安徽省2020学年高一数学上学期期中试题

第一学期期中考试
高一数学试题

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.

设集合2468,,则( )
A.
4

2.

若函数

68
B.

C. 6 D.
,则的值为( )
A.

B. 10 C. D. 2
3.

下列集合
A
到
B
的对应中,不能构成映射的是( )
A.


4.

若,则化简
B. C. D.
的结果是 ．
A. B. C. D.
- 1 -

5.

函数的图象是( )
A. B. C. D.


6.

若函数
单调增区间为（ ）
是幂函数,且其图象过点, 则函数
g
（
x
）=log
a
（
x
+
m
）的
A.

B. C. D.
7.

若函数
f< br>(
x
)＝log
3
x
+
x
-3的一个零点附 近的函数值用二分法逐次计算的参考数据如下：






那么方程
x
-3+ log
3
x
＝0的一个近似根（精确度0.1）为 ．
A. B. C. D.
- 2 -

8.

下列结论： ①函数
y?x
2
和
y?
??
x
是同一函数；②函数 f（x-1）的定义域为[1，2]，
2
?
3
?
22
则函数 f（3x）的定义域为
?
0,
?
；③函数y＝log
2
（x ＋2x-3）的递增区间为（-1，＋
?
3
?
∞）；其中正确的个数为（ ）

A. 0个

9.

高斯是德国著名的数学家,近 代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命
名的“高斯函数”为：设
例如：( )
,
,用表示不超过
x
的最大整数,则
,则函数< br>称为高斯函数
的值域为
B. 1个 C. 2个 D. 3个
,已知函数
A.
1,2,

10.

若


B. C. 1, D.
,,则( )

A．a＜b B．ab＜ba C．alog
b
c＜blog
a
c D．log
a
c＜log
b
c
cccc

11.

已知函数
于
x
的方程
,且在
R< br>上单调递减,且关
恰好有两个不相等的实数解,则
a
的取值范围是( )
A. B. C. D.
- 3 -

12.

已知函数
的解集为
,则关于x的不等式
A.


B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
5
?
1
?
13.

lg?2lg2?
??
?
________．
2
?
2
?
?1

14.

已知是
R
上的偶函数,且在单调递增,若,则
a
的取值范围
为______ ．

15.

若函数有零点,则
m
的取值范围是______ ．

?
?
1
?
x
?
??
,x?
?
0,2
?
16.

已知函数y＝f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，
f< br>?
x
?
?
?
?
2
?
，若
?
logx,x?2,??
?
?
?
16
关于x的方程[f（x ）]＋af（x）＋b＝0（a，b∈R）有且只有7个不同的实数根，则
取值范围是________ ．
2
b
的
a
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
- 4 -

17.

设集合
（1）若
（2）若





,求；
,集合．
,求实数
m
的取值范围．




18.

已知函数
（1）求
（2）求




是定义在
R
上的偶函数,当
；
的解析式.
时,．



- 5 -

19.

攀枝花是一座资源富集的城市,矿产资源储量巨大 ,已发现矿种76种,探明储量39种,其
中钒、钛资源储量分别占全国的和,占全球的和,因此其素有 “钒钛
之都”的美称攀枝花市某科研单位在研发钛合金产品的过程中发现了一种新合金材料,
由 大数据测得该产品的性能指标值
单位：克的关系为：当
得部分数据如表：
值越大产品 的性能越好与这种新合金材料的含量
时,
y
是
x
的二次函数；当时, 测
单位：克
0

2
8
；
6
8
10



y

（1）求
y
关 于
x
的函数关系式
（2）求该新合金材料的含量
x
为何值时产品的性 能达到最佳．






20.

已知函数
时,
对于任意
x
,
,．
,总有,且当
（1）求证：在
R
上是减函数；
- 6 -

（2）求在上的最大值和最小值．





21.

已知函数,函数．
（1）若的定义域为
R
,求实数
m
的取值范围；
（2）当,求函数的最小值；
（3）是否存在实数
m
,
n
,使得函数
为






?
1
?
22. 已知 a∈R，函数
f
?
x
?
?log
2
?
?a
?
.
?
x
?
的定义域为,值域
？若存在,求出< br>m
,
n
的值；若不存在,则说明理由．
- 7 -

（1）当a＝5时，解不等式f（x）＞0；
（2）若关于x的方程f（x） －log
2
[（a-4）x＋2a-5]＝0的解集中恰好有一个元素，求
a的取值范 围；
?
1
?
（3）设a＞0，若对任意
t?
?
, 1
?
，函数f（x）在区间[t，t＋1]上的最大值与最小值的
?
2
?
差不超过1，求a的取值范围．



题号
得分
一

二


一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
23.

