2019-2020学年安徽省蚌埠市新高考高一数学下学期期末教学质量检测试题

2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1
．关于
x
的不等式
x
2
A
．
(3,4]< br>
C
．
?
?4,?3
?
(a2)xa10
的 解集中，恰有
3
个整数，则
a
的取值范围是（

）

B
．
(4,5]

?
3,4
?
D
．
[?3,?2)?(4,5]

2
．设
f(x)
是
R
上的偶函数，且在
(0,?? )
上是减函数，若
x
1
?0
且
x
1
?x< br>2
?0
，则（

）

A
．
f(?x
1
)?f(?x
2
)

C
．
f(?x
1
)?f(?x
2
)

B
．
f(?x
1
)?f(?x
2
)
D
．
f(?x
1
)
与
f(?x
2
)< br>大小不确定

3
．在投资生产
A
产品时，每生产
10 0t
需要资金
200
万，需场地
200m
2
，可获得
300
万；投资生产
B
产
品时，每生产
100t
需要资金
300
万，需场地
100m
2
，可获得
200
万， 现某单位可使用资金
1400
万，场地
900m
2
，则投资这两种产 品，最大可获利
( )
A
．
1350
万
B
．
1475
万
C
．
1800
万
D
．
2100
万

4
．天气预报说，在今后的三天中，每一 天下雨的概率均为
40%
．现采用随机模拟试验的方法估计这三天
中恰有两天下雨的概 率：先利用计算器产生
0
到
9
之间取整数值的随机数，用
1
，
2
，
3
，
4
表示下雨，用
5
，
6
，
7
，
8
，
9
，
0
表示不下雨 ；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验
产生了如下
20
组随机数：

907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为

A
．
0.35
5
．已知
?
A
．
-5
B
．
0.25 C
．
0.20 D
．
0.15 < br>?
1
?
1
a?
是等差数列，且，
a
4
?1
，则
a
10
?
（

）

?
1
4
a?1
?
n
?
B
．
-11 C
．
-12 D
．
3
6
．在直角坐标平面上，点
P
?
x,y
?
的坐标满足方程
x
2
?2x?y2
?0
，点
Q
?
a,b
?
的坐标满足方程a?b?6a?8b?24?0
则
22
y?b
的取值范围是（

）

x?a
?
6?76?7
?
1
???3,?
,
C
．
?
D
．
??

?
3
?
33
?
??
2
?
A．
?
?2,
?
?4?7?4?7
?
,
B
．
??

33
??
7
．某社区义工队有
24名成员，他们年龄的茎叶图如下表所示，先将他们按年龄从小到大编号为
1
至
24
号，再用系统抽样方法抽出
6
人组成一个工作小组，则这个小组年龄不超过
5 5
岁的人数为（

）

3
4
5
6
A
．
1
9
0
1
0

1
3
0
B
．
2

1
6
1

2
6
2

5
7
3
C
．
3


7
3


8
4
D
．
4


8
5


8



9

8
．经过两条直线2x?y?8?0
和
x?2y?1?0
的交点，且垂直于直线
x?y?1 ?0
的直线方程为
( )
A
．
x?y?1?0
B
．
x?y?1?0
C
．
x?y?5?0
D
．
x?y?5?0

9
．若
2
x
?3
，则
x?
（

）

A
．
log
2
2
B
．
lg2?lg3
C
．
lg2

lg3
D
．
lg3

lg2
10
．下列函 数中，最小正周期为
?
且图象关于原点对称的函数是（

）
A
．
y?cos
?
2x?
?
?
?
?< br>2
?
?
B
．
y?sin
?
2x?
?
?
?
?
?

2
?
C
．
y?sin2x?cos2x
D
．
y?sinx?cosx

11
．已知
l
为直 线，
?
，
?
为两个不同的平面，则下列结论正确的是（

）

A
．若
l
?
，
l∥
?
，则
?
∥
?

C
．若
l?
?
，
l∥
?
，则
?
?
?

B
．若l?
?
，
l?
?
，则
?
?
?

D
．若
l?
?
，
?
?
?
，则l∥
?

12
．如图，
E
是平行四边形
ABC D
的边
AD
的中点，设等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
，若
AC?a
1
AB? a
2
AE
，则
S
10
?
（

）


A
．
25 B
．
65

2
C
．
?
25

2
D
．
55
二、填空题：本题共4小题
13
． 已知圆
C:(x?3)
2
?(y?4)
2
?r
2
上 有两个点到直线
3x?4y?0
的距离为
3
，则半径
r
的取 值范围是
________
14
．已知
x
与
y
之 间的一组数据，则
y
与
x
的线性回归方程
y?bx?a
必过 点
__________
．

x

0

1

2

6

3

4

y

2

4

8

10

15
．在数列
?
a
n
?
中，
a
1
?1
，当
n?2
时，
a
n
?a
n?1
?n
．则数列
?
16
．函 数
y?arcsinx?arccosx(?1?x?1)
的值域为
______.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
?
1
?
?
的前
n
项和是
_____. < br>?
a
n
?
17
．在
?ABC
中，角
A,B,C
的对边分别为
a,b,c
，且角
A,C,B
成等差数列< br>.
（
1
）求角
C
的值；

（
2
）若
a?5,b?8
，求边
c
的长
.
18
．已知三棱锥
P?ABC
中，
AB?AC
，
A B?AP
.
若平面
?
分别与棱
PA、PB、BC、AC
相 交于点
E,F,G,H
且
PC
平面
?
.

求证
:
（
1
）
EH∥FG
；

（
2
）
AB?FG
.
19
．（
6
分）设函数
f(x)?1?
(1)
求
m
的值；

(2)
试判断
f(x)
在
(0,??)
上的单调性，并用定义加以证 明；

(3)
若
x?
?
2,5
?
求值域；
20
．（
6
分）经观测，某公路段在某时段内的车流量
y
(千辆

小时
)
与汽车的平均速度
v
(
千米

小时
)
之间有函
m
，且
f(1)?2

x
920v
?
v?0
?
．

v
2
?3v?1600
（
1
）在该时段内，当汽车的平均速度
v
为多少时车流量
y
最大？最大车流量为多少？
(
精确到
0.01)
数关系：
y?
（
2
）为保证在该时段内车流量至少为
10< br>千辆

小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？

21
． （
6
分）在
△ABC
中，
a=3
，
b?c=2，
cosB=
?
（
Ⅰ
）求
b
，
c的值；

（
Ⅱ
）求
sin
（
B–C
）的值．

1
．

2

22
．（< br>8
分）在等差数列
?
a
n
?
中，
a
3
?8
，
a
7
?a
2
?a
4
.
（
1
）求数列
?
a
n
?
的通项公式；
（
2
）设
b
n
?
1
，求数列
?
b
n
?
的前
n
项和
S
n
.
na
n



