安徽省高一数学下学期期末文理分班考试试题文

高一文理分班考试数学试卷
一、选择题(每小题5分,共计10个小题.在给出的四个选项中只有一个是正确选项)
1.下列事件是随机事件的是 （ ）
① 当
x?10
时，
lgx?1
； ② 当
x?R,x?1?0
有解
③ 当
a?R,
关于x的方程x?a?0
在实数集内有解；④当
sin
?
?sin
?
时，
?
?
?

(A) ①② (B) ②③ (C) ③④ (D) ①④
2.已知 集合
A?{x|y?
2
2
x?1},B?{y|y?x
2
, x?R}
,则
A?B?
（ ）
(A)
?
(B)
[0,??)
(C)
[1,??)
(D)
[?1,??)

3.数列1，3，6，10，…的一个通项公式是 ( )
(A)
a
n
=n-(n-1)
(B)
a
n
=
n
-1 (C)
a
n
=
2
2
n(n?1)n(n?1)
(D)
a
n
=
22
4.已知集合
A?
?
1,3,5,7
?
,B?
?
4,8
?
现从集合A中任取一 个数为
a
,从B中任取一个数为
b
,
则
b?a
的概率为 （ ）
(A)
1311
(B) (C) (D)
2448
1
,且当
x?[?3,?2],f(x)?4x
,则 f(x)
5.设偶函数
f(x)
对任意的
x?R
,都有
f(x?3)??

f(107.5)?
（ ）
(A)
10
(B)
11
(C)
?10
(D)
?

1010
6.已知等差数列{a
n
}满足
a< br>5
?a
6
=28，则其前10项之和为 （ ）
(A) 140 (B) 280 (C) 168 (D) 56
7.设方程
2?x?0,log
2< br>x?x?0,log
2
x?
x
1
?0
的实根分别为< br>a,b,c
,则 （ ）
x
(A)
a?b?c
(B)
a?c?b
(C)
b?c?a
(D)
b?a?c

8.
?ABC
三边
a,b,c
对应的角分别是A,B,C. 若
c?a?b?2abcos2C
，则角C
的取值范围是 （ ）
(A)
(0,
222
?
)
(B)
(0,)
(C)
(,)
(D)
(,)

636463
?
????
9.甲、乙、丙三名运动 员在某次比赛中各射击20次，三人成绩如下表
- 1 - 9

环数
频
数
甲
乙
丙
6
4
3
8
7
4
16
4
8
4
1
8
9
4
0
0
10
4
0
0


s
1
,s
2
,s
3< br>分别表示甲、乙、丙三人这次射击成绩的标准差，则下列关系正确的是（ ）
(A)
s
2
?s
3
?s
1
(B)
s
1
?s
3
?s
2
(C)
s
1
?s
2
?s
3
(D)
s
2
?s
1
?s
3

10.若定义在[?2012,2012]
上的函数满足:对任意
x
1
,x
2< br>?[?2012,2012]
,有
f(x
1
?x
2
) ?f(x
1
)?f(x
2
)?2011
,且当
x?0
时,有
f(x)?2011
成立.令
f(x)
的最大
值和最小值分别为M,N,则M+N的值为 （ ）
（A）2011 （B）2012 （C）4022 （D）4024
二、填空题（每小题5分，共计5个小题.将正确的答案写在答题卡相应的横线上）
11.已 知
tan(
?
?
?
)?3,tan(
?
?
?
)?5
,则
tan2
?
的值为 .
12.已知x,y 满足
|x|?|y|?4
，则
z?(x?3)?(y?3)
的最小值是 .
22
rrrr
rr
13. |
a
|=5, |
b
|=3,|
a?b
|=7,则
a,b
的夹角为_________ _.
14.设数列
?
a
n
?
的所有项和为
S< br>?
1
?
,第二项及以后所有项和为
S
?
2
?
,第三项及以后所有项和
为
S
?
3
?
,
L
,第n项及以后所有项和为
S
?
n
?
.若数列
{S
?
n
?
}
是首项为
数列,则
a
n
= .
15.对任意实数
x
,函数
f(x)
满足< br>f(x?1)?
列
?
a
n
?
的前15项和为
?
1
,公比为
2
的等比
2
f(x)?f
2
(x)?
1
2
,设
a
n
?f(n)?f(n)
,数
2
31
,则
f(15)?
.
16
三、解答题（本大题共计6小题，共75分）
16. (本小题满分12分)
设函数
f
(
x
)=cos(2
x
+
?2
)+sin
x
.
3
1C1
，
f
( )=－，且
C
为锐角，求
sinA
.
334
(1) 求函数
f
(x)的最大值和最小正周期.
(2) 设
A,B,C
为
?
ABC
的三个内角，若cos
B
=

