为单增函数，可得

上恒成立
.
，结合为整数，从而可得结果
.
,
从而可得结果；（Ⅱ）在

；（Ⅱ）
.
93
?
。

155
上恒成立
,
等价于
由－
【详解】

（Ⅰ）当
即
（Ⅱ）

即
因为函数
所以－
因此
【点睛】

在

在

在

在
解得
时，

在
,
故实数的取值范围是
上恒成立
,
上恒成立
.
上均为单减函数，

上为单增函数，最大值为
.
故实数的整数值是
.
.
不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数
可）；② 数形结合(
论参数.
图象在
恒成立(即可)或
或
恒成立（即
上方即可)；③ 讨论最值恒成立；④ 讨

21
．（
1
）
BF?t?2
；（
2
）
S?
【解析】

【分析】

1773
；（
3
）见解析
.
?3??
236（
1
）方法一：设
B
点坐标，根据两点之间的距离公式，即可求得
|BF|
；

方法二：根据抛物线的定义，即可求得
|BF|
；

（
2 ）根据抛物线的性质，求得
Q
点坐标，即可求得
OD
的中点坐标，即可求得直线
PF
的方程，代入抛
物线方程，即可求得
P
点坐标，即可求得
△AQP
的面积；

r
uuuuuur
uuu
r
（
3
）设
P
及
E
点坐标，根据直线
kPF
?k
FQ
=
﹣
1
，求得直线
QF
的方程，求得
Q
点坐标，根据
FP
+
FQ
=
FE ，
48?y
2
2
y
2
+6
）求得
E
点坐标，则（）
=8
（，即可求得
P
点坐标．

4y
8
【详解】

22t
，

（
1
）方法一：由题意可知：设
Bt，
则
BF?
??
?
t?2
?
2
?8t?t?2
，

∴
BF?t?2
；

22t
，

方法二：由题意可知：设
Bt，
由抛物线的性质可知：
BF?t?
??
p?t?2
，∴
BF?t?2
；

2
0
?
，
FQ?2
，
t?3
，则
FA?1
，

（
2
）
F
?
2，
∴
AQ?3
，∴
Q3，2
，设
OQ
的中点
D
，

??
? 32
?
D
?
?
2
，
2
?
?
，

??
k
QF
3
?0
2
??? 3
，则直线
PF
方程：
y??3
?
x?2
?
，

3
?2
2
?
y??3
?
x?2?
?
，整理得：
3x
2
?20x?12?0
，

2
y?8x
?
?
联立
?
解得：
x?
2
，
x?6
（舍去），

3
1773
；

?3??
236
∴
VAQP
的面积
S?

y8y
?
y
2
??
m
2
?
k
PF
?
2
?
2
16?y
2
，y
?
，
E
?
，m
?
，则（
3
）存在，设
P?
，

y
y?16
，
k
FQ
?
?2
8y
?
8
??
8
?
8
?
4 8?3y
2
?
16?y
2
16?y
2
48?3y 2
直线
QF
方程为
y?
，
Q
?
8，
?
x?2
?
，∴
y
Q
?
?
8?2
?
?
?
，

4y
8y8y4y
??
uuuvuuuvuuuv
?
y
2
48?y
2
?6，根据
FP?FQ?FE
，则
E
?
4y
?
82
?
?
，

?
?
48?y
2
??
y
2
?
16
2
y?
∴
?
，解得：，

?8?6
???
5
4y8
????
∴存在以
FP
、
FQ
为邻边的矩形
FPEQ
，使得点
E 在
?
上，且
P
?
?
，
?
245?
．

?
?
?
55
?

【点睛】

本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查转化思想，计算能力，属于中档题．
22．（Ⅰ）
【解析】

【分析】

（
1
）利用离心率以及椭圆的定义，结合余弦定理，求解椭圆
C
的方程．

（2）存在这样的点M符合题意．设P（x
1
，y
1
），Q（x
2
，y
2
），N（x
0
，y
0
），设直线PQ的方程为y=k （x
﹣1），邻里中心与椭圆方程，利用韦达定理求出
标，利用MN⊥PQ，转化求解m的范围．
【详解】

（1）由得，，，
，
，
，通过点N在直线PQ上，求出N的坐
; （Ⅱ）.
由余弦定理得，
解得，，

所以椭圆的方程为．
（2）存在这样的点符合题意.
设
由
，
，设直线
，
的方程为
，
，
由
由韦达定理得
得
，故
，
，
又点在直线上，，所以.
因为，所以，
整理得，
. 所以存在实数，且的取值范围为
【点睛】

圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：( 1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则
考虑利用图形性质来解决；(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目
标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别
式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数
的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范
围．
高考模拟数学试卷
（满分150分，考试时间120分钟，请将答案填写在答题卡上）
一、选择题：本大题共1 2小题。每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1．已知两个集合
A?x|y?ln(?x?x?2)
，
B?
?
x |
?
2
?
?
?
2x?1
?
?0
?
，则
A?B
=
e?x
?
A．
?
-，2
?
B．
?
-1，-
?
C．
?
-1，e
?
D．
?
2,e
?

22
?
1
?
?
?
?
?
1
?
?
2．已知i是虚数单位，a，b∈R ，且
(a?i)i?b?2i
，则a＋b＝
A．1 B．－1 C．－2 D．－3
3．在等比数列
?
a
n
?
中， a
5
?a
11
?3,a
3
?a
13
?4,
则
a
12
?

a
2

A．3
B．
?
C．3或
1
3
11
D．
?3
或
?

33
4．已知
l
、m是两条不同的直线，
?
是个平面，则下列命题正确的是
A．若
l

?
，
m

?
, 则
lm
B．若
l?m
，
m

?
, 则
l?
?

C．若
l?m
，
m
?
?
,则
l

?
D．若
l

? ，
m
?
?
,，则
l?m

5．在
A．10
B．9
C．8
D．7
6．右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器
度h随时间t变化的可能图象是

A． B． C． D．
中水面的高
中，若2a
2
+a
n﹣5
=0，则自然数n的值是

7．右图中，
x
1
,x
2
,x
3
为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，
p
为该题的最终得分，当
x
1
?6,x
2
?9,p?9.5
时，
x
3
等于
A．10 B．9
C．8 D．7
8．函数y=2
sinx
的单调增区间是
?
A.［2kπ－
2
?
B.［2kπ＋
2
?
，2kπ＋
2
］（k∈ ）
3
?
，2kπ＋］（k∈）
2
C.［2kπ－π，2kπ］（k∈）
D.［2kπ，2kπ＋π］（k∈）

11．设函数
f( x)?log
a
x(a?0,a?1)
1
的图象过点（，–3），则a的值
8
11
A．2 B．–2 C．– D．
22
12．给出定义若
x?(m?
11
,m?]
（其中
m
为整数）,则
m
叫做与实数
x
“亲密的整数”, 记作
{x}?m
,
22
在此基础上给出下列关于函数
f(x)?x? {x}
的四个命题①函数
y?f(x)
在
x?(0,1)
上是增函数 ;②函数
y?f(x)
的图象关于直线
x?
k
(k?Z)
对称;③函数
y?f(x)
是周期函数,最小正周期为1;④当
x?(0,2]
2
时，函数
g(x)?f(x)?lnx
有两个零点. 其中正确命题的序号是____________.
A．②③④ B．①③ C．①② D．②④
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13．函数
y?3x?5?46?x
的最大值是．
14．
?
2
0
(3x
2
?k)dx?10,则 k?

15．不等式
2x?1?1
的解集是
16．已知
f(x)?
1
，各项均为正数的数列
?
a
n
?
满足
a
1
?1,a
n?2
?f(a
n
)
，若
a
12
?a
14
，则
1?xa
13
?a
2014
?
.
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
已知函数
f(x)??
12
?(x?0)

ax
（ 1）判断
f(x)
在
(0,??)
上的增减性，并证明你的结论
（2）解关于
x
的不等式
f(x)?0

（3）若
f(x)?2x?0
在
(0,??)
上恒成立，求
a
的取值范围

19．（本小题满分12分）

20．（本小题满分12分）
x
2
y
2
已知点M是椭圆C ：
2
?
2
=1（a>b>0）上一点，F
1
、F
2
分别为C的左、右焦点，|F
1
F
2
|=4，
ab

∠F
1
MF
2
=60，
?
F
1
MF
2
的面积为
（I）求椭圆C的方程；
o
43
3

（II）设N（0，2），过点p（-1，-2）作直线 l，交椭圆C异于N的A、B两点，直线NA、NB的斜率分别
为k
1
、k
2
，证明：k
1
+k
2
为定值．

21．（本小题满分12分）
已知函数
f(x)?2lnx? x
2
?ax
（
a?R
）.（Ⅰ）当
a?2
时，求 f(x)
的图象在
x?1
处的切线方程；（Ⅱ）
1
若函数g(x)?f(x)?ax?m
在
[,e]
上有两个零点，求实数
m的取值范围；
e
（Ⅲ）若函数
f(x)
的图象与
x
轴有两个不同的交点
A(x
1
，0)，B(x
2
，0)
，且 0?x
1
?x
2
，
求证：
f
?
(

x
1
?x
2
．
)?0
（其中
f
?
(x)
是
f(x)
的导函数）
2

一. BDCD CBAA BBAA

(19) （Ⅰ）由题意得列联表：
语文不优

外语优秀
外语不优秀
总计
因为
2
＝

60
140
200
秀
100
500
600
总计
160
640
800
800(60×500－100×140)
2
≈16.667＞10.828， 160×640×200×600
所以能在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生母语对于学习和掌握一门外语有关系．
…5分
3 3
k
5
8
－
k
k
则～B(3，)，P(＝k)＝ C
8
()()，k＝0，1，2，3．
888
的分布列为

p
3 9
E()＝3×＝．
88

0 1 2 3
…10分
…12分

5

2
，
，
?2x?2
，切点坐标为
(11)
x切线的斜率
k?f
?
(1)?2
，则切线方程为
y?1?2(x ?1)
，即
y?2x?1
. ····················· 2分
(21) （Ⅰ）当
a?2
时，
f(x)?2lnx?x
2
?2x
，
f
?
(x)?
（Ⅱ）
g(x)?2lnx?x 2
?m
，则
g
?
(x)?
2
?2x?
?2(x?1)(x?1)
，
xx
11
∵
x?[，e]
，故
g
?
(x)?0
时，
x?1
.当
?x?1时，
g
?
(x)?0
；当
1?x?e
时，
g ?
(x)?0
.
ee
故
g(x)
在
x?1
处取得极大值
g(1)?m?1
. ······················ ····································· 4分
11
1
11
又
g()?m?2?
2
，
g(e)?m?2?e 2
，
g(e)?g()?4?e
2
?
2
?0
，则
g(e)?g()
，
e
ee
ee
1
∴
g(x)
在
[，e]
上的最小值是
g(e)
.········· ·················································· ······· 6分
e
?
g(1)?m?1?0,
1
1
解得，
g(x )
在
[，e]
上有两个零点的条件是
?
1?m?2?
21
?
1
e
e
g()?m?2??0,
?
2?
ee

∴实数
m
的取值范围是
(1，2?

1
······································· ····························· 8分
]
. ·
2
e

22证明 (1)∵a＋b＝1，a>0，b>0， 11
?
11111
a＋b
∴＋＋＝＋＋＝2
?
?a
＋
b
?
。。。。。。。。。。。。。。。。。2分
abab abab
a＋ba＋b
?
ba
?
＝2
?
＝2
?
＋
?
a
＋
b
?
＋4
b
??
a
≥4
ba
×＋4＝8.
ab
111
∴＋＋≥8. 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分
abab
11111
1＋
??
1＋
?
＝＋＋＋1， (2)∵
??
a
??
b
?
abab
111
由(1)知＋＋ ≥8. 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分
abab
11
1＋
??
1＋
?
≥9.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分 ∴
?
?
a
??
b
?

高考模拟数学试卷
第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题：（本大题共1 0小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的）
1.设集合M=｛x︱y=3x,x∈R｝,N=｛y︱x+y=4，x∈R, y∈R｝,则M∩N等于（）
A.｛
3
, -
3
｝ B.〔0，2〕 C.｛(1，
3
),(1，-
3
)｝ D.〔-2，2〕
222
1
p
,则cos2(
a
－)= ( )
3
4
1221
A. ﹣ B.﹣ C. D.
3333
2.已知sin
2a
= 3.在等差数列｛a
n
｝中，a
n
∈C,a
1
+a 2
+a
3
=﹣1，求a
1·
a
3
= （）
A.2i B. ﹣2i C.2 D. ﹣2
4.把边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起，连接AC,得到三棱锥C—ABD,其正视图、俯视图均为全
等的等腰直角三角形（如图所示），则其侧视图的面积为（）
A.
222
3
1
B.
2
2
2

2
C. 1 D.

5.已知一个圆锥的侧面展开图为扇形，该扇形的圆心角为
（）
A.
2p
，面积为3π，则此圆锥的体积是
3
23p22p42p26p
B. C. D.
3333
2
2
6.设F，F是双曲线C
x
a
12
-
y
b
2
2
=1
（a﹥0，b﹥0）的两个焦点， P是C上一点，若
o
︳PF
1
︳+ ︳PF
2
︳=6a 且△PF
1
F
2
的最小内角为
30
，则C的离心率为（）
A.
2
. B.
22
C.
3
D.
43

3
7.下列说法正确的是（）
A.对于实数a,b,c,若ac﹥bc
2
，则a﹥b；
B.“p∨q为真”是“p∧q为真”的充分不必要条件；
2
C.设有一个回归直线方程
y
=2－1.5x,则变量x每增加一个单位，y平均增加1.5个单位；
L

D.已知空间直线a,b,c,若a⊥b,b⊥c则a∥c
8.定义R在上的函数f(x)满足f(-x)= f(x)，f(x－1)= f(x+3)，且x∈(-1，0)时，f(x)=
( )
A. -
2
x
+
1
，则f(㏒
2
20)=
5
44
B.1 C . D.-1
55
9.如图，四边形OABC是边长为1的正方形，OD=3，点P为△BCD内（含边界）动点，设
uuur
uuur
uuur
OP
=
αOC
+
βOD
(
α
,
β
∈R),则
α
+
β
的最大值等于（）
A.
4
B.1
3
32
5
D.
4
3

3x－1 (x≤0)
C.

10.已知函数f(x)=
e
x
(x＞0) 则方程f(x) －kx=0恰有两个不同的实根时，实数k的取值范围是（其
中e为自然对数的底数）
A.(1，e) B.
[
1,3
]
C.(3，+∞) D.（e ,3
]

第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11.过点P(2，3)且与直线2x+y-1=0垂直的直线方程是________.
1 2.已知函数f(x)=2
x
+1过定点A，且点A在直线l：mx+ny=1(m>0，n> 0)上，则
________.
13.执行如图的程序框图，输出的结果是________.

14.如图，函数f(x)=Asin(
ω
x+
φ
)（其中A>0，
ω
>0,
φ
≤与坐标轴的三个交点P、Q、R满足P（2,0），
?PQR
=
－1
11
的最小值是
+
m2n
p
）
2
p
,M为Q R的中点，PM=
25
，则A的值为________.
4

15.O是面
a
上一定点，A、B、C是面
a
上△ABC的三个顶点，∠B,∠C分别是边AC、AB对应的角。
以下命题正确的序号是________.
uu uruuruuruuur
①动点P满足
OP=OA+PB+PC
，则△ABC的外心一定在满足条件的P点集合中。
uuuruuur
uuuruur
ABAC
②动点P满足
OP=OA+
λ
(
uu
+
uruuur
)
(
λ
＞0)，则△ABC的内心一定在满足条件的P点集合中。
ABA C
uuuruuur
uuuruur
ABAC
③动点P满足
OP=O A+
λ
(
uu
+
uuu
)
(
λ
＞ 0)，则△ABC的重心一定在满足条件的P点
urr
ABsinBACsinC
集合中。
uuuruuur
uuuruur
ABAC
④动点P满足
OP =OA+
λ
(
uu
+
uuu
)
(
λ
＞0)，则△ABC的垂心一定在满足条件的P点
urr
ABcosBACcosC
集合中。
三、解答题：（本大题6小题，共75分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）
16.（本题满分12分）
在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且 cos
⑴若a=3，b=
7
，求c的值；
⑵若f(A)=sinA(
3
cosA－sinA)，求f(A)的取值范围。
17．（本题满分12分）
为迎接中考体育测试，某校初三（1）班女生进行30秒跳绳测试，成绩分析的茎叶图和频率分布直方图均
受到不同程度的破坏，但可见部分信息如下，据此解答如下问题：
⑴求参加测试的人数n、测试成绩的
中位数及成绩分别在
[80，90)
,
[
90,100
]
内的人数；
⑵若从成绩在
[
80,100
]
内的学生中任选两人
作为班级代表参加年级跳绳比赛，求恰好有一
人成绩在
[
90,100
]
内的概率。

18．（本小题满分12分）在直三棱柱ABC—
A
1
B
1
C 1
中，AB=AC==3，BC=2，D是BC的中点，F是上一
点，且CF=2
⑴求证：B
1
F⊥平面ADF；
⑵若
C
1
P
=
uuur
r
1
u uuu
C
1
A
1
，求证：PF面ADB
1;

3
A+C1
=

22

2
y
2
2
19. （本题满分12分）已知椭圆C
x
2
+
2
=1
（a＞b＞ 0）的长轴长为
22
，离心率为
2
ab
⑴求椭圆C的方程； ⑵点B为椭圆C的下顶点，过点B的直线交椭圆C于另一点A（异于上顶点），且AB中点E在直线y=x 上，
（ⅰ）求直线AB的方程，
（ⅱ）点P为椭圆C上异于A，B的任意一点，若直线AP，BP分别交直线y=x与M，N两点，证明;
OM·ON
为定值。

20. （本题满分13分）
在数列
{
a
n
}
中，a
1
=-
1
,2a
n
=a
n
－1
－n－1(n≥2，n∈
N
*
),设b
n
= a
n
+n.
2
uuuuruuur
⑴证明：数列｛b
n
｝是等比数列；
⑵若c
n
=
()
－a
n
，P
n
为数列｛
1
n
2
1
2
+
｝的前n项和，若P
n≤
λ
C
n+1
对一切n∈
N
*
均成立，求λ
的最小值。
c
n
c
n
21.
（本题满分
14
分）已知函数
f(x)?xlnx
，
g(x)?(?x
2
?ax?3)e
x
（
a
为实数）．
(1) 当
a
=1时，求函数
y?g(x)
在
x?1
处的切线方程；
(2) 求
f(x)
在区间[
t
，
t
+1]（
t
>0）上的最小值；
x
1
g(x)?2ef(x)
成立，求实数a的取值范围．
x，x?[
，e
]
(3) 若存在两不等实根，使方程
12
e

二模文科
参考答案
一、选择题
题号
答案

二、填空题
11、
x?2y?4?0
12、4 13、504 14、
15、②③④

三、解答题
16、解：（1）在△
ABC
中，
A?B?C?
?
．所以
cos

1
B
2
C
3
D
4
C
5
B
6
C
7
A
8
B
9
A
10
D
16
3

3
A?C
?
?B
B1
?cos
?sin?
．
22
22
B
?
?
?
，所以
B?
． ………………3分
263

由余弦定理
b
2
?a
2
?c2
?2accosB
，

得
c
2
?3c?2?0
．

解得
c?1
或
c?2
． ………………6分

（2）
f
?
A
?
?sinA (3cosA?sinA)

?
31?cos2A

sin2A? 22
?
?
1
?
?sin
?
2A?
?
?
. ………………9分
6
?
2
?

由（1）得
B?
?
3
，所以
A?C?
2
?
?
2
?
，
A ?
?
0,
3
?
3
?
?
，
?
则
2A?

?
?
?
3
?
?
?
,
6
?
62
?
???
. ∴
sin2A?
???
?(?1,1]
.
6
???
∴
f
?
A
?
?
?
?

