2017-2018年安徽省合肥一中高一上学期数学期末试卷(解析版)

2017-2018学年安徽省合肥一中高一（上）期末数学试卷



一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）

1．（5分）已知集合M={x|﹣1≤x＜8}，N={x|x＞4}，则M∪N=（ ）

A．（4，+∞）

2．（5分）函数
A．（﹣2，+∞）

C．

B．[﹣1，4）

C．（4，8）

D．[﹣1，+∞）

的定义域为（ ）

B．（﹣2，﹣1）∪（﹣1，+∞）

D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）

处取得最大值，则函数y=cos（2x+φ） 3．（5分）已知函数y=sin（2x+φ）在x=
的图象（ ）

A．关于点（
C．关于直线x=
，0）对称

对称

B．关于点（
D．关于直线x=
，0）对称

对称

4．（5分）已知a=2
﹣
1.2
，b=log
3
6，c=log
5
10，则a，b，c的大小关系是（ ）

A．c＜b＜a

B．c＜a＜b

C．a＜b＜c

D．a＜c＜b
个5．（5分）若将函数f（x）=sin（2x+）图象上的每一个点都向左平移
单位，得到g（ x）的图象，则函数g（x）的单调递增区间为（ ）

A．[kπ﹣
C．[kπ﹣
，kπ+
，kπ﹣
]（k∈Z）

]（k∈Z）

B．[kπ+
D．[kπ﹣
，kπ+
，kπ+
]（k∈Z）

]（k∈Z）


6．（5分）对于定义在R上的函数y=f（x），若f（ a）?f（b）＜0（a，b∈R，且
a＜b），则函数y=f（x）在区间（a，b）内（ ）

A．只有一个零点

C．无零点

B．至少有一个零点

D．无法判断

7．（5分）已知函数f（ x）=x
2
?sin（x﹣π），则其在区间[﹣π，π]上的大致图象
是（ ）

第1页（共20页）

A．

B．

C．

D．

8．（5分）已知=（2sin13°，2sin77°），|﹣|=1，与﹣的夹角为
（ ）

A．2

9．（5分）（理）设点
﹣cosα的值是（ ）

A．

，则?=
B．3

C．4

D．5

最小时，sinα是角α终边上一点，当
B．

C．或

D．或

10．（5分）已知函数f（x）=，若a、b、c互不相等，且f （a）
=f （b）=f （c），则a+b+c 的取值范围是（ ）

A．（1，2 017）

B．（1，2 018）

C．[2，2 018]

D．（2，2 018）

11．（5分）已知A，B是单位圆O上的两点（O为圆心），∠AOB=120° ，点C是
线段AB上不与A、B重合的动点．MN是圆O的一条直径，则
范围是（ ）

A．

?的取值
B．[﹣1，1）

，]，β∈[﹣
C．

D．[﹣1，0）

）
3< br>﹣sinα﹣2=0，12．（5分）已知α∈[，0]，且（α﹣
8β
3
+2 cos
2
β+1=0，则sin（
A．0



B．

+β）的值为（ ）

C．

D．1

二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）

13．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且周期为4，若f（﹣1）
第2页（共2 0页）

=2，且函数的则f（2017）的值为 ．

14．（5分）已知定义域为R的奇函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，且f（=0，则不等式f（log
4
x）＞0的解集是 ．

15．（ 5分）已知|
若f（t）=|
|=4，||=8，=x
，则|
，且x+2y= 1，∠AOB是钝角，
|的最小值是 ．

]上
]，则
）< br>|的最小值为2
16．（5分）已知函数f（x）=2sin （2x+），记函数f（x）在区 间[t，t+
的最大值为M
t
最小值为m
t
，设函数h（t）=M< br>t
﹣m
t
，若t∈[
函数h（t）的值域为 ．