参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1
．
C
【解析】

【分析】

首先将原 不等式转化为
xa1x10
，然后对
a
进行分类讨论，再结合不等式解集中恰 有
3
个
整数，列出关于
a
的条件，求解即可
.
【详解】

关于
x
的不等式
x
2
(a2) xa10
等价于
x
2
a1x10

当
a?0
时，即
a?1?1
时，于
x
的不等式
x(a2)xa10
的解集为
?
1,a?1
?
，

?
a?1?4
?a?
?
3,4
?
；
要使解集中恰有
3
个整数，则
?
a?1?5
?
当
a?0
时，即
a?1?1
时，于
x
的不等式
x
当
a?0
时，即
a?1?1
时，于
x
的不等式
x2
(a2)xa10
的解集为
?
，不满足题意；

(a2)xa10
的解集为
?
a?1,1
?
，
< br>2
?
a?1??2
?a?
?
?4,?3
?
；

要使解集中恰有
3
个整数，则
?
a?1??3
?
综上，
a?
?
?4,?3
?
故选：
C
．< br>
【点睛】

本题主要考了一元二次不等式的解法以及分类讨论思想，属于中档题．

2
．
A
【解析】

?
3,4
?
.

试题分析：由
f(x)
是
R
上的偶函数，且在
(0,??)
上是减函数， 所以在
(??,0)
上是增函数，因为
x
1
?0
且
x
1
?x
2
?0
，所以
0?x
1
??x< br>2
，所以
f(x
1
)?f(?x
2
)
，又因 为
f(?x
1
)?f(x
1
)
，所以
f(?x1
)?f(?x
2
)
，
故选
A.
考点：函数奇偶性与单调性的综合应用
.
【方法点晴】本题主要考查了函数的单调性 与奇偶性的综合应用，其中解答中涉及函数的单调性和函数奇
偶性的应用等知识点，本题的解答中先利用 偶函数的图象的对称性得出
f
?
x
?
在
(??,0)
上是增函数，然
后在利用题设条案件把自变量转化到区间
(??,0)
上是解答的关 键，着重考查了学生分析问题和解答问题
的能力，以及转化与化归思想的应用，试题有一定的难度，属于 中档试题
.
3
．
B
【解析】

【分析】

设生产
A
产品
x
百吨，生产
B
产品
y
百吨，利润为
S
百万元，先分析题意，找出相关量之间的不等 关系，
即
x,y
满足的约束条件，由约束条件画出可行域；要求应作怎样的组合投资， 可使获利最大，即求可行域
中的最优解，在线性规划的解答题中建议使用直线平移法求出最优解，即将目 标函数看成是一条直线，分
析目标函数
Z
与直线截距的关系，进而求出最优解．

【详解】

设生产
A
产品
x
百吨，生产
B
产品
y
百吨，利润为
S
百万元

?
2 x?3y?14
?
2x?y?9
?
则约束条件为：
?
，作出 不等式组所表示的平面区域：

x?0
?
?
?
y?0

目标函数为
S?3x?2y
.
?
2x?3y?14
由?
解得
A
?
3.25,2.5
?
.
?
2x?y?9

3S
x?
< br>22
3S
要使得
S
最大，即需要直线
y??x?
在轴 的截距最大即可
.
22
3S
由图可知当直线
y??x?
过 点
A
时截距最大
.
22
使目标函数为
S?3x?2y化为
y??
此时
S?3?3.25?2?2.5?14.75

应作生产
A
产品
3.25
百吨，生产
B
产品
2. 5
百吨的组合投资，可使获利最大．

故选：
B
．

【点睛】

②
由在解决线性规划的应用题时，其步骤为：
①
分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件
?
③
分析目标函数
Z< br>与直线截距之间的关系
?④
使用平移直线法求出最优解
?⑤
还原约束条 件画出可行域
?
到现实问题中．属于中档题
.
4
．
B
【解析】

解：由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下20
组随机数，在
20
组随机数中表
示三天中恰有两天下雨的有：
191
、
271
、
932
、
812
、
3 93
，共
5
组随机数，
∴
所求概率为
5
．
B
【解析】

【分析】

由
?
5
=0.1
．故选
B
20
?
1
?
?
是等差数列，求得
a
n
，则
a
1 0
可求

a?1
?
n
?
【详解】

∵
?
?
1
?
?
是等差数列，设
a?1
?
n
?
141319n
,b
1
?,b
4
?, ?3d??,d??,?b
n
??
,∴
a
n
?
10
?1,
故
a
10
??11

a
n
?
9?n
b
n
?
故选：
B
【点睛】

本题考查等差数列的通项公式，考查计算能力，是基础题

6
．
B
【解析】

【分析】

由点P
?
x,y
?
的坐标满足方程
x?2x?y?0
，可得
P
在圆
?
x?1
?
?y
2
?1
上 ，由
Q
?
a,b
?
坐标满足方
22
2

程
a
2
?b
2
?6a?8b?2 4?0
，可得
Q
在圆
?
x?3
?
?
?y?4
?
?1
上，则
斜率，利用数形结合可得结果
.
【详解】

22
y?b
?k
PQ
求出两圆内公切线的
x?a

点
P
?
x,y
?
的坐标满足方程
x?2x?y?0
，

22
2
?P
在圆
?
x?1
?
?y?1
上，

2
Q
?
a,b
?
在坐标满足方程
a
2
?b
2
?6a?8b?24?0
，
?Q
在圆
?
x?3
?
?
?
y?4< br>?
?1
上，

22
则
y?b
?k
PQ
作出两圆的图象如图，

x?a
设两圆内公切线为
AB
与
CD
，

由图可知
k
AB
?k
PQ
?k
CD
，

设两圆内公切线方程为
y?kx?m
，

?
k?m
?1
?
2
?
1?k
?k?m??3k?m?4
，

则
?
?
?3k?m?4
?1
?
1?k
2< br>?
圆心在内公切线两侧，
?k?m??
?
?3k?m?4
?< br>，

可得
m?k?2
，
?
k?m
1?k2
?
2k?2
1?k
2
?1
，

化为
3k
2
?8k?3?0
，
k?
?4?7
，

3
即
k
AB
?
?4?7?4?7
，
,k
CD
?
33
?
?4?7y?b?4?7
，

??k
PQ
?
3x?a3

?< br>?4?7?4?7
?
y?b
,
的取值范围
??
，故选
B.
33
x?a
??
【点睛】

本题主要考查直线的斜率、直线与圆的位置关系以及数形结合思想的应用，属于综合题
. 数形结合是根据
数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想 方法，尤其在解决选
择题、填空题时发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度
.
运 用这种方法的关键是运用这种方法的关
键是正确作出曲线图象，充分利用数形结合的思想方法能够使问题 化难为简，并迎刃而解
.
7
．
B
【解析】