?
31
??
31
?
,
?
. ∴f
?
A
?
的取值范围是
?
?,
?
. ………………12分
?
22
??
22
?

17、解：（1）成绩在
?
50,60
?
内的频数为2
， 由频率分布直方图可以看出，成绩在
?
90,100
?
内同样有
2

人． ……………2分，
由
2
?10?0.008
，得
n?25
， ……………3分
n
茎叶图可知抽测成绩的中位数为
73
． ………………4分
?
成绩在
?
80,90
?
之间的人数为
25?
?
2?7?10?2
?
?4
………5分
参加跳绳测试人数
n?25
，中位数为73，分数在
?
80,90 ?
、
?
90,100
?
内的人数分别为
4
人、
2

人． ………………6分
（2）设“在
?
80,100
?
内的学生中任选两人，恰好有一人分数在
?
90,100
?
内”为事件
M
，
将
?
80,90
?
内的
4
人编号为
a ,b,c,d
；
?
90,100
?
内的
2
人编号为
A,B

在
?
80,100
?
内的任取两人的基本事件为：
ab,ac,ad,aA,aB,
bc,bd,

bA,bB,
cd,cA,cB,dA,dB,AB
共
15个 …………9分
其中，恰好有一人成绩在
?
90,100
?
内的基本事件有
aA,aB,bA,bB,
cA,
cB,dA,

dB,
共8个
故所求的概率得
P
?
M
?
=

18. （1）证明：
∵
AB?
8
………………………12分
15
AC
，
D
是
BC
的中点，∴
AD
⊥
BC
.
在直三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中，∵
B
1
B
⊥底面
ABC
，
AD
?底面
ABC
，∴
AD
⊥ B
1
B
.
∵
BC
∩
B
1
B
＝
B
，∴
AD
⊥平面
B
1
BCC
1
.
∵
B
1
F
?平面
B
1
B CC
1
，∴
AD
⊥
B
1
F
. …………………3分
在矩形
B
1
BCC
1
中，∵
C
1
F?CD?1
，
B
1
C
1
?CF?2
，
∴
Rt?DCF
≌
Rt?FC
1
B
1
.∴∠
CFD
＝∠
C
1
B
1
F
. ∴∠
B
1
FD
＝90°,∴
B
1
F?FD
.
∵
AD
∩
FD
＝
D
，∴
B
1
F
⊥平面
ADF
. …………………6分
（2）取
B
1
C
1
中点为D
1
,在
C
1
D
1
上取点E，使
C
1
E?
PE,EF.

Q1
C
1
D
1
,连
3
接
C
1 PC
1
E
1
???PEA
1
D
1
又
C
1
A
1
C
1
D
1
3
A
1
D
1
AD?PEAD

QAD?面ADB
1
，PE?面ADB
1

?PE面ADB
1

QCF?2，CC
1
?3

Q
C
1
FC
1
E
1
???EFCD
1
DB
1

C
1
CC
1
D
1
3

QDB
1
?面ADB
1
，EF?面ADB
1

?EF面ADB
1
,QPE?EF?E

?面PEF面ADB
1
，QPF?面PEF
…………………12分
?PF面ADB
1
x
2
19、解：（1） ?y
2
?1
………………………（3分）
2
(2)（
i
）由（
1
）知
B(0，?1),
，设点
E
（ m,m).

∵点
E
为
AB
中点，∴
A
（
2m,2m+1)
又∵点
A
在椭圆上，∴
(2m)
2
2

2
解得：
m=0
（舍）或
?(2m?1)?1
。…………………8分 
2
，∴直线
AB
的方程为：
1
m??
y? ?x?1
3
2
(ii)
∵点
M
、
N
在
y=x
上，∴设
M(x,x),N(x,x),P(x,y)

112200
x
0
2
41

2
??y
0
?1,QA(?,?)
233
1414

?直线AP的方程为：(y?)(x
0
?)?(y
0
?)(x?) 3333

与
y=x
联立得
1
x
0
?4y
0
，

x
1
??
3y
0
? x
0
?1
同理：
?直线BP的方程为：(y?1)x?(y?1)x

00
与
y=x
联立得，

…………………10分

x
0
x
2
?
y 0
?x
0
?1
uuuuruuur

?OM?ON? (x
1
,x
1
)?(x
2
,x
2
)?2x
1
x
2
x
0
2
?4x
0
y
0
22
x
0
2
?4x
0
y
0
? ???
3(y
0
?x
0
?1)?(y
0
?x
0
?1)3(y
0
?x
0
)
2
?1
? x?4x
0
y
0
22
?
2
0
?? 2
3y
0
?2x
0
y
0
?x
0?13
2

x
0
?4x
0
y
0
x
0
2
1??2x
0
y
0
?x
0
2
?1
2
2

?
4
3
uuuuruuur
?OM?ON
为定值。

…………………12分

20、解证：（1）由
2a
n
?a
n?1
?n?1
两边加
2n
得，
2(a
n
?n)?a
n?1
?n?1
……2分

所以
b
a
n
?n
1
1
?
，即
n ?
，数列
?
b
n
?
是公比为
2
的等比数列…3分
b
n?1
2
a
n?1
?(n?1)2
111
?1?
，所以
b
n
?()
n
…………………………4分
222
1n
（2）
nb
n
?n ?()
n
?
n
……………………………………5分
22
1234n?1n
T
n
? ?
2
?
3
?
4
?L?
n?1
?
n
①
222222
1
123 4n?1n
T
n
?
2
?
3
?
4
?
5
?L?
n
?
n?1
②
2
222222
111111n1n
①-②得
T
n??
2
?
3
?
4
?L?
n
?
n?1
?1?
n
?
n?1

222222222
其首项为
b
1
?a
1
?1??

n?2
………………………………………………8分
n
2 1
(3)由(1)得
a
n
?()
n
?n
，所以
c
n
?n

2
所以
T
n
? 2?
1
c
n
?c
n
2
?
1111

???
2
n(n?1)nn?1
n?n
111111n
……………10分
P
n
?(1?)?(?)????(?)?1??
223 nn?1n?1n?1
由
P
n
??c
n?1
得：
n n
??(n?1)????
n?1
(n?1)
2
1

1
n??2
n
令
f(n)?
1
1
，可知f(n) 单调递减，即
??
………………………………13分
1
4
n??2
n
21、.解(1)当a=1时,
g(x）（=-x
2
?x?3)? e
x
,g(1)??3e
,. ………1分
g

(x)?(?x
2
?x?2)e
x
,?g

(1) ??4e
………2分
所以切线方程为
y?3e??4e(x?1),即y??4ex?e
. ………4分
(2)
f
?
(x)?lnx?1
,
x

1
(0,)

e
1

e
1
(,??)

e

………6分
f
?
(x)

?

f(x)
单调递减
0

极小值(最小值)
?

单调递增

①当
t?
1
时,在区
(t,t?1)
间上 f(x)
为增函数,
e
所以
f(x)
min
?f(t)?tlnt
………7分
②当
0?t?
1
1
时,在区间
(t,)
上
f(x)
为减函数,在区间
e
e
1
(,t?1)
上
f(x)
为增函数, 所以
e
11
f(x)
min
?f()??
………8分
ee
(3) 由
g(x)?2e
x
f(x)
，可得：
2xlnx??x
2
?ax?3
， ………9分
a?x?2lnx?
3
,
x
23(x?3)(x?1)
3
,
h
?
(x)?1??
2
?
.
2
x x
xx
令
h(x)?x?2lnx?
x

h
?
(x)

h(x)

1
(,1)

e
?

单调递减
1

0

极小值(最小值)
(1,e)

?

单调递增
………11分
113
h()??3e?2
,
h(1)?4
,
h(e)??e?2
.
eee
12
h(e)?h()?4?2e??0
. ………13分
ee
3
?
实数
a
的取值范围为
4? a?e?2?
. ………14分
e

高考模拟数学试卷
(考试时间 120分钟满分150分)
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
（1）已知集合
A?{x|x(x?2)?0},B ?{?2,?1,0,1,2}
,则
AIB
=
A.
{?2,?1}
B.
{1,2}
C.
{?1,0,1,2}
D.
{0,1,2}

（2）已知
zi?i-1
，则复数
z
在复平面上所对应的点位于
A.实轴上 B.虚轴上 C.第一象限 D.第二象限
（3）命题“
?x?R,sinx?1
”的否定是
A.
?x?R,sinx?1
B.
?x?R,sinx?1
C.
?x?R,sinx?1
D.
?x?R,sinx?1

（4 ）已知等差数列
{a
n
}
中，若
a
3
?3a
6
?a
9
?120
，则
2a
7
?a
8 的值为
A.24 B.
?24
C. 20 D.
?20

（5）已知函数
f(x)?cos(
?
x?
?
)(0?
?
?
示，
f(x
0
)? f(0)
，则正确的选项是
?
2
)
的部分图像如图所
5
?
,x
0
?
B.
?
?,x
0
?1

636
?
5
?
C.
?
?,x
0
?
D.
?
?,x
0
?1

333
A.
?
?
?
x
2
y
2
（6）设双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的右焦点为
F
,点
F
到渐近线的
ab
距离为
2a
,则该双曲线的离心率等于
A.
2
B.
3
C.
5
D.3
?
x?y?0,
?
（7）若
x,y
满足约束条件
?
x?y??1,
则目标函数
z?x?2y
的最小值是
?
2x?y?2,
?
A.
?5
B.
?
3
C. 0 D. 2
2
（8）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为
A.
?2
B.

1
C.
?1
D. 2
2
5
2
x?3lnx?b(b?R)
在
x?1 处的切线过点
(0,?5)
，则
b?

2
7531
A. B. C. D.
22 22
（9）函数
g(x)?x?
3

（10）某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面
A.
4

B.
2

C.
4?25

D.
2?5

2
俯视图
1
1
正（主）视图
2
积和是
2
侧（左）视图
（11）已知抛物线
C:y?2px(p?0)
的焦点为
F
,过点
F
的直线与抛物线
C
交于点
A,B
两点，且直线
l
与圆
x?px?y?
22
3
2
p?0 交于
C,D
两点，若
|AB|?2|CD|
,则直线
l
的斜率为
4
A.
?
23
B.
?
C.
?1
D.
?2

22
?
1
x
?
()?1,?1?x?0,
（12）函数
f(x)
的定义域为实数
R
，
f(x)?
?
2
对任意的
x?R
都有
?
?
log
2
(x?1),0?x?3.
f(x?2)? f(x?2)
.若在区间
[-5,3]
上函数
g(x)?f(x)?mx?m
恰好有三个不同的零点，则实数
m
的
取值范围是
A.
(?,?)
B.
[?,?)
C.
(?,?)
D.
[?,?]

二、填空题（本答题共4小题，每小题5分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）
（1 3）在长为2的线段AB上任意取一点C，以线段AC为半径的圆面积小于
?
的概率为 .
1
2
1
6
1
2
1
6
1
2
1
3
1
2
1
3
rr
rr
rr
（14）已知向量
a?(x,y),b?(?1,2),
且
a?b?(1,3 )
，则
|a?2b|?
.
（15）已知正实数x,y
满足
xy?x?y
，若
xy?m?2
恒成立，则实数m
的最大值是 .
n?
（16）数列
{a
n
}
满足
a
1
?2
，且
a
n?1
? a
n
?2(n?N)
，则数列
{
1
}
的前10项和为 .
a
n
三、解答题（解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
（17）（本小题满分12分）在
?ABC
中，角
A,B,C
的对应边分别为
a,b,c
，且三角形
A
的面积
为
S?
3
acco sB.

2
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若
c?8
，点D 在BC上，且
CD?2
,
cos?ADB??
B
1
，求b
的值.
7
D
C
（18）（本小题满分12分）某城市城镇化改革过程中最近五年居民生活水平用水量逐年上升，下表是年的
统计数据：
年份 2011 2012 2013 2014 2015

居民生活用水量（万吨） 236 246 257 276 286
（Ⅰ）利用所给数据求年居民生活用水量与年份之间的回归直线方程
y?bx?a
；
（Ⅱ）根据改革方案，预计在2020年底城镇化改革结束，到时候居民的生活用水量将趋于稳定，预计该
城市2023年的居民生活用水量.
参考公式：
b?
?
xy?n xy
?
(x?x)(y?y)
iiii
i?1
n
nn
?
x
i?1
2
i
?nx
2
?
i?1?
(x?x)
i
i?1
n
,a?y?bx

2

（19）（本小题满分12分）如图，正三棱锥
P?ABC
中，
?PAB
和
?CAB
都是以AB为斜边的等腰直角
三角形.
（Ⅰ）求证：
AB?
PC
；
（Ⅱ）若
AB?2PC?

P
2
，求三棱锥
P?ABC
的体积.
A
BC
x
2
y
2
（20）（本小题满分12分）已知椭圆
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的右焦点为
F(1,0)
，左顶点到点
F
的距离
ab
为
2?1.

（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设过点
F
，斜率为
k
的直线
l
与椭圆E交于A,B两点，且与短轴交于点C，若
?OAF
与
? OBC
的
面积相等，求直线
l
的方程.

（21）（本小题满分12分）已知函数
f(x)??x?alnx(a?R).

（Ⅰ）求
f(x)
的单调区间；
（Ⅱ）设
g(x)?x?2x?2 a,
若对任意
x
1
?(0,??)
，均存在
x
2 ?[0,1]
，使得
f(x
1
)?g(x
2
),求
a
的取值
范围.

2

请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号.
（22）（本小题满分10分）
如图，AB为
eO
的直径，过点B作
eO
的切线BC，OC交
eO
于
点E，AE的延长线交BC于点D.
（Ⅰ）求证：
CE?CD?CB.

（Ⅱ）若
D
为
BC
的中点，且
BC?22
，求AB
与
DE
的长.

（23）（本小题满分10分）
在直角坐标系
xoy
中，圆
C1
和
C
2
的参数方程分别是
?
2
A
O
B
E
D
C
?
x?2?2cos
?
（
?
为参数）和
?
y?2sin
?
?
x?cos
?
（
?
为参数），以O为极点，
x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
?
y?1+sin
?
?
（Ⅰ）求圆
C
1
和
C
2
的极坐标方程；
（Ⅱ）射线
OM：
?
=?
与圆
C
1
的交点为
O,P
,与圆
C
2
的交点为
O,Q
，求
|OP|?|OQ|
的最大值.

（24）（本小题满分10分）
已知函数
f(x)?|x?a|?m|x?a|.

（Ⅰ）当
m?a??1
时，求不等式
f(x)?x
的解集；
（Ⅱ）不等式
f(x)?2(0?m?1)
恒成立时，实数
a
的取值范围是
{a|a??3
或
a?3}
，求实数
m
的集合.

高考模拟数学试卷
考试时间：120分钟满分：150分
注意事项：
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题
卡上指定位置。
2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净
后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。
3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。
4. 考试结束，请将答题卡上交。
第Ⅰ卷：选择题
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的，请将正确答案填写在答题卡上．）
1.已知集合
A?{0,1,2,3},B?{x|x?a?b,a,b?A ,a?b}
，则（）
A.
A?B?A
B.
A?B?B
C.
C
(A?B)
A?{1}
D.
C
(A?B)
A?{4,5}

2.已知条件px≤1，条件q
1
＜1，则p是q成立的( )
x
rrrr
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.不充分也不必要条件
3. 设向量
a?(1,2),b?(?2,y),若ab,则|3a?b|
等于（）
A．
26
B．
6
C．
17
D．
5

rr
2sin
2
25??1
4.的值为
sin20?cos20?
（）
A.
?1
B.
?2
C.
1
D.
2

2
x
5. 已知
f
?
x?
?
x
?ax
若
f
?
ln3
?
=2,则
2?1
?
1
?
f
?
ln
? =（）
?
3
?
A．
?2
B.
?1
C.0 D. 1
6.已知数列
{a
n
}
是等差数列，其前
n
项和为
S
n
，若首项
a
1
?0
且
?1?a
6
?0
，有下列四个命题
a
5
P
1
:d?0
；
P
2
:a
1
?a
10
?0；
P
3
:
数列
{a
n
}
的前
5
项和最大；
P
4
:
使
S
n
?0
的最大
n
值为
10
；其中正
确的命题个数为（）
A. 1个 B.2个 C.3个 D.4个
7.不等式
mx?2mx?4?2x?4x
解集为R，则实数m的取值范围是（）
22

A．
(?2,2]
B．（-2,2） C．
(??,?2)?[2,??)
D．
(??,?2)

8.将函数f（x）＝3sin（4x＋
??
）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到
66
函数
y ?g
?
x
?
的图象．则
y?g
?
x
?图象的一条对称轴是
A．x＝
?
??
B．x＝ C．x＝
12
63
D．x＝
2
?

3
9.数列{a
n
}是正项等比数列，{b
n
}是等差数列，且a
5
=b
4
,则有（）
A．a
3
+a
7
≥b
2
+b
6
B. a
3
+a
7
≤b
2
+b
6
C. a
3
+a
7
≠b
2
+b
6
D. a
3
+a
7
与b
2
+b
6
大小不确定
10．
?ABC
中，D是边AC上的点，且AB=AD，2AB=
3
BD, BC=2BD,则
sinC?
( )
A．
33
B．
36
66
D．
36
B
C．
A
D
C
?
3x ?y?6?0
?
x?y?2?0
23
?
11.设
x,y满足约束条件
?
，若目标函数
z?ax?by(a?0,b?0)
的最大值为12，则
?
x?0
ab
?
?
y?0
?
的最小值为( )
5
25
B. C.
6
D.
5

6
6lnx?
?
x?b
?
?
1
?
12.已知函数 f
?
x
?
?
（
b?R
）．若存在
x ?
?
,2
?
，使得
f(x)
＞－
x?f
?
(x)
，则实数
b
的
x
?
2
?
取值范围是（）
2
A．
??,2
B．
(??,)
C．
(??,)
D．
?
??,3
?

??
3
2
9
4
第Ⅱ卷(非选择题)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．已知
0?
?
?
?
，
tan(
?
?
? 4
)?
1
，那么
sin
?
?cos
?
?
_________．
7
14.△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为 a、b、c,asinAsinB+bcos
2
A=2a,则角A的取值范围是
___ _____．
15.已知
f(x)?ln(x?
________．
16. 下列说法：
x
① “
?x?R
，使
2
> 3”的否定是“
?x?R
，使
2?
3”；② 函数
y?sin(2 x?
4
?a)
,若对任意的
m?R
,均存在
x
0 ?0
使得
f(x
0
)?m
,则实数
a
的取值范围是
x
x
?
3

)
的最小正周期是
? ；

③“在
?ABC
中，若
sinA?sinB
，则
A?B
”的逆命题是真命题；
④“
m??1
”是“直线
mx?(2m?1)y?1?0
和直线
3x?my?2?0
垂直”的充要条件；其中正确的说
法是________（只填序号）.

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤并写在答题卡指定
位置。
17.已知 ?ABC
中，内角
A,B,C
的对边分别为
a,b,c
，已知
（1）求角C的大小；（2）求

18.已知数列
{a
n
}
中,有
a
n?1
?a
n
?4,且a
1
?a
4
?14

（1）求
{a
n
}
的通项公式
a
n
与前n项和公式
S
n
；
（2）令
b
n
?
的最小值．

19.已知数列 ?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
，且
3S
n
?4a
n
?3n
，
n?N?
,
（I）求数列
{a
n
}
的通项公式；
2a?bcos(A?C)

?
ccosC
a?b
的取值范围
c
S
n
1
m
}
的前n项和
T
n
?
(
k?Z),若
{b
n
}
是等差数列,数列
{
恒成立，求正整数 m
b
n
b
n?1
n?k100
（II）数列
{b n
}
满足

ba
b
1
b
2
????
n
?
n
,n?N?
，求数列
{b
n
}
的通项公式和它的前
n
项和
T
n
.
132n ?13
20.已知向量
a?(cos
?
x,sin
?
x), b?(?2cos
?
x,23cos
?
x)
，设函数
f(x )?a?b?a
(x?R)
的图象关
于点
(
2
?
1 2
,0)
中心对称，其中
?
为常数，且
0?
?
?2
.
（I）求函数
f(x)
的最小正周期；
（II）若方程
2f(x)?a?1?0
在
x?[0,

2 1.已知函数
f(x)?ln(1?x)?x?
?
2
]
上无解，求实数
a
的取值范围.
k
2
x
?
k?0
?
.

