2019-2020学年安徽省淮北市新高考高一数学下学期期末达标检测试题

2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1
．某部门为了了解用电量（单位：度）与气温（单位：
与当天气温如表所示
.
由表中数据得回归直线方程
摄氏温度（）

）之间的关系，随机统计了某
3
天的用电量
，则（

）

4
10
B
．
13.2 C
．
11.8
6
7
D
．
12.8
11
4
用电量度数

A
．
12.6
2
．

如图，网格纸上小正方形的边长均为
1
，粗线画出的 是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）

A
．
34
3
．已知等差数列
A
．
3,23,69
4
．在等差数列
A
．
50
B
．
42
中，，
C
．
54
.
若
C
．
4,23,70
，
C
．
54
，则
D
．
72
公差为某一自然数
,
则
n
的所有可能取值为
( )
D
．
3,24,70
等于（

）

D
．
56
B
．
4,24,70
中，已知
B
．
52
5
．设等比数列
?
a
n
?
满足
a
1
?a
2
?3
，a
1
?a
3
??3
，则
a
4
?
（

）

A
．
8 B
．
16 C
．
24 D
．
48
6
．已知
?
是锐角，那么
2
?
是
( )
A
．第一象限

C
．小于
?
的正角

B
．第二象限

D
．第一象限或第二象限

7．若向量
a,b
互相垂直，且
a?3,b?2
，则
a?2b的值为（

）

A
．
17
B
．
5
C
．
17
D
．
25

8
．如果数列
?
a
n
?
的前
n
项 和为
S
n
?
3
a
n
?3
，则这个数列的通 项公式是（

）

2
C
．
a
n
?3?2

nn
A
．
a
n
?2n?n?1
B
．
a
n
?2?3

?
2
?
D
．
a
n
?3n?1
< br>9
．已知函数
f(x)?a?x
2
(1?x?2)
与
g(x)?2x?1
的图象上存在关于
x
轴对称的点，则实数
a
的取 值
范围是（

）．

A
．
?2,?1


??
B
．
?
?1,1
?
C
．
?
1,3
?
D
．
?
3,??
?

10
．在长方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，
AB?BC?2
，
AA
1
?1
，则直线BC
1
与平面
BB
1
DD
1
所成角的正
弦值为（

）

A
．
6

3
B
．
10

2
C
．
15

5
D
．
10

5
11
．已知幂函数
f(x)
过点
(2,2)
，则
f(9)
的值为
( )
A
．
1

3
B
．
1 C
．
3 D
．
6
12
．已知向量
a?
?
x,2
?
，
b?
?
1,y
?
且
x ,y
为正实数，若满足
a?b?2xy
，则
3x?4y
的最小值为（

）

A
．
5?26
B
．
5?6
C
．
46
D
．
43

二、填空题：本题共4小题
13
．如图所示， 隔河可以看到对岸两目标
A,B
，但不能到达，现在岸边取相距
4km
的两点
C,D
，测得
，则两目标
A,B
间的
?ACB?75
?
,?BCD?45
?
,?ADC?30
?
,?ADB?45?
（
A,B,C,D
在同一平面内）
距离为
_________
km
.

14
．终边在
y
轴上的角的集合是_____________________
．

15
．在空间直角坐 标系
O?xyz
中，三棱锥
P?ABC
的各顶点都在一个半径为
r< br>的球面上，
O
为球心，
?
r3r
?
A(r,0,0)
，
B(?r,0,0)
，
C
?
?,,0
?
，
P(0,0,r)
，则球
O
的体积与三棱锥
P?ABC
的 体积之比是
?
22
?
_____.
16
．在
?A BC
中，若
3acosB?3bcosA?2b
，点
E
，
F
分别是
AC
，
AB
的中点，则
为
________ ___.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17
．已知< br>cos
?
?
?
BE
的取值范围
CF
?
?
?
?
1
?
?
?
?
2
??si n?
?
?
0?
?
?
，，，，求
cos
?< br>?
?
?
?
的值
.
0?
?
?
?
???
2
?
9
2
?
2
?
3< br>18
．己知函数
f(x)?sinx?3cosx
．

（1
）若
x?(0,
?
)
，
f(x)?0
，求< br>x
；

（
2
）当
x
为何值时，
f( x)
取得最大值，并求出最大值．

*
19
．（
6
分）已知等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
，
a
2
?S
4
?19
，
S< br>2n
?4S
n
n?N
．

??

（
1
）求数列
?
a
n
?
的通项公式；

（
2
）记
b
n
?a
n
p
n
?
p?0
?
，求数列
?
b
n
?
的前
n
项和
T
n
；

（< br>3
）在（
2
）的条件下，当
p?2
时，比较
S
n
和
T
n
的大小．

20
．（
6
分）求经过直线
l
1
：
2x?3y?8?0
与直线
l2
：
x?y?1?0
的交点
M
，且分别满足下列条件的直
线方程
.
（
Ⅰ
）与直线
2x?y?3?0
平行；

（
Ⅱ
）与直线
2x?y?3?0
垂直
.
21．（
6
分）已知函数
f(x)?1?2sin
?
2x?
?
?
?
?
?
.
3
?
fx）
（< br>1
）用五点法作图，填表井作出
（
的图像
.
x
3
?

2

2x?
y
?
3

0

?

2

?


2
?



（
2
）求
f
?
x
?
在
x?
?
???
?
,
?
，的最大值和最小值；

?
42< br>?
?
??
?
,
?
上恒成立，求实数
m
的取值范围
.
4
?
2
?
（
3
）若不等 式
|f(x)?m|?2
在
x?
?
22
．（
8分）已知公差大于零的等差数列
?
a
n
?
满足：
a3
a
4
?48,a
3
?a
4
?14
．

（
1
）求数列
?
a
n
?
通项公 式；

（
2
）记
b
n
?a
n
?( 2)
n
，求数列
?
b
n
?
的前
n
项和
T
n
．

a

参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1
．
A
【解析】

【分析】

计算数据中心点，代入回归方程得到答案
.
【详解】


，

，中心点为

代入回归方程


故答案选
A
【点睛】

本题考查了回归方程，掌握回归方程过中心点是解题的关键
.
2
．
C
【解析】

【分析】

还原几何 体得四棱锥
E
﹣
ABCD
，由图中数据利用椎体的体积公式求解即可
.
【详解】

依三视图知该几何体为四棱锥
E
﹣
ABCD
，如图，
ABCD
是直角梯形，是棱长为
6
的正方体的一部分，梯形
的面积为：，

几何体的体积为：．

故选：
C
．

【点睛】

本题考查三视图求几何体的体积，由三视图正确还原几何体和补形是解题的 关键，考查空间想象能力．

3
．
B
【解析】

试题分析：由等差数列的通项公式得，公差
d?
可能取值为
4,24,70,
选
B
.
考点：
1.
等差数列及其通项公式；
2.
数的整除性
.
4
．
C
【解析】