【分析】

求出样本间隔，结合茎叶图求出年龄不超过
55
岁的有< br>8
人，然后进行计算即可．

【详解】

解：样本间隔为24?6?4
，年龄不超过
55
岁的有
8
人，

则这个小组中年龄不超过
55
岁的人数为
2
人．

故选：
B
．

【点睛】

本题主要考查茎叶图以及系统抽样的应用，求出样本间隔是解决本题的关键，属于基础题．

8
．
D
【解析】

【分析】

首先求出两条直线的交点坐标，再根据垂直求出斜率，点斜式写方程即可
.
【详解】

有题知：
?
?
2x?y?8?0
?x?3
，解得：
?
，交点
(3,2)
.
?
x ?2y?1?0
?
y?2
直线
x?y?1?0
的斜率为
1< br>，所求直线斜率为
?1
.
所求直线为：
y?2??(x?3)
，即
x?y?5?0
.
故选：
D
【点睛】

本题主要考查如何求两条直线的交点坐标，同时考查了两条直线的位置关系，属于简单题
.
9
．
D
【解析】

【分析】

将指数形式化为对数形式可得
x?log
2
3，再利用换底公式即可
.
【详解】

解：因为
2
x
?3
，

所以
x?log
2
3?
故选：
D.
【点睛】

本题考查了指数与对数的互化，重点考查了换底公式，属基础题
.
10
．
A
【解析】

【分析】

求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可．

【详解】

解：
y
＝
cos
（
2x
?
y
＝
sin
（
2x
?
lg3
，

lg2
?
） ＝﹣
sin2x
，是奇函数，函数的周期为：
π
，满足题意，所以
A
正确

2
?
）＝
cos2x
，函数是偶函数，周期 为：
π
，不满足题意，所以
B
不正确；

2
?y
＝
sin2x+cos2x
?2
sin
（
2x
?
），函数是非奇非偶函数，周期为
π
，所以
C
不正确；

4
?
y
＝
sinx+cosx
?2
sin
（
x
?
），函数是非奇非偶函数，周期为
2π
，所以
D不正确；

4
故选
A
．

考点：三角函数的性质
.
11
．
C
【解析】

【分析】

利用直线与平面平行、垂直的判断即可。

【详解】

l?
?
，
l∥
?
，对于
A.
若
l
?
，则
?
∥
?
或
?
?
?
，所以
A
错对于
B.
若
l?
?
，则
?< br>?
?
，应该为
?
∥
?
，
所以
B错对于
D.
若
l?
?
，
?
?
?
，则
l∥
?
或
l?
?
，所以
D
错。所以 选择
C
【点睛】

本题主要考查了直线与平面垂直和直线与平面平行的性质。属于基础题。

12
．
D
【解析】

【分析】

根据向量的加法和平面向量定理，得到
a
1
和a
2
的值，从而得到等差数列
?
a
n
?
的公差 ，根据等差数列求和
公式，得到答案
.
【详解】

因为
E
是平行四边形
ABCD
的边
AD
的中点，

所以
AC?AB?AD?AB?2AE
，

因为
AC?a< br>1
AB?a
2
AE
，所以
a
1
?1
，
a
2
?2
，

所以等差数列
?
a
n
?
的公差
d?1
，

所以
S
10
?10a
1
?
故选：
D.
【点睛】

本题考查向量的加法和平面向量定理，等差数列求和公式，属于简单题
.
二、填空题：本题共4小题
13
．
(2,8)

【解析】

【分析】

由圆
(x?3)?(y?4)?r< br>上有两个点到直线
3x?4y?0
的距离为
3
，先求出圆心到直线的距 离，得到
不等关系式，即可求解．

【详解】

由题意，圆
C:(x?3)?(y?4)?r
的圆心坐标为
(3,4)
，半径为
r
，

则圆心到直线
3x?4y?0
的距离为
d?
222< br>222
222
10?9
d?55
.
2
3?3?4?4
3?4
22
?5
，

又 因为圆
C:(x?3)?(y?4)?r
上有两个点到直线
3x?4y?0
的 距离为
3
，

则
r?5?3
，解得
2?r?8，即圆的半径的取值范围是
(2,8)
．

【点睛】

本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中合理应用圆心到直线的距离，结合图象得到半径
的不等关系式是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．

14
．
?
2,6
?

【解析】

【分析】

根据线性回归方程一定过样本中心点，计算这组数据的样本中心点，求出< br>x
和
y
的平均数即可求解
.

【详解】

由题意可知，
y
与
x
的线性回归方程< br>y?bx?a
必过样本中心点

x?
2?4?6?8?10
0 ?1?2?3?4
?2
，
y??6
，

5
5
所以线性回归方程必过
?
2,6
?
.
故答案为：
?
2,6
?

【点睛】

本题是一道线性回归方程题目，需掌握线性回归方程必过样本中心点这一特征，属于基础题
.
15
．
2n

n?1
【解析】

【分析】

?
1
??
1
?
先利用累加法求 出数列
?
a
n
?
的通项公式，然后将数列
??
的通 项裂开，利用裂项求和法求出数列
??
?
a
n
??
a
n
?
的前
n
项和
.
【详解】

当n?2
时，
a
n
?a
n?1
?n
．

所以，
a
2
?a
1
?2
，
a
3< br>?a
2
?3
，
a
4
?a
3
?4，
上述等式全部相加得
a
n
?a
1
?2?3?4?，
a
n
?a
n?1
?n
.
?n
，< br>?a
n
?1?2?3?4??n?
n
?
n?1
?.
2
?
1222
???
，

a
n< br>n
?
n?1
?
nn?1
因此，

数列
?
为：
?
1
?
?
22
??
22
?
n
S?
的前项和为
?
n
?
?
?
?
?
?
?
?
?
12
??
23
?< br>?
a
n
?
2
?
2
2n
?
2
?
?
??2?
?
，故答案
?
nn?1n?1
n?1
??
2n
.
n?1
【点睛】

本题考查 累加法求数列通项和裂项法求和，解题时要注意累加法求通项和裂项法求和对数列递推公式和通
项公式的 要求，考查运算求解能力，属于中等题
.
16
．
??