三、解答题（本题共6道题，17题10分，18-22题每题12分，共70分）

17．（10分）已知集合A={x|m﹣1≤x≤2m+3}，函数f（x）=lg（﹣x
2
+2x+8）的
定义域为B．

（1）当m=2时，求A∪B、（?
R
A）∩B；

（2）若A∩B=A，求实数m的取值范围．

18．（12分）已知sin（π﹣α）﹣cos（π+α）=
的值：

（1）sinα﹣cosα；

（2）．

．求下列各式
1 9．（12分）函数f（x）=log
a
（1﹣x）+log
a
（x+3）（ 0＜a＜1）．

（1）求函数f（x）的零点．

（2）若函数f（x）的最小值为﹣2，求a的值．

20．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点
终边与单位圆O交于点P．

（Ⅰ）当时，求α的值；

恒成立？若存在，求出点M
，，锐角α的
（Ⅱ）在轴上是否存在定点M，使得
的横坐标；若不存在，说明理由．

第3页（共20页）

21．（12分）已知 函数f（x）为R上的偶函数，g（x）为R上的奇函数，且f（x）
+g（x）=log
4< br>（4
x
+1）．

（1）求f（x），g（x）的解析式；

（2）若函数h（x）=f（x）﹣
求实数a的取值范围．

22．（12分）已知f（x）=ax
2
﹣2x+2，a∈R

（1）已知h（10
x
）=f（x）+x+1，求h（x）的解析式；

（2）若f（x）＞0在x∈[1，2]恒成立，求a的取值范围；

（3）设函数F （x）=|（fx）|，若对任意x
1
，x
2
∈[1，2]，且x
1
≠x
2
，满足
＞0，求实数a的取值范围．



在R上只有一个零点，
第4页（共20页）

2017-2018学年安徽省合肥一中高一（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析



一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）

1．（5分）已知集合M={x|﹣1≤x＜8}，N={x|x＞4}，则M∪N=（ ）

A．（4，+∞）

B．[﹣1，4）

C．（4，8）

D．[﹣1，+∞）

【解答】解：∵集合M={x|﹣1≤x＜8}，N={x|x＞4}，

∴M∪N={x|x≥﹣1}=[﹣1，+∞）．

故选：D．

2．（5分）函数
A．（﹣2，+∞）

C．

的定义域为（ ）

B．（﹣2，﹣1）∪（﹣1，+∞）

D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）

，解得x＞﹣2且x≠﹣1．

的定义域为（﹣2，﹣1）∪（﹣1，+∞）．

【解答】解：由
∴函数
故选：B．

3．（5分）已知函数y=sin（2x+φ）在x=
的图象（ ）

A．关于点（
C．关于直线x=
，0）对称

对称

处取得最大值，则函数y=cos（2x+φ）
B．关于点（
D．关于直线x=
，0 ）对称

对称

+φ）=1，

【解答】解：∵函数y=s in（2x+φ）在x=
∴cos（
处取得最大值，∴sin（
+φ）=0，∴函数y =cos（2x+φ）的图象关于点（，0）对称，

故选：A．

4．（5 分）已知a=2
﹣
1.2
，b=log
3
6，c=log
5
10，则a，b，c的大小关系是（ ）

A．c＜b＜a

B．c＜a＜b

C．a＜b＜c

D．a＜c＜b
【解答】解：a=2
﹣
1.2
＜1，b=log
3
6=1+lo g
3
2，c=log
5
10=1+log
5
2，而log< br>3
2＞log
5
2＞0，
∴b＞c．

第5页（共20页）

∴b＞c＞a．

故选：D．

5．（5分）若将函数f（x）=sin（2x+）图象上的每一个点都 向左平移个
单位，得到g（x）的图象，则函数g（x）的单调递增区间为（ ）

A．[kπ﹣
C．[kπ﹣
，kπ+
，kπ﹣
]（k∈Z）

]（k∈Z）

B．[kπ+
D．[kπ﹣
，kπ+
，kπ+
]（k∈Z）

]（k∈Z）

个

【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+
单位，得到g（x）=sin[2（x+）+
）图象上的每一个点都向左平移
]=﹣s in2x的图象，

≤2x≤2kπ+，求得kπ+故本题即求y=sin2x的减区间，令2 kπ+
kπ+，

≤x≤
故函数g（x）的单调递增区间为[kπ+
故选：B．

，kπ+]，k∈Z，

6．（5分）对于定义在R上的函数y=f（x），若f（a ）?f（b）＜0（a，b∈R，且
a＜b），则函数y=f（x）在区间（a，b）内（ ）

A．只有一个零点

C．无零点

B．至少有一个零点

D．无法判断

【解答】解：函数y=f（ x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，“f（a）
?f（b）＜0”