2
(1)当
k=2
时，求曲线
y
=
f
(
x
)在点
?
1,f(1)
?
处的切线方程；
(2)求函数
f
?
x
?
的单调递增区间.

22.已知函数f（x）=
e
﹣ax﹣2（e是自然对数的底数a∈R）．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
x
（2）若k为整数，a=1，且当x＞0时，
大值．
选择题：DBDBB CACAD BA
填空题：13.
?
14.
(0,
k?x
f
?
(x)?1
恒成立，其中
f
?
(x)
为
f(x)
的导函数，求k的最
x?1
1
5
?
6
] 15.
[4,??)
16. ①②③

18. （1）
a
n
?4n?3,s
n
?2n
2
? n
(2) m=25 17. （1）C=
23
2
?
]
, (2)
(1,
3
3
19.（1）当
n?1
时，
a
1
?3
当
n?2
时，
a
n
?4a
n?1
?3
，
a
n
?1?4(a
n?1
?1)

{a
n
?1}
为以4为公比的等比数列，
a
n
?4
n
? 1

（2）当
n?1
时，
b
1
?1
当
n?2
时，
b
n
?4
n?1
,
b
n
?(2n?1)4
n?1

2n?1
又
n?1时，
b
1
?1
适合
b
n
，所以
bn
?(2n?1)4
n?1

20.
f(x)?2sin( 2x?
T
n
?
56n?5
n
?4

99
?
6
)
当
x?[0,
?
2
]
时，
2x?
?
6
?[?
?
5
?
6
,
6
]

f(x)?[?1,2]

又方程
2f(x)?a?1?0
在
x?[0,
所以
a?5
或a??1

21.（1）当
k?2
时，
f(x)?ln(1? x)?x?x
，
f'(x)?
2
?
2
]
上无解， a?1?4
或
a?1??2

1
?1?2x

1?x
f(1)?ln2
，
f'(1)?
3
，
2
3
(x?1)

2
所以曲线
y?f(x)
在点
(1,f(1))
处的切线方程为
y?ln2?
即
3x?2y?2ln2?3?0

x(kx?k?1)
，
x?(?1,??)
.
1?x
x
（1）当
k?0
时，
f'(x)??
.
1?x
（2）
f'(x)?
所以，在区间
(?1,0)
上，
f'(x)?0
；在区间
(0,??)
上，
f'(x)?0
. 故
f(x)
的单调递增区间是
(?1,0)
.
x(kx?k?1)1?k
?0

?0
，得
x
1 ?0
，
x
2
?
k
1?x
1?k1?k
所以，在区间
(?1,0)
和
(
)
上，
f'(x)?0

,??)
上，
f'(x)?0
；在区间
(0,
k
k
（2）当
0?k?1
时，由
f'(x)?

故
f(x)
的单调递增区间是
(?1,0)
和
(
1?k,??)

k
x
2
（3）当
k?1
时，f'(x)?
故
f(x)
的单调递增区间是
(?1,??)
.
1?x
x(kx?k?1)1?k
?0
，得
x
1
? ?(?1,0)
，
x
2
?0
.
1?xk
1?k1 ?k
所以在区间
(?1,
,0)
上，
f'(x)?0
，故 f(x)
的单调递增区
)
和
(0,??)
上，
f'( x)?0
；在区间
(
（4）当
k?1
时，
f'(x)?k
k
间是
(?1,
1?k
k
)
和
(0 ,??)
.
综上所述：
当
k?0
时，
f(x)
的单调递增区间是
(?1,0)
；
当
0?k?1
时，
f (x)
的单调递增区间是
(?1,0)
和
(
1?k
k
,??)
；
当
k?1
时，故
f(x)
的单调递增区间是
(?1,??)
；
22.解：（1）f′（x）=e
x
﹣a．
若a≤0，则f′（x）＞0恒成立，所以f（x）在区间（﹣∞，+∞）上单调递增，
若a＞0，当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（lna，+∞）上单调递增．
综上，当a≤0时，f（x）的增区间为（﹣∞，+∞）；当a＞0时，f（x）的增区间为（lna，
（2）由于a=1，所以f′（x）＜1?（k﹣x）（e
x
﹣1）＜x+1，当x＞0时，e
x
﹣1＞0，故（k﹣x）（e
x
﹣1）＜x+1?k＜ +x﹣﹣﹣﹣①，
令g（x）=+x（x＞0），则g′（x）=+1=
函数h（x）=e
x
﹣x﹣2在（0，+∞）上单调递增，而h（1）＜0，h（2）＞0，
所以h（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点，
即g′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点，
设此零点为a，则a∈（1，2）．
当x∈（0，a）时，g′（x）＜0；当x∈（a，+∞）时，g′（x）＞0；
所以，g （x）在（0，+∞）上的最小值为g（a）．由g′（a）=0可得e
a
=a+2，
所以，g（a）=a+1∈（2，3）由于①式等价于k＜g（a）．
故整数k的最大值为2．

∞）；

+

高考模拟数学试卷
注意事项：
1．本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上．
2．回答第I卷时．选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡
皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效，
第I卷
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的一项。
1．定义运算(a，b)※((c，d) =ac－bd，则符合条件(z，1+2i)※(1+i，1－i)=0的复数z所对应的点在
A.第四象限
C．第二象限
B．第三象限
D．第一象限
2．一算法的程序框图如图，若输出的y=
的值可能为
A. －1
C．1
3．把函数
y?5sin(2x?
B.0
D．5
1
，则输入的x
2
?
6
)
图象上所有点的横坐标伸长
为原来的2倍（纵坐标不变），再把所得函数的图象向
右平移
?
个单位，得到图象的解析式为
3
B．y=5cos4x
D．y=－5 cos4x
A. y=5cosx
C．y=－5 cosx
4．已知直线a，b，平画
?
,
?
，且a⊥?
，
b?
?
，则“a⊥b”是“
?
∥
?
”的
A.充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．三个实数a、b、c成等比数列，若a+-b+c=l成立，则b的取值范围是
A．(0，

1
]
3
B．[-1，
1
?
11
?
] c．[－，0) D．
?
?1,0)U(0,
?

3
?
33
?

6．如图，矩形ABCD的四个顶点的坐标分别为
A(0，－1)，B(
?
，－1)，C（
?
，1），D(0，1)，正弦曲线

f(x)?sinx
和余弦曲线
g(x)?cosx
在矩形ABCD
内交于点F，向矩形ABCD区域内随机投掷一点，
则该点落在阴影区域内的概率是
A．

1?2
?
B．
1?2

2
?
11
D．
2
?
?
rrrr
rr
uruuruuruuruuruuruuruur
7．设
a, b
为非零向量，
b?2a
，两组向量
x
1
,x
2 ,x
3
,x
4
和
y
1
,y
2
,y
3
,y
4
均由2个
a
和2个
b
排列而
C．
r
2
rr
uruuruuruuruuruuruuruu r
成．若．
x
1
.y
1
?x
2
.y
2
?x
3
.y
3
?x
4
.y
4
的所有可能取值中的最小值为
4a
，则
a
与
b
的夹角为
A．
?

3
B．
2
?

3
C．
?

2
D．
?

6
8．已知点E、F、G分别是正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
的棱AA
1
、CC
1
、
D D
1
的中点，点M、N、Q、P分别在线段DF、AG、BE-、C
1
B1
上．以
M、N、Q、P为顶点的三棱锥P-MNQ的俯视图不可能是

9．对于任意的x∈R，不等式
2x
2
?ax
2
?1?3?0
恒成立．则实数a的取值范围是
A. a<2
2
B．a≤2
2
C．a≤3 D．a<3
uuuruuur
10.已知O为坐标原点，向量
OA?(1,0),OB?(?1,2)
.若平面区域D由所有满足
uuuruuuruuur
OC?
?
OA?
?
OB( ?2?
?
?2,?1?
?
?1)
的点C组成，则能够把区域D的周长和面积同时分为相
等的两部分的曲线是
A．
y?1n
5?x

5?x
B.
y?
1

x
C．
y?e?e
x?x
?1
D．
y?x?cosx

x
2
y
2
11.已知双曲线 2
?
2
?1(a?0,b?0),A
1
,A
2
是实轴顶点，F是右焦点，B(0，b)是虚轴端点，若在线段
ab
BF上（不含端点）存在不同的两点P
i
（i=1，2），使得△P
i
A
1
A
2
(i=l，2)构成以A
1
A
2
为斜边的直角三

角形，则双曲线离心率e的取值范围是
A．
(2,??)
B．
(
5?1
,??)

2
C．
(1,
3
5?1
)

2
2
D．
(2,
5?1
)

2
1 2.斜率为k（k≠0）的两条直线分别切函数
f(x)?x?(t?1)x?1
的图象于A， B两点．若直线AB的方
程为y=2x－l，则t十k的值为
A.8 B．7 C．6
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两个部分。第(13)题第(21)题为必考题，每个考生都必须作答。第(22)
D．5
题第(23)题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分。
13.函数
f(x)??x
2
?3x?4?1g(x?1)
，的定义域是
14．正偶数列有一个有趣的现象：

①2+4=6 ②8+10 +12=14+16;
③18+20+22+24=26+28+30,…
按照这样的规律，则2016在第个等式中。
2
15. 若
f(x)?x,?t?R
，对于
?x?[2,m]
，都有
f(x? t)?2x
成立，则m的最大值是
16.如图，A是两条平行直线 l
1
,l
2
之间的一个定点，且A到
l
1
, l
2
的距
离分别为AM=1，AN=2，设△ABC的另两个顶点B，C分别在
l
1
,l
2

ABAC
，则以下命题中．
?
cos?ABCcos?ACB
12
①△ABC是直角三角形； ②的最大值为
2
；
?
ABAC
上运动，且AB

③S代表图形面积，则(S
四边形 MBCN
)
min
=(S
△ABC
)
min
+(S
△AMB
+S
△ACN
)
min
；
④设△ AMB的周长为y
l
，△ACN酌周长为y
2
，则(y
1
+ y
2
)
min
=10．
正确的命题是。（填正确命题的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（本小题1 2分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bsinC－
3ccosB?0
。
(1)求角B；
(2)若b=7，求△ABC,的周长的最大值．
高统计调查数据显示：全省名男生的身
级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被
测学生身高全部介于157. 5cm和187.5 cm之
间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组

[157.5，162.5)，第二组[162.5，167.5），…，第6
组[182.5，187.5]，下图是按上述分组方法得到
的频率分布直方图．
(2)求这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5 cm）的人数；
(3) 在这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人中任意抽取2人，该2人中身高排名（以高到
低）在全省前130名的人数记为
?
，求
?
的数学期望．
参考数据：
若
?
~N(
?
,
?
)P(
?
?
?
?
?
?
?
?
?
) ?0.6826,P(
?
?2
?
?
?
?
?
?2
?
)?0.9544,

2
P(
?
?3
?
?
?
?
?
?3
?
)?0.9974

19.（本小题12分）如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面
ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．
(1)求证：AC⊥平面BDE;
(2)求二面角F- BE-D的余弦值；

20.（本小题12分）如图，已知点S(-2，0)和圆
O:x?y?4,ST
是圆O的直经，从左到右M、()和N
22
uuuruuur
依次是ST的四等分点，P(异于S 、T)是圆O上的动点，PD⊥ST，交ST于D，
PE?
?
ED
，直线PS与TE交于C，|CM|+|CN|为定值．

(1)求
?
的值及点C的轨迹曲线E的方程；
(2)设n是过原点的直线，
l
是与n垂直相交于Q点、与
uuur
轨迹E相交于A，B两点的直线，
OQ?1
，是否存
uuuruuur
?1
成立？在上述直线
l
，使
若存在，求出直线
l
的方程；若不存在，请说明理由。

21. （本小题12分）已知二次函数
f(x)?x?ax?m?1
，关于x的不等式
f(x )?(2m?1)x?1?m
的
解集为(m，m+1)，m≠0)，设
g(x)?
(1)求“的值；
(2)k（k∈R）如何取值时，函数
?
(x)?g(x)?k1n(x?1)
存在极值点，并求出极值点；
(3)着rn=l，且x>0，求证：
[g(x?1)]?g(x?1)?2?2(n?N)
．
nnn*
22
f(x)
．
x?1

请考生在第22、23题中任选一题作答。若多做，则按所做的第一题计分。
22．（本小题10分）选修4-4参数方程选讲
极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴。已知曲线
C
1
的极坐标方程为
?
?22sin(
?
?
?
4
)
，曲线C
2
的极坐标方程为
?
sin
?
?a(a?0)
，射线
?
?
?
,
?
?
?
?
?
4
,
?
?
?
?
?
4
,
?
?
?
2
?
?
与曲线C
1
分别交异于极点O的四点A，B，C ，D。
（1）若曲线C
1
关于曲线C
2
对称，求“的值，并把曲线 C
1
和C
2
化成直角坐标方程；
（2）求|OA|·|OC|+|OB|·|OD|的值
23．（本小题10分）选修4-5不等式选讲
设函数
f(x)?|
1
x?1|?|x|(x?R)
的最小值为，”
2
（2）当
a?2b?3c?m(a,b,c?R)
时，求a
2
+ b
2
+c
2
的最小值．

参考答案
一、选择题：1~5 ：ACCBD，6～10：BACDA ， 11~12 ：DB
二、填空题：13、
?
1,4
?
14、31 15、8 16、①②④
三、解答题：
17、解：（1）因为
bsinC?3ccosB?0,?sinBsinC?3sinCcosB?0
…………2分
因为sinC?0

,cosB?0
 ?
tanB?3
，
B?
?
3
…………………………6 分
22222
（2）由
7?a?c?2accosB
,得
49?a ?c?ac
，……………7分
?
(a?c)
2
?3ac?49? 3
(a?c)
2
?49

?
a?c?14（当且仅当a=c=7时取等号）
，
4
?
?ABC
周长的最大值为21……………………………………12分 160?0.1?165?0.2?170?0.3?175?0.2?180?0.1?185?0.1 ?171
高于全省
的平均值170.5 ……4分
（Ⅱ）由频率分布直方图知，后两组频率为0.2，人数为0.2×50＝10，即这50名男生身高在177.5cm
以上(含177.5 cm)的人数为10人. ……………6分

（Ⅲ）
?
P(170.5?3?4?
??170.5?3?4)?0.997 4
，
1?0.9974
100 000=130.
?0.0013
，0.0013×
2
所以，全省前130 名的身高在182.5 cm以上，这50人中182.5 cm以上的有5人.
?P (
?
?182.5)?
随机变量
?
可取
0,1,2
，于是
11
C
5
2
102
C
5
C
5
255
C
5
2
102
P(
?
?0)?
2
??
,
P(
?
?1)?
2
??
,
P(
?
?2)?
2
??

C
10
459C
10
459C
10
459
252
?E
?
?0??1??2??1
. ………………………………12分
999
19、解析：(1)证明：因为
DE?
平面
ABCD
，所以
DE?AC
. ……………3分
因为
ABCD
是正方形，所以
AC?BD
，又BD,DE
相交从而
AC?
平面
BDE
. …………6分
(2)解：因为
DA,DC,DE
两两垂直，所以建立空间直角坐标系
D?x yz
如图所
示.因为
BE
与平面
ABCD
所成角为
60
0
，即
?DBE?60
o
，
所以
ED
?3
.由
AD?3
可知
DE?36
，
AF?6
. …8分
DB
则
A(3,0,0)
，
F(3,0,6)
， E(0,0,36)
，
B(3,3,0)
，
C(0,3,0)
，
uuuruuur
所以
BF?(0,?3,6)
，
EF?(3, 0,?26)

uuur
?
?
?
n?BF?0
? ?3y?6z?0
设平面
BEF
的法向量为
n?
(x,y,z )
，则
?
uuu
，即
?
，令
z?6
，则 r
?
?
?
n?EF?0
?
3x?26z?0
n?
(4,2,6)
.
uuur
uuur
因为
AC?
平面
BDE
，所以
CA
为平面
BDE
的法向量，
CA?(3,?3,0)
，
uuur
uuur
n?CA613
所以
cos?n,CA??
.
?
uuur
?
13
nCA
32?26
因为二面角为锐角，所以二面角
F?BE?D
的余弦值为
13
. ………12分
13
20、解析：(1)易得
T(2,0)
，
M(? 1,0)
，
N(1,0)
，设
P(x
0
,y
0),C(x,y)
，则
E(x
0
,
y
0
)，
1?
?
y
0
y
0
y
y
?
?
1?
?
，② 。 ……2分直线PS与TE交于C，故
x??2
，① 且
x?2x
0
?2 x?2x
0
?2
2
y
0
y
2
y2
1
x
2
y
2
1?
?
?
2 ??
?1
，4分 ①②相乘得
2
，又点P是圆O上的动点，故
2
即
?
4
x?4x
0
?4
x?41?
? 4
1?
?

x
2
y
2
1
4
?1
?
x??2
?
,
要使
CM?CN
为定值，则
4??1,
解得
?
?
此时
?
43
3
1?
?
x
2
y
2 1
??1
?
x?2
?
.
…………6分即
?
?
时，点C的轨迹曲线E的方程为
43
3
uuuruuur
QB?1
成立的直线
l
存在，（2）设A，B两点的坐标分别为
(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
)
，假设使
AQg
（ⅰ）当
l
不垂直于x轴时，设
l
的方程为
y?kx?m
，
uuur
|m|
?1
，即
m
2
?k
2
?1
…………7分由
l
与
n
垂直相交于Q点且|
OQ
|=1.得
1?k
2
uuur
uuuruuur
uuuruuuruuuruuuruuuruuuru uur
2
uuuruuuruuuruuuruuuruuur
QB?1,
O Q?1
∴
OAg
∵
AQg
OB?(OQ?QA)g(OQ?QB)? OQ?OQgQB?QAgOQ?QAgQB?0

222
即
x
1 x
2
?y
1
y
2
?0
，将
y?k x?m
代入椭圆方程，得
(3?4k)x?8kmx?(4m?12)?0

4m
2
?12
?8km
由求根公式可得
x
1
?x 2
?
， ④
x
1
x
2
?
⑤
2
2
3?4k
3?4k
0?x
1
x
2
?y
1
y
2
?x
1
x
2
?(kx
1
?m)(kx
2
?m)
=
x
1
x 2
?k
2
x
1
x
2
?km(x
1 ?x
2
)?m
2

22
=
(1?k)x
1
x
2
?km(x
1
?x
2
)?m

将④，⑤代入上式并化简得
(1?k)(4m?12)?8km?m(3?4k)?0
⑥
22
将 m?1?k
代入⑥并化简得
?5(k?1)?0
，矛盾即此时直线
l
不存在 …………10分
2
222222
uuu r
（ⅱ）当
l
垂直于x轴时，满足
|OQ|?1
的直线
l 的方程为x=1或x=-1，
uuurr
333
uuu
3
当 =1时，A,B,Q的坐标分别为
(1,),(1,?),(1,0)
，∴
AQ?(0 ,?),QB?(0,?)
，
2222
uuuruuur
uuuruuur
9
QB?1
，矛盾即此时直线
l
也不存在 ∴
AQgQ B??1
当x=-1时，同理可得
AQg
4
uuuruuur
QB? 1
成立的直线
l
不存在. …………12分综上可知，使
AQg
21、（1）解：∵关于
x
的不等式
f
?
x
?
?
?
2m?1
?
x?1?m
?
2
的解集为
m,m?1
，
??
等价于
x
2
?a?1?2mx?m
2
?m?0
的解为
m,m?1
，
∴
a?1?2m??2m?1
. ∴
a??2
. …………3分
??
?
x
2
?2x?m?1m
??
?
x?1
?
?
（2）解由（Ⅰ）得
g
?
x
?
?
.
x?1
x?1x?1
∴
?
x
f
?
x
?
???g
?
x
?
?kln
?
x?1
?
? ?
x?1
?
?
m
?kln
?
x?1
?
的定义域为
?
1,??
?
.由
x?1

?
?
(x)?1?
m
?
x?1
?
2
x
2
?
?
2?k
?
x?k?m?1
k
.
?
?
2
x?1
?
x?1
?
?g
?
x
?
?kln
?
x?1
?
存在极值点等价于函数 ?
?
(x)
有两个不等的零点，且至少由题意，函数
?
x??
?
有一个零点在
1,??
上. 令
?
?
(x)
?
?
x
2
?
?
2?k
?
x ?k?m?1
?
x?1
?
2
?0
,
得
x
2
?2?kx?k?m?1
?0
, (*)
则
Δ?2?k
??
??
2
?4
?
k?m?1
?
?k
2
?4m?0
,(**)
方程（*）的两个实根为
x
1
?
2?k?
2
k
2
?4m
,
x
2
?
2?k?
2
k
2
?4m
.
①当
m?0
时，
Δ?0
，方程（*）的两个实根为
x
1
?
2?k?
2
k
2
?4m
?1,
 x
2
?
2?k?
2
k
2
?4m
?1 ,
则函数
?
?
x
?
在
?
1,x
2
?
上单调递减，在
?
x
2
,??
?
上单调递增.
∴函数
?
x
有极小值点
x
2
.
②当
m?0
时，由
Δ?0
,得
k??2?m
或 k?2?m
，
若
k??2?m
，则
x
1
?
??
2?k?
2
k
2
?4m
?1,x
2
?
2?k?
2
k
2
?4m
?1,

故
x?
1,??
时，
?
?
(x)?0
，∴函数 ?
x
在
1,??
上单调递增. 函数
?
x
没有极值点.
????????
若
k?2?m 时，
x
1
?
2?k?
2
k
2
?4m
?1,x
2
?
2?k?
2
k
2
?4m?1,

∴函数
?
x
在
1,x
1
上单调递增，在
x
1
,x
2
上单调递减，在
x
2
,??
上单调递增.
∴函数
?
x
有极小值点
x
2
，有极大值点
x
1
.
综上所述, 当
m?0
时，
k
取任意实数, 函数
?
x
有极小值点
x
2
；
当m?0
时，
k?2?m
，函数
?
x
有极小值点
x
2
，有极大值点
x
1
.
(其中
x
1
?
??
?
??
?
??
??
??
??
2?k?
2
k
2
?4m
,
x
2
?
2?k?
2
k
2
?4m
) …………8分
（3）证法1：∵
m?1
， ∴
gx
??
?
?
x?1
?
?
1
.
x?1
n
??
1
?
1
?
?
?gx
n
?1?
?
x?
?
?
?
x
n?
n
?

