高中数学选修4一4乐乐课堂-高中数学必修3第二章测试卷答案
安徽省阜阳市阜南县实验中学2019-2020学年高一数学12月月考试题
一、选择题(每小题5分,共60分) 姓名
1.“
x?1
”是“
x
2
?x?0
”的 ( )
A.充分而不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.以下三个命题:
①“
x?2
”是“
x
2
?3
x?2?0
”的充分不必要条件;②若
p?q
为假命题,则
p
,q
均为
假命题;
③对于命题
p
:
?x?R
,
使得
x
2
?x?1?0
;则
?p
是:
?x?R,均有
x
2
?x?1?0
.
其中正确的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.为了推进课堂改革,提高课堂效率,容县一中
引进了平板教学,开始推进“智慧课堂”改
革.学校
教务处为了了解我校高二年级同学平板使
用情况,从高二年级923名同学中抽取50名同
学进行
调查.先用简单随机抽样从923人
中剔除23人,剩下的900人再按系统抽样方法抽取50
人,
则在这923人中,每个人被抽取的可能性 ( )
A.都相等,且为
相等
4.公元263年左右,我国数学家刘徽发现,当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形的
面积可
无限逼近圆的面积,并创立了“割圆术”.利用“割圆术”,刘徽得到
了圆周率精确到
小数点后两位的
近似值为3.14,这就是著名的“徽率”.如图所示是利用刘徽的“割
圆术
”思想设计的一个程序框图,其中
n
表示圆内接正多边形的边数,
执行此算法输出的圆周率的近似值依次为( )
(参考数据:
3≈1.732<
br>,
sin15?0.2588
,
sin7.5?0.1305
)
A.3,3.1056,3.1420 B.3,3.1056,3.1320
- 8 -
1
B.不全相等
18
C.都相等,且为
50
D.都不
923
C.3,3.1046,3.1410
D.3,3.1046,3.1330
5.下列四个数中,数值最小的是( )
A.
25
(10)
B.
54
(6)
C.
10110
(4)
D.
10111
(2)
x
2
y
2
x
2
y
2
6.已知椭圆
E
:
??1
与双曲线
C
:
2
??1
(a?0
,
b?0
)有相同的焦点,
112a5
则双曲线
C
的渐近线方程为( )
A.
y??
355255
x
B.
y??x
C.
y??x
D.
y??x
5352
7.
在长方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1<
br>中,
AB?4
,
AD?AA
1
?2
,点
P<
br>为
CC
1
的中点,
则异面直线
AP
与
C<
br>1
D
1
所成角的正切值为 ( )
A.
5
4
B.
3
4
C.
2
4
D.
1
4
8.《孙子算经》中曾经记载,中国古代诸侯
的等级从高到低分为:公、侯、伯、子、男,共有
五级.
若给有巨大贡献的
2
人进行封爵,则两人不被封同一等级的概率为( )
A.
2
5
B.
1
5
22
C.
4
5
D.
3
5
9.已知
F
1
、
F
2
为双曲线C:
x?y?1
的左、右焦点,点
P
在
C
上,∠
F
1<
br>P
F
2
=
60
0
,
则
P
到
x
轴的距离为
A.
3
2
B.
6
2
C.
3
D.
6
10.某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球,每人练习10组,每组罚球
40个.命中个数的茎叶图如下图,则下面结论中错误的一个是( )
..
A.甲的极差是29
C.甲罚球命中率比乙高
B.甲的中位数是24
D.乙的众数是21
11.剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一,作为一种镂空艺术,它能
给人以视觉上的
艺术享受.在如图所示的圆形图案中有12个树叶状图形(即图中阴影部分),构成树叶状图形的圆弧均相同.若在圆内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是
- 8 -
( )
A.
2?
33
π
B.
4?
63
π
C.
33
π
D.
63
π
x
2
y
2
12.设椭圆
C
:
2
+
2
=1(
a
><
br>b
>0)的左、右焦点分别为
F
1
、
F
2
,
其焦距为2
c
,点
a
b
Q
(
c
,
3
a
)在椭圆的外部,点
P
是椭圆
C
上的动点,且
PF
1
?PQ<F
1
F
2
恒成立,
2
2
则椭圆离心率的取值范围是( )
?