【分析】

利用等差数列通项公式求得基本量，根据等差数列性质可得
得结果
.
【详解】

设等差数列
则

本题正确选项：

【点睛】

本题考查等差数列基本量的求解问题，关键是能够根据等差数列通项公式构 造方程求得公差，属于基础题
.
5
．
A
【解析】

【分析】

利用等比数列的通项公式即可求解
.
【详解】

设等比数列
?
a
n
?
的公比为
q
，


a
n
?a
1
69
?
，所以，
n?1
可能为
3,23,69
，的所有
n?1n?1
，代入求公差为

，解得：

则
?
?
a
1
?a
1
q?3
，解得
a
1
? 1,q?2

2
a?aq??3
?
11
3
所以a
4
?a
1
q?8
.
故选：
A
【点睛】

本题考查了等比数列的通项公式，需熟记公式，属于基础题
.
6
．
C
【解析】

?
是锐角
,∴
2
?
?
?
0，
?
?
，
∴
2?
是小于
180
的正角

7
．
B
【解析】

【分析】

首先根据题意得到
ab?0
，再计算
(a?2b)
2
即可
.
【详解】

因为向量
a,b
互相垂直，
ab?0
，

所以
(a?2b)?a?4b?4ab?a?4b?0?9?4?4?25
.
所以
a?2b?5
.
故选：
B
【点睛】

本题主要考查平面向量模长的计算，同时考查了平面向量数量积，属于简单题
.
8
．
B
【解析】

【分析】

根据S
n
?
2
22
22
3
3
a
n
?3
，当
n?2
时，
a
n
?S
n
?S
n?1
，再结合
n?1
时，
S
1
?a
1
?a
1
?3
，可知
?
a
n
?
是 以
6
为
2
2
首项，
3
为公比的等比数列，从而求出 数列
?
a
n
?
的通项公式
.
【详解】

由
S
n
?
3
a
n
?3
，

2
3
?
3
??
3
?
3
a?S?S ?a?3?a?3?a?a
n?1
，

当
n?2
时，
nnn?1n
?
n
??
n?1
?
2
?
2
??
2
?
2

所以
a
n
?3
，

a
n?1
当< br>n?1
时，
S
1
?a
1
?
3
a1
?3
，此时
a
1
?6
，

2
n?1n
所以，数列
?
a
n
?
是以
6
为 首项，
3
为公比的等比数列，即
a
n
?6?3?2?3
.
故选：
B.
【点睛】

本题考查了利用递推公式求数列的通项公式，考查了计算能力，属于基础题
.
9
．
A
【解析】

若函数
f
（
x
）
=a
﹣
x
2
（
1≤x≤2
）与
g
（
x
）
=2x+1
的图象上存在关于
x
轴对称 的点，

a=x
2
﹣
2x
﹣
1
在区间[1
，
2]
上有解，

则方程
a
﹣
x
2
=
﹣（
2x+1
）
?
令
g
（< br>x
）
=x
2
﹣
2x
﹣
1
，
1≤x≤2
，

由
g
（
x
）
=x
2
﹣
2x
﹣
1
的图象是开口朝上，且以直线
x=1
为对称轴的抛物线，

故当
x=1
时，
g
（
x）取最小值﹣
2
，当
x=2
时，函数取最大值﹣
1
，< br>
故
a∈[
﹣
2
，﹣
1]
，

故选：
A
．

a=x
2
﹣
2x
﹣
1
在区间
[1
，
2]
上有解，转化点睛：图像上存在关于< br>x
轴对称的点，即方程
a
﹣
x
2
=
﹣（2x+1
）
?
为方程有解求参的问题，变量分离，画出函数图像，使得函数图像和 常函数图像有交点即可；这是解决方
程有解，图像有交点，函数有零点的常见方法。

10
．
D
【解析】

【分析】

由题意 ，由于图形中已经出现了两两垂直的三条直线
,
所以可以利用空间向量的方法求解直线与平面所 成
的夹角．

【详解】

解：以
D
点为坐标原点， 以
DA,DC,DD
1
所在的直线为
x
轴、
y
轴、
z
轴，建立空间直角坐标系，

则
A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),C
1
(0,2,1 )
,
?BC
1
?(?2,0,1),AC?(?2,2,0),AC
为平面
BB
1
D
1
D
的一个法向量．

?cos?BC
1
,AC??
410
．

?
5
5?8
10
.
5
∴
直线
B C
1
与平面
BB
1
DD
1
所成角的正弦值为
故选：
D
．

【点睛】

此题重点考查了利用空间向量， 抓住直线与平面所成的角与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角之间
的关系
,
利用 向量方法解决立体几何问题．

11
．
C
【解析】

【分析】

设
f(x)
【详解】

设
f( x)
x
a
，代入点的坐标，求得
a
，然后再求函数值．
< br>x
a
，由题意
f(2)?2
a
?2
，
a?< br>1
2
1
1
，即
f(x)?x
2
，

2
∴
f(9)?9?3
．

故选：
C.
【点睛】

本题考查幂函数的解析式，属于基础题．

12
．
A
【解析】

【分析】

根据向量的数量积结合基本不等式即可．

【详解】

由题意得
a?b?x?2y?2xy?
11
?? 1
，因为
x
，
y
为正实数，则

2yx
?
11
?
3x4y3x4y
(3x?4y)?1?(3x?4y)
?< br>?
?
?
?3?2??5?2??5?26

2yx
2yx2yx
??
当且仅当
【点睛】

本题 主要考查了向量的数量积以及基本不等式，在用基本不等式时要满足一正二定三相等．属于中等题

二、填空题：本题共4小题
13
．
3x4y
?
时取等．所以选择
A
2yx
515

3
【解析】

【分析】

在
?ACD
中，在
?BCD
中，分别由正弦定理求出
AD? 43
，
BD?
得解
.
【详解】

由图可得
?CAD?30?,?CBD?60?
，

在
?A CD
中，由正弦定理可得
46
，在
?BDA
中，由余弦定理可
3
ADDC
?,AD?43
，

sin120?sin30?
DCDB46
，

?,BD?
sin60?sin45?3
在
?BCD
中，由正弦定理可得
在
?B DA
中，由余弦定理可得：
AB?AD
2
?BD
2
?2AD ?BD?cos45?

?48?
32462515
.
?2?43???
3323
515

3
故答案为：
【点睛】

此题考查利用正余弦定理求解三角形，根据 已知边角关系建立等式求解，此题求
AB
的长度可在多个三角
形中计算，恰当地选择可 以减少计算量
.
14
．
{
?
|
?
?k< br>?
?
【解析】

?
,k?Z}

2

【详解】

由于终边在
y
轴的非负半轴上 的角的集合为
{
?
|
?
?2n
?
?
?2
,k?Z}

而终边在
y
轴的非正半轴上的角的集合为
{
?
|
?
?
?
2n?1
?
?
?
终边在
y
轴上的角的集合是
{
?
|
?
?k
?
?
所以，故答案为
{
?
|
?
?k
?
?
?
2
,k?Z}
，

?
,k?Z}
，

2
?
,k?Z}
.
2
15
．
83
?

3
【解析】

【分析】

首先根据坐标求出三棱锥
P?ABC
的体积，再计算出球的体积即可
.
【详解】

有题知建立空间直角坐标系，如图所示


由图 知：
PO?
平面
ABC
，
S
ABC
133
2
??2r?r?r

222
1
V
P?ABC
?P OS
3
ABC
13
2
3
3
??r?r?r
.
326
4
V
球
?
?
r
3
.
3
V
球
V
P?ABC
4
3
?
r< br>83
3
??
?
.
3
3
3
r
6
83
?