∴
?
gx?1
??
?? x
?
x
???
n
??

?C
n
x
令
T
?C
n
x
1n?2 2n?4n?12?n
?C
n
x?L?C
n
x
.
2n?4n?12?n
?C
n
x?L?C
n
x
，∵
x
?0
，
1n?2
12n?1
x
n?2
?x 2?n
?C
n
x
n?4
?x
4?n
?L?C
n
x
2?n
?x
n?2

?
2T
?C
n
12n?1

?C
n
?2x
n?2
?x
2?n
?C
n
?2x
n?4
?x
4?n
?L?C
n
?2x
2?n
?x n?2

??????

?2C
n?C
n
?C
n
?L?C
n

?22?2
.
?
012n?1n0n

?Cn
?C
n
?C
n
?
?
n
?
?
∴
T?
2
?
2
，即
?
?
gx?1
?
?gx?1?2?2
. …………12分
n
?? n
?
n
?
n
??
n
1
?
1
?
证法2：用数学归纳法证明不等式
?
x?
?
?
?
x?
n
?
?2
n
?2
.
x
?
x
???
① 当
n?1
时，左边
? ?
x?
n
?
?
1
??
1
?
1
?2?2?0
，不等式成立；，右边
?x??0
???
x??
x
?
k
??
k
1
?
1
?
*
② 假设当
n?k
(k?
N
)
时，不等式成立，即
?
x?
?
?
?
x?
k
?
?2 k
?2
，
x
?
x
???
??
则
?
x?
1
?
x
??
k?1
?
1 ?
?
?
x
k?1
?
k?1
?
x
??
k
?
?????
k
??
k?1
111
?
?
1
??
k
1
?
1
? 
?x??
k?1
?

??
?
?
x?
?
?
?
x?
k
?
?
?
? x?
??
x?
k
?
?
?
x
x
?
?
?
x
?
x
??
x
?
?x
?
x
?????
??
k
??
k
1 ?
?
?
1
?
1
?
?
?
k? 1
1
?
?
?
x?
?
?
?
x??
?
?
x?
k
?
?
?
?
x?
k?1
?

x
?
?
?
x
?x
?
?
?
x
?
??
??
?2x?11
?2
k
?2?2x
k?1
?
k?1

?2
k?1
?2
. …………12分
x
x
??
也就是说，当
n?k?1
时，不等式也成立. 由①②可得，对
?
n?
N
*
，
::

22 、解：（1）
C
1
：
(x?1)?(y?1)?2
，
C2
：
y?a
，
22
Q
曲线
C
1关于曲线
C
2
对称，
a?1
，
?
C
2
：
y?1

（2）
|OA|?22sin(
?
? ?
)
；
|OB|?22sin(
?
?)?22cos
?

42
3
?
)

|OA|?|OC|?|OB|?|OD|?42

4
?
|OC| ?22sin
?
，
|OD|?22sin(
?
?
3
x－1 ，x＜－2，
2
1
23、解析：（1）f(x)＝
－
2
x＋1，－2≤x≤0，

3
x＋1，x＞0．
2
?
?
?
－

当x∈(－∞，0]时，f(x)单调递减，当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增，
所以当x＝0时，f(x)的最小值m＝1．
(2)
由柯西不等式
故

，当且仅当
………5分
，

时取等号
. …………10
分

高考模拟数学试卷
第Ⅰ卷选择题（共40分）
注意事项
1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。
2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，
再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。
3. 本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：
?
如果事件
A，B
互斥,那么

?
如果事件
A，B
相互独立,那么
P(A?B)?P(A)?P(B)
.
?
柱体的体积公式
V

P(A?B)?P(A)?P(B)
.
?
球的体积公式
V
?Sh
. 其中
S
表示

4
?
?
R
3
. 其中
R
表示
3
柱体的底面积,
h
表示柱体的高. 球的半径.
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）已知
a?i1
??b(1?i)
（其中
i
为虚数单位,
a,b?
R）,则
a
等于
1?i2
（B）
2
（C）
?1
（D）（A）
?2

1

2
2
?x
0
?1
≤
0
,则
?p
为（2）已知命题
p:?x
0
?
R,
x
0
2
?x
0
?1?0
（A）
?x
0
?
R,
x
0

2
?x
0
?1?0
（B）
?x
0
?
R,
x
0
（C）
?x?
R,
x
2
?x?1?0
（D）
?x?
R,
x
2
?x?1
≥
0

≤
?
?
x?y?30,
（3）设非负实数
x,y
满足约束条件
?
则
z?2x?3y
的最大值为
≤
2x?y?40.
?
?
（A）
12
（B）
9
（C）
8
（D）
4

（ 4）已知函数
f(x)?4cosxsin(x?
?
)?1
（
0? ?
?
?
）,若
f()?1
,则
f(x)
的最小正周期为
3
（A）
?
（B）
?
3
?

2
（C）
2
?
（D）
4
?

x
2y
2
（5）过双曲线
2
?
2
?1
(a?0,b ?0)
上一点
P
作直线
PA,PB
交双曲线于
A,B
两点,且斜率分别为
ab
k
1
,k
2
,若直线
A B
过原点,
k
1
?k
2
?2
,则双曲线的离心率 e
等于
（A）
3
（B）
3
（C）
6

2
（D）
3

2
?
?
ln(?x),x?0,
（6）设函数
f(x)?
?
若
f(m)?f(?m)
,则实数
m
的取值范围是
?lnx，x?0.
?
?
（A）
(?1,0)?(0,1)
（B）
(??,?1)?(0,1)

（C）
(?1,0)?(1,??)

(??,?1)?(1,??)

（D）
D
C
割线，且
PAB
（7）如图,已知圆
O
半径是
3
,
PAB
和
PCD
是圆
O
的两条
过
O
点 ,若
PB?10
,
PD?8
,给出下列四个结论：①
B
O ?
A
P
CD?3
；②
确结论的序号
BC?5
；③
BD?2AC
；④
?CBD?30?
. 则所有正
是
（A）①③
（C）①②③

（B）①④
（D）①③④
（8）若函数
f( x)?x
2
?4x?3?kx?2
恰有
3
个零点,则实数
k
的值为
（A）
?
（C）
?
2
或
?2

3

（B）
?
（D）
?
2
或
4?25

3
2
或
4?25
或
4?25

3
2
或
4?25

3
第Ⅱ卷非选择题（共110分）
注意事项
1. 用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷上，答在本试卷上的无效。
2. 本卷共12小题，共110分。
二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卷上.
（10）一个几何体的三视图如图所示（单位cm）,则该几何
体的体积为 cm?.
（11）阅读右边的程序框图,运行相应的程序,输出
S
的
值为 .
（12）已知函数
f(x)
是R上的奇函数,且
f(x)
的图象关
于
x?1
对称,当
x?[0,1]
时,
f(x)?e
x
?1
,则在区
间
[0,5]
上方程
f(x)?1?0
实根的个数为 .
4
俯视图
2
2
4
正视图
侧视图
开始
S?2,i?1
i?6?
是
否
1
S?
1?S
输出S
结束
i?i?1
21
（13）如图,在△
ABC
中,
AD?AC
,
BP?BD
,
33
若
AP?
?
AB?
?
AC
,则 C
D
P
A
B
?
的值为 .
?
（14）已知
S
n
?3?7?13???(2
n
?2n ?1)
,
S
10
?a?b?c
,其中
a,b,c?
N*,则
a?b?c
的
最小值为 .
三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
（15）（本小题满分13分）
（Ⅰ）列举出组成这个小组所有可能的结果；
（Ⅱ）求
A
3
和
B
3
均没有被选中的概率；

（Ⅲ）求
B
1
和
C
1
中至少有一人被选中的概率.

（16）（本小题满分13分）
在△
ABC
中,角
A,B,C
为三个内角,已知
cosA?
（Ⅰ）求AC
的长；
（Ⅱ）设
D
为
AB
的中点,求
CD
的长.

（17）（本小题满分13分）
如图,四棱锥
P?ABCD
的底面是平行四边形,
AB?BD
,
51
,
cosB?
,
BC?5
.
75
P
PD?
平面
ABCD
,且
PD?AB
,
E
为
PA
的中点.
（Ⅰ）求证
CD?PB
；
（Ⅱ）求证
PC
平面
BED
；
（Ⅲ）求二面角
E?BD?A
的大小.

（18）（本小题满分13分）
已知数列
{a
n
}
满足 a
1
?6
,
a
n?1
?a
n
?6a
n?1
?9?0
,
n?
N*且
n
≥
2.
（Ⅰ）求证数列
{
1
}
为等差数列；
a
n
?3
E
D
C
A
B
（Ⅱ）求数列
{a n
}
的通项公式；
（Ⅲ）设
b
n
?

（19）（本小题满分14分）
x
2
y
2
1
如图,椭圆
C:
2
?
2
?1（
a?b?0
）的左、右焦点分别为
F
1
、
F
2
,离心率
e?
.过
F
2
的直线交椭圆
2
ab
y
C
于
A
、
B
两点,且△
ABF1
的周长为
8
.
A
a
n
,求数列
{ b
n
}
的前
n
项和
T
n
.
(n?1)
2
（Ⅰ）求椭圆
C
的方程；
（Ⅱ）若直线l:y?kx?m
与椭圆
C
相切于
P
点,且与
直线 x??4
相交于
Q
点,求证直线
PF
1
垂直于直线 QF
1
.

F
1
O
F
2
x
B

（20）（本小题满分14分）
已知函数
f(x)?ax
2
?( 2a?1)x?lnx
,
a?
R.
（Ⅰ）当
a?1
时,求
f(x)
的单调区间和极值；
（Ⅱ）若关于x
的方程
f(x)?2ax
2
?2(a?1)x
恰有两个不等的实根,求实数
a
的取值范围；
（Ⅲ）设
g(x)?e
x
?x?1
, 当
a
≤
0
时, 若对于任意的
x
1
?(0,??)
,
x
2
?
R,不等式
f(x
1
)
≤
g(x
2
)
恒成立,
求实数
a
的取值范围.

一、选择题（每小题5分，共40分）
（1）D （2）C （3）B （4）A （5）A （6）B （7）D （8）C
二、填空题（每小题5分，共30分）
题号
文科
理科
（9）（10）（11）（12）（13）（14）
10

28
?

3
28
?

3
32

3
1

2
(2,??)

3

12

7
3

25

5
68

68

三、解答题（本大题共6小题，共80分）
（15）（本题13分）文科
（Ⅰ）解依题意,从8名竞赛优胜者中选出3名组成一个小组所有可能的结果为
{A
1
,B 1
,C
1
}
,
{A
1
,B
1
,C
2
}
,
{A
1
,B
2
,C
1
}
,
{A
1
,B
2
,C
2
} ,
{A
1
,B
3
,C
1
}
,{A
1
,B
3
,C
2
}
,
{A
2
,B
1
,C
1
}
,
{A
2
, B
1
,C
2
}
,
{A
2
,B
2
,C
1
}
,
{A
2
,B
2
,C 2
}
,
{A
2
,B
3
,C
1
}
,
{A
2
,B
3
,C
2
}
,
{A
3
,B
1
,C
1
}
,
{A 3
,B
1
,C
2
}
,
{A
3
,B
2
,C
1
}
,
{A
3
,B
2
,C
2
}
,
{A
3
,B
3
, C
1
}
,
{A
3
,B
3
,C
2 }
,共18种. ………………（6 分）
（Ⅱ）解用
M
表示“
A
3
和
B
3
均没有被选中”,其所有可能的结果为
{A
1
,B
1
,C
1
}
,
{A 1
,B
1
,C
2
}
,
{A
1
,B
2
,C
1
}
,
{A
1
,B
2
,C
2
}
,
{A
2
,B
1
, C
1
}
,
{A
2
,B
1
,C
2 }
,
{A
2
,B
2
,C
1
}
,
{A
2
,B
2
,C
2
}
,共8种. …（8 分）
∴
P(M)?
84
?
.
189
………………（10分）
（Ⅲ）解用
N
表示 “
B
1
和
C
1
中至少有一人被选中”,则其对立事件
N
表示“
B
1
和
C
1
均没有被选中”,
N
包含的基本事件有
{A
1
,B
2
,C
2
}
,
{A
1
,B
3
,C
2
}
,
{A
2
,B
2
,C
2
}
,
{A 2
,B
3
,C
2
}
,
{A
3,B
2
,C
2
}
,
{A
3
,B
3
,C
2
}
,共6种. ………………（11分）

则
P(N)?
61
?
.
183
12
?
.
33
………………（13分） ∴
P(N)?1?P(N)?1?
（15）（本题13分）理科
?
1
（Ⅰ）解依题意
f(0)?a?b?1
,
f()?1?a?b?1
,
42
?
a?b?1,
由
?
解得
a?2,b??1
.
a?2b?0,
?
………………（2 分）
………………（4 分）
则
f(x)?sin(2x?
?3
)?sin(2x?
?
3
)?2cos
2
x?1
?sin2x?cos
?
3
?cos2x?sin
?
3
?sin2x?cos

?
3
?cos2x?sin

?
3
?cos2x

?sin2x?cos2x

?2sin(2x?
………………（6 分）
………………（8 分）
………………（9 分）
?
4
)
.
∴
f(x)
的最小正周期
T?
（Ⅱ）解∵
f(x)?2sin(2x?
2
?
?
?
.
2
?
4
)
在区间
[?
?
4
,

?
8
]
上是增函数,
………………（11分）在区间
[,]
上是减函数,
84
??
且
f(?)? ?1
,
f()?2
,
f()?1
,
484
∴函数
f(x)
在区间
[?
（16）（本题13分）文科
（Ⅰ）解 ∵在 △
ABC
中,
cosA?
∴
sinA?1?cos
2
A?
由正弦定理得
?
?
?
?
4
,
?4
]
上的最大值为
2
,最小值为
?1
. ……（13分）
51
,
cosB?
,
75
2626
,
sinB?1?cos
2
B?
. ………………（2 分）
75
ACBC
,
?
sinBsinA
5?
………………（4 分）
即AC?
BC?sinB
?
sinA
26
5
?7
.
26
7
………………（6 分）
（Ⅱ）解在△
A BC
中,
AC?7
,
BC?5
,
cosB?
1,
5
………………（8 分）由余弦定理得
AC
2
?AB 2
?BC
2
?2AB?BC?cosB
,
1
即
49?AB
2
?25?2AB?5?
,
5 整理得
AB
2
?2AB?24?0
,解得
AB?6
. ………………（10分）

∵在△
BCD
中,
BD?
11
AB?3
,
BC?5
,
cosB?
,
25 ∴由余弦定理得
CD
2
?BD
2
?BC
2
? 2BD?BC?cosB
, ………………（11分）
1
即
CD
2
?9?25?2?3?5??28
.
5
∴
CD?27
.
（16）（本题13分）理科
（Ⅰ）解设“一次取出的3张牌中的花色互不相同”的事件记为
A
, ………（1 分）
3 111
C
4
?C
3
?C
3
?C
3
10827
??
则
P(A)?
.
3
22055
C
12
………………（13分）
………………（5 分）
………………（6 分）
………………（7 分）
（Ⅱ）解由题意,随机变量
X
的所有可能值为
0,1,2,3
.
3
C
9
8421
P(X?0)?
3
??
,
22055
C
12

12
C
3
?C
9
3?3627
P(X?1)???
,
3
220 55
C
12
21
C
3
?C
9
3?927 P(X?2)???
,
3
220220
C
12
3
C
3
1
P(X?3)?
3
?
.
C
12
220
………………（8 分）
………………（9 分）
………………（10分）
∴随机变量
X
的分布列是

∴数学期望
E(X)?0?
（17）（本题13分）文科
（Ⅰ）证明∵PD?
平面
ABCD
,
CD?
平面
ABCD
,
∴
CD?PD
. ………………（1 分）
X

P

0
21

55
1
27

55
2
27

220
3
1

220
…………（11分）

21272711653
?1??2??3???
. …（13分）
55552202202204
∵
CDAB
,
AB?BD
,
∴
CD?BD
.
∵
PD?BD?D
,
∴
CD?
平面
PBD
.
∵
PB?
平面
PBD
,
∴
CD?PB
. ………………（4 分）
………………（3 分）
………………（2 分）
（Ⅱ）证明如图,连接
AC
,与
BD
相交于点
O
,连接
EO
.
∵四边形
ABCD
是平行四边形,
∴
O
为
AC
的中点.
∵
E
为
PA
的中点,
∴
EOPC
. ………………（6 分）
………………（5 分）

∵
EO ?
平面
BED
,
PC?
平面
BED
,
∴
PC
平面
BED
. ………………（8 分）
P
（Ⅲ）解如图,作
OFAB
,交
AD
于
F
点,
则
F
为
AD
的中点. …………（9 分）
∵
AB?BD
,
OFAB
,
∴
OF?BD
. ………………（10分）
E
D
F
A
B
O
C
连接
EF
,则
EFPD
, ∵
PD?
平面
ABCD
,
BD?
平面
ABC D
,
∴
PD?BD
,从而
EF?BD
.
∴
BD?
平面
EOF
.
∴
?EOF
是二面角
E?BD?A
的平面角.
∵
PD?AB
,
EF?
………………（11分）
11
PD
,
OF?AB
,
22
………………（12分） ∴
EF?OF
.
∵
EF?OF
,
∴
?EOF?45?
.
∴二面角
E?BD?A
的大小为
45?
.
（17）（本题13分）理科
………………（13分）
依题意,以点
B
为原点建立空间直角坐标系（如图）,
设
AB?2
,可得
B(0,0,0)
,
A(2,0,0)
,
C(0,2 ,0)
,
A
1
(2,0,1)
,
C
1
( 0,2,1)
,
D(0,1,0)
. ………………（1 分）
…………（2 分）
z
（Ⅰ）证明∵
AD?(?2,1,0)
, AC
1
?(?2,2,1)
,
A
1
B?(?2,0, ?1)
.
设平面
ADC
1
的法向量为
n
?(x,y,z)
,
?
?
?2x?y?0,
?
n
?AD?0,
则有?
即
?