∴函数f（x）在区间[a，b]上至少有一个零点，也可能有2，3或多个零点，

但是如果函数不是连续函数，在区间（a，b）上可能没有零点；f（x）=
函数不是列出函数，定义域 为R，没有零点．

则函数y=f（x）在区间（a，b）内的零点个数，无法判断．

故选：D．

7．（5分）已知函数f（x）=x
2
?sin（x﹣ π），则其在区间[﹣π，π]上的大致图象
是（ ）

，
第6页（共20页）

A．

B．

C．

D．

【解答】解：f（x）=x
2
?sin（x﹣π）=﹣x
2
?sinx，

∴f（﹣x ）=﹣（﹣x）
2
?sin（﹣x）=x
2
?sinx=﹣f（x），

∴f（x）奇函数，

∵当x=时，f（）=﹣＜0，

故选：D．

8．（5分）已知=（2sin13°，2sin77°），|﹣|=1，与﹣的夹角为
（ ）

A．2

B．3

C．4

D．5

，则?=
【解答】解：=（2sin13°，2sin77°）=（ 2sin13°，2cos13°），||=2，

|﹣|=1，与﹣的夹角为
所以
∴?=3，

故选：B．

9．（5分）（理）设点
﹣cosα的值是（ ）

A．

，

=﹣，1=4﹣，

=
是角α终边上一点，当最小时，sinα
B．

C．或

D．或

【解答】解：∵
故当
当

∈（﹣∞，﹣2]∪[2，﹣∞）

最小

﹣（﹣）=

=±2时，
=﹣2时，sinα﹣cosα=
第7页（共20页）

当=2时，sinα﹣cosα=﹣=﹣

故选：D．

10．（5分）已知函数f（x）=，若a、b、c互不相等，且f （a）
=f （b）=f （c），则a+b+c 的取值范围是（ ）

A．（1，2 017）

B．（1，2 018）

C．[2，2 018]

D．（2，2 018）

【解答】解：作出函数的图象，直线y=m交函数图象于如图，

不妨设a＜b＜c，

由正弦曲线的对称性，

可得（a，m）与（b，m）

关于直线x=对称，

因此a+b=1，

当直线y=m=1时，

由log
2017
x=1，

解得x=2017，即x=2017，

∴若满足f（a）=f（b）=f（c），（a、b、c互不相等），

由a＜b＜c可得1＜c＜2017，

因此可得2＜a+b+c＜2018，

即a+b+c∈（2，2018）．

故选：D．


11．（5分）已知A，B是单位圆O上的两点（O为圆心） ，∠AOB=120°，点C是
线段AB上不与A、B重合的动点．MN是圆O的一条直径，则
范围是（ ）

A．

?的取值

B．[﹣1，1）

C．

D．[﹣1，0）

第8页（共20页）

【解答】解：如图，

∵OA=OB=1，∠AOB=120°；

∴O到直线AB的距离d=；

∴
∴
=
=
∴
∴
；

；

的取值范围为．


；


故选：A．


12．（5分）已知α∈[，]，β∈[﹣，0]，且（α﹣）
3
﹣sin α﹣2=0，
8β
3
+2cos
2
β+1=0，则sin（
A．0

【解答】解：∵（α﹣
可得：（α﹣
B．

+β）的值为（ ）

C．

D．1

）
3
﹣sinα﹣2=0，

）﹣2=0，即（﹣α）
3
+cos（）+2=0

）
3< br>﹣cos（
由8β
3
+2cos
2
β+1=0，

得（2β）
3
+cos2β+2=0，

∴可得f（x）=x
3
+cosx+2=0，

其

，x
2
=2β．

第9页（共20页）

∵α∈[
∴
，]，β∈[﹣，0]，

∈[﹣π，0]，2β∈[﹣π，0]