3
故答案为：

【点睛】

本题主要考查三棱锥的外接球，根据题意建立空间直角坐标系为解题的关键，属于中档题
.
16
．
?
?
17
?
,
?

?
48
?
【解析】

【分析】

记
AB?c
，
AC?b
，
BC?a
，根据正弦定理得到
3c ?2b
，再由题意，得到
BE?
1
2
?
a
2
?c
2
?
?b
2
，
2
115
2a
2
?c
2
BE
a
4
?1?
4
17
22
?
，再由题意，确定的范围，即可得
CF?2a?c
，推出
2
7
2
CF
2
a7
c
??
22
2a ?c
2
??
?
2
?
c
?
2
出结果
.
【详解】

记
AB?c
，
AC?b
，
BC?a
，
< br>由
3acosB?3bcosA?2b
得
3sinAcosB?3sinBco sA?2sinB
，

所以
3sin
?
A?B
?< br>?2sinB
，即
3sinC?2sinB
，因此
3c?2b
，

因为
E
，
F
分别是
AC
，
A B
的中点，

11
22
a
2
?c
2
?b
2
1
所以
BE?BA?BC?a?c?2ac??2
?
a
2
?c
2
?
?b
2

222ac2< br>?
11
2a
2
?c
2
，

24117
2(a
2
?b
2
)?c
2
?2a
2
?c
2
，

222
22
同理：
CF?
1
?
c
?
15
?
c
?
1
2
15
2
2?
2a?c
????
BE
4
?
a
?
4
?
a
?
4
?
4
所 以，

??1??1?
222
7
CF
7
?
c
?
7
?
c
??
a
?
7
2a2
?c
2
2?2?2
??????
?
2
2?
a
?
2
?
a
??
c
?
2< br>因为
a?b?c
且
a?c?b
，

151a5
1
?
a
?
25
所以
c?a?c
，则
??
，所以
?
??
?
，

222c2
4
?
c
?
4
15
17
4
?
a
?< br>7
?1??
.
则
4?2
??
??16
，所 以
2
48
a7
??
c2
??
2
??
?
?
c
?
2
2
2

< br>即
BE
?
17
?
的取值范围为
?
,
?
.
CF
?
48
?
?
17
?
,
?

?
48
?
故答案为
?
【点睛】

本题主要考查解三角形，熟记正弦定理，以及两角和的正弦公式即可，属于常考题型
.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17
．
?
239

729
【解析】

【分析】

根据角的范围结合条件可求出
sin
?
?
?
?
?
?
?
2
?
?
，
cos< br>?
?
?
?
?
?
?
的值，然后求出
?
2
?
cos
?
?
?
2
?
?
?
??
?
?
?
?cos
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
的值，再由二倍角公式 可求解
.
2
??
2
?
??
?
【详解】

由
0?
?
?
?
，
0?
?
?
?
2
，得
?
?
4
?
?
?
?
2?
?
.
?
?
1
??
?
cos
?
????0
，则
?
?
??
?
.
又< br>??
2
?
9
22
?
?
?
?
?
45
??

sin
?
?
?
?
? 1?cos
2
?
?
?
?
?
2
?
2
?
9
??
由
0?
?
?
?
，
0?
?
?
所以
cos
?
?
2
，得
?
?
2
?
?
2
?
?
?
?
2
.
5
?
?
??
?
?

?< br>?
?
?1?sin
2
?
?
?
?
?< br>3
?
2
??
2
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?cos
?
?
?
?
?< br>?
?
?
?
?
?

2
??
2
?
??
?
又
cos
?
?
?
2?
??
??
??
?
????
?cos
?
?
?
?
cos
?
?
?
?
?sin
?
?
?
?
sin
?
?
?
?
< br>2
?
2
??
2
??
2
???
154 5275

??????
939327
?
75
?
2 39
2
?
?
?
?
?

?1?2??1??
所以
cos
?
?
?
?
?
?2cos
?
??
?
??
227729
??
??
【点睛】< br>
本题考查两角和与差的三角函数公式和同角三角函数关系以及二倍角公式，考察角变换的应用， 属于中档

2

题
.
18
．（< br>1
）
5
?
?
(k?Z)
，
1.
； （
1
）
x?2k
?
?
3
6
【解析】

【分析】

（
1
）由题得
tanx?
（
1
）先化简得到
f(x)?2sin(x?
3
，再求出
x
的值；
?
3
)
，再利用三角函数的性质
求函数的最大值及此时
x
的值
.
【详解】

（
1
）令
sin x?3cosx?0
，则
tanx?
因为
x?(0,
?
)< br>，所以
x?
3
，

?
3
．
< br>（
1
）
f(x)?2(sinx?
当
x?
1
2
3
?
cosx)?2sin(x?)
，

23
?
3
?2k
?
?
?
2
，即
x?2k
?
?
5
?
(k?Z)
时，
f(x)
的最大值为< br>1
．

6
【点睛】

本题主要考查解简单的三角方程 ，考查三角函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于
基础题
.
?
n
2
,
?
p?1
?
?
19
．（< br>1
）
a
n
?2n?1
；（
2
）
T< br>n
?
?
p
2
?p
?
2?2p
?n?p?1
n?1
；（
3
）
T
n
?S
n

?p,p?0且p?
??
22
?
?
1?p?
?
?
1?p
?
【解析】

【分析】

（
1
）设等差数列
?
a
n
?
的公差为d
，利用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，进而
得到通项公式；< br>
（
2
）由（
1
）得
b
n
?an
p?
?
2n?1
?
p
nn
?
p?0
?
，利用等差数列的求和公式可得
T
n
；

（3
）分别求得
S
n
和
T
n
，作差比较即可得到 大小关系．

【详解】

（
1
）设等差数列
?a
n
?
的公差为
d
，由
S
2n
?4S
n
n?N
得
2na
1
?
?
*
?< br>，

2n
?
2n?1
?
n
?
n?1
?
d?4na
1
?4?d
，化简得
d?2a
1①
．

22
由
a
2
?S
4
? 19
，得
?
a
1
?d
?
?
?
4a
1
?6d
?
?19
，得
5a
1
?7d?1 9
②
．

由
①②
解得 ：
a
1
?1
，
d?2
，则
a
n
? a
1
?
?
n?1
?
d?1?2
?
n?1< br>?
?2n?1
．

则数列
?
a
n
?
的通项公式为
a
n
?2n?1
．

（
2< br>）由（
1
）得
b
n
?a
n
p?
?< br>2n?1
?
p
nn
?
p?0
?
，

?
n
?
1?2n?1
?
2
?n
2
；
①
当
p?1
时，
b
n
?2n?1
，< br>T
n
?
n
?
b
1
?b
n
?
2
2
②
当
p?0
且
p?1
时，
T
n
?p?3p??
?
2n?3
?
p
n?1
?
?
2n?1
?
p
n
，

pT
n
?p
2
?3p
3
??
?
2n?3
?
p
n
?
?
2n?1
?
p
n?1

23
两式作差得：
?
1?p
?
T
n
?p?2p? 2p?
有：
?
1?p
?
T
n
??p?2(p?p? p?
23
?2p
n?1
?2p
n
?
?
2n ?1
?
p
n?1