?2x?2y?z?0.
n
?AC?0. ?
?
1
?
B
1
C
1
E
A 1
B
D
C
y
令
x?1
,得
n
?(1,2,?2)
. ……（4 分）
∵
A
1
B?n
?(?2)?1?0?2?(?1)?(?2)?0
,
∴
A
1
B?
n
. ………………（5分）
A x
∵
A
1
B?
平面
ADC
1
,
∴
A
1
B
平面
ADC
1
. ………………（6 分）
（Ⅱ）解易知平面
ADC
的一个法向量
m
?(0,0,1)
,
由（ Ⅰ）可知平面
ADC
1
的法向量
n
?(1,2,?2)
,
∴
cos?
m
,
n
??
m?n?22
?? ?
.
m?n1?33
………………（8 分）
∵二面角
C?AD?C
1
是锐二面角,

∴二面角
C?AD?C
1
的余弦值为
2
.
3

………………（9 分）
………………（10分）（Ⅲ）解 ∵
E(1,0,1)
,
AE?(?1,0,1)
,
DC 1
?(0,1,1)
,
AE?DC
1
AE?DC
1
11
?
.
2?2
2
∴
cos?AE,DC
1
???
………………（12分）
∴
AE
与
DC
1
所成的角为
60?
.
（18）（本题13分）
（Ⅰ）证明∵
a
n?1
?a
n
?6a
n?1
?9?0
,
∴
a
n?1
( a
n
?3)?3(a
n?1
?3)?0
.
………………（13分）
∴
a
n?1
(a
n
?3)?3( a
n?1
?3)
.
由
a
1
?3? 0
,可知
a
n
?3?0
,
∴
即
∵
a
n?1
111
.
???a
n
?33(a
n?1
?3)3a
n?1
?3
111
??
.
a
n
?3a
n?1
?33
11
?
,
a
1
?33
………………（2 分）

………………（4 分）
………………（5 分）
∴数列
{
1
11
}
是首项为,公差为的等差数列.
a
n
?3
33
111n
??(n?1)?
,
a
n
?3333
………………（6 分）
………………（7 分）
………………（9 分）
（Ⅱ）解由（Ⅰ）得

∴数列 {a
n
}
的通项公式
a
n
?
（Ⅲ）解 ∵
b
n
?
3(n?1)
.
n
a
n
3(n?1)1311
????3(?)
,…………（11分）
22
nn(n?1)nn?1
(n?1)(n?1)
∴
T
n
?b
1
?b
2
?b
3
???b
n

1111111
?3[(1?)?(?)?(?)???(?)]

22334nn?1
?3(1?
（19）（本题14分）
（Ⅰ）解∵
AB?AF
1
?BF
1
?8
,即
AF
1
?AF
2
?BF
1
?BF
2
?8
,
而 AF
1
?AF
2
?BF
1
?BF
2
?2a
,
∴
4a?8
,即
a?2
.
∵
e?

………………（1 分）
………………（2 分）
13n
.
)?
n?1n?1
………………（13分）
c1
?
,
a2

………………（4 分）
………………（5 分）
∴
c?1
,则
b?a
2
?c
2
?3
.
x
2
y
2
∴椭圆
C
的方程为
??1
.
43

?
y?kx?m,
?
（Ⅱ）证明由?
x
2
y
2
得
(4k
2
?3)x 2
?8kmx?4m
2
?12?0
. ……………（6 分） ??1,
?
3
?
4
如图,设
P
点的坐标为(x
0
,y
0
)
,依题意
m?0
且
? ?0
, ………………（7 分）
即
??64k
2
m
2 ?4(4k
2
?3)(4m
2
?12)?0
,
整理得
4k
2
?3?m
2
. ………………（8 分）
4k
2
3
4km4k
此时
x0
??
2
,
y
0
?kx
0
?m??? m?
,
??
mm
m
4k?3
∴
P
点的坐标为
(?
4k3
,)
. ……（10分）
mm
P
y
A
F
1
?
y?kx?m,
由
?
解得
y??4k?m
.
x??4,
?
Q
x??4
O
F
2
x
B
∴
Q
点的坐标为
(?4,?4 k?m)
. ……（12分）
3
?0
3
?4k?m?0m?4k
m
,
k
QF
1
?
,
??
?? 4k
m?4k
?4?13
??1
m
由
F
1 (?1,0)
求得
k
PF
1
∴
k
PF
1
?k
QF
1
??1
.
∴直线
PF
1
垂直于直线
QF
1
.
（20）（本题14分）
（Ⅰ）解当
a?1
时,函数
f(x)?x
2
?3x?lnx
,
2x
2
?3x?1(2x?1)(x ?1)
则
f'(x)?
.
?
xx
………………（14分）
………………（1 分）
令
f'(x)?0
,得
x
1
?
1
,
x
2
?1
,
2
当
x
变化时,
f'(x),f(x)
的变化情况如下表
x

(0,
1
)

2
+
1

2
1
(,1)

2
-
↘
1

(1,??)

f'(x)

f(x)

0

极大
值
0

极小
值
+
↗ ↗
∴
f(x)
在
(0 ,
当
x?
11
)
和
(1,??)
上单调递增,在 (,1)
上单调递减. ……（2 分）
22
115
时,
f(x)
极大值
?f()???ln2
,
224
………………（4 分）当
x?1
时,
f(x)
极小值
?f(1)??2
. （Ⅱ）解依题意
ax
2
?(2a?1)x?lnx?2ax
2
?2(a?1)x
,
即
ax
2
?x?lnx?0
. 则
a?
lnx?x
.
2
x
………………（5 分）

1
(?1)x
2
?2x(lnx? x)
1?x?2lnx
lnx?x
x
令
r(x)?
,则. …（6 分）
r'(x)??
4
xx
3
x
2
当 0?x?1
时,
r'(x)?0
,故
r(x)
单调递增（如图）,
1
?1?
1
e
??e
2
?e?0
；且 r()?
1
e
e
2
1
y
y?a
1 O
y?r(x)
x
当
x?1
时,
r'(x)?0,故
r(x)
单调递减,且
lnx?x
?0
.
x
2
………………（8 分） ∴函数
r(x)
在
x?1 处取得最大值
r(x)
max
?r(1)?1
.
故要使y?
lnx?x
与
y?a
恰有两个不同的交点,只需
0?a?1
.
2
x
………………（9 分） ∴实数
a
的取值范围是
(0,1)
.
（Ⅲ）文科
解由
g(x)?e
x
?x?1
,得
g'(x)?e
x
? 1
,
由
g'(x)?0
,得
x?0
；由
g'(x )?0
,得
x?0
,
∴
g(x)
在
(??,0)
上是减函数,在
(0,??)
上是增函数.
故
g(x)
min
?g(0)?0
.
对于任意的
x
1
?(0,??)
,
x
2
?
R,不等式
f(x
1
)
≤
g(x
2
)
恒成立,
则有
f(x
1
)
≤
g(0)?0
恒成立.
即不等式
f(x)
≤
0
对于任意的
x?(0,??)
恒成立.
2ax
2
?(2a?1)x?1(2ax?1)(x?1)
,
f'(x)??
xx
⑴ 当
a?0
时,
f'(x)?
1?x
,
x
由
f'(x)?0
,得
0?x?1
；由
f'(x)?0
,得
x?1
,
∴
f(x)
在
(0,1)
上是增函数,在
(1,??)
上是减函数.
∵
f(x)
max
?f(1)??1?0
,
∴
a?0
符合题意.
⑵ 当
a?0
时,
f'(x)?
………………（11分）
(2ax?1)(x?1)
,
x
由
f'(x)?0
,得 0?x?1
；由
f'(x)?0
,得
x?1
,
∴ f(x)
在
(0,1)
上是增函数,在
(1,??)
上是减函数.
由
f(x)
max
?f(1)??a?1
≤
0
,解得
?1
≤
a?0
,
∴
?1
≤
a?0
符合题意.
综上所述,实数
a
的取值范围是
[?1,0]
.
（Ⅲ）理科
解由
g(x)?e
x
?x?1
,得
g '(x)?e
x
?1
,
………………（14分）
由
g'(x)?0
,得
x?0
；由
g'(x)?0
,得
x?0
,
∴
g(x)
在
(??,0)
上是减函数 ,在
(0,??)
上是增函数.
故
g(x)
min
?g(0)?0
.
对于任意的
x
1
?(0,??)
,
x
2
?
R,不等式
f(x
1
)
≤
g(x
2
)
恒成立,
则有
f(x
1
)
≤
g(0)?0
恒成立.
即不等式
f(x)
≤
0
对于任意的
x?(0,??)
恒成立.
2ax
2
?(2a?1)x?1(2ax?1)(x?1)
,
f'(x)??
xx
⑴ 当
a?0
时,
f'(x)?
1?x
,
x
由
f'(x)?0
,得
0?x?1
；由
f'(x)?0
,得
x?1
,
∴
f(x)
在
(0,1)
上是增函数,在
(1,??)
上是减函数.
∵
f(x)
max
?f(1)??1?0
,
∴
a?0
符合题意.
⑵ 当
a?0
时,
f'(x)?
………………（10分）
(2ax?1)(x?1)
,
x
由
f'(x)?0
,得 0?x?1
；由
f'(x)?0
,得
x?1
,
∴ f(x)
在
(0,1)
上是增函数,在
(1,??)
上是减函数.
由
f(x)
max
?f(1)??a?1
≤
0
,解得
?1
≤
a?0
,
∴
?1
≤
a?0
符合题意.
⑶ 当
a?0
时,
f'(x)?
① 当
0?a?
………………（12分）
(2ax?1)(x?1)1
,由
f'(x)?0
,得
x
1
?
,
x
2
?1
,
x2a
1
时,
x
1
?1
,
2
11
；由
f'(x)?0
,得
1?x?
, 2a2a
由
f'(x)?0
,得
0?x?1
或
x?∴
f(x)
在
(
1
,??)
上是增函数,与
f (x)
≤
0
对于任意
x?(0,??)
恒成立矛盾.
2a
(x?1)
2
1
②当
a?
时,
f'(x)?
≥
0
,
f(x)
在
(0,??)
上是增函数,
x
2
与
f(x)
≤
0
对于任意的
x?(0,??)
恒成立矛盾.
③ 当
a?
1
时,
0?x
1
?1
,
2
11
或
x?1
；由
f'(x)?0
,得
?x?1
,
2a2a
由
f'(x)?0
,得
0?x?
∴
f (x)
在
(1,??)
上是增函数,与
f(x)
≤
0
对于任意
x?(0,??)
恒成立矛盾.
综上所述,实数
a
的取值范围是
[?1,0]
. ………………（14分）

高考模拟数学试卷
（满分
150
分，考试时间
120
分钟，请将答案填写在答题卡上）

一、选择题（本大题共
12
小题，每小题
5
分，在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求。）

1
．已知集合
A?
?
?3,?2,?1, 0,1,2
?
，

B?xx?3
，则
A?B?
（

）

2
??
A.
?
?1,0,1
?
B.
?
0,2
?
C.
?
?3,?2,?1,0,1,2
?
D.
0,2

2
．复数
1?
A.
??
5
（
i
是虚数单位）的模等于（

）

2?i
5
D.
5

10
B.
10
C.
?
3
． ?
2
?
?
2
?
x?sinx
?
dx ?
（

）

A.
?
B.
?
-1 C. 0 D.
-
?

4
．已知
m
,
n
为两个非零向量，则
“
m
与
n
共线
”
是
“
m?n?m?n
”
的

A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件

C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

5
．如图
,
一个空间几何体的正视图
(
或称主视图
)
与侧视图（或称左视图）为全等的等边三角形，俯视图为 一个半径为
1
的圆，那么这个几何体的全面积为（

）

????
????

A.
?
B.
3
?
C.
2
?
D.
?
?3

?
x?y?0
?
6
．若
x,y?R
，且
?
x?1
，则
z?3x?y
的最小值为（ 
）

?
x?2y??3
?
A. 6 B. 2 C. 1 D.
不存在

7
．执行如图所示的程序框图，若输出的
S
的值为
2670
，则判断框中的条件可以为（

）

A.
i?5?
B.
i?6?
C.
i?7?
D.
i?8?

?
?
1
?
?
y?sinx?
8
．把函数 ??
图象上各点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移
6
?
23
?
个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（

）

A.
x??
?
2
B.
x??
?
4
C.
x?
?
8
D.
x?
?
4

9
．是中国人民解放军建军
90
周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币
.
如图所示是一枚
8
克圆形金质纪念币，直径
22mm
，面额
100
元
.
为了测算图中军旗部分的面积，现用
1
粒芝麻向硬币内投
掷
100
次，其中恰有
30
次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（

）

A.
726
?
363
? 363
?
363
?
mm
2
B.
mm
2
C.
mm
2
D.
mm
2

510520
10
．函数
f
? x
?
?
?
1?cosx
?
sinx
在
?
?
,
?
上的图象的大致形状是（

）

??
A. B.
C. D.
f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?
?
(3a? 1)x?4a,x?1
x?x
?0

成立，则
11
．已知函数
f(x)?
?
满足对任意的实数
12
都有
logx,x? 1
x?x
?
a
12
实数
a
的取值范围为

A. (0,1) B.
?
0,
?
C.
?
,1
?
D.
?
,
?

?
3
??
7
??
73
?
12
．已知函数
f
?
x
?
?{
?
1
??
1
??
11
?
3
x?1
,x?0
?x
2?2x?1,x?0
，若关于
x
的方程
f
2
?
x
?
?3f
?
x
?
?a?0
?
a?R?
有
8
个不等实
数根，则
a
的取值范围是
( )
A.
?
0,
?
B.
?
,3
?
C.
?
1,2
?
D.
?
2,
?

二、填空题（共
4
个小题，每小题
5
分共
20
分）

13
．已知正数
x 、
y
满足
?
?
1
?
4
?
?
1
?
3
?
?
?
?
9
?
4
?
81
??1
，则
x?2y
的最小值是

xy
r
rr
r
r
r
14
．已知
a ?(1,0),
b?(2,1),
c?(x,1),
满足条件
3a?b与c共线，
则实数
x=__________
．

15
．甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，回答如下．

甲说：丙没有考满分；乙说：是我考的；丙说：甲说的是真话．

事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是

．

16
．已知等差数列
{a
n
}
的前 n
项和为
S
n
＝
(a
＋
1)n
2 ＋
a
，某三角形三边之比为
a
2
∶a
3
∶a
4
，则该三角形的最
大角为
________
．

三、简答题（共六题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17
．
(
本小题满分
12
分
)
数列 {a
n
}
满足
a
1
＝
1
，
a
n
＋
1
＝
2a
n
(n∈N
*
)
，
S
n
为其前
n
项和．数列
{b
n
}
为等差数列，
且满足
b
1
＝
a
1
， b
4
＝
S
3
.
(1)
求数列
{a
n
}
，
{b
n
}
的通项公式；

111
(2)
设
c
n
＝
b
n
·log2
a
2n
＋
2
，数列
{c
n
}
的前
n
项和为
T
n
，证明：
3
≤T
n <
2
.

ur
18
．
(
本小题满分
12
分
)
?ABC
的内角
A,B ,C
所对的边分别为
a,b,c
，已知向量
m?cosA,3sinA
，
??
r
urr
n?
?
2cosA,?2cosA
?
，
m?n??1
.
（
1
）若
a?23
，
c?2
，求
?ABC
的面积；

b?2c
（
2
）求
?
?
?
的值

acos
?
?C
?
?
3
?

19
．
(
本小题满分
12
分
)
如图，四棱锥
P
－
ABCD
中，底面
ABCD
为矩形，侧面
PAD
为正三角形，且平面
PAD⊥平面ABCD
，
E
为
P D
中点，
AD
＝
2.

（Ⅰ）求证：平面
AEC⊥平面PCD.
2
（Ⅱ）若二面角
A
－
PC
－
E
的平面角大小
θ
满足
cos θ
＝
4
，求四棱锥
P
－
ABCD
的体积．

20
．
(
本小题满分
12
分
)
已知函数
f
?
x
?
?2cosx?2sin
?
x ?
2
?
?
3
?
?
?
3
?
?
?
cos
?
x?
?
?
.
2
?
3
?
2
?
（
1
）求函数
f
?x
?
的单调递减区间；

（
2
）将函数
f?
x
?
的图象向右平移
?
3
个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数
g
?
x
?
的图象，
3
2
求当
x?
?
0,

?
?
?
时，函数g
?
x
?
的值域
.
?
2
??
21
．
(
本小题满分
12
分
)
已知函数 f
（
x
）
=lnx
﹣
a
2
x
2
+ax
（
a∈R
）．

（
1
）当a=1
时，求函数
f
（
x
）的单调区间．

（
2
）若函数
f
（
x
）在区间（
1
，
+∞
）上是减函数，求实数
a
的取值范围．

选做题：请考生在第
22
，
23
题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题记分 .
22. (
本小题满分
10
分
)
选修
4
－
3
：

在极坐标系内，已知曲线
C 1
的方程为
?
2
?2
?
(cos
?
?2sin
?
)?4?0
，以极点为原点，极轴方向为
x
正半
轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线
C
2
的参数方程

?
5x?1?4t
为
?
（
t
为参数）
.
?
5y?18?3t
（
1
）求曲线
C
1
的直角坐标方程以及曲线
C
2
的普通方程；

（
2
）设点
P
为曲线
C
2
上的动点，过点
P
作曲线
C
1
的切线，求这条切线长的最小值
.

23
．
(
本小题满分
10
分
)
选修
4
－
5：不等式选讲

已知
f(x)?m?|x?2|
，且不等式
f( x?2)?0
解集为
[?1,1]
.

（
1
）求正实数
m
的大小；

（ 2
）已知
a,b,c?R
，且
111
???m
，求 a?2b?3c
的最小值

a2b3c
5=60
分）

一，选择题（
12×
1
A
2
A
3
C
4
D
5
B
6
B
7
B
8
A
9
B
10
A
11
D
12
D
5=20
分）

二，填空题（
4×
13
、
18 14
、
-1 15
、

甲
16
、

二，简答题（共
70
分）

17.
（
12
分）

n
－
1
n
当
n≥2
时，
T
n
－
T
n－
1
＝
2n
＋
1
－
2n
－
1
＝
1
2n
＋
12n
－
1
>0
， 

1
∴数列{T
n
}
是一个递增数列，∴
T
n
≥T
1
＝
3
.
11
综上所述，
3
≤T
n
<
2
.

18.
（
12
分）解：（
1
）解：（1
）∵
m?n?2cos
2
A?23sinAcosA?
1?c os2A?3sin2A??1

∴
sin
?
2A?
urr
?
?
?
?
?
?1
∵
0?A?
? ∴
A?