【解析】

【分析】

?
?
?
?
2
?

由反三角函数的性质得到
arcsinx?
【详解】

?
2
?arccosx
，即可求得函数的值域
.
由
sin
?
arcsinx
?
?x
?
?1?x?1
?
，则
sin
?
?
?
?
?arccosx
?
?cos
?
arccosx
?
?x
?
?1?x? 1
?
，

?
2
?
?
?
?
?sin
?
arcsinx
?
?sin
?
?arccosx
?
，

?
2
?
又
?
??
??
?
??
??
?
arcsinx?
?
?,
?
,arccosx?
?
0,
?
?
,
?
?arccosx
?
?
?
?,
?
，

?< br>22
??
2
??
22
?
?arcsinx?
?
2
?arccosx
，即
?arcsinx?arccosx?
?
2
，

?
?
?
?
函数
y?arc sinx?arccosx
?
?1?x?1
?
的值域为
??
.
?
2
?
故答案：
??
.
【点睛】

本题考查反三角函数的性质及其应用，属于基础题
.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17
．（
1
）
C?
【解析】

【分析】

（
1
）根据等差数列的性质，与三角形三内角和等于
?

即可解出角
C
的值
.
（
2
）将已知数带入角
C
的余弦公式，即可解出边
c.
【详解】

解：（
1
）
∵
角
A
，
C
，
B
成等差数列，且
C
为三角形的内角，
∴
A?B?C?
?
，
A?B?2C
，
∴
C?< br>（
2
）由余弦定理
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC

?
?
?
?
2
??
3
．（
2
）
c?7

?
3
．

?25?64?2?5?8?
得
c?7

【点睛】

1
?49
，

2
本题考查等差数列、余弦定理，属于基础题．

18
．（
1
）证明见解析；

（
2
）证明见解析
.
【解析】

【分析】

（
1
）利用线面平行的性质定 理可得线线平行，最后利用平行公理可以证明出
EH∥FG
；

（
2
）利用线面垂直的判定定理可以证明线面垂直，利用线面垂直的性质可以证明线线垂直，利用平行线的性质，最后证明出
AB?FG
.
【详解】

证明（
1
）因为
PC
平面
?
，平面
?
平面
PAC ?EH
,
PC?
平面
PAC
，所以有
PCEH
,< br>同理可证
出
PCFG
,
根据平行公理，可得
EH∥FG
；

（
2
）因为
AB?AC
，
AB?AP
，
AP?AC?A
,
AP,AC?
平面
PAC
，所以AB?
平面
PAC
,
而
PC?
平面
PAC,
所以
AB?PC
,
由（
1
）可知
PCFGE H
,
所以
AB?FG
.
【点睛】

本题考查了线面平行的性质定理，线面垂直的判定定理、以及平行公理的应用
.
19
．
(1)m=1;
（
2
）单调递减，证明见解析；（
3
）
[,]
.
【解析】

【分析】
< br>（
1
）由由
f
（
1
）
?2
即可解得 ；（
2
）利用减函数的定义可以判断、证明；（
3
）利用函数的

单调性求函数的值域
.
【详解】

（
1
）由f
（
1
）
?2
，得
1?m?2
，
m? 1
．

（
2
）
f(x)
在
(0,??)< br>上单调递减．

证明：由（
1
）知，
f(x)?1?
1
，

x
63
52
设
0?x
1
?x
2
，则f(x
1
)?f(x
2
)?(1?
x?x
11
)?(1?)?
21
．

x
1
x
2
x1
x
2
因为
0?x
1
?x
2
，所以< br>x
2
?x
1
?0
，
x
1
x
2
?0
，

所以
f(x
1
)?f(x
2< br>)?0
，即
f(x
1
)?f(x
2
)
，
所以函数
f(x)
在
(0,??)
上单调递减．
< br>（
3
）由于函数
f(x)
在
(0,??)
上单调递减 ．

所以
f(x)
max
?f(2)?1?
所以函数的值域 为
[,]
.
【点睛】

1316
?,f(x)
min
?f(5)?1??
.
2255
63
52

本题考查函数的单调性及其应用，定义证明函数单调性的常用方法，意在考查学生对这些知

识的理解掌握水平，属于基础题
.
20
．（
1
）
v
＝
40
千米

小时，车流量最大，最大值为
11.08千辆

小时（
2
）汽车的平均速度应控制在
25≤v≤64
这个范围内

【解析】

【分析】

（
1
）将已知函数化简，利用基本不等式求车流量
y
最大值；

（
2< br>）要使该时段内车流量至少为
10
千辆

小时，即使
的控制范围 ．

【详解】

920v
?10
，解之即可得汽车的平均速 度
v
2
?3v?1600
920
920
920
92 0v
≤≈11.08
，

1600
解
:(1)
y?
2
＝＝
1600
?3
2v??3
v?3v?1600
v?
83
v
v
1600
，即
v
＝
40< br>千米

小时，车流量最大，最大值为
11.08
千辆

小 时．

v
920v
?10
，
(2)
据题意有：< br>2
v?3v?1600
当
v
＝
化简得
v
2< br>?89v?1600?0
，即
(v?25)(v?64)?0
，

所以
25?v?64
，

所以汽车的平均速度应控制在
25?v?64
这个范围内．

【点睛】

本题以已知函数关系式为载体，考查基本不等式的使用，考查解不等式，属于基础题．

?
b?7
21
．
(Ⅰ)
?
；

c?5
?
(Ⅱ)
4
3
.
7
【解析】

【分析】

(Ⅰ)
由题意列出关于< br>a,b,c
的方程组，求解方程组即可确定
b,c
的值；

( Ⅱ)
由题意结合正弦定理和两角和差正余弦公式可得
sin
?
B?C
?
的值
.
【详解】

?
a
2
?c
2
?b
2
1
cosB???
?
?
a?3
2ac2
?
?
?
b?c?2
(Ⅰ)
由题意可得：
?
，解得：
?
b?7
.
?
?
c?5
a?3
?
?
?
?