设集合2,4,6,8,,,则( )
三

总分

A.
C.
【答案】
C


6,
B.
D.

4,6,8,
【解析】【分析】
本题考查集合的基本运算,主要考查了补集的运算,属于基础题．
根据全集
A
求出
B
的补集即可．
【解答】
解：集合

2,4,6,8,,,则
- 8 -
2,6,．

故选
C
．



24.

若函数,则的值为( )
A. B. 10 C.
【答案】
C

【解析】【分析】
本题考查了分段函数的应用及复合函数的应用．
先求,再求即可．
【解答】
解：,
,
故选
C
．

25.

下列集合
A
到
B
的对应中,不能构成映射的是( )

A. B. C.
【答案】
A

- 9 -
D. 2
D.

【解析】【分析】
本题考查映射的定义,是基础题．
根据映射的定义,对题目中的对应关系分别加以分析判断,即可得出不能构成映射的对应．
【解答】
解：对于,由于
A
中元素1对应
B
中4或5,不 唯一,且
A
中2在
B
中没有对应值,
中的对应不能构成映射； < br>对于
对于
,
A
中元素2在
B
中没有对应值,的对应不 能构成映射；
,由于
A
中元素1在
B
中对应的值可能是3或4,不唯一,
中的对应不能构成映射；
对于,
A
中的元素1、2、3分别对应
B
中的元素
a
、
c
、
b
,满足映射的定义,
中对应能构成映射．
综上,不能构成映射的是
故选：
A
．


26.

若,则化简
．
的结果是 ．
A.
【答案】
B

【解析】【分析】
B. C. D.
本题考查的是指数与指数幂的运算,是基础题．
【解答】
解：

,
- 10 -

,
故选
B


27.

函数
,．
的图象是( )
A. B.
C. D.
【答案】
A

【解析】解：
,
,
故当时,函数为增函数,当时,函数为减函数,当时,函数有最小值,最小值为1,
,易知函数为偶函数,
且指数函数为凹函数,
故选：
A
根据函数的奇偶性,单调性和函数的最值,以及函数的凹凸性即可判断
本题考查了函数的奇偶性,单调性和函数的最值,以及函数的凹凸性,属于基础题

28.

若函数
增区间为( )
A. B. C. D.
是幂函数,且其图象过点,则函数的单调
- 11 -

【答案】
B

【解析】【分析】
本题考查了幂函数的定义以及对数函数的性质,是一道基础题．
分别求出
m
,
a
的值,求出函数
【解答】
解：由 题意得：
故,将
,解得：
故
令
故在
,解得：
递增,
,
,解得：,
的单调区间即可．
代入函数的解析式得：
,
,
故选：
B
．

29.

若函数



的一个零点附近的函数值用二分法逐次计算的参考数据如下：



那么方程的一个近似根精确度为
．
A. B. C. D.
- 12 -

【答案】
C

【解析】【分析】
本题主要考查利用二分法求函数零点由参考数据可得
,可得答案．
【解答】
,且
解：由参考数据可得,
且,
所以当精确度时,可以将作为函数3零点的近似值,也即方程
3根的近似值．
故选：
C
．


30.

下列结论：< br>函数
函数和
；函数
是同一函数；函数的定义域为,则
；其中的定义域为 的递增区间为
正确的个数为 ．
A. 0个
【答案】
A

【解析】【分析】
B. 1个 C. 2个 D. 3个
本题考查相同函数的概念、求定义域、对数型复合函数的单调性根据函数的概念、定义域以
- 13 -

及复合函数的单调性结论即可求解．
【解答】
解：中,定义域不同,不是同一函数,错误；
的定义域为
,则
中,
的定义域为
,解得或
,
,则,所以函数
,错误；
,又
错误；
,,根据复合函数单
中,,解得中,函数
调性的结论得 函数的单调增区间是
综上,正确的个数为0个．
故选
A
．

31.

高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号, 用其名字命
名的“高斯函数”为：设
如：
( )
A.
【答案】
C

【解析】【分析】
本题考查了分式函数值域的求法及对新定义的理解,属中档题．
由分式函数值域的求法得：
,由高斯函数定义的理解得：函数
【解答】
解：因为,所以,
,又
的值域为,得解．
,所以
B. C. 1, D. 1,2,
,
,用表示不超过
x
的最大整数,则
,则 函数
称为高斯函数例
的值域为,已知函数
- 14 -

又
所以,
,
由高斯函数的定义可得：函数
故选：
C
．

32.