25
?<
br>A.
?
?
2
,
6
?
?
?
?
2
?
23
?
B.
?
?
2
,4
?
?
??
C.
?
,1
?
?
5
?
?
6
?
D.
?
?
3
?
,1
?
4
??
二、填空题(每小题5分,共20分)
13.抛物线
y?ax
的准线方程是
y??1,则a
的值为
。
14.定积分
?
?
2
0
4?x
2
?x
dx?
__________.
?
15.为了了解学校(共三个年级)的数学学习情
况,教导处计算高一、高二、高三三个年级的
平均
成绩分别为
112,115,11
8
,并进行数据分析,其中三个年级数学平均成绩的标准差为
____________. <
br>16.一个四面体的顶点在空间直角坐标系
O?xyz
中的坐标分别是
A(0,
0,5)
,
B(3,0,0)
,
C(0,1,0)
,
D(
3,1,5)
,则该四面体的外接球的体积为__________.
三、解答题(第17小题10分,其余每小题12分,本大题共70分 )
17.(本小题满分10分)某校从高二年级学生中随机抽取60名学生,将期中考试的政治成绩
(均为整数)分成六段:
[40,50),[50,60),[60,70),
图.
(1)根据频率分布直方图,分别求
a
,众数,中位数。
(2)估计该校高二年级学生期中考试政治成绩的平均分。
(3)用分层抽样的方法在各分数
段的学生中抽取一个容量为
[90,100]
后得到如下频率分布直方
90)
20的样本,则在
[70,
分数段抽取的人数是多少?
- 8 -
18.某测试团队为了研究“饮酒”对“驾车安全”的影响,随机选取
100
名驾驶员先后在无酒
状态、
酒后状态下进行“停车距离”测试.试验数据分
别列于表
1
和表
2
.统计方法中,同一组数
据常用
该组区间的中点值作为代表.
停车距离
d
(米)
?
10,20
?
频数
表
1
平均每毫升血液酒精含量
x
毫克
平均停车距离
y
米
?
20,30
?
?
30,40
?
?
40,50
?
?
50,60
?
40
30
24
4
2
10
30
表
2
30
50
50
60
70
70
90
90
(1
)根据最小二乘法,由表
2
的数据计算
y
关于
x
的回归方程
y?bx?a
;
(2)该测试团队认为:驾驶员酒后驾车的平均“停车距离”
y
大于无酒状态下(表
1
)的停
车距离平均数的
3
倍,则
认定驾驶员是“醉驾”.请根据(1)中的回归方程,预测当每毫
升血液酒精含量大于多少毫克时为“醉
驾”?
附:回归方程
y?bx?a
中,
b?
?
?
x?x
??
y?y
?
?
xy?nx?y
iiii
i
?1
nn
?
?
x?x
?
i
i?1
n
2
?
i?1
?
x
i?1
n
2
i
?nx
2
,
a?y?bx
.
19.设抛物线
C
:
x
2
?2py(p?0)
的焦点为
F
,
M(p,p?1)
是
C
上的点.
(1)求
C
的方程:(2
)若直线
l
:
y?kx?2
与
C
交于
A
,
B
两点,且
AF?BF?13
,求
k
的值.
- 8 -
20、如图,在四棱锥
P?AB
CD
中,
PB?
底面
ABCD
,底面
ABCD
为梯
形,
AD∥BC
,
AD?AB
,且
PB?AB?AD?3
,
BC?1
.
题
号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12
(
1
1)若点
F
为
PD
上一点且PF?PD
,证明:
CF
3
(2)求二面角
B?PD?A
的大小.
21.已知
a?R
,函数
f(x)?(?
x
2
?ax)e
x
(x?R)
.
平面
PAB
.
(1)当
a?2
时,求函数
f(x
)
在
?
0,2
?
上的最值;
(2)若函数
f(x
)
在
(?1,1)
上单调递增,求
a
的取值范围.
1
x
2
y
2
22.已知椭圆
E:
2
?
2
?1(a?b?0)
的一个顶点为
0,3
,离心率为.
2
ab
??