- 2 - 9

17. (本小题满分12分)
在文理分科前,为了了解高一学生的数学成绩
情况， 某校抽取部分学生进行一次分科前数学测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方
图（如图所示），图 中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组频数为
12.

（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？
（2）若成绩在110分以上（含110分）为优秀，试
估计该学校全体高一学生的优秀率是多少？
（3）在这次测试中，学生数学测试成绩的的中位数落
在哪个小组内？请说明理由.



- 3 - 9

18. (本小题满分12分)
某种商品原来定价每件
p元,每月将卖出
n
件.假设定价上涨
x
成(这里
x
成即
x
,0?x?10
),每月卖出数量将减少
y
成,而售货金额变成原 来的
z
倍.
10
1
(1) 设
y?ax
,其中< br>a
是满足
?a?1
的常数,用
a
来表示当售货金额最大时x
的值;
3
2
(2) 若
y?x
,求使售货金额比原来有所增加的
x
的取值范围.
3





19. (本小题满分12分) < br>已知数列1，1，2……它的各项由一个等比数列与一个首项为0的等差数列的对应项相加而得
到 .求该数列的前
n
项和
S
n
.




20. (本小题满分13分)
已知二次函数
f(x)?ax?bx?c(x?R,a?0)

(1) 若
a?0,c??2
,方程
f(x)?x
的两个实根
x
1,x
2
满足
x
1
?(0,1),x
2
?(1, 2)
,
求证:
?4?
2
b
??1
;
a
a?2b?4c
的最小值.
b?a
(2) 若函数
f(x)
的最小值为0,且
a?b
,求
- 4 - 9

21. (本小题满分14分) < br>设函数
f(x)?x?ax?b(a,b?R)
,已知不等式
|f(x)|?| 2x?4x?6|
对任意实数
x
均
成立.定义数列
?
a< br>n
?
,
?
b
n
?
:
a
1< br>?3,2a
n
?f(a
n?1
)?3(n?2),b
n
?
数列
?
b
n
?
的前
n
项和为
S
n
.
(1) 求
a,b
的值;
(2) 求证:
S
n
?
22
1
(n?N
*
)
,
2?a
n
1
*
(
n?N
);
3
n?1
(3) 求证:
a
n
?2
2






?1(n?N
*
)

- 5 - 9

数学参考答案
一 选择题
1-10 CBCBB AABBC
二 填空题
11.
?
43
; 12. 2 13. 120°; 14.
?2
n?2
; 15..
74
三 解答题
16 (1)
f(x)?
13
?sin2x,T?
?
,f (x)
max
?
22
3?1
……… 6分
2
(2)
f()??
C
3
121
?
?sinC??C?

4324

QcosB?
122
?0?sinB?

33
4?2
………12分
6
?sinA?sin[< br>?
?(B?C)]?sin(B?C)?
17 （1）由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小，
因此第二小组的频率为：
4
=0.08.
2?4?17?15?9?3
又因为频率=
第二小组频数
12
第二小 组频数
，所以样本容量===150. ……… 4分
第二小组频率
0.08
样本容量
（2）由图可估计该学校高一学生的优秀率约为
17?15?9?3
×100%=88%. ……… 8分
2?4?17?15?9?3
（3）由已知可得各小组的频数依次为6,12, 51,45,27,9,所以前三组的频数之
和为69，前四组的频数之和为114，所以中位数落在第四小组内. ……… 12分
< br>18.(1)由题意知定价上涨
x
成时,上涨后的定价,每月卖出数量,每月售货金额分 别是:

p(1?
xy
??
)元,n
?
1?
?
件,npz元

10
?
10
?
- 6 - 9

所以
npz?p(1?
x
?
y< br>?
)n
?
1?
?
……… 2分
10
?
10
?
?z?
1
100(10?x)(10?y)