可知函数f（x）在x∈[﹣π，0]是单调 增函数，方程x
3
+cosx+2=0只有一个解，

可得
∴
那么sin（
故选：B．



二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）

13．（5分）已知函数y =f（x）是定义在R上的奇函数，且周期为4，若f（﹣1）
=2，且函数的则f（2017）的值为 ﹣2 ．

【解答】解：∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数且f（﹣1）=2，

∴f（1）=﹣2，

又∵函数的周期为4，

∴f（2017）=f（4×504+1）=f（1）=﹣2，

故答案为：﹣2

14．（5分）已知定义域为R的奇函数f（x）在（0，+∞）上 是增函数，且f（
=0，则不等式f（log
4
x）＞0的解集是 （，1）∪（2，+∞） ．

【解答】解：定义域为R的奇函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，且f（
=0，

可得f（x）在（﹣∞，0）上是增函数，且f（）=﹣f（）=0，

）
）
，即
，

+β）=sin=．

，

当log
4
x＞0即x＞1，f（log
4
x ）＞0即为log
4
x＞，解得x＞2；

当log
4
x＜ 0即0＜x＜1，f（log
4
x）＞0即为log
4
x＞﹣，解得＜x＜1 ．

综上可得，原不等式的解集为（，1）∪（2，+∞）．

故答案为：（，1）∪（2，+∞）．

15．（5分）已知|

|=4，||=8，=x，且x+2y=1，∠AOB是钝角，
第10页（共20页）

若f（t）=||的最小值为2，则||的最小值是 4 ．

，

|有最小值，即||=2，

【解答】解：∵f（t）=|
根据图形可知，当（
，∵||=4，

）
|的最小值为2
时，f（t）=|
∴∠AOM=30°，

∴∠AOB=120°，

∴
∵
∴
=x
=
=
，且x+2y=1，

++2xy，

=4×=﹣16，

∵16x
2
+ 64y
2
﹣32xy=192y
2
﹣96y+16≥4，

即||的最小值4，


故答案为：4．

16．（5分）已知函数f（x）=2sin （2x+），记函数f（x）在区间[t，t+]上]，则的最大值为M
t
最小值为m
t
，设函数h（t）=M
t< br>﹣m
t
，若t∈[
函数h（t）的值域为 [1，2
【解答】解：f（x）=2sin （2x+
∴f（x） 在[﹣
k∈Z，

第11页（共20页）

] ．

），

+kπ，π+kπ]上单调递减，+kπ，+kπ]上单调递增，在（

∵t∈[
当t∈[
当t+
，
∈[
]，∴t+∈[，]，

]，f（x）单调递增，最大值为2，

，]上（fx）单调递减，最小值为2sin（2t+
），t∈[，]，

+）=2cos（2t+），

那么h（t）=2﹣2cos（2t+
∴2t+∈[，]，

可得函数的h（t）的值域为[1，2]，

当t∈（
当t+∈[
，
，
]，f（x）单调递减，最大值为sin（2t+
]上（fx）单调递减，最小值为 2sin（2t+
）﹣2cos（2t+
]，

]，

]，

）=2sin（2t﹣
），

+）=2cos（2t+
，
），

]，那么h（t）=sin（2t +
∴2t﹣∈（，
），t∈（
可得函数的h（t）的值域为[2，2
综上可得函数h（t）值域为[1，2
故答案为：[1，2


]

三、解答题（本题共6道题，17题10分，18-22题每题12分，共70分）

17．（10分）已知集合A={x|m﹣1≤x≤2m+3}，函数f（x）=lg（﹣x
2
+2x+8）的
定义域为B．

（1）当m=2时，求A∪B、（?
R
A）∩B；

（2）若A∩B=A，求实数m的取值范围．

【解答】解：（1）根据题意，当m= 2时，A={x|1≤x≤7}，B={x|﹣2＜x＜4}，

则A∪B={x|﹣2＜x≤7}，

又?
R
A={x|x＜1或x＞7}，

则（?
R
A）∩B={x|﹣2＜x＜1}，

（2）根据题意，若A∩B=A，则A?B，

分2种情况讨论：

①、当A=?时，有m﹣1＞2m+3，解可得m＜﹣4，

②、当A≠?时，

第12页（共20页）

若有A?B，必有，解可得﹣1＜m＜，

综上可得：m的取值范围是：（﹣∞，﹣4）∪（﹣1，）．

18．（12分）已知sin（π﹣α）﹣cos（π+α）=
的值：

（1）sinα﹣cosα；

（2）．

，

．求下列各式
【解答】解：（1）由 sin（π﹣α）﹣cos（π+α）=
得sinα+cosα=．①

将①式两边平方，得1+2sinαcosα=．

∴2sinαcosα=﹣．

又，

∴sinα＞0，cosα＜0．

∴sinα﹣cosα＞0．

∴（sinα﹣cosα）
2
=（sinα+cosα）
2
﹣4sinαco sα=
∴sinα﹣cosα=；

（2）
=（cosα﹣sinα）（co sα+sinα）=
=cos
2
α﹣sin
2
α

．

=．

19．（12分）函数f（x）=log
a（1﹣x）+log
a
（x+3）（0＜a＜1）．

（1）求函数f（x）的零点．

（2）若函数f（x）的最小值为﹣2，求a的值．

【解答】解：（1）要使函数有意义：则有
所以函数的定义域为：（﹣3，1），
< br>函数可化为f（x）=log
a
（1﹣x）（x+3）=log
a
（﹣ x
2
﹣2x+3），