(Ⅱ)
由同角三角函数基本关系可得：
sinB?1?co s
2
B?
3
，

2
结合正弦定理
bccsinB53
?
可得：
sinC?
，

?
s inBsinC
b14
2
很明显角
C
为锐角，故
cosC? 1?sinC?
故
sin
?
B?C
?
?sinBcosC? cosBsinC?
【点睛】

11
，

14
4
3
.
7
本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用， 两角和差正余弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力
和计算求解能力
.
22
．（
1
）
a
n
?2n?2
（
2
）
【解析】

【分析】

（
1
）利用等差数列的性质 可求出
a
1
,d
，进而可求出
?
a
n
?< br>的通项公式；（
2
）
n

2n?2
b
n?
11
1
?
11
?
?
?
?
?
，由裂项相消求和法可求出
S
n
.
na
n
2n< br>?
n?1
?
2
?
nn?1
?
?
【详 解】

解：（
1
）设等差数列
?
a
n
?< br>的公差为
d
，则
a
n
?a
1
?
?< br>n?1
?
d
.
?
a
3
?8,
?< br>a
1
?2d?8
因为
?
所以
?
，

a?a?a
a?6d?a?d?a?3d
24
11
?
1?
7
解得
a
1
?4
，
d?2
，

所以数列
?
a
n
?
的通项公式为
a
n
?2n?2
.
（
2
）由题意知
b
n
?< br>11
1
?
11
?
?
?
?
?
，

na
n
2n
?
n?1
?
2
?
nn?1
?
?
1
?
111
S?
所以
n
?
1????
2
?
223
【点睛】

?
11
?
1
?
1
?
n
??1??
.
???
nn?1
?
2
?
n?1
?
2n ?2
本题考查了等差数列的通项公式的求法，考查了利用裂项相消求数列的前
n
项和， 属于基础题
.

2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1
．已知角
?
的顶点与原点重合，始边与
x
轴非负半轴重合，终边过点
?
2,1
?
，则
cos2
?
?
（

）

A
．
?
4

5
B
．
3

5
C
．
3

5
D
．
4

5
?
y?0
?
2
．若实数
x,y
满足不等式组
?
x?y?3
，则
z?2x?y
的最小值是（

）

?
x?y??1
?
A
．
?1
B
．
0 C
．
1 D
．
2
3
．已知向量
a?
?
?2,1
?
，
b?
?
1,x
?
，
a?b
，则
x?
（

）

A
．
?1
B
．
1
C
．
?2
D
．
2

4
．若直线
l
1
:ax?2y?4?0
与
l
2
:x?(a?1)y?2 ?0
平行，则实数
a
的值为（

）

A
．
a??2
或
a?1
B
．
a?1
C
．
a??2
D
．
a??
2

3
x
2
?2
5< br>．函数
y?(x?1)
的最小值为（

）

x?1
A
．
232
B
．
?23?2
C
．
23?2
D
．
23?2

6
．在长 方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，
AB?23
，
AD?32
，
AA
，则异面直线
AC
1
与
CD
所成
1
?32
角的大小为
(

)
A
．
?

6
B
．
?

4
C
．
?

3
D
．
2
?
?

或
3
3
7
．直线
3x?3y?1?0
的倾斜角是（

）

A
．
30° B
．
60° C
．
120°
2
D
．
135°
8
．若 关于
x
的不等式
log
2
ax?2x?3?0
的解集为R
，则
a
的取值范围是（

）

A
．
?
0,
?

??
?
?
1
?
3
?
B
．
?
0,
?
?
?
1
?
2
?
C
．
?
?1
?
,??
?

?
2
?
D
．
?
,??
?

?
1
?
3
?
?
9
．若
b?a?0
，则下列结论不正确的是（

）

A
．
a
2
?b
2
B
．
ab?b
2

?
1
??
1
?
C
．
??
?
??

?
2
??2
?
ba
D
．
ab
??2

ba10
．设函数
y?f(x)
是定义在
R
上的奇函数，当
x?0
时，
f(x)?2
x
，则
f
?
?2
?
?
（

）

A
．－
4 B
．
1

4
C
．
?
1

4
D
．
4

11
．下列函数中最小正周期为
?
的是（

）

A
．
y?sinx
B
．
y?1?sinx
C
．
y?cosx
D
．
y?tan2x

12
．样本中共有
5
个个体 ，其值分别为
a
、
0
、
1
、
2
、
3
.
若该样本的平均值为
1
，则样本的方差为（

）

A
．
?1
B
．
0
C
．
1
D
．
2

二、填空题：本题共4小题
13
．函数
y?2arccosx?1
的定义域是
________
14
．已知点
P(1,?2)
及其关于原点的对称点均在不等式
2x ?by?1?0
表示的平面区域内，则实数
b
的取值
范围是
____
．

22
15
．过点
P
作圆
x?y?1< br>的两条切线，切点分别为
A,B
，则
PA?PB
= .
（1，3）
16
．若角
?
的终边经过点
P
?
?2,1
?
，则
sin
?
?
?
?
??
?
?
?
______.
2
?
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17
．如图，直三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中，< br>?ACB?90
，
AB?BB
1
?2
，
BC?1，
A
1
E?AC
1
，
E
为垂足
.

（
1
）求证：
A
1
E?AB
1

（
2
）求三棱锥
B?AB
1
C
1
的体积< br>.
18
．已知两点
A(?4,3)
，
B(3,2)
.
（
1
）求直线
AB
的方程；

（
2
）直线
l
经过
P(0,?1)
，且倾斜角为
?
，求直线< br>l
与
AB
的交点坐标
.
4
19
．（
6
分）在
?ABC
中，
a,b,c
分别是角
A,B,C< br>的对边
(a?b?c)(a?b?c)?3ab
.
（
1
）求角
C
的值；

（
2
） 若
c?2
，且
?ABC
为锐角三角形，求
2a?b
的范围< br>.
20
．（
6
分）高一某班以小组为单位在周末进行了一次社会实践 活动，且每小组有
5
名同学，活动结束后，
对所有参加活动的同学进行测评，其中A
，
B
两个小组所得分数如下表：

A
组

B
组

86
91
77
83
80
？

94
75
88
93
其中
B
组一同学的分数已被污损，看不清楚了，但知道
B组学生的平均分比
A
组学生的平均分高出
1
分
.
（< br>1
）若从
B
组学生中随机挑选
1
人，求其得分超过
8 5
分的概率；

（
2
）从
A
组这
5
名学生中随机抽取
2
名同学，设其分数分别为
m
，
n
，求
|m?n|?8
的概率
.
21
．（
6
分）在?ABC
中，已知
B?45?
，
D
是
BC
边上 的一点，
AD?10
,
AC?14
,
DC?6
.