(Ⅰ)求椭圆
E
的方程;
(Ⅱ)设过
椭圆右焦点的直线
l
1
交椭圆于
A、B
两点,过原点的直线
l
2
交椭圆于
C、D
两点.
若
l
1
|CD|
2
l
2
,求证:为定值.
AB
数学答案
- 8 -
答
案
A B C B D D
A C B B B C
1
3、 14、
?
?2
15、
6
.
16、
9
?
2
采用补体法,由空间点坐标可知,该四面体的四个顶
点在一个长方体上,该长方体的
长宽高分别为
3,1,5
,长方体的外接球即为该四面
体的外接球,外接球的直径即为长方体
的体对角线
3?1?5?3
,所以球半径为3
2
,体积为
4
3
?
r
3
?
9
?
2
17.解:(1)由题意得,
(0.01?0.015?2
?a?0.025?0.005)?10?1
,得
a?0.03
;
根据频率分布直方图可知:
[70,80)
分数段的频率最高,因此众数为75; <
br>又由频率分布直方图可知:
[40,70)
分数段的频率为
0.1?0.15?
0.15?0.4
,
因为
[70,80)
分数段的频率为
0.3<
br>,所以,中位数为
70?
1220
3
?10?
3
.
(2)由题中数据可得:该校高二年级学生政治成绩的平均分估计为:
(45?0.01?5
5?0.015?65?0.015?75?0.03?85?0.025?95?0.005)?10?71<
br>;
(3)因为总体共60名学生,样本容量为20,因此抽样比为
20
60?
1
3
;
又在
[70,90)
分数段共有
6
0?(0.3?0.25)?33
人,
因此,在
[70,90)
分数段抽取
的人数是
33?
1
3
?11
人.
18.解:(1)依题意,可知
x?50
,
y?60
,
?
5
x
i
y
i
?10?30?30?50?50?60?70
?70?90?90
?17800
,
i?1
?
5
x
22
i
?10?30
2
?50
2
?70
2
?90
2
?16500
,
i?1
5
b?
?x
i
y
i
?5x?y
i?1
17800?5?50?6
0
?
5
x
2
16500?5?50
2
?
7
10
,
a?y?bx?60?
7
10
?50?25
.
i
?5x
2
?
i?1
因此,回归直线方程为
y
?0.7x?25
;
- 8 -
(2)停
车距离的平均数为
d?15?
24403042
?25??35??45??55??
27
,
100
当
y?3?27
,即
y?81
时认
定驾驶员是“醉驾”,
令
y?81
,得
0.7x?25?81
,解
得
x?80
,
因此,当每毫升血液酒精含量大于
80
毫克时认定为“醉驾”.
19.解:
(1)因为
M
?
p,p?1
?
是
C
上的点,
所以
p?2p
?
p?1
?
,
2
2
因为
p?0
,解得
p?2
,抛物线
C
的方程为
x?4y
.
(2)设
A
?
x
1
,y
1
?
,
B
?
x
2
,y
2
?
,
?
y?kx?2
由
?
2
得
x
2
?4kx
?8?0
,
??16k
2
?32?0
?
x?
4y
则
x
1
?x
2
?4k
,
x
1
x
2
??8
,由抛物线的定义知,
AF?y
1
?1
,
BF?y
2
?1
,
则
AF?BF?
?
y
1
?1
??
y
2
?1
?
??
kx
1
?3
??
kx
2
?3
?,
?k
2
x
1
x
2
?3k
?
x
1
?x
2
?
?9
?4k
2
?9?13
解得
k??1
.
20.(1)作
FHA
D
交
PA
于
H
,连接
BH
11
PF?PD
?HF?AD?1
33
又
ADBC
且
BC?1
?HFBC
且
HF?BC
?
四边形
HFCB
为平行四边形
?CFBH
BH?
平面
PAB
,
CF?
平面
PAB
?CF
平面
PAB
(2)
PB?
平面
A
BCD
,
BC?
平面
ABCD
?PB?BC
又
AD?AB
,
ADBC
?AB?BC
则可以
B
为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系
则
B
?
0,0,0
?
,
P
?
0,0,3
?
,
D
?
3,3,0
?
,
A
?
0,3,0?
?PD?
?
3,3,?3
?
,
PA??
0,3,?3
?
,
BD?