由f（x）=0，得﹣x
2
﹣2x+3=1，

第13页（共20页）

，解之得：﹣3＜x＜1，

即x
2
+2x﹣2=0，

解得x=﹣1±
∵x=﹣1±
，

∈（﹣3，1），

；

∴f（x）的零点是﹣1±
（2）函数可化为：

f（x）=log
a
（1﹣x）（x+3）

=log
a
（﹣x
2
﹣2x+3）

=log
a
[﹣（x+1）
2
+4]，

∵﹣3＜x＜1，

∴0＜﹣（x+1）
2
+4≤4，

∵0＜a＜1，

∴log
a
[﹣（x+1）
2
+ 4]≥log
a
4

即f（x）
min
=log
a
4，

由题知，log
a
4=﹣2，

∴a
﹣
2
=4

∴a=．

20．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点
终边与单位圆O交于点P．

（Ⅰ）当时，求α的值；

恒成立？若存在，求出点M
，，锐角α的
（Ⅱ）在轴上是否存在定点M，使得
的横坐标；若不存在，说明理由．


【解答】解：（ I）P（cosα，sinα）．…（2分）

，

第14页（共20页）

=cos
2
α﹣cosα
因为，所以，即
．…（7分）

，

+sin
2
α=﹣cosα，

因为α为锐角，所以
（Ⅱ）法一：

设M（m，0），

则，

，

因为
所以
，所以
对任意
，…（12分）

成立，

所以，所以m=﹣2．M点的横坐标为﹣2．…（16分）

法二：设M（m，0），

则
，

因为
所以
﹣2）﹣2cosα]=0，

因为α可以为任意的锐角，（m﹣2）﹣2cosα=0不能总成立，

所以m+2=0，即m=﹣2，M点的横坐标为﹣2．…（16分）

21．（12分 ）已知函数f（x）为R上的偶函数，g（x）为R上的奇函数，且f（x）
+g（x）=log
4
（4
x
+1）．

（1）求f（x），g（x）的解析式；

（2）若函数h（x）=f（x）﹣
求实数a的取值范围．

【解答】解：（1）因为，
第15页（共20页）

，
，

，即m
2
﹣2mcosα﹣4cosα﹣4=0，（m+2）[（m
在R上只 有一个零点，
…①，

∴
由①②得，
（2
，∴
，．

）
…②

由

=
得：
令t=2
x
，则t＞0，即方程
①当a=1时，，满足条件；

．

，

…（*）只有一个大于0的根，

②当方程（*）有一正一负两 根时，满足条件，则
③当方程（*）有两个相等的且为正的实根时，

则△=8a
2
+4（a﹣1）=0，∴
综上：或a≥1．

，a=﹣1（舍）时，
，∴a＞1，

，

22．（12分）已知f（x）=ax
2
﹣2x+2，a∈R

（1）已知h（10
x
）=f（x）+x+1，求h（x）的解析式；

（2）若f（x）＞0在x∈[1，2]恒成立，求a的取值范围；

（3）设函数F （x）=|（fx）|，若对任意x
1
，x
2
∈[1，2]，且x
1
≠x
2
，满足
＞0，求实数a的取值范围．

【解答】解： （1）令10
x
=t即x=lgt，由h（10
x
）=ax
2
﹣x+3得h（t）=alg
2
t﹣lgt+3

即h（x）=alg
2
x﹣lgx+3

（2）由题意得：ax2
﹣2x+2＞0即
，当x=2时
所以a得取值范围为

恒成立，

，

（3）由题意得F（x）=|f（x）|在x∈[1，2]单调递增，

①当a＜0时 ，f（x）=ax
2
﹣2x+2，对称轴为
第16页（共20页）

又因为f（0）＞0且f（x）在x∈[1，2]单调递减，且f（1）=a＜0，

所以F（x）=|f（x）|在x∈[1，2]单调递增．

②当a=0时，f（x） =﹣2x+2，f（x）在x∈[1，2]单调递减，且f（1）=0，

所以F（x）=|f（x）|在x∈[1，2]单调递增；

③当时，f（x）=ax
2
﹣2x+2，对称轴为，

所以f（x）在x∈[1，2]单调递减，

要使F（x）=|f（x）|在x∈[1，2]单调递增．f（1）=a＜0不符合，舍去；

④当时，f（x）=ax
2
﹣2x+2，对称轴为，

可知F（x）=|f（x）|在x∈[1，2]不单调．

⑤当a≥1时，f（x）= ax
2
﹣2x+2，对称轴为
所以f（x）在x∈[1，2]单调递增，f（1）=a ＞0

要使F（x）=|f（x）|在x∈[1，2]单调递增．故a≥1；

综上所述，a的取值范围为（﹣∞，0]∪[1，+∞）


二次函数
（1）一元二次方程
ax?bx?c?0(a?0)