（
1
）求
?ADC
的大小；

（
2
）求
AB
的长
.
22
．（
8
分）如图，在四棱锥
P–ABCD
中，
PA⊥
平面
ABC D
，
AD⊥CD
，
AD∥BC
，
PA=AD=CD=2，
BC=1
．
E
为
PD
的中点，点
F
在
PC
上，且
PF1
?
．

PC3
（Ⅰ
）求证：
CD⊥
平面
PAD
；

（
Ⅱ
）求二面角
F–AE–P
的余弦值；

（Ⅲ
）设点
G
在
PB
上，且
PG2
?
． 判断直线
AG
是否在平面
AEF
内，说明理由．

PB3




参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1
．
C
【解析】

【分析】

利用三角函数定义即可求得：
cos
?
?
【详解】

2
1
，
sin
?
?
，再利用余弦的二倍角公式得解
.
5
5
因为角
?
的终边过点
?
2,1
?
，所以
tan
?
?
点
?
2,1
?
到原点的距离
r?2
2
?1
2
?5

所以
cos
?
?
y1
?

x2
x2y1
?

，
sin
?
??
rr
55
2
所以
cos2
?
?cos
故选
C
【点睛】

?
?sin
2
?
?
413
??

555
本题主要考查了三角函数定义及余弦的二倍角公式，考查计算能力，属于较易题．

2
．
A
【解析】

【分析】

?
y?0
?
画出不等式组
?
x?y?3
的可行域
,
再根据线性规划的方法
,
结合
y?2x?z
的图像与
z
的关 系判定最小值
?
x?y??1
?
即可
.
【详解】

画出可行域
,
又
z?2x?y
求最小值时
,
故< br>y?2x?z
的图形与可行域有交点
,
且
y?2x?z
往上方 平移到
最高点处
.
易得此时在
?
0,1
?
处取得最 值
z?2?0?1??1
.

故选：
A
【点睛】

本题主要考查了线性规划与绝对值函数的综合运用
,
需要 根据题意画图
,
根据函数的图形性质分析
.
属于中
档题
.
3
．
D
【解析】

【分析】

利用平面向量垂直的坐标等价条件列等式求出实数
x
的值
.
【详解】

a?
?
?2,1
?
，
b??
1,x
?
，
a?b
，
?a?b??2?x?0
，解得
x?2
，故选
D.
【点睛】

本题考查向量垂直 的坐标表示，解题时将向量垂直转化为两向量的数量积为零来处理，考查计算能力，属
于基础题
.
4
．
B
【解析】

【分析】

利用直线与直线平行的性质求解．

【详解】

∵
直线l
1
:ax?2y?4?0
与
l
2
:x?(a?1)y ?2?0
平行，

?a
?
a?1
?
?2?0

解得
a＝
2
或
a
＝﹣
2
．

∵
当
a
＝﹣
2
时，两直线重合，

∴a
＝
2
．

故选
B
．

【点睛】

本题考查满足条件的实数值的求法，是基础题，解题时要注意两直线的位置关系的合理运用．

5
．
D
【解析】

【分析】

?
t?1
?
令
t?x?1
?
t?0
?
，即有
x?t?1
，则
y?
t
注意等号成立的条件
.
【详解】

2
?2
3
?t??2
，运用基本不等式 即可得到所求最小值，
t
?
t?1
?
令
t?x?1
?
t?0
?
，即有
x?t?1
，则
y?
t
当且仅当
t?
故选：
D

2
?2
3
3
?2t??2?23?2
，

?t??2
t
t
3
，即
t?3,x?1?3
时，取得最小值
2?23
.
t

【点睛】

本题考查基本不等式，配凑法求解，属于基础题
.
6
．
C
【解析】

【分析】

平移
CD
到
AB< br>，则
?C
1
AB
即为异面直线
AC
1
与CD
所成的角，在直角三角形中即可求解
.
【详解】

连接< br>AC
1
，
CDAB
，可知
?C
1
AB
即为异面直线
AC
1
与
CD
所成的角，

在Rt?C
1
AB
中，
tan?C
1
AB?
【点 睛】

本题考查异面直线所成的角
.
常用方法：
1
、平移直 线到相交；
2
、向量法
.
7
．
C
【解析】

【分析】

根据直线方程求出斜率即可得到倾斜角
.
【详解】

由题：直线
3x?3y?1?0
的斜率为
k??3
，

所以倾斜角为
120°.
故选：
C
【点睛】

此题考查根据直线方程求倾斜角，需要熟练掌握直线倾斜角与斜率的关系，熟记常见特殊角的三角函数值
.
8
．
C
【解析】

【分析】

根据 对数的性质列不等式，根据一元二次不等式恒成立时，判别式和开口方向的要求列不等式组，解不等
式组 求得
a
的取值范围
.
【详解】

由
log
2
ax?2x?3?log
2
1
得
ax
2
?2x ?3?1
，即
ax
2
?2x?2?0
恒成立，由于
a?0< br>时，
?2x?2?0
BC
1
=3
，故选
C
．

AB
?
2
?
?
a?0
1
在R
上不恒成立，故
?
，解得
a?
.
2
?
??4?8a?0
故选：
C.

【点睛】

本小题主要考查对数函数的性质，考查一元二次不等式恒成立的条件，属于基础题
.
9
．
C
【解析】

【分析】

A
、
B
利用不等式的基本性质即可判断出；
C
利用指数函数的单调性即可判断 出；
D
利用基本不等式的性质
即可判断出
.
【详解】

A
，
∵b?a>0,∴
b
2
?a
2
，正确；

B
，
∵bb
2
?ab
，正确；

1
?
1
??
1
?
C
，
0??1,b?a,?
??
?
??
，因此
C
不正确；< br>
2
?
2
??
2
?
D
，
b a
ababab
b?a?0,??0,?0,???2??2
，正确，

bababa
综上可知：只有
C
不正确，

故选：
C.
【点睛】

本题主要考查不等式的基本性质，属于基础 题
.
解答过程注意考虑参数的正负，确定不等号的方向是解题
的关键
.
10
．
A
【解析】

【分析】

由奇函数的性质可得
:
f
?
?x
?
??f
?
x
?
即可求出
【详解】

因为
y?f
?
x
?
是定义在
R
上的奇函数，所以
f
?
?x
?
??f
?
x
?
?f
?
?2
?
??f
?
2
?

又因为当
x?0
时，< br>f
?
x
?
?2
，所以
f
?
2
?
?2?4
，所以
f
?
?2
?
??f
?
2
?
??4
，选
A.
x
2
f
?
?2
?