若
A.
,


【答案】
C

【解析】【分析】
的值域为,
,则( )
B. C. D.
本题考查的知识点是不等式的比较大小,熟练掌握对数函数和幂函 数的单调性,是解答的关键
根据已知中
答案．
【解答】
解：
函数
函数
误；
因为
因为
故
C
正确；
故选
C
．
且,
,所以
,所以
,即
,即
,即
故
D
错 误；
,
,
在
在
,
上为增函数,因此
上为减函数,因此
,故
A
错误；
,所以 ,即；故
B
错
,,结合对数函数和幂函数的单调性,分析各个结论的真假,可得
- 15 -

33.

已知函数
方程
A.
【答案】
C

【解析】【分析】
本题考查了方程的解个数问题,以及参数的取值范围,考查了学生的分析问 题,解决问题的能
力,以及数形结合的思想,属于难题．
利用函数是减函数,根据对数函数的 图象和性质判断出
a
的大致范围,再根据
到不等式组,利用函数的图象,方程的解的个 数,推出
a
的范围．
【解答】
解：
函数
在
在
R
上单调递减,则：
递减,则,
为减函数,得

,且在
R
上单调递减,且关于
x
的
恰好有两个不相等的实数解,则
a
的取值范围是( )
B. C. D.
,
解得
由下图：在
故在
,
上,
上,




有且仅有一个解,
同样有且仅有一个解,
- 16 -

当
即
则
解得
当
或舍去,
时,由图象可知,符合条件,
,
,即时,联立

,
,
综上：
a
的取值范围为
故选
C
．

34.

已知函数
的解集为
A.
【答案】
A

【解析】【分析】
B.
,则关于
x
的不等式
C. D.
本题考查函数的奇偶性和单调性的应用,对数函数指数函数的运算性质,属于难题．
令,是定 义域为
R
,是奇函数,并且是增函数,,然后将所求不
等式转换成,再利用的单调性解 决．
【解答】
- 17 -

解：由
由,
恒成立,
定义域为
R
,

是奇函数,并且是增函数,

,
,
为奇函数,
又当时,为单调增函数,
在
R
上单调递增,
,

,令
- 18 -

,
即,再利用的单调性,
,解得,
故选
A
．


二、填空题（本大题共4小题，共15.0分）
35.

______．
【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了指数幂和对数的运算,比较基础．
根据指数幂和对数的运算法则计算即可．
【解答】
解：




．
- 19 -

故答案为

36.

已知
．
是
R
上的偶函数,且在单调递增 ,若,则
a
的取值范围为
______．
【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查不等式的求解,结合函数奇偶性和单调性的 关系将不等式进行转化是解决本题
的关键,是简单题．
【解答】
解：
不等式
即
即
得,
,
．
,
,
是
R
上的偶函数,且在
等价为
单调递增,
,

即实数
a
的取值范围是
故答案为：

37.

若函数
【答案】
有零点,则
m
的取值范围是______ ．
【解析】【分析】
本题主要考查指数函数的图象和性质,属于中档题．
利用指数函数的性质,求出函数的值域,利用数形结合的方法即可得到答案．
- 20 -

【解答】
解：作出函数的图象如下图所示,

由图象可知
即
要使函数
则
故答案为

,解得
．
,
,则,
的图象与
x
轴有公共点,
．
38.

已知函数是定义域为
R
的偶函数,当时,, 若关
于
x
的方程
_____．
【答案】
【解析】【分析】

有且只有7个不同的实数根,则的取值范围是
本题考查分段函数及复合函数的根的个 数问题,较难,数形结合是解题的关键．
- 21 -

【解答】
解：函数图象如图：

由题意,在和上是减函数,在
时,
、
,,其中
和
,
上是增函数,时,函
数取极大值1,
关于
x
的方程
时,取极小值,
有且只有7个不同实数根,则方程
,,由根与系数的关系必有两个根
知,
则< br>故答案为

,
．


三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
39.

设集合,集合
,求实数
m
的取值范围．
【答案】解：Ⅰ
当 时,
．Ⅱ
若
要使
,则
,则
,解得
或
集合< br>,
若
,
,解得．
,则,解得．
,集合．
．Ⅰ若,求；Ⅱ若
- 22 -

综上,实数
m
的取值范围是或．
【解析】本题考查并集的求 法,考查实数的取值范围的求法,是基础题,解题时要认真审题,注
意交集、并集性质的合理运用．Ⅰ当
和

40.

已知函数
求
求
【答案】解：
则
是定义在
R
上的偶函数,当
；
的解析式；
根据题意,当
,
时,
,
,
；
设,即,则
,

,
．
时,．
时,求出集合
A
,
B
,由此能求出．Ⅱ根据
,进行分类讨论,能求出实数
m
的取值范围．
又由函数为偶函数,则
则
又由函数为偶函数,则
则
【解析】 本题考查函数的奇偶性以及单调性的综合应用,关键是求出函数的解析式,属于基
础题．
根据题意,由函数的解析式可得
可得答案；
根据题意,设
案；

,即,分析可得的解析式,结合函数的奇偶性分析可得答
与的值,又由函数为偶函数,可得即< br> - 23 -

41.