6
?
3
2
?
由
a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA
得，
1 2?b?4?2b?2?cos
∴
b?4
∴
S?
?
3

1
bcsinA?23

2
sin
?
A?C ?
?2sinC
b?2csinB?2sinC
?
?
（
2
）
?
?
??
?
?
3
?
??

acos
?
?C
?
sinAcos
??C
?
cos
?
?C
?
?
3
??3
?
2
?
3
?
?
1
?
3?
?
3
?
cosC?sinC
?
2cos
? ?C
??
22
?
3
?
?2
??
 ??
?
??
3
?
?
?
cos
??C
?
cos
?
?C
?
?
3
?
2
?
3
?
19.
【
12
分】解
(Ⅰ
)
取
AD
中点为
O
，
BC
中点为 F
，

由侧面
PAD
为正三角形，且平面
PAD⊥平面
ABCD
知
PO
⊥平面
ABCD
，故
F O
⊥
PO
，

又
FO
⊥
AD
，则
FO
⊥平面
PAD
，所以
FO
⊥
AE
， 
又
CD
∥
FO
，则
CD
⊥
AE ，又
E
是
PD
中点，则
AE
⊥
PD
，

由线面垂直的判定定理知
AE
⊥平面
PCD
，

又
AE
?平面
AEC
，故平面
AEC
⊥平面
PCD.

(
Ⅱ
)
如图所示，建立空间直角坐标系
O －
xyz
，

令
AB
＝
a
，则P(0
，
0
，
3)
，
A(1
，
0，
0)
，
C(
－
1
，
a
，
0 )
．

3
?
→
?
3
由
(
Ⅰ
)
知
EA
＝
?
2
，
0
，－2
?
为平面
PCE
的法向量，

令
n
＝
(1
，
y
，
z)
为平面
PAC
的法向量，

→→
由于
PA
＝
(1
，
0
，－
3)
，
CA
＝
(2
，－
a
，
0 )
均与
n
垂直，

?
y
＝
a
，
?
1
－
3z
＝
0
，

故
?
→
即
?
解得
?
3
2ay0
－＝，
?
?
CA
＝
0
，
?
n·
?
z
＝
3
，
→
?
PA
＝
0
，
?
n·
1
→
2
故
n
＝
?
23
?
1
，
a
，
3
?
?
?，由
cos θ
＝
?
EA·n
?
?
?
|
EA
→
|
?
?
?
·
|
n
|
?
44
?
?
2
?
＝
?
?3·
3
＋
a
2
?
?
＝
4
，解得
a
＝
3.(
故四棱锥
P
－
ABCD
的体积
V
＝
1
3
S
ABCD
·PO
＝
1
3
·2·3·3
＝
2.
20.
（
12
分）

解：依题意，
f
? x
?
?2cos
2
x?2sin
?
?
x? 3
?
?
?
?
?
3
?
2
? cos
?
?
?
x?
3
?
?
?
2

?cos2x?2cosx
?
?
1
?
cos x?
3
sinx
?
?
1
?
2
1
?
22
?
?
?
2
cos2x?cosx?3sinxcosx ?
2

?cos2x?
1?cos2x31
33
?
?
2
?
2
sin2x?
2
?
2
cos2x ?
2
sin2x?3sin
?
?
?
2x?
3
?
?
.
（
1
）令
?
?2k
?
?2x?
?
3
?
2
?2k
?
?
k?Z?
，解得
?
12
?k
?
?x?
7
? 23
?
12
?k
?
?
k?Z
?
， 
即函数
f
?
x
?
的单调递减区间为
??
?
?
12
?k
?
,
7
?
?
12
?k
?
?
?
?
k?Z
?
.
（
2
）将函数
f
?
x
?
的图象向右平移 ?
3
个单位长度，得到函数
y?3sin
?
?
??
?
2x?
3
?
?
的图象，

再将其向上平移
3
?
?
3
2
个单位长度，得到
g
?
x
?
?3sin
?
?
?
2x?
3
?
?
?
2
的图象
.
因为
x?
?
?
?
?
?
?
?
2
?
?
?
?
?
3
?
?
0,
2
?
?
，所以
2x?
3
?
?
?
?
?
3
,
3
?
?
，所以
sin
?
?
2x?
3?
?
?
?
?,1
?
2
?
?
g
?
x
?
?
?
?
3?3
,
33?
?
22
?
，即函数
gx
?
3?3
,
33
?
?
??
的值域为
?
?
22
?
?

21.
（
12
分）

解：（
1
）当
a=1
时，
f
（
x
）
=lnx ﹣
x
2
+x
，其定义域是（
0
，
+∞
），

∴
令
f′
（
x
）
=0
，即，解得或
x=1
．

∵x
＞
0
，∴舍去．

当
0
＜
x
＜
1
时，
f′
（
x
）＞
0
；当 x
＞
1
时，
f′
（
x
）＜
0
．

∴函数f
（
x
）在区间（
0
，
1 ）上单调递增，在区间（
1
，
+∞
）上单调递减，

即单调递增区间为（
0
，
1
），单调递减区间为（
1
，+∞
）．

当
x=1
时，函数
f
（
x
）取得最大值，其值为
f
（
1
）
=ln1
﹣
1
2
+1=0
．

（
2
）法一：∵
f （
x
）
=lnx
﹣
a
2
x
2
+ax
其定义域为（
0
，
+∞
），

所以，

∴
①当a=0
时，，

∴ f
（
x
）在区间（
0
，
+∞
）上为增函数，不合题意

②当a
＞
0
时，
f'
（
x
）＜
0
（
x
＞
0
）等价于（
2ax+1
）（
ax
﹣
1
）＞
0
（
x
＞
0
），即
此时
f
（
x
）的单调递减区间为．

．

依题意，得解之得
a≥1
．

③当a
＜
0
时，
f'
（
x
）＜
0
（
x ＞
0
）等价于（
2ax+1
）（
ax
﹣
1 ）＞
0
（
x
＞
0
），即
?
此时
f
（
x
）的单调递减区间为，∴得

综上，实数
a
的取值范围是
法二：∵
f
（
x
）
=l nx
﹣
a
2
x
2
+ax
，
x∈（0
，
+∞
）∴

由
f
（
x
）在区间（
1
，
+∞
）上是减函数，可得﹣
2a
2
x 2
+ax+1≤0
在区间（
1
，
+∞
）上恒成立． 
①当a=0
时，
1≤0
不合题意

②当a≠0
时，可得即

∴ ∴
选做题（
22
，
23
题）

22.(10
分
)
解（
1
）对于曲线
C
1
的方程为
? 2
?2
?
(cos
?
?2sin
?
)?4? 0
，

22
可化为直角坐标方程
x?y?2x?4y?4?0
，即
(x?1)?(y?2)?1
；

22
对于曲线
C 2
的参数方程为
?
?
5x?1?4t
（
t
为参数），

5y?18?3t
?
可化为普通方程
3x?4y?15?0
.
（
2
）过圆心
(1,?2)
点作直线
3x?4y?15?0
的垂线，此时切线长最小，

则由点到直线的距离公式可知，
d?
| 3?1?4?(?2)?15|
3?4
22
?4
，

则切线长
?16?1?15
.

23.
（
10
分
)
解（
1
）因为
f(x＋2)＝m－x?0
，所以
x?m.
.

所以
m?0，－m?x?m，
又
f(x＋2)?0
的解集是
[?1, 1]
，故
m＝1
.
（
2
）由
(1)知
111
??=1
，
a，b，c?R
?
，由柯西不等式得

a2b3c
111
a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)(??)?(1 ＋1＋1)
2
＝9.

a2b3c
∴
a＋2b＋3c
的最小值为
9

高考模拟数学试卷
本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4 页，选择题部分1至2页，非选择题部分2至4页．满
分150分，考试时间120分钟．
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．
（命题老师：周浙柳审题老师：徐芳芳命题时间：）
选择题部分（共50分）
参考公式：
柱体的体积公式：
V?Sh

锥体的体积公式：
V?Sh

1
3

其中
S
表示柱体的底面积，
h
表示柱体的高
其中
S
表示锥体的底面积，
h
表示锥体的高
台体的体积公式：
V?
1
h(S
1
?S
1
S
2
?S
2
)
其中S
1
、S
2
分别表示台体的上、下底面积，
h
表示台体的高
3

球的表面积公式：
S?4
?
R
2
球的体积公式：
V?
4
?
R
3
其中
R
表示球的半径
3
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.
1．若“
0? x?1
”是“
(x?a)[x?(a?2)]?0
”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（）
A．
(??,0]U[1,??)
B．
(?1,0)

C．
[?1,0]
D．
(??,?1)U(0,??)

?
x?y?0,
?
2．若整数x，y满足不等式组
?
2x?y?10?0,
则2x＋y的最大值是（）
?
?
3x?y?53?0,
A．11 B．23 C．26 D．30
3．下列命题中错误的是（）
．．
A. 如果平面
?
?
平面
?
，平面
?
?
平面
?
，
?
?
?
?l
，那么 l?
?

B. 如果平面
?
?
平面
?
，那么平面
?
内一定存在直线平行于平面
?

C. 如果平面?
不垂直于平面
?
，那么平面
?
内一定不存在直线垂直于平面 ?

D. 如果平面
?
?
平面
?
，过
?
内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于
?

4．已知函数
f(x)?sin
?
x?3cos
?
x(
?
?0)
的图象与
x
轴的两个相邻交点的距离等于
?
，若将函数
2
y?f(x)
的图象向左平移
A．
(

?
个单位得到函数 y?g(x)
的图象，则
y?g(x)
是减函数的区间为（）
6
??
,)
B．
(?,)
C．
(0,)
D．
(?,0)
43443
3

??
?
?

5．在平面斜坐标系
xoy
中
?xoy?45
，点
P
的斜坐标定义为：“若
OP?x
0
e
1
?y
0e
2
（其中
e
1
,e
2
分别
为与斜坐标系的
x
轴，
y
轴同方向的单位向量），则点
P
的坐标为 (x
0
,y
0
)
”．若
F
1
(?1 ,0),F
2
(1,0),
且
0
uuuruuur
MF?M F
动点
M(x,y)
满足
12
，则点
M
在斜坐标系中的轨迹方程为（）
A．
x?2y?0
B．
x?2y?0
C．
2x?y?0
D．
2x?y?0

6．身高从矮到高的甲、乙、丙、丁、戊5人排成高矮相间的一个队形，则甲丁不相邻的不同的排法共有
（）
A．12 7．数列
?
a
n
?
满足
a
1
? A．1
B．14 C．16 D．18
111
4
2*
??L?
，
a
n?1?a
n
?a
n
?1(n?N)
，则
m?
的整数部分是（）
a
1
a
2
a
2013
3
B．2 C．3 D．4
uuuruuur
8．在△ABC中，已知
AB?AC? 9,sinB?cosA?sinC,S
?ABC
?6
，P为线段AB上的点，且
uuuruuur
uuur
CACB
ur
?y?
uuur ,则xy
的最大值为（）
CP?x?
uu
|CA||CB|
A．1 B．2 C．3
非选择题部分（共100分）
二、填空题：本大题共7小题，9-12每小题6分，13-15每小题4分，共36分．
9．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥体积是
▲ ，四个面的面积中最大的是 ▲ ．
10．已知实数
a，b，c
满足
a?b?2c
，则直线 3
正（主）视图
12
俯视图
2
1
侧（左）视图
D．4
l: ax－by?c?0
恒过定点 ▲ ，该直线被圆
x
2
?y
2
?9
所截得弦长的取值范围为 ▲
11．已知向量
a?(sin
?
?cos
?
，1),b?( 1,?2cos
?
),a?b?
rrrr
1
?
,
?
?(0,).
，
sin
?
= ▲ 、
cos
?
=
52
▲ ，设函数
f(x)?5c os(2x?
?
)?cos2x(x?
R），
f(x)
取得最大值时的x的值是 ▲ .

12．复数
1?ai
（
a?R,i
为虚数单位）为纯虚数,则复数
z?a?i
的模为 ▲ ．已知
2?i
1
(1?x?x
2
)(x?
3
)n
(n?N
?
)
的展开式中没有常数项,且
2?n?8
，则
n?
▲ .
x
11
?
x?1?x?2?1
的图像绕原点顺时针方向旋转角
?
得到曲线
C
.若对于每一
（0?
?
?）
22
2
13．将函数
y?
个旋转角
?
，曲线
C
都是一个函数的图像，则
?
的取值范围是 ▲ ．
14．已知数列
?
a
n
?
满足：a
1
?
1
2
,a
n?1
?a
n
?a
n
，用[x]表示不超过x的最大整数，则
2
?
111
?
??L?
??
的值等于 ▲ ．
a?1a?1a?1 22012
?
1
?
15．三棱锥
O?ABC
中，OA,OB,OC
两两垂直且相等，点
P
，
Q
分别是
B C
和
OA
上的动点，且满足
1212
BC?BP?BC
， OA?OQ?OA
，则
PQ
和
OB
所成角余弦值的取值范围是 ▲ ．
3333
三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本题满分14分）已知函数
f(x)?sin
xxx
cos?3cos
2
.

333
(Ⅰ)求函数
f(x)
图象对称中心的坐标；
2
( Ⅱ)如果
ΔABC
的三边
a,b,c
满足
b=ac
，且边 b
所对的角为
B
，求
f(B)
的取值范围。

17．（本题满分15分）如图，已知平面
ABC
?
平面
BCDE
，
?DEF
与
?ABC
分别是棱长为1与2的正三角形， AC

DF
，四边形
BCDE
为直角梯形，
DE

BC
，
点
G
为
?ABC
的重心，
N为
AB
中
BC?CD,CD?1
，点，
uuuuruuurAM?
?
AF(
?
?R,
?
?0)
，
（Ⅰ）当
?
?
2
时，求证：
GM
平面
DFN
3
（Ⅱ）若直线
MN
与
CD
所成角为

?
，试求二面角
M?BC?D
的余弦值。
3
x
2
y
2
??1
交于
C
，
D
两点， 18．（本题满分15分）设直线
l
与抛物线
x?2y
交于
A,B 两点，与椭圆
43
2
直线
OA,OB,OC,OD
（
O
为坐标原点）的斜率分别为
k
1
,k
2
,k
3 ,k
4
，若
OA?OB
.
（1）是否存在实数
t ，满足
k
1
?k
2
?t(k
3
?k
4
)
，并说明理由；
（2）求
?OCD
面积的最大值.

x
3
?x
2
?2ax
?
a?R
?
19．（本题满分15分）已知函数
f
?
x
?
?ln
?2ax?1
?
?
3
（Ⅰ）若
x?2
为
f
?
x
?
的极值点，求实数
a
的值；
（Ⅱ）若
y ?f
?
x
?
在
?
3,??
?
上为增函数，求实数
a
的取值范围；
?
1?x
?
?
b
有实根，求实数
b
的最大值.
1
（III）当
a??
时，方程
f
?
1?x
?
?
3x
2
3

22?
20．（本题满分15分）已知数列
?
a
n
?
，
a
n
?0
，
a
1?0
，
a
n?1
?a
n?1
?1?a
n
(n?N)
．记
S
n
?a
1
?a
2
?? ?a
n
．
T
n
?
求证：当
n?N
?
时
（Ⅰ）
0?a
n
?a
n?1
?1
；
（Ⅱ）
S
n
?n?2
；
（Ⅲ）
T
n
?3

111
??L?

1?a
1
(1?a
1
) (1?a
2
)(1?a
1
)(1?a
2
)L(1?a
n
)

数学试卷
参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
题号
答案
1
C
2
B
3
D
4
A
5
D
6
B
7
B
8
C
二、填空题（本大题共7小题，9-12每小题6分，13-15每小题4分，共36分）
3
9．1，
2
5
10．
?
?
?
11
?
?
,
?
；
?
34,6
?

?
22
??
11．
43
?
,

k
?
?,k?
.
558
12．
5
5
16
15．
[,]

33
13．[0，
?
4

）
14．1
三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16 ．解：（Ⅰ）
f(x)?
1
sin
2x
?
3
(1? cos
2x
)?
1
sin
2x
?
3
cos
2x
?
3
?sin(
2x
?
?
)?
3

232323232332
由
sin(
2x
π3k1
2x
?
π,k∈Z

?)
=0即
+=k π(k∈z)得x=
332
33
3k-1
π,0),k∈Z
2
即对称中心为
(
2
a
2
+c
2
-b
2
a
2
+c
2
-ac2ac- ac1
=
≥
=
（Ⅱ）由已知b=ac，
cosB=
2ac 2ac2ac2
1
ππ
2B
π5π
∴
≤cos
B<
1
，
0
≤
，<+
≤
233339
ππ5πππ
2B
π
2B
π
3
?|-|>| -|∴sin3292333332
即
f(B)
的范围是
(3,1?
17.（本题满分15分）
解：（Ⅰ）连
AG
延长交
BC
于
P
，
因为点
G
为
?ABC
的重心，所以
3
]
。
2

AG2
?

AP3
uuuur
2
uuu r
AGAM2
??
，所以
GM

PF
；又
AM?AF
，所以
3APAF3
因为
AC

DF
， DE

BC
，所以平面
ABC
平面
DEF
，
又
?DEF
与
?ABC
分别是棱长为1与2的正三角形，

N
为
AB
中点，
P
为
BC
中点,
NP

AC
,又
AC

DF
，
所以
NP

DF
，得
P,D,F,N
四点共面
?GM
平面
DFN

（Ⅱ）平面
ABC
?
平面
BCDE
，易得平面
DEF?
平面
BCDE
，
以
P
为原点，
PC
为x轴，
PE
为y轴，
PA 为z轴建立空间直角坐标系，
则
C(1,0,0),D(1,1,0),A(0,0, 3),F(,1,
1
2
313
),B(?1,0,0),N(?,0,)，设
M(x,y,z)
，
222
uuuur
uuuuruuu ruuur
?
3
?
?13
?
)
，
NM?( ,
?
,(1?
?
))
，
CD?(0,1,0)
 QAM?
?
AF,
?M(,
?
,3?
2222

uuuuruuur
NM?CD
?
?
1
o
因为
MN
与
CD
所成角为，所以
cos60?
uuuu
?
，
ruuur
?
3
2
?
?1
2
3
NM?CD
22
()?
?
?(1?
?
)
24
1133
1
)
，，
?M(,,
424
2 ruuur
rr
?
?
n?BC?0
设平面
MBC的法向量
n?(a,b,c)
，则
?
ruuuu
，取
n ?(0,33,?2)
，
r
?
?
n?BM?0
rr
n?v
231
r
面
BCD
的法向量
v?(0,0,1) ，所以二面角
M?BC?D
的余弦值
cos
?
?
rr
?
。
31
n?v
得
2
?
2
? ?
?1?0
，
?
?
?
18．（本小题满分15分）
解：设直线
l
方程为
y?kx?b
，
A(x
1,y
1
)
，
B(x
2
,y
2
)
，
C(x
3
,y
3
)
，
D(x
4
,y
4
)
.
联立
y?kx?b
和
x?2y
，
得
x
2
?2kx?2b?0
，
则
x
1 ?x
2
?2k
，
x
1
x
2
?2b ，
??4k
2
?8b?0
.
由
OA?OB
，所以
x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
，得
b?2
.
联立
y?kx?2
和
3x?4y?12
，得
22
2
(3?4k
2
)x
2
?16kx?4?0
，
16k4
，.
xx??
34
3?4k
2
3?4k
2
1
2
由
?
2
?192k?48?0
，得
k
2
?
.
4
所以
x
3
?x4
??
（1）因为
k
1
?k
2
?
y y
1
y
2
y
??k
，
k
3
?k
4
?
3
?
4
??6k

x
1
x
2
x
3
x
4

所以
k1
?k
2
1
??
.
k
3
?k
4
6
2
（2）根据弦长公式
CD?1?k
2
x
3
?x
4
，得：
4k
2
?1
，
CD?4 3?1?k?
2
3?4k
根据点
O
到直线
CD
的距离公式，得
d?
2
1?k
2
，
所以
S
?OCD
14k
2
?1
，
?CD?d?43?
2
23?4k
43t
?3
，
t
2
?4
2
设
4k?1?t?0
，则
S
? OCD
?
所以当
t?2
，即
k??
5
时，
S
?OCD
有最大值
3
.
5
2ax2ax
2?
?
1?4a
?
x?4a
2
?2
2
? x?2x?2a?
19．解：（I）
f
?
?
x
?
?