?p
n?1
?p
n)?
?
2n?1
?
p
n?1

n?1

有：
?
1?p
?
T
n
??p?
2p1?p
n
1?p
??
?
?
2n?1
?
p
p
2
?p
?
2?2p
?
n?p?1
n?1
?p

有：
?
1?p
?
T
n
?
1 ?p1?p
得
T
n
?
p
2
?p
?
1?p
?
2
?
?
2?2p
?
n?p?1
p
n?1

2
1?p
??
?
n
2
,
?
p?1
?
?
2
T?
由上知
n
?
p?p
?
2?2p
?
n?p?1
n?1
．

?p,p?0且p?
??
22
?
?
1?p
?
?
?
1?p
?
（
3
）由（
1
）得由S
n
?
n
?
?
1?
?
2n?1
?
?
?
2
?n
2
，

n?1
由 （
2
）得当
p?2
时，
T
n
?
?
2n?3
?
?2?6
，

令
f
?
n
?
?T
n
?S
n
?
?
2n?3
?
?2
n?1
?n
2
?6n?N
*
．

? ?
则
f
?
n?1
?
?f
?
n
?< br>?
?
?
2n?1
?
?2
n?2
?
?
?
n?1
?
?6
?
?
?
2n?3
?
?2
n?1
?n
2
?6
?
?
??

?
2
?
?
2n?1
?
?2
n?1?
?
2n?1
?
?
?
2n?1
?
2< br>n?1
?1
．

由
n?N
*
，有
?
2n?1
?
2
??
?
n?1
?1?0
，得
f
?
n?1
?
?f
?
n
?
，故< br>f
?
n
?
单调递增．

?
又由
f< br>?
1
?
?1
，故
f
?
n
?
?f
?
1
?
?1
，可得
T
n
?S
n
．

【点睛】

本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用， 也考查了错位相减法求数列的和，分类讨论思想和作差
比较大小的问题，属于中档题．

20
．（
Ⅰ
）
2x?y?4?0
；

（
Ⅱ
）
x?2y?3?0
.
【解析】

【分析】

（
Ⅰ
）先求得直线
l
1
与直线
l
2
的交点
M
坐标
.
根据平行直线的斜率关系得与
2x?y?3?0
平行直线的斜率
,
再由点斜式 即可求得直线方程
.
（
Ⅱ
）根据垂直直线的斜率关系得与
2x?y ?3?0
垂直的直线斜率
,
再由点斜式即可求得直线方程
.
【详解】

?
2x?3y?8?0

解方程组
?< br>?
x?y?1?0
得
x??1
,
y??2

所以直线
l
1
与直线
l
2
的交点是
M
?< br>?1,?2
?

（
Ⅰ
）直线
2x?y?3?0
,
可化为
y??2x?3

由题意知与直线
2x?y?3?0
平行

则直线的斜率为
k??2

又因为过
M
?
?1,?2
?

所以由点斜式方程可得
y?2??2
?
x?1
?

化简得
2x?y?4?0

所以与直线
2x?y?3?0
平 行且过
M
的直线方程为
2x?y?4?0
.
（
Ⅱ
）直线
2x?y?3?0
的斜率为
k??2

则由垂直时直线的斜率乘积为
?1

可知直线的斜率为
k'?
1

2
由题意知该直线经过点
M
?
?1,?2
?
,
所以由点斜式方程可知
y?2?
化简可得
x?2y?3?0

所以与直线
2x?y?3?0
垂直且过
M
的直线方程为
x?2y? 3?0
.
【点睛】

1
?
x?1
?

2

本题考查了直线平行与垂直时的斜率关系
,< br>由点斜式求方程的用法
,
属于基础题
.
21
．（
1
）见解析；（
2
）
x?
【解析】

【分析】

（
1
）当
2x?
?
5
?
fx）?3fx）
（1,4）
x?
.
时，
（
， 时，
（
（
3
）
m?
maxmin
?2
；< br>12
4
??
3
?
=0，,
?
，，2
?
时，求出相应的
x
，然后填入表中；标出
5
个点，然后用一条光滑 的曲线
322
?
3
把它们连接起来；

（
2
）先根据
x
的范围求出
2x?
的范围，再由正弦函数的性质可求出函数f(x)
的最大值和最小值；

（
3
）不等式
|f(x )?m|?2
在
x?
?
?
??
??
??
?
,
?
上恒成立，转化为
f(x)?2?m?f(x)?2
在
x?
?
,
?
上恒
?
42
??
42
?
?
??
?
,
?
上的最值关系，列不等式后求得实数
m
的取值
4
?
2
?
成立，进一步转化为
m-2< br>，
m+2
与函数
f(x)
在
x?
?
范围.
【详解】

（
1
）

x
?

6
5
?

12
2
?

3
11
?

12
3
?

2
7
?

6
2x?
y
?
3

0
1
?

2
3
?

1
2
?

0 -1

（
2
）
?
?
??
2
?
?
?
??
?
x?
?
,
?
，
??2x??
，即< br>2?1?2sin
?
2x?
?
?3
，所以
f(x)< br>的最大值为
3
，最
3
?
633
?
?
42
?
小值为
2.
（
3
）
|f(x)?m|?2 ?f(x)?2?m?f(x)?2
，，由（
2
）知，
f(x)
ma x
?3,f(x)
min
?2
，
?m?f(x)
max?2?1
，且
m?f(x)
min
?2?4
?1?m?4
，即
m
的取值范围为
(1,4)
.

【点睛】

本题考查正弦函数的最值和恒成立问题，把不等式恒成立问题转化为含m
的代数式与
f(x)
的最值关系的
问题是解决本题的关键，属于中档题
.
n?12
22
．
(1)
a
n
?2n
(2)
T
n
?2?n?n?2

【解析】

【分析】

（
1
）由题可计算得
a
3
?6 ,a
4
?8
，求出公差，进而求出通项公式

（
2
）利用等差数列和等比数列的求和公式计算即可。

【详解】

解：（
1
）由公差
d?0
及
a
3
a
4
?48,a
3
?a
4
?14
，解得
a
3
?6,a
4
?8
，

所以< br>d?a
4
?a
3
?2
，所以通项
a
n
?a
3
?
?
n?3
?
d?2n

（< br>2
）由（
1
）有
b
n
?a
n
??
2
?
a
n
?2n?2
n
，
2
?
1?2
n
?
n(2?2n)
所以数列
?< br>b
n
?
的前
n
项和
T???2
n?1
?n
2
?n?2
．

n
21?2
【点睛】

本题考查等差数列的通项公式以及等差数列和等比数列的求和公式，属于简单题。

2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1
．已知数列
?
a
n
?
的通项公式是
a
n< br>?2?3n
，则该数列的第五项是（

）

A
．
?13
B
．
13
C
．
?11
D
．
?16

2
．已知
m
，
n
是两条不同的直线，
?
，
?
，
?
是三个不同的平面，则下列命题正确的是（

）

A
．若
m?
?
，
m?n
，则
n
?

C
．若
?
B
．若
mn，m
?
，则
n
?

D
．若
?
?
?
，
?
?
?
，则
?

?