攀枝花是一座资源富集的城市,矿产 资源储量巨大,已发现矿种76种,探明储量39种,其
中钒、钛资源储量分别占全国的和,占全球的和 ,因此其素有“钒钛之
都”的美称攀枝花市某科研单位在研发钛合金产品的过程中发现了一种新合金材料 ,由
大数据测得该产品的性能指标值
位：克的关系为：当
据如表：
单位：克
0

Ⅰ
Ⅱ
2
8
6
8
；
10



值越大产品的性能越好与这种新合金材料的含量单时,测得部分数时,
y
是
x
的二次函数；当
y

求
y
关于
x
的函数关系式
求该新合金材料的含量
x
为何值时产品的性能达到最佳．
时,
y
是
x
的二次函数,可设< br>,由,
,解得
；
,即
,,
,
, 【答案】解： Ⅰ当
由
由
即有
当时,
,
,
可得
,可得,由,,可得,即有；
综上可得．Ⅱ当时,,
即有
当
时,取得最大值12；
时,递减,可得,当时,取得最大值3．
综上可得当时产品的性能达到最佳．
【解析】本题考查函数的解析式的求法,分段函数的应用 ,考查转化思想以及计算能力．Ⅰ当
时,
y
是
x
的二次函数,可设, 利用已知条件求出
a
,
b
,
c
得到
- 24 -

函数的解析式,Ⅱ利用分段函数求出函数的最值,推出结论．

42.

已知函数
时,,
对于任意
x
,
．
,总有,且当
求证：在
R
上是减函数；
求在上的最大值和最小值．
【答案】解：
由
则
,
而
即
时,
设在
R
上任意取两个数
m
,
n
且
,
,
,
,则
,
,
,
为减函数；
由可知
,令
,
令得
是奇函数,
而
,
,则
．
,
,即,
,
,
．
- 25 -

【解析】本题主要考查了函数的单调性的判定和 奇偶性的判定,以及抽象函数的应用,同时考
查了运算求解的能力,属于基础题．
直接利用函 数单调性的定义进行判定,设在
R
上任意取两个数
m
,
n
且
的符号即可得到结论；
先研究函数的奇偶性,然后根据单调性可得函数

43.

已知函数,函数．
在上的最大值和最小值．
,判定
若的定义域为
R
,求实数
m
的取值范围；
当,求函数的最小值；
是否存在实数
m
,
n
,使得函数的 定义域为,值域为
？若存在,求出
m
,
n
的值；若不存在,则说明理 由．
【答案】解：由题意
时显然不满足,
,
；
令,则,
对任意实数
x
恒成立,
；
,
,
- 26 -

,
函数在

又

,
．
单调递增,
,
【解析】本题主要考查函数的定义域,以及函数的最值,属于中档题．
由题意
令
对任意实数
x
恒成立,则
,则
,即得；
,即得
；
由
递增,即得．


44.

已知
当
,函数
时,解不等式
．
；
,由函数在单调
若关于
x
的方程
取值范围；
设,若对任意,函数在区间
的解集中恰好有一个元素,求
a
的
上的最大值与最 小值的差不超过
1,求
a
的取值范围．
【答案】解：
由,得
当时,
,
,
- 27 -

即,则,则
或
,即或,
即不等式的解集为
由即
即
则
即
当
当
当
若
若
时,方 程
时,方程
且
的解为
的解为
得
,
,
,
,,
,代入
,代入
的解为
,成立
,成立
或
,即
,即
．
,
,
,

．
时,方程
是方程
是方程
的解,则
的解,则
则要 使方程
综上,若方程
有且仅有一个解,则
的解集中恰好有一个元素,则
a的取值范围是
,或或．
上单调递减,
,
,
,即,
函数
由题意得
即
即
设
在区间
,则,
,
当时,,
- 28 -

当时,
在上递减,
,
,
,
实数
a
的取值范围是．
【解析】本题主要考查函 数最值的求解,以及对数不等式的应用,利用换元法结合对勾函数的
单调性是解决本题的关键综合性较强 ,难度较大．
当时,解对数不等式即可；
根据对数的运算法则进行化简,转化为一元二次方 程,讨论
a
的取值范围进行求解即可；
根据条件得到
即可．








,利用换元法进行转化,结合对勾函数的单调性进行求解
- 29 -