?
3,3,0
?<
br>
设平面
PAD
法向量
n
1
?
?
x
1
,y
1
,z
1
?
- 8 -
?
?
n
1
?PD?3x
1
?3y
1
?3z
1
?0
则
?
,令
z1
?1
,则
y
1
?1
,
x
1
?0
?n
1
?
?
0,1,1
?
设
?
?
n
1
?PA?3y
1
?3z
1?0
平面
PBD
的法向量
n
2
?
?
x
2
,y
2
,z
2
?
?
?
n
2
?PD?3x
2
?3y
2
?3z
2
?0
则
?
,令
x
2
?1
,则
y
2
??1
,
z
2
?0
?n
2
?
?
1,?1,0
?
n?BD?
3x?3y?0
?
22
?
2
?cos?n
1
,n<
br>2
??
n
1
?n
2
?11
???
??n
1
,n
2
??
2
?
n
1
n
2
2
2?2
3
?
3
二面角
B?PD?A
为锐二面角
?
二面角
B?PD?A
的大小为
21、解:(1) 当a=2时,f
(x)=(-x
2
+2x)e
x
,f′(x)=(-x
2
+
2)e
x
.
令f′(x)=0,则x=-
2
或x=
2
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x
f′(x)
0
(0,
2
)
+
2
0
极大值
(
2
,2)
-
2
f(x) f(0)=0 ↗
f(
2
)
↘ f(2)=0
所以,f(x)
max
= f(
2
)=(-2+2
2
)
e
2
,f(x)
min
= f(0)=0.
(2)、因为函数f(x)在(-1,1)上单调递增,所以f′(x)≥0在(-1,1)上恒成立.
又f′(x)=[-x
2
+(a-2)x+a]e
x
,即[-x2
+(a-2)x+a]e
x
≥0,注意到e
x
>0,
因此-x
2
+(a-2)x+a≥0在(-1,1)上恒成立,
1
x
2
?2x
也就是a≥=x+1-在(-1,1)上恒成立. <
br>x?1
x?1
1
1
设y=x+1-,则y′=1+
2
>0,
?
x?1
?
x?1
即y=x+1-
1133
在(-1,1)上单调递增,则y<1+1-=,故a≥.
x?11?122
3
.
22、解:(Ⅰ)依题意,
b?
- 8 -
由
a
2
?b
2
a
?
1
2
,得
a2
?
4
3
b
2
?4
. ∴椭圆
E
的方程为
x
2
y
2
4
?
3
?1<
br>.
(Ⅱ)证明:(1)当直线
AB
的斜率不存在时,易求
AB=3<
br>,
CD?23
,
则
|CD|
2
AB
?4
.
(2)当直线
AB
的斜率存在时,
设直线
AB
的斜率为
k
,依题意
k?0
,
则直线
AB
的方程为
y?k
?
x?1
?
,直线
C
D
的方程为
y?kx
.
设
A(x
1
,y
1
)
,
B(x
2
,y
2
)
,
C(
x
3
,y
3
)
,
D(x
4
,y
4
),
?
x
2
y
2
由
?
?
4
??1
得
?
3?4k
2
?
x
2
?8k
2
?4k
2
?12?0
,
?
3<
br>
?
y?k
?
x?1
?
8k
2
则<
br>x
4k
2
?12
1
?x
2
?
3?4
k
2
,
x
1
x
2
?
3?4k
2<
br>,
AB?1?k
2
xk
2
?
?
?
8k
2
?
2
?
4k
2
?12
?
1
2
?
1?k
2
?
1
?x
2
?1?
.
?
3?4k
2
?
?
?4
?
?
3?4k
2
?
?
?
3?4k
2
?
x
2
y
2
由
?
?
?
4
?
3
?1
整理得
x
2
?
12
,
?
y?kx
3?4k
2
则
x
43
3
?x
4
?
..
3?4k
2
CD?1?k
2
x
3
?
x
4
?4
3
?
1?k
2
?
3?4k
2
∴
|CD|
2
48
?
1?k
2
?3?4k
2
AB
?
3?4k
2
?
12
?
1?k
2
?
?
4
.
综上可得,
|CD|
2
AB
?4
为定值.
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8 -