的任意一点，
?
?n
，
m
?
，
m
?，则
mn

是半圆的直径，
3
．如图所示，
分别为垂直于半圆所在的平面，点是圆周上不同于
的中点，则下列结论正确的是
(

)

A
．
C
．与

所成的角为
45°
B
．平面
D
．平面
平面


4
． 已知函数
f(x)?2sin(2x?
?
?
?
?
)
,
则
f
?
x
?
在
x?
?
0,?
上的单调递增区间是（

）

6
?
2
?
C
．
?
0,
A
．
?
0,
?
?
?

?
?
2
?
B
．
(0,
?
2
)

?
?
?

?< br>?
3
?
D
．
?
0,
?
?
?

?
?
4
?
5
．已知全集
U?
?
0,1,2,3,4
?
，集合
A?
?
1,2,3
?
，
B?
?
2,4
?
，则
(
A
．< br>{1,2,4}
2
U
A)?B
为
( )
B
．
{2,3,4} C
．
{0,2,4} D
．
{0,2,3,4}
6
．函数
f
?
x
?
?x+lnx
的图像大致为（

）

A
．
B
．
C
．
D
．
7
．对于空间中的两条直线
m
，
n
和一个平面
?
，下列结论正确的是（

）

A
．若
m
?
，
n
?
，则
mn


B
．若
m
?
，
n??
，则
mn

C
．若
m
?
，
n?
?< br>，则
m?n
D
．若
m?
?
，
n?
?
，则
m?n

8
．如图是某地某月
1
日至
15
日的日平均温度变化的折线图，根据该折线图，下列结论正确的是（ ）


A
．这
15
天日平均温度的极差为
15℃

B．连续三天日平均温度的方差最大的是
7
日，
8
日，
9
日三天

C
．由折线图能预测
16
日温度要低于
19℃

D
．由折线图能预测本月温度小于
25℃
的天数少于温度大于
25℃
的 天数

9
．已知
?
a
n
?
是等差数列，< br>a
10
?10
，其前
10
项和
S
10
?70
，则其公差
d?

A
．
?
2

3
B
．
?

1
3
C
．
1

3
D
．
2

3
10
．把函数
y? sinx
的图像上所有的点向左平行移动
?
个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐 标缩
3
短到原来的
1
（纵坐标不变），得到的图像所表示的函数是（

）

2
?
?
A
．
y?sin
?< br>2x?
?
?
3
?
?
B
．
y?si n
?
?
x
?
?
?
?

26
??
?
?
2
?
3
?
?

?C
．
y?sin
?
2x?
?
?
?
?< br>3
?
?
D
．
y?sin
?
2x?
11
．若三棱锥
P?ABC
的所有顶点都在球
O
的球面上，
PA?
平面
ABC
，
AB?AC?2
，
?BAC?90?< br>，
且三棱锥
P?ABC
的体积为
43
，则球
O
的体积为
( )
3
C
．
A
．
205
?

3
B
．
105
?

3
55
?

3
D
．
55
?

12
．

某小组共有
5
名学生，其中男生
3
名，女生
2
名，现选举
2
名代表，则恰有
1
名女生当选的概率为（

）
A
．
1

5
B
．
3

5
C
．
1

10
D
．
3

10
二、填空题：本题共4小题

n?2k?
2n?4,
?
k?N
*
，
S
n
是其 前
n
项和，则
n?1
13
．已知数列
?
a
n
?
的通项公式为
a
n
?
?
2,n?2k?1?
?
??
??
S
15
?
_____
． （结果用数字作答）

14
．在数列
?
a
n
?n?N
?
*
?
中，
a
1
?2
，
S
n
是其前
n
项和，当
n?2
时，恒有
a
n
、
S
n
、
S
n
?2
成等比数列，n?n?1?a
n
?
________
．

则
lim
n??
15
．函数
y?2sin
2
x
的最小 正周期为
___________.
π
??
16
．已知函数
f(x)?sin(
?
x?
?
)
?
?
?0,?
?
?
一个周期的图象（如下图），则这个函数的解析式为
2
? ?
?
2
?
__________
．


三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17
．如图是某设计师设 计的
Y
型饰品的平面图，其中支架
??
，
??
，
? C
两两成
120
，
?C?1
，
且
?????
．现设计师在支架
??
上装点普通珠宝，普通珠宝的价值为
?
，且
?
与
?????????C
，
长成正比，比例系数为
k
（< br>k
为正常数）；在
???C
区域（阴影区域）内镶嵌名贵珠宝，名贵珠宝的价值
为
?
，且
?
与
???C
的面积成正比，比例系数为
43k
．设
???x
，
???y
．

< br>（
1
）求
y
关于
x
的函数解析式，并写出
x
的取值范围；

（
2
）求
???
的最大值及相应的
x
的值．

18
．如图，
AB
是
O
的直径，
PA?O
所在的平面，
C
是圆上一点，
?BAC?60?
，
PA?AB
.

（
1
）求证：平面
PAC?
平面
PBC
；

（
2
）求直线
PC
与平面
ABC
所成角的正切值< br>.
19
．（
6
分）如图，四棱锥
P?ABCD
中，
PA?
底面
ABCD
，
AB?AD
，
BCAD，点
E
在线段
AD
上，
且
CEAB
.

（
1
）求证：
CE?
平面
PAD
；
（
2
）若
PA?AB?1
，
AD?3
，
CD? 2
，求四棱锥
P?ABCD
的体积；

20
．（
6
分）正项数列
?
a
n
?
的前
n
项和为S
n
，且
2S
n
?a
n
?1
. （
Ⅰ
）试求数列
?
a
n
?
的通项公式；

（
Ⅱ
）设
b
n
?
1
，求
?< br>b
n
?
的前
n
项和为
T
n
. a?1?a?1
?
n
??
n?1
?
（
Ⅲ
）在（
Ⅱ
）的条件下，若
m?2m
?T
n
?
对一 切
n?N
*
恒成立，求实数
m
的取值范围
.
45
21
．（
6
分）某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为
200
元，每桶水的进价为
3
元，根据以
往的经验售价为
4
元时，可卖出
280
桶；若销售单价每增加
1
元，日均销售量就减少
40
桶，则这个经营
部怎样定价才能获得最大利润？最大利润是多少？

22
．（
8
分）高一某班以小组为单位在周末进行了一次社会实践活动，且每小组有
5
名同学，活动结束后，
对所有参加活动的同学进行测评，其中
A
，
B
两个小组所得分数如下表：

A
组

B
组

86
91
77
83
80
？

94
75
88
93
其中
B< br>组一同学的分数已被污损，看不清楚了，但知道
B
组学生的平均分比
A
组学生的平均分高出
1
分
.
（
1
）若从
B
组学生中随机挑选
1
人，求其得分超过
85
分的概率；

（
2
）从
A
组这
5
名学 生中随机抽取
2
名同学，设其分数分别为
m
，
n
，求
|m?n|?8
的概率
.



参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1
．
A
【解析】

【分析】

代入
n?5
即可得结果
.
【详解】

解：由已知
a
5
?2?3?5??13
，

故选：
A.
【点睛】

本题考查数列的项和项数之间的关系，是基础题
.
2
．
C
【解析】

【分析】

利用线面垂直、线面平行、面面垂直的性质定理分别对选项分析选择．

【详解】


；故
A
错误；

对于
A
，若
m?
?
，
m?n
，则
n
?
或者
n?
?
对于
B
，若
mn，m
?
，则
n
可能在
?
内或者平行于
?
；故
B
错误；

对于
C
，若
?
?
?
?n
，m
?
，
m
?
，过
m
分作平面
γ??
于
m
1
，作平面
δ?
?
?m
2,
则根据线面平
?
，

行的性质定理得
mm
1
，
mm
2
，
∴
m
1
m
2
，根据线面平行的判定定理，可得
m
1
?