2ax?12ax?1
因为
x?2
为
f
?
x
?
的极值点，所以
f
?
?
2
?
?0 ，即
?
??
?
2a
?2a?0
，解得
a?0
。……4分
4a?1
（II）因为函数
f
?
x
?
在
?
3,??
?
上为增函数，所以
x2ax
2 ?
?
1?4a
?
x?4a
2
?2
f
?
?
x
?
??0
在
?
3,??
?
上恒成立。………6 分
2ax?1
?当
a?0
时，
f
?
?
x
?
?x
?
x?2
?
?0
在 ?
3,??
?
上恒成立，所以
f
?
x
?在
?
3,??
?
上为增函数，故
a?0
符
合题意。 … ……7分
?当
a?0
时，由函数
f
?
x
?
的定义域可知，必须有
2ax?1?0
对
x?3
恒成立，故只能a?0
，所以
?
??
?
2ax
2
?
?
1?4a
?
x?4a
2
?2?0
在
?
3, ??
?
上恒成立。 ………8分
令函数
g
?
x
?
?2ax?
?
1?4a
?
x?4a?2
，其对称轴为x?1?
22
??
??
11
，因为
a?0
，所以
1??1
，要
4a4a
2
使
g
?
x?
?0
在
?
3,??
?
上恒成立，只要
g?
3
?
?0
即可，即
g
?
3
?
??4a?6a?1?0
，所以
3?133?133?13
?a?
。因为 a?0
，所以
0?a?
。
444
综上所述，a的取值范围为
?
0,
?
3?13
?
?
。 ………10分
4
??
3
?
1?x
?
?
b
可化为
lnx?
?
1?x
?
2
?
?
1?x
?
?
b
。
1
（Ⅲ）当
a??
时，方程
f
?
1?x
?
?
3x
2
x

23
问题转化为
b?xlnx?x
?
1?x
?
?x
?
1?x
?
?xlnx?x?x
在
?
0,? ?
?
上有解，即求函数
2
g
?
x
?
?xl nx?x
2
?x
3
的值域。
因为函数
g
?
x
?
?xlnx?x?x
，令函数
h
?
x
??lnx?x?x
?
x?0
?
，………12分
232
则
h
?
?
x
?
?
?
2x?1
??
1?x
?
，
1
?1?2x?
xx
所以当
0?x?1
时，
h
?
?
x
?
?0
，从而函数
h
?
x
?
在
?
0,1
?
上为增函数，
当
x?1
时，
h
?
?
x
?
?0
，从而函数
h
?
x
?
在
?
1,??
?
上为减函数，
因此
h
?
x
?
?h?
1
?
?0
。
而
x?0
，所以
b? x?h
?
x
?
?0
，因此当
x?1
时，b取得最大值0. ………15分20．证明：因
22
a
n?1
?a n?1
?1?a
n
(1)
22
a
n
?an
?1?a
n?1
(2)(n?2)
22
（1）（-2）得(a
n?1
?a
n
)(a
n?1
?a
n
?1) ?a
n
?a
n

?1
为
（1）（-2）得an?1
?a
n
与a
n
?a
n?1
同号，即与 a
2
?a
1
一致.因为
a
2
?
所以
?1?5
，且
a
2
?a
1
?0
，
2
?a
n?1
?a
n
?0

2222?a
n
?a
n?1
?a
n?1
?1?a
n，
?1
?a
n
?1?a
n?1
?0
即
a
n?1
?1

根据①和②，可知
0?a
n
?a
n?1
?1
对任何
n?N
都成立．
22
（Ⅱ）证明：由
a
k?1
?a
k?1
?1?a
k
，
k
*
?1，2，L，n?1
（
n≥2
），
22
得
a
n
?(a
2
?a
3
?L?a
n
)?(n?1)?a
1
．
2
因为 a
1
?0
，所以
S
n
?n?1?a
n
．
?
a
n
?1
，
所以
S
n
?n?2
． …………10分
22
（Ⅲ）证明：由
a
k?1
?a
k?1
?1?a
k
≥2a
k
，得
a
1
≤
k?1
(k?2，3，L，n?1，n≥3)
1?a
k?1
2a
k
所以
a
1
≤
n? 2
n
(a≥3)
，
(1?a
3
)(1?a
4)L(1?a
n
)2a
2
a
n
a
11
≤
n?22
?
n
n
?(n≥3)
，
(1?a2
)(1?a
3
)L(1?a
n
)2(a
2
? a
2
)2
?2
2
n?2
于是

故当 n≥3
时，
T
n
?1?1?
又因为
T
1?T
2
?T
3
，
11
?L?
n?2
?3
，
22
所以
T
n
?3
． …………15分

高考模拟数学试卷
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．已知
i
为虚数单位，若复数
z
满足
5
?z?i
，则
z?
（）
1?2i
A．
1?i
B．
?1?i
C．
1?2i
D．
1?2i

2．已知集合
A?yy?
?
x
2
?1
，
B?xy?ln
?
x?2x
2
?
，则
?
R
?
AIB
??
（）
?
1
?
2
?
?
? 1
?
2
?
?
?
?
1
?
2 ?
?
??
A．
?
0,
?
B．
?
??,0
?
U
?
,??
?
C．
?
??,0
?
U
?
,??
?
D．
?
0,
?

3．将棱长相等的正方体按下图所示的形状摆放，从上往下依次为第1层，第2层，第3层，…，则第2018
层正方体的个数共有（）
A．2018 B．4028 C．1 D．0
?
1
?
?
2
?

4．已知
sin
?
A．
2
?
?
?
，那么
cos2
?
?3sin2
?
?
（）
?
?
?
?
?
6
?
3
101055
B．
?
C．
?
D．
9999 5．元代数学家朱世杰的数学名著《算术启蒙》是中国古代代数学的通论，其中关于“松竹并生”的问题：
松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.下图是源于其思想的一个程序图，若a?32
，
b?12
，则输出的
n?
（）

A． 3 B．4 C．5 D．6
m
x
?2018tanx?x
2
?
m?0,m?1
?
，若
f
?
1
?
?3
，则
f?
?1
?
等于（） 6．已知函数
f
?
x?
?
x
m?1
A．-3 B．-1 C．3 D．0
2
7．设抛物线
y?4x
上一点
P
到
y
轴的距离为
d
1
，到直线
l:3x?4y? 12?0
的距离为
d
2
，则
d
1
?d
2 的
最小值为（）
A．2 B．
1516
C． D．3
33
?
?
8．已知函数
f
?
x
?
?2cos
?
3x?
?
?
?3?
?
?
方，则
?
的取值范围是（）
?
??
??
?
?
，若
?x?
?
?,
?，
f
?
x
?
的图象恒在直线
y?3
的上
2
??
612
?
A．
?
?
??
????
??
?
??
??
?
,
?
B．
?
,
?
C．
?
0,
?
D．
?
?,
?

?
122
??
63
??
4
??
63
?
9．岳阳高铁站
B
1
进站口有3个闸机检票通道口，高考完后某班3个同学从该检票进站到外地旅游，如果
同一个人进的闸机检票通道口选法不同，或几个人进同一个闸机检票通道口但次序不同，都视为不同的进
站方式，那么这3 个同学的不同进站方式有（）种。
A．24 B．36 C．42 D．60
uuruuuruuurr
10．设点
O在
?ABC
的外部，且
2OA?3OB?5OC?0
，则
S?ABC
:S
?OBC
?
（）
A．
2:1
B．
3:1
C．
3:2
D．
4:1

x
2
y
2
11．已知双曲线
C:
2
?
2
?1
?
a?0,b?0
?
的左右焦点分别为
F
1
,F
2 ，
P
为双曲线
C
上一点，
Q
为双曲
abuuuruuuruuuruuur
线
C
渐近线上一点，且
2QP?PF
2
，则双曲线
C
的离心率为（）
P,Q
均位于第一象限，
QF
1
?QF
2
?0
，
A．
3? 1
B．
3?1
C．
13?2
D．
13?2

12．如图所示，在长方体
ABCD?A1
B
1
C
1
D
1
中，
AB?11，
AD?7
，
AA
1
?12
，一质点从顶点
A
射向
点
E
?
4,3,12
?
，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将第
i?1
次到第
i
次反射点之间的线段记为L
i
?
i?2,3,4
?
，
L
1
?A E
，将线段
L
1
,L
2
,L
3
,L
4
竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（）

A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．
?
x? 3
?
?
3
?
1
?
?1
?
展开式中的常数项为．（用数字填写答案）
x
??
14．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的
x
的值是．

15．某班有三个小组，甲、乙、丙三人分属不同的小组.某次数学考试成绩公布情况如下：乙和三人中的
第3小组那位不一样，丙比三人中第1小组的那位的成绩低，三人中第3小组的那位比甲分数高.将甲、
乙、丙三人按数学成绩由高到低排列为．
16．在
?ABC
中，角
A、B、C
所对应的边分别为
a、b、c
，若bc?1
，
b?2ccosA?0
，则当角
B
取
得最大值时，三角形的内切圆的半径
r
为．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．已知数列 ?
a
n
?
的首项
a
1
?1
，其前 n
项和为
S
n
，且对任意正整数
n
，有
n, a
n
,S
n
成等差数列.
（1）求证：数列
?
S
n
?n?2
?
成等比数列；
（2）设
b
n
?na
n
，求数列
?
bn
?
前
n
项和
T
n
.
18．如图，四棱锥
S?ABCD
的底面是平行四边形，
DA?DS
，
BA?B S
.

（1）求异面直线
SA
与
BD
所成的角；
（2）若
DA?DS
，
?ABS?60?
，
BA?BS?BD
，求二面角
D?SC?B
的余弦值.

19．随着电商的快速发展，快递业突飞猛进，到目前，中国拥有世界上最大的快递市场.某快递公司收取
快递费用的标准是：重量不超过
1kg
的包裹收费10元；重量超过
1kg
的包裹，除
1kg收费10元之外，每
超过
1kg
（不足
1kg
，按
1k g
计算）需再收5元.
该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如下：
包裹重量（单位：
kg
）
包裹件数
1
43
2
30
3
15
4
8
5
4
公司对近60天，每天揽件数量统计如下表：
包裹件数范围
包裹件数（近似处理）
天数
0~100
50
6
101~200
150
6
201~300
250
30
301~400
350
12
401~500
450
6
以上数据已做近似处理，并将频率视为概率.
（1）计算该公司未来5天内恰有2天揽件数在101~300之间的概率；
（2）①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；
②根据以往的经验，公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费用.
目前前台有工作人员3人，每人每件揽件不超过150件，日工资100元.公司正在考虑是否将前台工作人
员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，若你是公司老总，是否进行裁减工作人员1人？
x
2
2
2
20．已知椭圆
C:
2
?y? 1
?
a?1
?
的离心率为，
A,B
是椭圆
C
上的两个不同点.
2
a
（1）若
OA?OB
，且点
A, B
所在的直线方程为
y?x?m
?
m?0
?
，求
m
的值；
（2）若直线
OA,OB
的斜率之积为
?
OM2
1
，线段
OA
上有一点
M
满足连接
BM并延长交椭圆
C
?
，
2
OA3
于点
M
，试问：
BM
是否为定值？若是，求出该定值，否则说明理由.
BN
a
2
x?x?a
?
a?R
?
.
2
21．已知函数
f
?
x
?
?xlnx
，
h
?
x
?
?
（1）若直线
x?t
?t?0
?
与曲线
y?f
?
x
?
和
y? h
?
x
?
分别交于
A,B
两点直线，且曲线
y?f
?
x
?
在
A
处

的切线与
y ?h
?
x
?
在
B
处的切线相互平行，求正数
a的最大值；
（2）若
g
?
x
?
?
f
?
x
?
1
2
?ax?a?
?
x?1
?有三个不同的零点，求
a
的取值范围.
x2
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系
xOy
中，
l
是过定点
P
?
4,2
?
且倾斜角为
?
的直线；在极坐标系（以坐标原点
O
为极点，以
x
轴非负半轴为极轴，取相同单位长度）中，曲线
C
的极坐标方程为
?
?4cos
?
. （1）写出直线
l
的参数方程，并将曲线
C
的方程化为直角坐标方程；
（2）若曲线
C
与直线
l
相交于不同的两点
M、N
，求
PM?PN
的取值范围.
23．选修4-5：不等式选讲
设函数f
?
x
?
?x?a
，
a?0
.
（1 ）证明：
f
?
x
?
?f
?
?
?
1
?
?
?2
；
?
x
?
（2）若不等式f
?
x
?
?f
?
2x
?
?
1
的解集是非空集，求
a
的范围.
2
数学试题（理科）
参考答案
一、选择题
1-5ACCAB 6-10DACDB 11、12：CC
二、填空题
13．0 14．3 15．乙、丙、甲 16．
r?
三、解答题
17．解：（1） ∵
n,a
n
,S
n
成等差数列，∴
2a
n
?n?S
n

又
a
n
?S
n
?S
n?1
?
n?2
?

∴
2
?
S
n
?S
n?1
?
?n?S
n

即
S
n
?2S
n?1
?n

∴
S
n
?n?2?2S
n?1
?2n?2

∴
S
n
?n?2?2
?
?
S
n?1
? ?
n?1
?
?2
?
?

又∵
S
1
?1?2?4?0

3?
3
 2

∴
?
S
n
?n?2
?
成等比数列.
（2）由（1）知
?
S
n
?n?2
?
是以
S
1
?3?a
1
?3?4
为首项，2为公比的等比数列.
n?1n?1
∴
S
n
?n?2?4?2?2

n? 1
又
2a
n
?n?S
n
∴
2a
n
?2?2

n
∴
a
n
?2?1

b
n
?na
n
?n
?
2
n
?1
?
?n?2
n
?n

T
n
?
?
1?2
1
?2?2
2
?3?2
3
?L?n?2
n
??
?
1?2?3?L?n
?

T
n
?2??
n?1
?
?2
n?1
?
n
?
n?1
?

2
18．解：（1）取
SA
中点
M
，连接
BM,DM
，可证
SA?
面
MBD
，
所以异面直线
SA
与
BD
所成的角为90°

（ 2）设
BS?2
，则
DM?1
，
BM?3
，又
BD ?2
，可得
DM?BM
.
由（1）知
SA?DM
，从而
DM?
平面
ABC
，
以
M
为坐标原点，
MS,MB,MD
的方向分别为
x,y, z
轴建立坐标系.
??
uuuruuur
DC?AB?
?
1,3,0
?
，所以
C
?
1,3,1
?
，
uur
uuruuur
SB?
?
?1,3,0
?
，
SD?
?
?1,0,1
?
，
BC?
?
1,0,1
?
，
r
可求得平面
SDC
的法向量
n?
?
3,?1,3
?
，
ur
平面
SBC
的法向量 m?
?
3,1,?3
?
，
rur
1
所以
cosn,m??

7
则
S
?
1,0,0
?
，
A
?
?1,0,0
? ，
B0,3,0
，
D
?
0,0,1
?
， 又二面角
D?SC?B
为锐角，故二面角
D?SC?B
的余弦值为1
.
7
363
?
，
605
19．解：（1 ）样本中包裹件数在101~300之间的天数为36，频率
f?

故可估计概率为
3
，
5
显然未来5天中，包裹件数在101~300之间的天数
X
服从二项分布，
144
?
3
?
2
?
2
??
3?
即
X~B
?
5,
?
，故所求概率为
C
5

?
????
5
??
?
5
??
5
?
625
（2）①样本中快递费用及包裹件数如下表：
包裹重量（单位：
kg
）
快递费（单位：元）
包裹件数
1
10
43
2
15
30
3
20
15
4
25
8
5
30
4
32
故样本中每件快递收取的费用的平均值为
10?43?15?30? 20?15?25?8?30?4
?15
，
100
故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为15元.
②根据题意及（2）①，揽件数每增加1，公司快递收入增加15（元），
若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数情况如下：

故公司平均每日利润的期望值为
260?15??3?100?1000
（元）；
若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：
1
3

故公司平均每日利润的期望值为
235?15?
1 ?2?100?975
（元）
3
因
975?1000
，故公司不应将前台工作人员裁员1人.
12
x
2
2
?y
2
?1
20．解：（1 ）由题知
e?1?
2
?
，∴
a?2
，∴椭圆
C的方程为
a2
2
22
设
A
?
x
1,y
1
?
，
B
?
x
2
,y
2
?
，将直线
y?x?m
代入椭圆方程，得：
3x?4mx?2m?2 ?0

2m
2
?2
4
∴
x
1
?x
2
??m
，
x
1
x
2
? （*）
3
3
uuruuur
∵
OA?OB
，∴OA?OB?x
1
x
2
?y
1
y
2
? 0

即
x
1
x
2
?
?
x
1
?m
??
x
2
?m
?
?2x
1
x
1
?m
?
x
1
?x
2
?
?m? 0

2
将（*）式代入得
3m
2
?4
，又
m?0
，得
m?
23

3
（2）设
BM
?
?
，
A
?
x
1
,y
1
?
，
B
?
x
2
,y
2
?
，
N
?
x
3
,y
3
?

BN
uuur
2
uur
?
22
?
由题知
OM?OA
，∴
M
?
x
1
,y
1
?
，
3
? 33
?
r
uuur
?
22
?
uuu
∴
BM?
?
x
1
?x
2
,y
1
? y
2
?
，
BN?
?
x
3
?x
2 ,y
3
?y
2
?

3
?
3
?
uuuruuur
2
?
?12
?
?1
又∵
BM?
?
BN
，∴
x
3
?x
1
?x2
，
y
3
?y
1
?y
2

3
??
3
??
?
?1
??
2
x?x
2
?
2
?
1
?
?1
?
3
???
2
??
∵点
N
在椭圆
C
上，∴
? ?
y
1
?y
2
?
?1

2
?
?
3
?
?
2
4
?
?
?1
?
?
x
1
x
2
?
?1
?
?x
2
?
4
?
x
1
2
?
2?
2
?
??yy
?y??y
即
12
?
?1
（**）
??
?
1
?
2
?
2
2
3
?
2
9
?
2
?
2
?
2
??
???
2
2
2
x
1
2
x
2
22
?y
1
?1,?y
2
?1
∵A,B
点在椭圆
C
上，∴
22
又直线
OA、OB
斜率之积为
?
yy
1
xx
1
，∴
12
? ?
，即
12
?y
1
y
2
?0

x
1
x
2
2
22
代入（**）得
4
9
?
2
?
?
?1
?
?
?
2
2?1
，解得
?
?
13

18
故
BM
13
为定值，定值为.
18
BN21．解：（1）依题意，函数
f
?
x
?
的定义域为
?
0,??
?
，
f
?
?
x
?
?ln x?1
，
h
?
?
x
?
?ax?1
因为曲线
y?f
?
x
?
在
A
处的切线与
y?h?
x
?
在
B
处的切线相互平行，
所以
f?
?
x
?
?h
?
?
x
?
在 ?
0,??
?
有解，即方程
lnt?at?0
在
? 0,??
?
有解.
方程
lnt?at?0
在
?0,??
?
有解转化为函数
y?lnx
与函数
y?ax
的图象在
?
0,??
?
上有交点，令过原点
且与函数
y?l nx
的图象相切的直线的斜率为
k
，只须
0?a?k
.