【点睛】
< br>本题主要考查了函数的性质中的奇偶性。其中奇函数主要有以下几点性质：
1
、图形关于 原点对称。
2
、在
定义域上满足
f
?
?x
?
??f
?
x
?
。
3
、若定义域包含
0
， 一定有
f
?
0
?
?0
。

11
．
C
【解析】

【分析】

对
A
选项，对
x
赋值，即可判断其最小正 周期不是
?
；利用三角函数的周期公式即可判断
B
、
D
的最 小正
周期不是
?
，问题得解
.
【详解】

3?
?
3
?
f
对
A
选项，令
x??，则
?
?
2
?
2
3
?
?
?s in???1

?
2
?
?
3
?
f
?
?
?
2
??
3
?
?
?f??
?
???
，

2
???
?
?
3
?< br>?
f
?
??
?
?
?sin??1
，不满足< br>2
?
2
?
所以
y?sinx
不是以
?
为周期的函数，其最小正周期不为
?
；

对
B
选项，y?1?sinx
的最小正周期为：
T?2
?
；

对< br>D
选项，
y?tan2x
的最小正周期为：
T?
故选
C
【点睛】

本题主要考查了三角函数的周期公式及周期函数的定义，还考查了赋值法，属于基础题．

12
．
D
【解析】

【分析】

根据样本的平均数计算出
a
的值，再利用方差公式计算出样本的方差
.
【详解】

由题意可知，
?
2
；排除
A
、
B
、
D
a?0?1?2?3a?6
??1
，解得
a??1
，
55
22222
?
?1?1
?
?
?
0?1?
?
?
1?1
?
?
?
2?1
?
?
?
3?1
?
因此，该样本的方差为
5
【点睛】

?2
，故选：
D.
本题考查方差与平均数的计算，灵活利用平均数与方差公 式进行求解是解本题的关键，考查运算求解能力，
属于基础题
.
二、填空题：本题共4小题
13
．
[1,2]

【解析】

【分析】

根据
y?cosx
的值域为
?
?1,1
?
求解即可
.
【详解】

由 题
?1?x?1?1?0?x?1?1?1?x?2
.
故定义域为
[1,2]
.

故答案为：
[1,2]

【点睛】

本题主要考查了反三角函数的定义域
,
属于基础题型
.
14
．
(,)

【解析】

【分析】
< br>根据题意，设
Q
与
P(1,?2)
关于原点的对称，分析可得
Q
的坐标，由二元一次不等式的几何意义可得
13
22
?
2?2b? 1?0
，解可得
b
的取值范围，即可得答案．

?
?
?2?2b?1?0
【详解】

根据题意，设
Q
与
P(1,?2)
关于原点的对称，则
Q
的坐标为
(?1 ,2)
，

?
2?2b?1?0
Q
2x?by?1?0若
P
、均在不等式表示的平面区域内，则有
?
，

?< br>?2?2b?1?0
解可得：
1
13
3
?b?
，即< br>b
的取值范围为
(
，
)
；

2
22
2
1
3
故答案为
(
，
)
．

2
2
【点睛】

本题考查二元一次不等式表示平面区域的问题，涉及不等式的解法，属于基础题．

15
．
3

2
【解析】

【分析】

【详解】

如图，连接
PO
，在直角三 角形
PAO
中，
OA?1,PA?3,
所以，
tan?APO?3
，
3
3
2
)
1?tan?APO1
133
cos?APB???
PA?PB?PA?PBcos?APB?3?3??
.
，故
2
1?tan?APO2
22
3
1?()
2< br>3
2
1?(

考点：
1.
直线与圆的位置关系；
2.
平面向量的数量积
.
16
．
?
25

5
【解析】

【分析】

利用三角函数的定义可计算出
cos
?
，然后利 用诱导公式可计算出结果
.
【详解】

由三角函数的定义可得
co s
?
?
?2
?
?2
?
2
?1
2< br>??
25
，

5
由诱导公式可得
sin
?< br>?
?
故答案为：
?
【点睛】

25
.
5
?
?
?
?
25
.
?cos
?
??
?
2
?
5
本题考查利用三角函数的定义和诱导公式求值 ，考查计算能力，属于基础题
.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17
．
(1)
见证明；
(2)
【解析】

【分析】

（
1
）先证得
B
1
C
1
3
3
?
平面
AAC
由此证得
B
1
C
1< br>?A
1
E
，结合题意所给已知条件
A
1
E?AC1
，证得
A
1
E?
11
C
，
平面AB
1
C
1
，从而证得
A
1
E?AB
1
.
（
2
）首先证得
AC?
平面
BB
1< br>C
1
C
，由
V
三棱锥B?AB
1
C
1
?V
三棱锥A?BB
1
C
1
计
算出三棱锥的体积
.
【详解】

（
1
）证明：
?ACB?90，
∴
BC?AC
，

又
BC?AA
1
，从而
BC⊥
平面
AAC
11
C

∵
BC

B
1
C
1
，
∴
∴
B
1< br>C
1
?A
1
E

又
A
1
E ?AC
1
，
∴
A
1
E?
平面
AB
1
C
1
，于是
A
1
E?AB
1

（
2
）解：
AC?BC,AC?CC
1
，
∴
AC?
平面
BB
1
C
1
C


AB?B B
1
?2,BC?BC
11
?1?AC=3
B
1
C
1
?
平面
AAC
11
C
，
A
11
C
，

1
E?
平面
AAC

∴
V
三棱锥B?ABC
?V
三棱锥A?B BC
?
1111
【点睛】

1113

S
?BB
1
C
1
?AC=??1?2?3=
3323
本小题主 要考查线线垂直的证明，考查线面垂直的判定定理的运用，考查三棱锥体积的求法，属于中档题
. 18
．（
1
）
x?7y?17?0
；（
2
）< br>?
3,2
?
.
【解析】

【分析】
（
1
）根据
A
、
B
两点的坐标，得到斜率，再由点斜式 得到直线方程；

（
2
）根据
l
的倾斜角和过点
P
，得到
l
的方程，再与直线
AB
联立，得到交点坐标
.
【详解】

（
1
）因为点
A(?4,3)
，
B(3,2)
，

所以
k
AB
?
2?31
??
，

3?
?
?4
?
7
所以
AB
方程为
y?2? ?
整理得
x?7y?17?0
；

1
?
x?3
?
，

7
（
2
）因为直线
l
经过
P(0,?1)
，且倾斜角为
?
，
4
所以直线
l
的斜率为
k?tan
π
?1< br>，

4
所以
l
的方程为
y?1?x
，整理得
x?y?1?0
，

?
x?y?1?0
所以直线
l
与直线
AB
的交点为
?
，

x?7y?17?0
?
解得
?
?
x?3
，

y?2
?
所以交点坐标为
?
3,2
?
.
【点睛】

本题考查点斜式求直线方程，求直线的交点坐标，属于简单题
.
19
．（
1
）
?
；（
2
）
0,2 3

3
??
【解析】

【分析】

ab24
???3
?
3
，得（
1
）由题结合余弦定理得角
C
的值；（
2
）由正弦定理可知，
sinAsinB
sin
3
84
2a?b?3sinA?3sinB
，利用三角恒等变换得
A
的函数即可求范围