，
?
?
?
?n
，根据线面平行的性质定理可得
m
1
n
，又
mm
1
，

又
m
1
?
?
∴
mn
；故
C
正确；

对于
D
．若
?
?
?
，
?
?
?
，则
?
与?
可能垂直，如墙角；故
D
错误；

故选：
C
．

【点睛】

本题考查了面面垂直、线 面平行、线面垂直的性质定理及应用，涉及空间线线平行的传递性，考查了空间

想象能力，熟练运用定理是关键．

3
．
B
【解析】

【分析】

对每一个选项逐一分析判断得解
.
【详解】

A.
，分别为
，又
，
B.
是
，

垂直
，

又
又
C.
平面
是
，
，平面
平面，

平面，故
B
正确；

所在的平面，所在的平面，

，的中点，

，
，
与所成的角为，故不正确；

不成立，故
A
不正确．

的直径，点是圆周上不同于，的任意一点，

的直径，点是圆周上不同于，的任意一点，

，又、、、共面，与不垂直，

平面
，分别为
，又
D.
是
不成立，故不正确；

，的中点，

，与所成的角为，故不正确；

的直径，点是圆周上不同于，的任意一点，

，又、、、共面，与不垂直，

平面
故选
B.
【点睛】

不成立，故
D
不正确
.
本题主要考查空间位置关系的证明，考查异 面直线所成的角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握
水平，属于基础题
.
4
．
C

【解析】

【分析】

先令
?
?
2
?2k
?
?2x?
?
6
?
?
?
?
?
?2k
?
?
k?Z
?
,
则可求得
f
?
x
?
的单调区间
,
再根据
x?
?
0,
?
,< br>对
k
赋值进
2
?
2
?
而限定范围即可

【详解】

由题
,
令
?
则
?
?
2
?2k
?
?2x?
?
6
?
?
2
?2k
?
?
k?Z
?
,
?
6
?k
?
?x?
?
3
?k
?
?
k?Z
?
,
?
??
?
,
?
上单调递增
, < br>63
??
当
k?0
时
,
f
?
x?
在
?
?
则当
x?
?
0,
故选
:C
【点睛】

?
?
?
?
?
?
0,
?
,
fx
,
时的单调增区间为
??
?
?
2
??
?
3
?
本题考查正弦型函数的单调区间
,
属于基础题

5
．
C
【解析】

【分析】

先根据全集
U
求出集合
A
的补集
【详解】

由题得，
【点睛】

本题考查集合的运算，属于基础题．

6
．
A
【解析】

【分析】

先判断函 数为偶函数排除
BC
；再根据当
x?0
时，
f(x)???

，排除
D
得到答案
.
【详解】

U
U< br>A
，再求
U
A
与集合
B
的并集
(
U
A)?B
．

A?
?
0,4
?
,?(U
A)?B?
?
0,4
?
?
?
2,4
?
?
?
0,2,4
?
.
故选
C.
f?
x
?
?x
2
?lnx?f
?
?x
?
?
?
?x
?
?ln?x?x
2
?lnx?f(x)
，偶函数，排除
BC
；

当
x?0
时，
f(x)???

，排除
D

故选：
A

2

【点睛】

本题考查了函数图像的识别，通过函数的奇偶性和特殊函数点可以排除选项快速得到答案
.
7
．
C
【解析】

【分析】

依次分析每个选项中两条直线与平面的位置关系，确定两条直线的位置关系即可
.
【详解】

平行于同一平面的两条直线不一定相互平行，

故选项
A
错误，

平行于平面的直线不一定与该平面内的直线平行，

故选项
B
错误，

垂直于平面的直线，垂直于与该平面平行的所有线，

故选项
C
正确，

垂直于同一平面的两条直线相互平行，

故选项
D
错误
.
故选：
C.
【点睛】

本题考查了直线与平面位置关系的辨析，属于基础题
.
8
．
B
【解析】

【分析】

利用折线图的性质，结合各选项进行判断，即可得解．

【详解】

由某地某月
1
日至
15
日的日平均温度变化的折线图，得：

在
A
中，这
15
天日平均温度的极差为：
38℃?19℃? 19℃
，故
A
错误；

在
B
中，连续三天日平均 温度的方差最大的是
7
日，
8
日，
9
日三天，故
B
正确；

在
C
中，由折线图无法预测
16
日温度 要是否低于
19℃
，故
C
错误；

在
D
中，由折线图无法预测本月温度小于
25℃
的天数是否少于温度大于
25℃
的 天数，故
D
错误．

故选
B
．

【点睛】

本题考查命题真假的判断，考查折线图的性质等基础知识，考查运算求解能 力、数据处理能力，考查数形
结合思想，是基础题．

9
．
D

【解析】

S
10
?
?
a
1
?a
10
?
?5?70
，解得
a< br>1
?4
，则
d?
10
．
C
【解析】

【分析】

a
10
?a
12
?
，故选
D
．

10?13
根据左右平移和周期变换原则变换即可得到结果
.
【详解】

y?sinx
向左平移
?
??
?
个单位得：
y?sin
?
x?
?

3
3
??
将
y?sin
?
x?
?
?
?
?
3
?
?
横坐标缩短为原来的
?
?
1
?
得 ：
y?sin
?
2x?
?

3
?
2
?
本题正确选项：
C

【点睛】

本题考查三角函数的左右平移变换和周期变换的问题，属于基础题
.
11
．
A
【解析】

【分析】

由P?ABC
的体积计算得高
23
，已知将三棱锥
P?ABC
的外 接球，转化为长
2
，宽
2
，高
23
的长方
体的外接 球，求出半径，可得答案．

【详解】

∵
AB?AC?2
，
?BAC?90?
，故三棱锥的底面面积为
S=
得
V
P? ABC
?
1
?2?2=2
，由
PA?
平面
ABC< br>，

2
112
43
S
?ABC
PA??2? PA?PA
，又三棱锥
P?ABC
的体积为，得
PA?23
，

333
3
所以三棱锥
P?ABC
的外接球，相当于长
2
，宽
2
，高
23
的长方体的外接球，

故球半径< br>?
2R
?
?4?4?23
故选：
A
．

【点睛】

本题考查了三棱锥外接球的体积，三棱锥体积公式的应用，根据已知计算出 球的半径是解答的关键，属于
中档题．

12
．
B
【解析】

【分析】


2
??
2
420
3
5
?
.
?2 0
，得
R?5
，故外接球的体积
V
球
?
?
R=
33

记三名男生为
a,b,c
，两名女生为< br>x,y
，分别列举出基本事件，得出基本事件总数和恰有
1
名女生当选包
含的基本事件个数，即可得解
.
【详解】

记三名男生为
a,b,c
，两名女生为
x,y
，

任选
2
名所有可能情况为
ab,ac,ax,ay,bc,bx,by,cx,cy, xy
，共
10
种，

恰有一名女生的情况为
ax,ay,b x,by,cx,cy
，共
6
种，

所以恰有
1
名女生当选的概率为
故选：
B
【点睛】

此题考查根据古典概型求概率，关键在于准确计算出基本事件总数，和某一 事件包含的基本事件个数
.
二、填空题：本题共4小题
13
．
395
.
【解析】

【分析】

由题意知，数列
?
a
n
?
的偶数项成等差数列，奇数列成等 比数列，然后利用等差数列和等比数列的求和公
式可求出
S
15
的值
.
【详解】

由题意可得
63
?
.
105S
15
?1?8?2
1
?12?32?2
7
?
?
1?2
1
??2
7
?
?
?
8?12?? 32
?
1?2
8
7?
?
8?32
?
??? 2
8
?1?140?395
，故答案为
395
.
1?22
【点睛】