令切点为
?
x
0
,lnx
0
?
，则 k?y
?
于是
k?
x?x
0
?
1
l nx
0
1
lnx
0
?
，又
k?
，所以，解得
x
0
?e
，
x
0
x
0
x0
x
0
111
，所以
0?a?
，
a
的最大值为
eee
11
2
（2）由题意
g
?
x?
?
?
x?1
?
?lnx?ax?a
?
x?0
?
，则
g
?
?
x
?
?x??1?a
，
2x
1
当
a?1
时，∵
g
?
?x
?
?x??1?a?1?a?0
，
x
∴
g
?
x
?
在
?
0,??
?
上为增函数，不符合题意.
x
2
?
?
1?a
?
x?1
2
当 a?1
时，
g
?
?
x
?
?
，令?
?
x
?
?x?
?
1?a
?
x?1 ，则
x
??
?
1?a
?
?4?
?
a?3
??
a?1
?
?0
.令
?
?
x?
?0
的两根分别为
x
1
,x
2
且
x
1
?x
2
，
则∵
x
1
?x
2 ?1?a?0
，
x
1
?x
2
?1?0
，∴ 0?x
1
?1?x
2
，
当
x?
?
0,x
1
?
时，
?
?
x
?
?0
， ∴
g
?
?
x
?
?0
，∴
g
?x
?
在
?
0,x
1
?
上为增函数；
当
x?
?
x
1
,x
2
?
时，
? ?
x
?
?0
，∴
g
?
?
x
?
?0
，∴
g
?
x
?
在
?
x1
,x
2
?
上为减函数；
当
x?
?
x
2
,??
?
时，
?
?
x
?
?0
，∴
g
?
?
x
?
?0
，∴
g?
x
?
在
?
x
2
,??
?
上为增函数；
∵
g
?
1
?
?0
，∴
g?
x
?
在
?
x
1
,x
2
? 上只有一个零点1，且
g
?
x
1
?
?0
， g
?
x
2
?
?0
.
1
?
?
1
??
1
?
?
1
?
?
?
a?
?
?
?
a?
?
?
?
?
? ?
?
a?
?
?
?
a?
?
?
1
22
∴
g
?
e
?
2
?
?
?
?
e
?
2
?
?1
?
?
lne
??
?ae
??
?a

??
2
??
????
?
1
??
1
??
1
?
?
1
??
1
?
a?
?
?
?
?
a?
?
?
?
a?
?
?
?
a?
?
?
?
?
a?
?
?
1
1
?
??
2
222
???
2
?
??????
?e?2
?
?0
.
?
?
e?1
?
?lne?a? e
?
e
??
??
2
2
?
??
? 2
2
2
∵
0?e
?
1
?
?
?
a?
?
?
2
?
?1
，又当
x?
?
x
1
,1
?
时，
g
?
x
??0
，∴
0?e
?
1
?
?
?
a??
?
2
?
?x
1

∴
g
? x
?
在
?
0,x
1
?
上必有一个零点. ∴
g
?
2a?2
?
?
1
2
?
2a?1
?
?ln
?
2a?2
?
?a
?
2a?2
?
?a

2
11
2
?
?
2a?1
?
?a
?
2a?2
?
??0
.
22
∵
2a?2?1
，又当
x?
?
1,x
2
?
时，
g
?
x
?
?0
，∴
2a?2?x
2
.
∴
g
?
x
?
在
?
x
2
,??
?
上必有一个零点.
综上所述，故
a
的取值范围为
?
1,??
?
. 22．解：（1）直线
l
的参数方程为
?
?
x?4?tcos
?
（
t
为参数）.
?
y?2?tsin
?

2
曲线
C
的极坐标方程
?
?4cos
? 可化为
?
?4
?
cos
?
.
把
x ?
?
cos
?
，
y?
?
sin
?
代入曲线
C
的极坐标方程
22
可得
x?y?4x
，即?
x?2
?
?y
2
?4
.
2
（2）把直线
l
的参数方程为
?
?
x?4?tcos
?
（
t
为参数）代入圆的方程可得：
t
2
?4
?
sin
?
?cos
?
?
t?4?0

?
y?2? tsin
?
∵曲线
C
与直线相交于不同的两点
M、N
， ∴
??16
?
sin
?
?cos
?
?
?16?0
，
∴
sin
?
cos
?
?0
，又
?
?
?
0,
?
?
，
∴
?
?
?
0,
2
?
?
?
?
?
.
2
?
又
t
1
?t
2
??4
?
sin
?
?cos
?
?
，
t
1
t
2
?4
.
∴
PM?PN?t
1
?t
2 ?t
1
?t
2
?
4sin
?
?cos
?
?42sin
?
?
?
?
?
?
?
?
，
4
?
∵
?
?
?
0,
? ?
?
?
2
?
?
，∴
?
?
?
?
?
?
??
?
3
?
?
?
?
?
,
?
，
4
??
44
?
∴ sin
?
?
?
?
?
?
?
?
2
?
,1
?
.
?
?
?
?
4?
?
2
?
∴
PM?PN
的取值范围是
4,42
?
.
?
?
23．解：（1）函数
f
?
x
?
?x?a
，
a?0

则
f
?
x
?
?f
?
?
111
?
1
?
?x? a???a?x?a??a?x?a??a

?
xxx
?
x
?
?x?
111
?x??2x??2

xxx
（2）
f
?
x
?
?f
?
2x
?
?x?a?2x ?a
，
a?0

当
x?a
时，
f
?
x
?
?a?x?a?2x?2a?3x
，则
f
?
x
?
??a
，
aa
时，
f
?
x
?
?x?a?a?2x??x
，则
??f
?
x
?
??a，
22
aa
当
x?
时，
f
?
x?
?x?a?2x?a?3x?2a
，则
f
?
x
???
，
22
当
a?x?
于是
f
?
x
?
的值域为
?
?
?
a
?
,??
?

?
2
?

由不等式
f
?
x
?
?f
?
2x
?
?
11a
的解集是非空集，即
??
，
222
解得
a??1
，由于
a?0 ，则
a
的取值范围是
?
?1,0
?
.

高考模拟数学试卷
本试卷分为第I卷和第Ⅱ卷两部分，共2页。考试时间120分钟，满分150分。
注意事项：
1．答题前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在答题卡和试
卷规定的位置上．
2．第l卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净
后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上．
3、第Ⅱ卷必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写
在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不
按以上要求作答的答案无效．
4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
第I卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．设集合
A?{1,2,3}
，
B?{1,3,9}
，
x?A
，且
x?B
，则
x?
（）
A．1
2．在复平面内，复数
B．2 C．3 D．9
1?3i
对应的点位于（）
1?i
D．第四象限 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限
3．设
(x
1
,y
1
)
，
(x
2
,y
2
)
，…，
(x
n
,yn
)
是变量
x
和
y
的
n
个样本点，直线
l
是由这
些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线，以下结论正确的是
( )
－－
A．直线l过点(x，y)
B．x和y的相关系数为直线l的斜率
C．x和y的相关系数在0到1之间
D．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同
4. 若
0?a?1，
log
a
(1?x)?log
a
x
，则（）
A．
0?x?1
B．
x?
2
1

2
C．
0?x?
1
1
D．
?x?1

2
2
5．函数
y?cos2x?sinx
，
x?R
的值域是（）
A．
[0,1]
B．
[,1]

1
2
C．
[?1,2]
D．
[0,2]

6．若
a,b
表示直线，
?
表示平面，且
b?
? ，则“
ab
”是“
a
?
”的（）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
uuuruuur uuuruuuruuur
1
uu
ruuuruuur
uv
u uu
CB?0,CD?(CA?CB),CA?3,CB?4
，则向量
CD
与
CB
夹角余弦值为 7. 在
?ABC
中，
CAg
2

34
D．
5
5
r
uv
r
uv
m?(3b?c,cos C)n?(a,cosA)
mn
，8．在
?ABC
中，角
A,B,C
所对的边分别为
a,b,c
，，，则
cosA
A．B．C．
的值等于 ( )
A.
3333
B. C. D.
6432
1

5
2

5
9.某几何体的三视图如图所示，其中三角形的三边长与圆的直径均为2，
则该几何体的体积为（）
4?3
π
A．
3
C．
32?83
π
B．
3
正视图侧视图
32?34?33
π
D．
π

33
俯视图（第6题）
?
x?y?4,
?
222
10．设不等式组
?
y?x?0
表示的平面区域为D．若圆C：
(x?1)?(y?1)?r(r?0) 不经过区域D
?
x?1?0
?
上的点，则
r
的取值范围是（）

A．
[22,25]
B．
(22,32]

D．
(0,32)U(25,??)
C．
(0,22)U(25,??)

ax
11．设
a?R
，若函数
y?e?3x
，则（）
x?R
有大于零的极值点，
A．
a??3
B.
a??3
C.
a??
D.
a??
1
3
1

3
x
2
y
2
12．已知点
P
是双曲线
C
：
2
?
2
?1(a?0,b?0)
左支上一点，
F
1
，
F
2
是双曲线
ab
的左、右两个焦点，且
PF
1
?PF
2
，
PF
2
两条渐近线相交
M,N
两点（如图），点
N
恰好平分线段
PF
2
，则双曲线的离心率是（）
A．
5
B．2 C．
3
D．
2

第II卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．设数列
{a
n
}
满足
a
1
?1
，
a
n?1
? 3a
n
，则
a
5
?
．
14．若某程序框图如图所示，则运行结果为．

s?0

s?s?
s?
12题
开始

i?1
1
i
是
i?i?1

，0)
，B(b，0)
，若抛物线
y?4x
上存在点
C
15．已知两点
A(1
使
?ABC
为等边三角形，则
b
＝________ _ ．
16．已知点
A(?3,0)
和圆
O
：
x?y?9
，
AB
是圆
O
的直径，
M
22
2
9
?
4
否
输出i
结束
和
N
是
是圆
O
上的动点，
PD?AB
（第14题）
于
D
， AB
的三等分点，
P
（异于
A,B
）
uuuruuu r
PE?
?
ED(
?
?0)
，直线
PA
与
BE
交于
C
，则当
?
?
时，
|CM|?|CN|
为定值．

三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本题满分12分）
在△
ABC
中，角
A, B,C
所对的边分别为
a,b,c
，满足
（I）求角
C
；
（II）求
a?csinA?sinB
．
?
bsinA?sinC
a?b
的取值范围．
c
18．（本题满分12分）

文科考生
理科考生
?
0,400
?

?
400,480
?

?
480,550
?

?
550,750
?

67
53
35 19 6
x

y

z

已知用分层抽样方法在不低于5 50分的考生中随机抽取5名考生进行质量分析，其中文科考生抽取了
2名．
（ I）求
z
的值；
（Ⅲ）已知该校不低于480分的文科理科考生人数之比为
1:2
，不
400分的文科理科考生人数之比为
2:5
，求
x
、
y
的值．
19．（本题满分12分）
如图，矩形
ABCD 中，
AD?平面ABE
，
AE?EB?BC?2
，
G
是
AC
中点，
F
为
CE
上的点，且
BF?平面AC E
．

（I）求证：
AE?平面BCE
；
（II）求三棱锥
C?BGF
的体积．
C
2
A
E
F
B
13 2 4
12 0 5 8
11 1
图6
D
G
C
低于
20．（本题满分12分）
如图，已知抛物线
C
1
:x
2
?2py
的焦点在抛物线
C
2
:y?
点
P
是抛物线
C
1
上的动点．
（I）求抛物线
C
1
的方程及其准线方程；
（II）过点
P
作抛物线
C
2
的两条切线，
M
、
N
分别为两个切点，
设点
P
到直线
MN
的距离为
d
，求 d
的最小值．
21．（本题满分12分）
已知
a?R
，函数
f(x)?lnx?a(x?1)
．
（ I）若
a?
y
M
1
2
x?1
上，
C
1
2
N
O
P
x
（第20题）
1
，求函数
y?|f(x)|
的极值点；
e?1
ax2
(1?2a?ea)x
（II）若不等式
f(x)??
2
? 恒成立，求
a
的取值范围．（
e
为自然对数的底数）
ee

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时请写清题号.

22. （本小题满分10分）《选修4——1几何证明选讲》
如图，
A,B,C
是圆
O
上三个点，
AD
是
?BAC
的平分线，交圆
O
于
D
，过
B
做直线
BE
交
AD
延长线于
E
，使
BD
平分
?EBC
.
（I）求证：
BE
是圆
O
的切线；
（II）若
A E?6
，
AB?4
，
BD?3
，求
DE
的长.
（本小题满分10分）《选修4——4坐标系与参数方程》
1
?
x?t ?
2
?
在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
?
（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标
?
y??3?
3
t
?
?2
系xOy取相同的长度单位，且以原点
O
为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，圆C
的方程为
?
2
?23
?
sin
?
? 1?0
. 设圆C与直线l交于点
A
，
B
，且
P0,?3
.
（I）求
AB
中点
M
的极坐标；
（II）求|
PA
|＋|
PB
|的值.
??
24．（本小题满分10分）《选修4——5不等式选讲》
已知函数
f(x)?m?x?1?x?2
，
m?R
，且
f(x?1)?0
的解集为
?
0,1
?
.
（I）求
m
的值；
（II）若
a,b,c,x,y,z?R
，且
x?y?z?a?b?c?m,

求证
ax?by?cz?1
.

文科数学
参考答案
一、选择题
1．B；2．B；3．A；4．C；5．A；6．D；7．D；8．C 9．A；10．C；11．B．12．A
222222

二、填空题
13．81；
三、解答题
17．解：（I）
14．5； 15．
5,?
1
1
； 16．．
8
3
a?csinA?sinB
a?b
222
，化简得
a?b?ab?c
，
?
?
bsinA?sinC
a?c

…3分
?
a
2
?b
2
?c
2
1
所以
cosC??
，
C?
．
2ab2
3
（II）
…6分
…9分
a?bsinA?sinB
?
22
?
?[sinA?sin(?A)]
?2sin(A?)
．
?
3
6
csinC
3
因为
A?(0,
故，
?
1
??
5
?
2
?
)
，
A??(,)
，所以
sin(A?)?(,1]
．
666
62
3
…12分
a?b
的取值范围是
(1,2]
．
c
25?2
?
，∴
z?9
………………………………………………………3分
6z
111?120?125?128?132?134
?125
………………………………………5分（II）
x?
6
1
222222s
2
??
?
?
111?125
?
?
?
120?125
?
?
?
125?125
?
?
?
128?125
?
?
?
132?125
?
? ?
134?125
?
?

?
6
?
1
222222
?
??
?
14?5?0?3?7?9?60
…………………………………………………8分
??
6
18. 解：（I）依题意 （Ⅲ）依题意
19?6135?19?62
?
，
?
…………………………………………………10分
y?92x?y?95
解得
x?100,y?41
……………………………………………………………………………12分
19．（I）证明：
?
AD?平面ABE
，
ADBC

∴
BC?平面ABE
，则
AE?BC

又
?
BF?平面ACE
，则
AE?BF

∴
AE?平面BCE

解：
?
AE平面BFD

∴
AEFG
，而
AE?平面BCE

∴
FG?平面BCE

∴
FG?平面BCF

?
G
是
AC
中点 ∴
F
是
CE
中点
∴
FGAE
且
FG?
1
AE?1

2
?
BF?平面ACE

∴
BF?CE

∴
Rt?BCE
中，
BF?CF?
∴
S?CFB
?
1
CE?2

2
C
1
C 2
y
M
1
?2?2?1

2
∴V
C?BFG
?V
G?BCF
?
11
?S
?C FB
?FG?

33

…1分
N
O
p
20．解：（I）
C
1
的焦点为
F(0,)
，
2
p
所以
?0?1
，
p?2
．
2
2
P
x
（第21题）
…2分
故
C
1
的方程为
x?4y
，其准线方程为
y??1
．…4分
1
2
1
2
1
2
（II）设
P(2t,t 2
)
，
M(x
1
,x
1
?1)
， N(x
2
,x
2
?1)
，则
PM
的方程：
y?(x
1
?1)?x
1
(x?x
1
)
，
22
2
所以
t
2
?2tx
1
?
1
2
2
x
1
?1
，即
x
1
?4tx
1
?2t
2
?2?0
．
2
同理，
PN ：
y?x
2
x?
1
2
2
?4tx
2
?2t
2
?2?0
．…6分
x
2
?1
，
x
2
2
1
2
1
2
x
1
? 1?(x
2
?1)
1
2
22
(x?x
1
)
，
MN
的方程：
y?(x
1
?1)?
2x
1
?x
2
1
2
1
?1)?(x
1
?x 2
)(x?x
1
)
．即
y?(x
1
22 22
?
1
2
?
x
1
?4tx
1?2t?2?0
2
由
?
，得
x
1
?x
2
?4t
，
x
1
．
?2tx?1?t
1
22
2
?
?
x
2
?4tx
2
?2t?2? 0

…8分
…10分所以直线
MN
的方程为
y?2tx?2?t
2
．
于是 d?
|4t
2
?t
2
?2?t
2
|
1?4t
2
(1?t
2
)
2
．
?2
1?4t
2

令
s?1?4t
2(s?1)
，则
d?
191
s??6?6?6?3
（当
s?3
时取等号）．
2s2
所以，
d
的最小值为
3
．
21．解：（I）若
a?
…12分
x?1
11
1，则
f(x)?lnx?
，
f'(x)??
．
e?1
e?1
xe?1
当
x?(0,e?1)
时，
f'(x)?0
，
f(x)
单调递增；
当
x?(e?1,??)
时，
f' (x)?0
，
f(x)
单调递减．
又因为
f(1)?0
，
f(e)?0
，所以
当
x ?(0,1)
时，
f(x)?0
；当
x?(1,e?1)
时，
f(x)?0
；
当
x?(e?1,e)
时，
f(x)?0
；当
x?(e,??)
时，
f(x)?0
．
故
y?|f (x)|
的极小值点为1和
e
，极大值点为
e?1
．
（II）不等式
f(x)??
ax
2
e
2
…1分

…3分
…4分
(1?2a ?ea)x
ax
2
(1?2a)x
，整理为
lnx?
2???a?0
．…（*）
ee
e

设
g(x)? lnx?
ax
2
e
2
?
(1?2a)x
12ax1 ?2a
（
x?0
）
?a
，则
g'(x)??
2 ?
e
x
e
e
?
2ax
2
?(1?2 a)ex?e
2
e
2
x
?
(x?e)(2ax?e)
e
2
x
． …6分
①当
a?0
时，
2ax?e?0
，又
x?0
，所以，
当
x?(0,e) 时，
g'(x)?0
，
g(x)
递增；
当
x?(e ,??)
时，
g'(x)?0
，
g(x)
递减．
从而
g(x)
max
?g(e)?0
．
故，恒成立． …8分
②当
a?0
时，
g'(x)?
(x?e)(2ax?e)
e
2
x
?(x?e)(
2a
e
2
?
1
)
．
ex
令
2a
e
2
?
1 a2a1a
e
?
2
，解得
x
1
?
，则当 x?x
1
时，
2
??
2
；
ex
e
ex
e
a
e
aa
e
2
再令
(x? e)
2
?1
，解得
x
2
??e
，则当
x? x
2
时，
(x?e)
2
?1
．
a
ee 取
x
0
?max(x
1
,x
2
)
，则当
x?x
0
时，
g'(x)?1
．
所以，当
x ?(x
0
,??)
时，
g(x)?g(x
0
)?x?x0
，即
g(x)?x?x
0
?g(x
0
)
．
这与“恒成立”矛盾．
…12分综上所述，
a?0
．
22. (I)证明：连接
BO
并延长交圆 O
于
G
，连接
GC

Q?DBC??DAC
，又
Q
AD
平分
?BAC
，
BD
平分
?E BC
,
??EBC??BAC
.
又
Q
?BGC??BAC
，
??EBC??BGC
, Q
?GBC??BGC?90
o
,
?
?GBC??EBC?90
o
,
?
OB?BE
. ……………5分
?
BE
是圆
O
的切线.
（II）由（1）可知△
BDE
∽△
ABE
，
BEBD
?
,
?AE?BD? AB?BE
，
AEAB
AE?6
，
AB?4
，
B D?3
，
?BE?
由切割线定理得：
9
. ……8分
2
QBE
2
?DE?AE
?DE?
23. 由
?
得
x
2
27
. ……………10分
8
?23
?
sin
?
?1?0
，
?y 2
?23y?1?0
，即
x
2
?y?3
2
? ?
2
?4
. …………3分
将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得

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