根的分布
一元二次方程 根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所
涉及，但尚不够系统和完整，且解决 的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系
定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性 质，系统地来分析一元二次方程
实根的分布．
设一元二次方程
ax?bx ?c?0(a?0)
的两实根为
x
1
,x
2
，且
x
1
?x
2
．令
从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：
a
②对称轴位置：
f(x)?ax
2
?bx?c
，
2< br>2

赠送—高中数学知识点
x??
b
③判别式：
?
④端点函数值符号．
2a
y
f(k)?0
?
①k＜x
1
≤x
2

?

y
a?0
x??
b
2a
O
k
x
1
x ??
k
x
2
b
2a
O
x
?
x1
x
2
x
a?0
f(k)?0

第17页（共20页）

②x
1
≤x
2
＜k
?

y
a?0
O
y
f(k)?0
?
x??
O
b
2a
x
1< br>x
2
k
x
b
2a
k
x
2
?
x
1
a?0
x
x??
f(k)?0

③x
1
＜k＜x
2

?
af(k)＜0
y
a?0
y
?
f(k)?0
x
2
x
a?0
O
k
?
x
1
x
2
x
x< br>1
O
k
f(k)?0




④k
1
＜x
1
≤x
2
＜k
2

?



y
?
?
a?0
yx??
f(k
1
)?0
f(k)?0
2
x
1< br>x
2
k
2
x
O
b
2a
O
k
1
k
1
?
x
1
x
2
?
k
2
x
b
x??
2a

f(k
1
)?0
a?0
f(k
2
)?0

⑤有且仅有一个根x
1
（或x
2
）满足k
1
＜x< br>1
（或x
2
）＜k
2

?
f(k
1
)f(k
2
)
?
0，并同
时考虑f(k
1
)=0或f(k
2
)=0这两种情况是否也符合

y
?
a?0
y
f(k
1
)?0
?
f(k
1)?0
x
1
k
2
?
O
k
1
x
2
x
O
x
1
k
1
a?0
x
2
?
k
2
x
f(k
2
)?0
f(k2
)?0

⑥k
1
＜x
1
＜ k
2
≤p
1
＜x
2
＜p
2

?

此结论可直接由⑤推出．
（5）二次函数
f(x)?a x?bx?c(a?0)
在闭区间
[p,q]
上的最值
第18页（共20页）

2

设
f(x)
在区间
[p,q]
上的最大值为
M
，最小值为< br>m
，令
x
0
?
（Ⅰ）当
a?0
时（开口向上 ）
①若
?
1
(p?q)
．
2
bbbb
?p
，则
m?f(p)
②若
p???q
，则
m?f(?)
③若
??q
，
2a2a2a
则
m?f(q)



?
??
?

??

f
f

(q)

(p)

f

O
(q)

x

f
O
x

f(
(p)
?
b
f(?
b
2

a
)
2a
)




①若
?
b
2a
?x
(q)
②
?
b
0
，则
M?f
2a
?x
0
，则
M?f(p)

?

?
??
??

f

f
(p)
x


x
(q)
?
0

?
0
O
x

O
x

f
f
f(?
b

f(
(p)
?
b
2

a
)
(q)

2a
)
(Ⅱ)当
a?0
时(开口向下)
①若
?
b
2a
?p
，则
M?f(p)
②若
p??
b
2a
?q
，则
M?f(?
b
2a
)

则
M?f(q)




?
f(?
b
)
?
f(?
b

2a
f
f
2a
)

(p)

(p)



O
x
O
x

ff
??
(q)

??

(q)

①若
?
b
2a
?x
?f(q)
②
?
b
0
，则
m
2a
?x
0
，则< br>m?f(p)
．
第19页（共20页）

2a
?
??
f
(p)

O
f
f(?
b
)
(q)

2a
③ 若
?
b
2a
?q
，
?
f
f
(?< br>b
2a
)
(q)

O
f
(p)

??
x

x

?
f(?
f
(p)

O
b
)
2a
?
f
f
(?
b
)
2a
(q)
< br>x
0
?
x
x
0
?
O
f
??
(q)


x
??
f
(p)


第20页（共20页）