33
【详解】

（
1
）由题意知
(a?b?c)(a?b?c)?3ab
，
∴
a
2
?b
2
?c
2
?ab
，

a
2
?b
2
?c
2
1
由余弦定理可知，< br>cosC??
，

2ab2
又
∵
C?(0,
?
)
，
∴
C?
?
3
ab24
???3?
3
，

（
2
）由正弦定理可知，
sinAs inB
sin
3
44
3sinA,b?3sinB
，

即
a?
33
∴
2a?b?
.
84842
?
8323
3sinA?3sinB?3sinA?3sin(?A)
?sinA?2 cosA?sinA

33333
33
?
6331
?
sinA?2cosA?4(sinA?cosA)?4sin(A?)
，

322 6
?
?
0?A?
?
?
??
??
2
又
∵
?ABC
为锐角三角形，
∴
?
，则
?A?即
0?A??
，

62
63
?
0?B?
2
?
?A?
?
?
32
?
所以，
0?si n(A?
?
6
)?
?
3

即
0?4sin(A-)?23
，

6
2
综上
2a?b
的取值范围为
(0,23)
.
【点睛】

本题考查正余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，注意锐角三角形的应用 ，准确计算是关键，是中档题

20
．（
1
）
【解析】

【分析】
（
1
）先设在
B
组中看不清的那个同学的分数为
x
，分 别求得两组的平均数，再由平均数间的关系求解
.
（
2
）先求出从
A
组这
5
名学生中随机抽取
2
名同学所有方法数，再用列举的方法得 到满足求
|m?n|?8
的
方法数，再由古典概型求解
.
【详解】

（
1
）设在
B
组中看不清的那个同学的分数为
x

33

（
2
）

55

< br>由题意得
91?83?
x
?75?9386?77?80?94?88
??1

55
解得
x=88
所以在
B
组
5
个分数超过
85
的有
3
个

所以得分超过
85
分的概率是
3

5
（
2
）从
A
组这
5
名学生中随机抽取
2
名同学，设其 分数分别为
m
，
n
，则所有
?
m,n
?

共有
?
94,88
?
,
?
94,86
?< br>,
?
94,80
?
,
?
94,77
?
,
?
88,86
?
,
?
88,80
?
,
?
88,77
?
,
?
86,80
?
,?
86,77
?
,
?
80,77
?
共
10
个

其中满足求
|m?n|?8
的有
:
94 ,88,94,86,88,86,88,80,86,80,80,77
共
6
个
故
|
|m?n|?8
的概率为

【点睛】

本题主要考查了平均数和古典概型概率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题
. 21
．（
1
）
?ADC?120?
；（
2
）< br>AB?56
.
【解析】

63
?

105
????????????
AD
2
?DC
2
?AC
2
试题分析：（
1
）在
?ADC
中，由余弦定理得
cos? ADC?
，最后根据
cos?ADC
的
2AD?DC
值及
? ADC?(0,
?
)
，即可得到
?ADC
的值；（
2
）在
?ADB
中，由正弦定理得到
AB?
从而代入数据进行运算即可得到< br>AB
的长
.
试题解析：（
1
）在
?ADC
中，
AD?10,AC?14,DC?6
，由余弦定理可得

AD?sin? ADB
，
sin?B
AD
2
?DC
2
?AC
2
100?36?1961
cos?ADC????

2AD?DC2?1 0?62
又因为
?ADC?(0,
?
)
，所以
?ADC?1 20?

（
2
）在
?ADB
中，
AD?10,?B ?45?,?ADB?180??120??60?

由正弦定理可得
ABAD
?

sin?ADBsin?B
1 0?
2
2
3
2
?56
.
所以
AB?AD?sin?ADB10?sin60?
??
sin?Bsin45?
考点：< br>1.
正弦定理；
2.
余弦定理；
3.
解斜三角形
.
22
．
(Ⅰ)
见解析；

(Ⅱ)
3
；

3
(Ⅲ)
见解析
.
【解析】

【分析】

(Ⅰ)
由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；

(Ⅱ)
建立空间直角坐标系，结合两个半平面的法向量即可求得二面角
F-AE-P
的余弦值；
(Ⅲ)
首先求得点
G
的坐标，然后结合平面
AEF
的 法向量和直线
AG
的方向向量可判断直线是否在平面内
.
【详解】

(Ⅰ)
由于
PA⊥
平面
ABCD
，
CD
?
平面
ABCD
，则
PA⊥CD
，

由题意可知
AD⊥CD
，且
PA∩AD=A
，

由线面垂直的判定定理可得
CD⊥
平面
PAD.
(Ⅱ)
以 点
A
为坐标原点，平面
ABCD
内与
AD
垂直的直线为x
轴，
AD,AP
方向为
y
轴，
z
轴建立如图 所示的
空间直角坐标系
A?xyz
，


易知：
A
?
0,0,0
?
,P
?
0,0,2
?
,C
?
2,2,0
?
,D
?
0,2,0
?
，< br>
由
PF?
由
PE?
1
?
224
?
PC
可得点
F
的坐标为
F
?
,,
?
，

3
?
333
?
1
PD
可得
E
?
0,1,1
?
，

2
设平面
AEF< br>的法向量为：
m?
?
x,y,z
?
，则

?
24
?
224
?
2
m?AF?x,y,z?,,?x?y? z?0
??
?
??
333333
，

??
?
?
m?AE?
?
x,y,z
?
?
?
0, 1,1
?
?y?z?0
?
据此可得平面
AEF
的一个法向量 为：
m?
?
1,1,?1
?
，

很明显平面
AEP
的一个法向量为
n?
?
1,0,0
?
，

cos?m,n??
m?n
m?n
?< br>13
?
，

3?1
3
3
.
3二面角
F-AE-P
的平面角为锐角，故二面角
F-AE-P
的余弦值为
(Ⅲ)
易知
P
?
0,0,2
?
,B
?2,?1,0
?
，由
PG?
2
?
422
?PB
可得
G
?
,?,
?
，

3
?
333
?
则
AG?
?
,?
?
4
?
3
22
?
,
?
，

33
?< br>注意到平面
AEF
的一个法向量为：
m?
?
1,1,?1?
，

其
m?AG?0
且点
A
在平面
AEF
内，故直线
AG
在平面
AEF
内
.