本题考查奇偶分组求和，同时也考查等差数列求和以及等 比数列求和，解题时要得出公差和公比，同时也
要确定出对应的项数，考查运算求解能力，属于中等题< br>.
14
．
?2
.
【解析】

【分析】

22
由题意得出
S
n
?a
n< br>?
S
n
?2
?
，当
n?2
时，由
a
n
?S
n
?S
n?1
，代入
S
n
?a
n
?
S
n
?2
?
，化简得出
S
n
?
2S
n?1
，利用倒数法求出
?
S
n
?
的通项公式，从而得出
a
n
?S
n
?S
n?1
的表达式，于是可求出
S
n?1
?2

< br>lim
?
n
2
?n?1
?
?a
n
的 值
.
n??
【详解】

当
n?2
时，由题意可得
S
n
?a
n
?
S
n
?2
?
，即
S
n
?
?
S
n
?S
n?1
??
S
n
?2
?
，

22
化简得
2S
n
?S
n
S
n?1
?2S
n?1
，得
S
n
?
2S
n?1
，

2?S
n ?1
S
n?1
1211111
????
，
???
，

两边取倒数得
S
n
2S
n?1
2S
n? 1
S
n?1
2
S
n
S
n?1
2
所 以，数列
?
S
n
?
是以
111
1
??为首项，以为公差的等差数列，

S
1
a
1
2
2
?
111n
??
?
n?1
?
??
，?S
n
?
2
，

S
n
222
n
则
a
n
?S
n
?S
n?1
?
2 222
?????
2
，

nn?1n
?
n?1?
n?n
2
11
1??
2
?2
?
n? n?1
?
2
nn
??2
，故答案为：
?2
. ??2lim
因此，
lim
?
n?n?1
?
?a
n
?lim
2
n??n??n??
1
n?n
1?
n
【点睛】

本题考查数列极限的计算，同时也考查了数列通项的求解，在含
S
n
的数列递推式中，若作差法不能求通
项时，可利用
a
n
?S
n
?S
n?1
转化为
S
n
的递推公式求通项， 考查分析问题和解决问题的能力，综合性较强，
属于中等题
.
15
．
?

【解析】

【分析】

先利用二倍角公式对函数解析式进行化简整理，进而利用三角函数最小正周期公式可得函数的最小正周
期
.
【详解】

解：由题意可得：
y?2sinx?2?
可得函数的最小正周期为：
故答案为：
?
.
【点睛】

本题主要考查二倍角的化简求值和三角函数周期性的求法，属于基础知识的考查
.
2
1?cos2x
??cos2x?1
，

2
2
?
?
?
，

2

π
??
16
．
f(x)?sin
?
2x?
?

6
??
【解析】

【分析】

【详解】

由函数的图象可得
解得
ω=1
．

图象经过（
??
，
1
），可得：
1=sin
（
1×+φ
），

66
?
，
k∈Z
，

6
1
2
?
?
2
?
T==π
，

﹣
，解得：
T=
6
3
2w
解得：
φ=1kπ+
由 于：
|φ|
＜
可得：
φ=
?
，

2
?
，

6
π
??
sin2x?
故
f
（
x
）的解析式为：
f
（
x
）=
??
．

6
??
sin
?
2x?< br>故答案为
f
（
x
）
=

?
?
π
?
?
．

6
?
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
x
2
?1
1?33
17
．（
1
）
y?
（1?x?
）；（
2
）
x?2?
，
???
的最大 值是
10?43k
.
2?x
22
??
【解析】

试题分析：（
1
）运用题设和实际建立函数关系并确定定义域；（
2
）运用基本不等式求函数的最值和取得最
值的条件
.
试题解析：（
1
）因为
???x
，
???x
，
???y?1
，由余弦定理 ，
x
2
?y
2
?2xycos120?
?
y?1< br>?
，
2
x
2
?1
解得
y?
，

2?x
2
x?1
1?3
由
x?0
，
y ?0
得
1?x?2
．又
x?y
，得
x?
，解得1?x?
，

2?x
2
?
1?3
?
所 以
??
的取值范围是
?
?
1,
2
?
?．

??
（
2
）
??k???ky
，
??43k?S
???C
?3kx
，

?
x
2?1
?
则
????k
?
3x?y
?
?k
?
3x?
?
，

2?x
??

设
2?x?t?
?
?
?
3?3< br>?
,1
?
?
，

2
??
2
?
?
2?t
?
?1
?
?
?
3
?< br>?
3
?
?
10?24t?
?
?10?43k
．

?
?k
?
10?
?
4t?
?
?
?k
?
则
????k
?
3
?
2?t?
?
??
ttt
??
?
??
?
??< br>??
??
当且仅当
4t?
3
?
3?3
?3
3
?
?
,1
即
t?
取等号，此时取等号，< br>
?
x?2?
??
2
?
2
t
2?
3
时，
???
的最大值是
10?43k
．

2
所以当
x?2?
??
考点：阅读理解能力和数学建模能力、基本不 等式及在解决实际问题中的灵活运用
.
【易错点晴】应用题是江苏高考每年必考的重要题型之 一，也是历届高考失分较多的题型
.
解答这类问题
的关键是提高考生的阅读理解能力和 数学建模能力，以及抽象概括能力
.
解答好这类问题要过
:“
审题、理解题意、建立数学模型、求解数学模型、作答
”
这五个重要环节，其中审题关要求反复阅读问 题中提供的一
些信息，并将其与学过的数学模型进行联系，为建构数学模型打下基础，最后的作答也是必 不可少的重要
环节之一，应用题的解答最后一定要依据题设中提供的问题做出合理的回答，这也是失分较 多一个环节
.
18
．（
1
）证明见解析；（
2
）
2.
【解析】

【分析】

（
1
）首先证明
B C⊥
平面
PAC
，利用线面垂直推出平面
PAC?
平面
PB C
；

（
2
）找到直线
PC
与平面
ABC
所成角所在三角形，利用三角形边角关系求解即可
.
【详解】

（
1
）
∵
AB
是直径，

∴
?ACB?90?
，即
BC?AC
，

又
∵
PA?O
所在的平面，

BC
在
O
所在的平面内，

∴
PA?BC
，

∴
BC⊥
平面
PAC
，

又
BC?
平面
PBC
，

∴
平面
PBC?
平面
PAC
；

（
2
）
∵
PA?
平面
ABC
，

∴
直线
PC
与平面
ABC
所成角即
?PCA
，

设
AC?1
，
∵
?BAC?60?
，
∴
?ABC?30?
，

∴
PA?AB?2
，

∴
tan
?PCA?
PA
?
2
.
AC

【点睛】

本题主要考查了面面垂直的证明，直线与平面所成角的求解，属于一般题
.
19
．（
1
）证明见解析

（
2
）
【解析】

【分析】

（
1
）根据
PA?
底面
ABCD
证得
PA?CE
，证 得
CE?AD
，由此证得
CE?
平面
PAD
.
（
2
）利用锥体体积公式，计算出所求锥体体积
.
【详解】