Qy?ax
?z?
1
100
[?a(x?
5(1?a)
2
25(1?a)
2
a
)?1 00?
a
]

Q
1
3
?a?1?0?
5(1?a)
a
?10
要使售货金额最大,此时
x?
5(1?a)
a

(2)由题意
Qy?
2
3
x
?z?
1
1 00
(10?x)(10?
2
3
x)?1

?0?x?5

19. (1)记数列1，1，2……为{A
n
}，其中等比数列为{
an
}，公比为q；
等差数列为{b
n
}，公差为d，则A
n =
a
n
+b
n
(
n
∈
N+
）
依题意，b
1
=0，∴A
1
=
a
1
+b
1
=
a
1
=1 ①

A
2
=
a
2
+b
2
=
a
1
q+b< br>1
+d=1 ②
A
2
3
=
a
3
+ b
3
=
a
1
q +b
1
+2d=2 ③
由①②③得d=-1, q=2, ∴
a
n
?2
n?1
,b
n
?1?n
?S
n
?A
1
?A
2
?…?A
n
?a
1
?a
2
?…?a
n
?b
1
?b
2
?…?b
n

?(1?2?…?2
n?1
)?[(1?1 )?(1?2)?…?(1?n)]

?2
n
?1?
n(1?n)
2

20.(1)由方程
f(x)?x?ax
2
?(b?1)x?2?0

- 7 - 9
5分
……… 6分
……… 12分
………3分
………6分
……… 12分
……… 2分
………

Qa?0,0?x
1
?1?x
2< br>?2,令g(x)?ax
2
?(b?1)x?2

?
g(0 )?0
?
a?b?3?0
?
?
?
g(1)?0?
?
?
g(2)?0
?
2a?b?2?0
?
… … … 4分
由线性规划知识知:
?4?
b
??1
……… 6分
a
(2) 由于函数有最小值0
4ac?b
2
?0?4c?
b
2

?a?0,
a

a?2b?
b
2
1?2
b
?(
b
)
2
(1?
b
)
2
?
a?2b?4c
a
b ?a
?
aa
b?a
?
b
?
a
b

a
?1
a
?1
令
b
a
?1?t,Q0?a ?b,?t?0

?
a?2b?4c
b?a
??
(t?2)
2
t
?t?
4
t
?4?24?4?8

当且仅当
t?2
时 “=”成立.

21 (1)
Q|f(x)|?|2x
2
?4x?6|?2|(x?3)(x?2)|


?f(?3)?f(2)?0?a?2,b??3
?f(x)?x
2
?2x?3

(2)
2af(a
2
n
?
n?1
)?3?a
n?1
?2a
n?1
?a
n?1
(a
n?1
?2)(n?2)< br>

?
1
a2
?
a
n?1
2a

n?1
?
n

?b
1
a
2
n< br>a
n
a?a
n
11
n
?
2?a
??
2a
?
n?1
??

n
2a< br>n?1n
a
n?1
a
n?1
a
n
a
n
a
n?1
?S
11
n
?
3
?
a

n?1
Q2a
2
n
?a
n?1
?2a< br>n?1
?a
n
?0

- 8 - 9
………8分
10分
……… 12分
……… 13分
……… 3分
……… 5分
……… 7分
………

?S
n
?
111
??
………9分
3a
n?1
3
22
(3)
Q2a
n
?a
n?1
?2a
n?1
(n?2)?(?a
n?1
?1)?2a
n
?1?2(a
n
?1)
…… 10分
2

令c
n
?a
n
?1,c
1
? 4?2c
n
?c
n?1
(n?2)

?1?log
2
c
n
?2log
2
c
n?1
.令d
n< br>?log
2
c
n
,d
1
?2
?d
n
?1?2d
n?1

?d
n
?1?2(d
n?1< br>?1)?2
2
(d
n?2
?1)?L?2
n?1
(d
1
?1)?2
n?1
(n?2)
… … 12分
?d< br>n
?2
n?1
?1?2
n?1
?c
n
?2< br>d
n
?2
2

?a
n
?c
n
?1?2
2
n?1
n?1
?1
………13分
1?1
当n=1时,
a
1
?3?2
2

?a
n
?c
n
?1?2
2



n?1
?1?1

?1(n?N
*
)
……… 14分
- 9 - 9