（
1
）证明：
5

6
PA?
底面
ABCD
，
CE?
平面
ABCD
，?PA?CE
，

AB?AD
，
CEAB
，
?CE?AD
，

又
PA?AD?A
，
PA?
平面
PAD
，
AD?
平面
PAD
，

?CE?
平面
PAD
.
（
2
）
AB?AD
，
BCAD
，
CEAB
，

∴
四边形
ABCE
是矩形，
?CE?AB?1
，
CE?DE
，

又
CD?2
，
∴DE? 1
，
?AE?AD?DE?2
，即
BC?2
，

1 115
?V
P?ABCD
?S
梯形ABCD
?PA???(2?3) ?1?1?
.
3326
【点睛】

本小题主要考查线面垂直的证明 ，考查锥体体积计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题
.
20
．（< br>Ⅰ
）
a
n
?2n?1
；（
Ⅱ
）
T< br>n
?
【解析】

【分析】

（
Ⅰ
） 将所给条件式子两边同时平方
,
利用递推法可得
S
n?1
的表达式< br>,
由
a
n
?S
n
?S
n?1
两式相 减
,
变形即可证
明数列
?
a
n
?
为等差数 列
,
进而结合首项与公差求得
?
a
n
?
的通项公式
.
（
Ⅱ
）由（
Ⅰ
）中
a
n
?2 n?1
可求得
a
n?1
.
将
a
n
与
a
n?1
代入
b
n
?
项公式
,
利用裂项 法即可求得前
n
项和
T
n
.
（
Ⅲ
）先求 得
T
n
的取值范围
,
结合不等式
【详解】

（
Ⅰ
）因为正项数列
?
a
n
?
的前
n< br>项和为
S
n
,
且
2S
n
?a
n?1

n
?
55
?
；（
Ⅲ
）
?
,
?
.
4
?
n?1
?
?
42
?
1
b
?
a
n
?1
?
?
?
a
n?1
?1
?
即可求得数列
?
n
?< br>的通
m?2m
?T
n
?
,
即可求得
m
的取值范围
.
45

化简可得
4S< br>n
?
?
a
n
?1
?
?a
n
2
?2a
n
?1

2
由递推公式可得
4S
n?1
?a
n?1
?2a
n?1
?1

2222< br>两式相减可得
4a
n
?a
n
?a
n?1
?2 a
n
?2a
n?1
,
变形可得
2a
n
?2 a
n?1
?a
n
?a
n?1

2
即
2
?
a
n
?a
n?1
?
?
?
a
n
?a
n?1
??
a
n
?a
n?1
?
,
由正项等比数列可得
a
n
?a
n?1
?0< br>
所以
a
n
?a
n?1
?2

而当
n?1
时
,
2a
1
?a
1
?1
解 得
a
1
?1

所以数列
?
a
n
?
是以
a
1
?1
为首项
,
以
d?2
为公差的等差数列

因而
a
n
?2n?1

（Ⅱ
）由（
Ⅰ
）可知
a
n
?2n?1

则
a
n?1
?2
?
n?1
?
?1?2n?1

代入
b
n
?
11
1
?

中可 得
b
n
?
2n?
?
2n?2
?
4n??
n?1
?
?
a
n
?1
?
?
?
a
n?1
?1
?
所以
T
n
?b
1
?b
2
?b
3
????b
n?1
?b
n

?
1
?
11111
?
?
???????
?
?

4
?
1?22?33?4n?1nnn?1
????
??
1
?
111111111
?
?
?1????????????
?

4
?
22334n?1nnn ?1
?
1
?
1
?
n
?
?
1??< br>
?
4
?
n?1
?
4
?
n?1?
（
Ⅲ
）由（
Ⅱ
）可知
T
n
?
1
n

4
?
n?1
?
则
T
n< br>?
?
1
?
,
所以数列
?
T
n
?
为单调递增数列
,
则
T
n
?T
1
?< br>
4
?
1?
?
8
?
n
?
1
且当
n???
时
,
T
n
?
1
1
,
即
T
n
?

4
4
所以
11
?T
n
?

84
m?2m
?T
n
?
恒成立

45因为
?
T
n
?
对一切
n?N
*
的

?
1m
?
?
?
45
55
,
解不等式组可得
?m?

则满足
?
42< br>?
m?2
?
1
?
8
?
4
?
55
?
m
即实数的取值范围为
?
,
?

?
42
?
【点睛】

本题考查了等差数列通项公式与求和公 式的应用
,
裂项求和法的应用
,
数列的单调性与不等式关系
,
综合性
强
,
属于中档题
.
21
．定价为每桶
7
元，最大利润为
440
元
.
【解析】

【分析】

若设定价在进价的基础上增加
x元，日销售利润为
y
元，则
y?x[280?40(x?1)]?200
，其

中
0?x?8
，整理函数
y
，可得
x
取何值时，
y
有最大值，即获得最大利润

【详解】

设定价在进价的基础上增加
x
元，日销售利润为
y
元，则

y?x[280?40(x?1)]?200
，

由于
x?0
，且
320?40x?0
，所以，
0?x?8
；

即y??40x
2
?320x?200
，
0?x?8
．

所以，当
x??
320
?4
时，
y
取最大值．
2?(?40)
此时售价为
4?3?7
，此时的最大利润为
4 40
元
.
【点睛】

本题主要考查二次函数的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题
.
22
．（
1
）
【解析】

【分析】
（
1
）先设在
B
组中看不清的那个同学的分数为
x
，分 别求得两组的平均数，再由平均数间的关系求解
.
（
2
）先求出从
A
组这
5
名学生中随机抽取
2
名同学所有方法数，再用列举的方法得 到满足求
|m?n|?8
的
方法数，再由古典概型求解
.
【详解】

（
1
）设在
B
组中看不清的那个同学的分数为
x
由题意得
33

（
2
）

55
9 1?83?
x
?75?9386?77?80?94?88
??1

55

解得
x=88
所以在
B
组
5
个分数超过
85
的有
3
个

所以得分超过
85
分的概率是
3

5
（
2
）从
A
组这
5
名学生中随机抽取
2
名同学，设其 分数分别为
m
，
n
，则所有
?
m,n
?

共有
?
94,88
?
,
?
94,86
?< br>,
?
94,80
?
,
?
94,77
?
,
?
88,86
?
,
?
88,80
?
,
?
88,77
?
,
?
86,80
?
,?
86,77
?
,
?
80,77
?
共
10
个

其中满足求
|m?n|?8
的有
:
94 ,88,94,86,88,86,88,80,86,80,80,77
共
6
个
故
|
|m?n|?8
的概率为

【点睛】

本题主要考查了平均数和古典概型概率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题
.
63
?

105
????????????